ALGORITMO INTERATIVO PARA O PROBLEMA DE EMPACOTAMENTO UNIDIMENSIONAL

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1 ALGORITMO INTERATIVO PARA O PROBLEMA DE EMPACOTAMENTO UNIDIMENSIONAL Thais Andrea Baldissera Frazzon thais@inf.ufsm.br Mestranda no Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção Universidade Federal de Santa Maria Adriana Farias de Medeiros adriana@inf.ufsm.br Aluna do Curso de Ciência da Computação Universidade Federal de Santa Maria Resumo Dado um conjunto de n itens com pesos w i, i = 1,..., n, o Problema de Empacotamento (PE) consiste em encontrar o menor número de bins, de capacidade c, necessários para empacotar os itens, sem desrespeitar a restrição de capacidade. Esta formulação, também engloba uma segunda versão para o problema, o Problema de Empacotamento Dual (PED) ou PE 2, no qual se busca minimizar a capacidade de um número fixo de bins de modo que todos os itens sejam alocados aos m bins sem violar as restrições de capacidade. Tanto o PE quanto o PED guardam estreita relação com o problema de seqüenciamento em máquinas paralelas idênticas com o objetivo de minimizar o makespan. O PE é NP-difícil, assim, propõe-se uma heurística, essa interativa, utilizando estratégias de redução, bons limitantes inferiores e superiores, heurísticas construtivas para o PE e heurísticas para solução do problema de seqüenciamento. Abstract The bin packing problem consists in finding the minimum number of bins of given capacity which are necessary to pack a certain number of bins. This formulation also entails another problem (DBP), in which we seek to minimize the capacity of a fixed number m of identical bins, so that all itens fit in the m bins without violating the capacity constraints.dbp is equivalent to the problem of scheduling n inedependent jobs having operation times w j on m identical parallel processors with the objective of minimizing the makespan c. So we propose a interactive heuristic, using reduction strategics with good lower and upper bounds, whose hone constructive heuristics to the bin packing problem and heuristics to solve problems of scheduling. 1. Definição do Problema Neste artigo trabalhar-se-á com o Problema de Empacotamento Unidimensional (PEU), onde são dados n itens, w j sendo o tamanho do item j (w j c) e c a capacidade de cada bin. Então, o PEU é encontrar o menor número de bins, de modo que a soma dos tamanhos dos itens alocados a cada bin não seja maior que sua capacidade, ou seja, distribuir todos os itens no

2 menor número possível de bins, respeitando o tamanho máximo permitido da soma dos itens alocados em cada bin (MARTELLO & TOTH,1990). Relacionado ao objetivo, pode-se transcrever duas versões para o problema. A primeira (PE 1 ) busca miniminizar o número de bins com uma capacidade fixa. A segunda versão (PE 2 ) busca miniminizar a capacidade para um número fixo de bins (SCHOLL, KLEIN & JÜGENS, 1997). Ambas as versões do problema são, segundo COFFMAN, GAREY & JOHNSON (1997), NP-Difíceis. Com base nisto, pode-se dizer que, a medida que a dimensão dos problemas de otimização combinatória deste tipo aumenta, o esforço necessário para resolvê-los de maneira exata cresce exponencialmente, portanto o interesse pelo uso de métodos heurísticos também aumenta, pois permite que se encontrem soluções de boa qualidade a um custo computacional razoável (MENDES et al., 2002). Para acelerar a busca por soluções para o PEU, utilizam-se conceitos matemáticos que minimizam o intervalo onde se encontra a solução ótima. Esse intervalo é determina por limitantes (bounds) inferiores e superiores. Um limitante inferior, para um problema de minimização, indica que a sua solução ótima (melhor solução possível) terá um valor igual ou superior a esse limitante. Portanto se o limitante inferior para uma determinada instancia for 2, significa que a solução ótima, ou seja, o menor número de bins para a melhor solução possível é 2 ou mais, e nunca menos, excluindo as tentativas frustrantes com um número menor de bins que o encontrado, diminuindo o tempo de execução do algoritmo (MARTELLO & TOTH,1990). Um limitante superior, por sua vez, indica que a melhor solução para o problema será sempre menor ou igual ao valor encontrado, como no exemplo citado, com limitante inferior igual a 2, se o limitante superior for 5, sabe-se que a solução ótima estará entre 2 e 5 bins. Ainda, buscando minimizar o tempo e a dificuldade de resolução do problema, utilizamse os métodos de Redução. Esses métodos visam diminuir o tamanho da instância a ser analisada, fixando alguns itens aos bins, tentando diminuir a dimensão do problema, facilitando sua resolução (MARTELLO & TOTH,1990). Em Otimização Combinatória, é comum encontrar na literatura vários algoritmos, muitos com excelente desempenho, para resolução de determinado problema. Muitos dos algoritmos propostos para um problema particular são aplicáveis a solução de outro problema através de pequenas adaptações. Percebe-se que o PEU, em especial o PE 2, guarda analogia com o problema de seqüenciamento de tarefas em máquinas paralelas idênticas, denominado P C max. O P C max é um dos problemas mais estudados da teoria de seqüenciamento. COFFMAN, GAREY & JOHNSON (1979) provaram que este problema é NP-completo quando o número de máquinas é arbitrário. O problema pode ser resolvido em um tempo pseudo-polinomial quando o número de máquinas é fixo, sendo assim NP-difícil, somente no sentido ordinário. Apesar disso, é conhecido um grande número de algoritmos heurísticos para o P C max. O P C max consiste em alocar n tarefas independentes, J 1,..., J n a m máquinas paralelas idênticas M 1,..., M m, de uma forma não-preemptiva. Supondo n m 2 e que cada tarefa J j tem um tempo de execução inteiro e positivo p j, então o objetivo do Cmax = max { C i } i = 1,..., m problema é minimizar o tempo de finalização máximo das tarefas (makespan) definido como:, onde C i é o tempo de execução de todas as tarefas alocadas a máquina M i.

