Mat. Alex Amaral Monitor: Roberta Teixeira

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1 1 Mat. Professor: Luanna Ramos Alex Amaral Monitor: Roberta Teixeira

2 2 Cones 08/10 ago RESUMO Cone: Elementos e classificação. Cone é um solido geométrico caracterizado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região circular que form a base. Base: Círculos de raio r Altura: h Geratriz: segmento com uma extremidade no vértice P e outra em alguma parte da circunferêcia da base. Um cone pode ser classificado conforme a inclinação da geratriz em relação à base: Reto o cone circular é reto quando o segmento de reta PO é perpendicular à base. Oblíqua - o cone circular é oblíquo quando o segmento de reta PO é oblíquo à base. Área da base Área lateral Área Total A = r 2 b A = rg b A = A t b l A = r( g + r ) t + A Volume 1 V = ABh 3 Onde: A b = Área da base A l = Área lateral A t = Área total h = altura r = raio g = geratriz 1 V = 3 2 r h

3 3 EXERCÍCIOS 1. Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo? a) d) b) e) c) 2. Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual a 8 metros e altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta igual a 10 metros. Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório cúbico, a altura do nível atingida pela água será de (considere 3 ) a) 5,76m. b) 4,43m. c) 6,38m. d) 8,74m. 3. Parte do líquido de um cilindro circular reto que está cheio é transferido para dois cones circulares retos idênticos de mesmo raio e mesma altura do cilindro. Sabendo-se que os cones ficaram totalmente cheios e que o nível da água que ficou no cilindro é de 3m a altura do cilindro é de: a) 5m b) 6m c) 8m d) 9m e) 12m 4. Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir: (Considere 3 )

4 4 Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos? 5 a) 2, b) 7, c) 2, d) 8, e) 3, Uma tulipa de chopp tem a forma cônica, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que sua capacidade é de 100 ml, a altura h é igual a: a) 20cm b) 16cm c) 12cm d) 8cm e) 4cm 6. Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625 ml de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a Figura 1. O conjunto, como mostra a Figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Considerando essas informações, qual é o valor da distância H?

5 5 a) 5cm b) 7cm c) 8cm d) 12cm e) 18cm 7. Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25 m², é de a) 12 m. b) 10 m. c) 8 m. d) 6 m. e) 5 m. 8. Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. A altura do cone formado pela areia era igual a a) 3/4 da altura do cilindro. b) 1/2 da altura do cilindro. c) 2/3 da altura do cilindro. d) 1/3 da altura do cilindro. 9. A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m 2 construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo.

6 6 Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de: a) b) c) d) e) No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico será de: a) 2 h b) 1 h e 30 min c) 1 h d) 50 min e) 30 min PUZZLE Um bolsa tem 27 bolas de bilhar que parecem idênticas. É certo que há uma bola defeituosa que pesa mais que as outras. Dispomos de uma balança com 2 pratos. Demonstre que se pode localizar a bola defeituosa como somente três pesagens.

7 7 GABARITO Exercícios 1. Temos um cone formado com as informações dadas no enunciado onde temos um tronco de um cone formado. Quando planificamos esse tronco de cone, a área dessa superfície lateral forma a figura da alternativa da letra E. 2. a O volume do cone é Sb. H V =. 3 A área da base é Sb = Portanto, Sb = 3.8² = 3.64 = 192 m² Logo, Vcone = / 3 = = 576 m³ Esse volume é transferido para um cubo de aresta 10 m. O cubo não ficará cheio. A água ficará na altura x. Portanto, o volume de água será de um paralelepípedo retângulo de dimensões 10 m, 10 m e x m O volume do paralelepípedo é dado pelo produto das três dimensões. Sabemos que esse volume é 576 m³. Então, Vparalelepípedo = x = x = 576 x = 576/100 = 5,76 m 3. d (volume do cone) + (volume do cone) + (volume do cilindo com 3m) = (volume do cilindro cheio) R² H R² H + + R².3 = R² H 3 3 H H = H 3 3 H = 9 4. a O volume da peça é o volume do cilindro menos o volume do cone retirado. V cilindro = R².H = (3²)10 = 90. V cone = (3²)6/3 = 18. V cilindro - V cone = = 72 = 216 cm³ = 216 ml 5. c Sabemos que o volume do cone é dado pela fórmula V = R².H/3. Assim: 100 = (5²).H/3 Resolvendo a equação, encontramos H = 12 cm. 6. b

8 8 7. e que sabemos que 2 0, 25 (0, 25)² = x 25 x = 5 8. a Como o volume de areia é o mesmo, segue que: 9. e Observe: 10. c Para responder essa pergunta, devemos conhecer as fórmulas para o cálculo do volume do cone e do cilindro. Apresento-as abaixo.

9 9 Onde: r = raio; h = altura; = pi. Se analisar as fórmulas, é possível perceber que o numerador da fração do volume do cone é igual ao volume total do cilindro. Como o volume do cone está sendo dividido por 3, podemos afirmar que é um terço do volume do cilindro. Com base no que foi dito acima, podemos afirmar que: Como o volume do cone é um 1/3 do volume do cilindro, o tempo para preencher também será um terço, logo, podemos afirmar que o tempo gasto para preencher o reservatório cônico é de 1h. Puzzle Compare 9 bolas quaisquer com outras 9 e deixa as nove restantes na caixa. Se a balança se equilibra, a bola mais pesada estará entre as nove bolas que ficaram na caixa e se não, estará entre as nove do prato que mais pesou. Dividimos em 3 grupos de 3 esse conjunto e repetirmos a operação. Dessa forma, com duas pesadas teremos isolado a bola mais pesada de um grupo de 3 bolas. Se repetirmos a operação uma terceira vez, teremos isolado a bola mais pesada das outras.