3 O P C max pode ser visto como um Problema de Empacotamento Unidimensional, considerando a seguinte equivalência: para uma dada capacidade c e um conjunto de tarefas (itens) J=(J 1, J 2,..., J n ) cada uma tendo um tempo de processamento (tamanho) inteiro e positivo p j, com 0 p j C. O objetivo é encontrar o mínimo valor de m tal que exista uma partição de J em subconjuntos J 1, J 2,..., J m, satisfazendo t C i, para k = 1,..., m (MENDES et al., 2002). Veja o quadro 1. J i J k PEU Número de itens Tamanho dos itens Capacidade de cada Bin Solução: Número de Bins P C max Número de tarefas Tempo de processamento das tarefas nas máquinas Solução: Makespan Número de máquinas 2. Algoritmos de Resolução do PEU Quadro 1: Analogia entre o PEU e P C max A maioria da literatura para o PE está preocupada com algoritmos aproximativos, estes baseados em estratégias simples e, geralmente, fornecem um resultado satisfatório. Também serão relatados alguns algoritmos heurísticos, híbridos e exatos conhecidos para o problema. Os algoritmos aproximativos, se dividem em duas classes distintas quanto à ordem que os itens são distribuídos nos bins: os algoritmos on-line, que consideram os itens na ordem em que eles aparecem e os alocam utilizando a estratégia determinada pelo método. Os off-line são aqueles onde já se conhece todos os itens que serão armazenados, e com isso constrói-se uma ordem de prioridade para a distribuição dos itens aos bins. Normalmente, estes procedimentos classificam os itens em ordem não-crescente dos seus tamanhos e os distribuem aos bin de acordo com a estratégia do método utilizado. Algoritmos off-line requerem que os dados do problema sejam estáticos, enquanto que os on-line podem ser aplicados quando os itens chegam dinamicamente a uma estação de processamento (COFFMAN, GAREY & JOHNSON, 1997). Dos algoritmos aproximativos on-line, pode-se citar Next Fit (NF), First Fit (FF), Best Fit (BF), Worst Fit (WF), maiores detalhes ver em (COFFMAN, GAREY & JOHNSON, 1997). Para o caso off-line, trabalha-se com uma pré-classificação dos itens em ordem nãocrescente de seus pesos, obtendo-se: Next Fit Decreasing (NFD), First Fit Decreasing (FFD), Best Fit Decreasing (BFD) e Worst Fit Decreasing (WFD). Conhece-se também o algoritmo híbrido proposto por ALVIN et al. (2001), que tem basicamente a seguinte estrutura: 1. Redução: começa utilizando a redução da instância, eliminando itens e fixando bins; 2. Limitantes: calcula limitante inferior (LI) e superior (LS) para o problema; 3. Construtivo: aplica um algoritmo guloso em LI bins;

4 4. Redistribuição: faz-se um balanceamento se a melhor solução conhecida for infactível; 5. Melhoramento: aplica-se tecnologias de redução para violações de capacidade; 6. Critério de parada: se a solução for factível, pare. Senão LI = LI + 1 e volta ao passo 1; ALVIN et al. (1999) apresenta uma variação desse procedimento, onde uma heurística de melhoramento que busca uma redução progressiva do número de bins usados pela fase construtiva do algoritmo é proposta para o PEU. A cada redução utiliza-se um método de busca local para o problema de number partition tentando factibilizar a solução. FALKENAUER (1996) propõem um método de redução e um algoritmo genético (GA) híbrido para o PE denominado Hybrid Grouping Genetic Algorithm (HGGA). Foi demonstrado, que algoritmos genéticos, se utilizarem uma codificação e operadores que se ajustam a estrutura do problema, além de uma sofisticada otimização local, conseguem resolver de forma eficiente o PEU. Tem-se o método exato denominado MTP, proposto por MARTELLO & TOTH (1990) que usa como estratégia de ramificação o First Fit Decreasing FFD, utiliza critérios de dominância e cálculos de limitantes. Outro método exato híbrido denominado BISON foi proposto por SCHOLL et al. (1996), esse combina estratégias de busca tabu e de branch and bound, trazendo novos limitantes para o problema e se mostrando eficiente em relação ao MTP, por chegar aos mesmos resultados em um tempo de processamento bem menor. 3. Metodologia Propõe-se uma heurística interativa, utilizando estratégias de redução, bons limitantes inferiores e superiores e heurísticas construtivas para o PE, e ainda heurísticas propostas para resolução do problema de seqüenciamento. O algoritmo parte de uma instância original para o PEU, que se resume em número de tarefas (n t ), capacidade do bin (c) e os tamanhos dos itens (w 1,..., w n ). procedimento interativo; inicio cálculo LI; cálculo LS; Se LI=LS Senão PARE e apresente a solução; Repita Se LS-LI=1 m=li; executa um algoritmo de seqüênciamento; Se makespan c fixe essa solução como incumbente; LS=LI;

5 fim até LI=LS; 4. Resultados Computacionais Senão Senão PARE e apresente a solução; LI=LS PARE e apresente a solução; m={(ls-li)/2}+li; executa um algoritmo de seqüênciamento; Se makespan c Senão fixe a solução como incumbente; LS=m; LI=m+1; Figura 1 Pseudo-código do algoritmo interativo Para obtenção dos resultados, utiliza-se o CORE (Combinatorial Optimization Resourse Management Environment), um ambiente na internet de utilização e gerenciamento de recursos de otimização combinatória distribuídos, elaborado por SANTOS ( 2002). O ambiente nos oferece um repositório de instâncias para quatro tipos de problemas, uma fácil inserção de novos códigos, um re-uso de códigos muito extensos, e uma facilidade para obter resultados e posteriormente comparar com os demais códigos. O ambiente está totalmente operacional, e uma versão de acesso público pode ser utilizada em Observa-se na figura 1,a tela do CORE onde verifica-se os tipos de problemas de otimização combinatória disponíveis. No caso, P Cmax, seqüenciamento de tarefas em máquinas paralelas idênticas, Q Cmax, seqüenciamento de tarefas em máquinas paralelas uniformes, Bin Packing, o problema de empacotamento em questão, e Number Partition. Figura 2 Tela do Core com os tipos de problemas disponíveis para resolução no ambiente Após escolher o problema que se quer resolver, passa-se a escolha das instâncias que queremos executar o algoritmo. O CORE tem um repositório de instâncias, essas escolhidas por serem clássicas para o problema e também por conhecermos sua solução ótima. Há a possibilidade de entrar com uma instancia nova, desde que ela siga o padrão das demais. A

6 seguir escolhemos o algoritmo construtivo para a sua resolução e o de melhoramento respectivamente. E, para finalizar, define-se o modo de visualização e obtenção do resultado. Figura 3: Tela do Core de escolha dos algoritmos para resolução do problema escolhido. Abaixo têm-se as tabelas com os resultados do Algoritmo. Em cada tabela mostra-se a identificação da instância, a solução encontrada pelo algoritmo interativo com seu tempo computacional em segundos e após a melhor solução encontrada na literatura para a dada instância. As instâncias foram escolhidas por serem clássicas para o PE e também por já ser conhecido a melhor solução encontrada até hoje para elas, facilitando as futuras comparações e analise de seus resultados. Instância Solução Tempo/seg Ótimo Instância Solução Tempo/seg Ótimo u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ ,06 48 u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ , u120_ , u250_ ,

7 Tabela 1: Resultados Computacionais para instâncias uniformes com 120 e 250 itens Instância Solução Tempo/seg Ótimo Instância Solução Tempo/seg Ótimo u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , u500_ , U1000_ , U500_ , U1000_ , Tabela 2: Resultados Computacionais para instâncias uniformes com 500 e 1000 tens Instância Solução tempo/seg Ótimo Instância Solução Tempo/seg Ótimo T060_ , t120_ , T060_ , t120_ , T060_ ,04 20 t120_ , T060_ , t120_ ,08 40 T060_ , t120_ , T060_ , t120_ , T060_ , t120_ , T060_ , t120_ , T060_ , t120_ , T060_ , t120_ ,09 40 T060_ , t120_ , T060_ , t120_ , T060_ , t120_ , T060_ , t120_ ,12 40 T060_ , t120_ , T060_ , t120_ ,14 40 T060_ , t120_ , T060_ , t120_ ,115 40

8 T060_ , t120_ , T060_ , t120_ , Tabela 3: Resultados Computacionais para instâncias triplets com 60 e 120 itens Instância Solução Tempo/seg Ótimo Instância Solução Tempo/seg Ótimo T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ , t501_ , T249_ t501_ Tabela 4: Resultados Computacionais para instâncias triplets com 249 e 501 itens 5.Análise dos Resultados e Conclusão Para analisar o conjunto de instâncias, foram utilizadas duas técnicas estatísticas: Análise de Regressão e Análise de Correlação de Pearson (Snedecor et al.,1989) (Chapra et al.,1985) (Wonnacott et al.,1990). Abaixo vê-se um gráfico de regressão do conjunto de instâncias u500, que demostra a média dos resultados encontrados comparados a outros algoritmos híbridos: Falkenauer (1996) e Alvin (2001) e com o exato MTP (Martello & Toth, 1990). Algoritmos MTP Alg Interativo Alvin Faukenauer Linear (Alvin) Linear (Faukenauer) Linear (Alg Interativo)

9 Faukenauer = Ótimo Alg_Interativo = 0,9861*Ótimo + 4,3048 Alvin = 0,9851*Ótimo + 5,5418 Baseado nos resultados e nas analises realizadas, o algoritmo interativo mostrou-se bom, tanto em qualidade de solução, como em tempo computacional, chegando a um coeficiente de explicação do modelo de regressão médio de 0,979, ou seja, 97,9% dos valores do ótimo, MTP de Martello & Toth (1990), são explicados pelo modelo do algoritmo interativo. Em relação ao algoritmo Alvin (2001) o algoritmo interativo obteve melhor qualidade de solução e um tempo computacional equivalente. Em relação ao algoritmo Faukenauer (1996) o algoritmo proposto esteve atrás em qualidade de solução cerca de 2%. O algoritmo proposto por Faukenauer não está no ambiente, por esse fato não demonstramos seu tempo computacional aqui, porém vês-se que na literatura que seu tempo computacional é bastante superior ao algoritmo interativo. Foi proposto e testado um novo algoritmo híbrido para o PEU que interage com uma heurística desenvolvida para um outro problema de otimização, o P C max.foi implementado dentro do ambiente CORE, o que possibilitou um reuso de código extenso, rapidez na implementação e uma fácil comparação com algoritmos para o mesmo problema. 6. Referências Bibliográficas ALVIN, A., GLOVER, F., RIBEIRO, C. & ALOISE, D., A Hybrid Improvement Heuristic for the Bin Packing Problem, Metaheuristics International Conference, Local Search for the Bin Packing Problem, CHAPRA, C. & CANALE, R.P. Numerical methods for engineers with personal computer applications. McGraw-Hill COFFMAN Jr., E. G., GAREY, M. R. & JOHNSON, D. S., An application of bin-packing to multiprocessor scheduling, SIAM Journal on Computing, v. 7, p. 1-17, Aproximation Algorithms for Bin Packing: A Survey, in Approximation Algorithms for NP-Hard Problems (D. Hochbaum, ed.), 46-93, PWS Publishing, FALKENAUER, E.,A Hibrid Grouping Genetic Algorithm for Bin Packing, Journal of Heuristics 2, p. 5-30, GAREY, M. R. & JOHNSON, D. S. Computers and Intractibility: a Guide to the Theory of NP-Completeness, Freeman, San Francisco, MARTELLO, S. & TOTH, P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations, Wiley, Chinchester, MENDES, A., MÜLLER, F.M., FRANÇA, P. & MOSCATO,P. Comparing meta-heuristic approaches for parallel machine sheduling problems. Production Planning & Control, v.13, p MÜLLER, F.M. Algoritmos Heurísticos e Exatos para Resolução do Problema de Seqüenciamento em Processadores Paralelos Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1993.

10 SANTOS, H.G., MÜLLER, F.M., Ambiente De Utilização E Gerenciamento De Recursos De Otimização Combinatória Distribuídos. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) Universidade Federal de Santa Maria, SCHOLL, A., KLEIN, R. & JÜGENS, C. BISON: A Fast Hybrid Procedure For Exactly Solving the One-Dimensional Bin Packing Problem, Computers Ops Res. n. 7, v. 24, p , SNEDECOR, G. W.; COCHRAM, W. G. Statistical Methods. 8. ed. Iowa: Iowa State University Press, WONNACOTT, T.H.; WONNACOTT, R. J. Introductory Statistics. New York. John wiley & Sons, 1990.