ISEL Departamento de Engenharia Civil

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1 ISEL Departamento de Engenharia Civil Betão estrutural II ( folhas da disciplina ) versão actualizada segundo Eurocódigo 2 Prof. António Sousa Gorgulho

2 ÍNDICE CAP. I LAJES...4 I.1 PRINCIPAIS TIPOS E CLASSIFICAÇÕES...4 I.2 LAJES VIGADAS...11 I.2.1 PRINCÍPIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO E COMPORTAMENTO...11 I.2.2 REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS E SEU SIGNIFICADO EM TERMOS DE ESTADO LIMITE ULTIMO DE FLEXÃO...18 I.2.3 DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA ÚNICA DIRECÇÃO...23 I.2.4 DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES...28 I.2.5 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS: FLEXÃO E ESFORÇO TRANSVERSO...40 I.2.6 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO: FENDILHAÇÃO E DEFORMAÇÃO...43 I.2.7 DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS...53 I Lajes Armadas numa só direcção...57 I Lajes Armadas em duas direcções...70 I.2.8 ESCADAS...88 I Principais Tipos e respectivos Modelos de Cálculo...88 I Determinação das cargas nos lanços...92 I Pormenorização de armaduras...93 I.2.9 LAJES SUJEITAS A CARGAS CONCENTRADAS...95 I Lajes Armadas numa só direcção...95 I Lajes Armadas em 2 direcções...98 I.2.10 ABERTURAS EM LAJES...99 I.3 LAJES FUNGIFORMES I.3.1 MÉTODOS DE ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO I.3.2 MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTES I.3.3 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO I Mecanismo de Rotura por Punçoamento I Verificação da Segurança I.3.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO. DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS I.4 LAJES PRÉ-FABRICADAS DE VIGOTAS PRÉ-ESFORÇADAS E BLOCOS DE ENCHIMENTO I.4.1 CONSTITUIÇÃO. TÉCNICAS DE EXECUÇÃO. VANTAGENS E DESVANTAGENS DA SUA UTILIZAÇÃO

3 I Constituição I Sistema Construtivo.Técnicas de Execução I Vantagens e desvantagens deste tipo de lajes I.4.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA I Estados Limites Últimos I Estados Limites de Utilização I.4.3 MODELOS DE COMPORTAMENTO ESTRUTURAL. CÁLCULO DE ESFORÇOS I.4.4 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS CAP. II SAPATAS DE FUNDAÇÃO II.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DO SOLO DE FUNDAÇÃO II.1.1 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS II.1.2 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO II.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DA SAPATA II.2.1 CÁLCULO DE ARMADURAS II Sapatas com Cargas Centradas II Sapatas com Cargas Excêntricas sem vigas de fundação II Sapatas com Cargas Excêntricas interligadas por vigas de fundação II.2.2 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO CAP. III INTRODUÇÃO AO BETÃO PRÉ-ESFORÇADO III.1 INTRODUÇÃO III.2 TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO III.3 EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO: VIGA EM BETÃO ARMADO E BETÃO ARMADO PRÉ-ESFORÇADO III.4 DIMENSIONAMENTO DO PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS ISOSTÁTICAS III.4.1 CARGAS EQUIVALENTES AO EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO

4 CAP. I LAJES I.1 PRINCIPAIS TIPOS E CLASSIFICAÇÕES Depois de estudados em BE1 os elementos de Betão Armado com comportamento linear: vigas e pilares, passamos a estudar em BE2 os elementos laminares, de comportamento bidimensional: lajes. Viga comportamento linear Laje comportamento bidimensional Os elementos de comportamento linear têm uma dimensão ( vão ) muito superior às outras duas ( dimensões da secção ) e a sua deformada é uma linha ( função em R ). Os elementos, como as lajes, de comportamento bidimensional têm 2 dimensões ( vãos ) muito superiores a uma terceira que é a espessura e a sua deformada quando carregados é a de uma superfície ( função em R 2 ) Entre os elementos laminares pode falar-se em placas, lajes ou cascas. Designam-se por placas os elementos laminares com carregamento actuando segundo o seu plano médio São exemplo de elementos laminares com comportamento de placa : 4

5 Paredes de betão armado sujeitas a cargas verticais Pavimentos de betão sujeitos a acções horizontais Designam-se por lajes os elementos laminares actuados por cargas, perpendiculares ao seu plano médio. São exemplos de lajes: Paramento vertical de um muro de suporte Paredes planas de um reservatório Pavimentos de um Edifício sujeitos a cargas verticais Finalmente designam-se por cascas todos os elementos laminares não planos. São exemplos deste tipo de elementos: Paredes de um reservatório circular Coberturas curvas Passando agora ao estudo das lajes, vamos iniciá-lo pelo conhecimento dos vários tipos e classificações das lajes, por forma a identificar de imediato as características de quaquer laje a partir da sua designação/classificação. Os vários tipos de classificação de uma laje vão ser apresentados por ordem decrescente de importância, para a sua identificação. - Quanto ao Tipo de Apoio Lajes Vigadas são lajes apoiadas em vigas Lajes Fungiformes são lajes apoiadas directamente em pilares. Lajes Apoiadas em Meio Elástico são lajes apoiadas directamente no solo de fundação, por exemplo. 5

6 - Quanto à sua Constituição Lajes em Betão Armado Que podem ser : - Maciças: de espessura constante ou variável - Aligeiradas ou Nervuradas desde que o seu peso próprio seja inferior ao da laje maciça de igual espessura. A redução de peso é conseguida através da introdução de blocos de cofragem recuperáveis ou perdidos, que originam nervuras, uni ou bidireccionais, solidarizadas por uma lajeta de compressão. Os moldes recuperáveis são plásticos, dando origem a uma superfície descontínua com as nervuras aparentes. Os moldes perdidos podem ser em: Betão leve ( normalmente tipo LECA e tripartidos ) Cerâmicos Plásticos Poliestireno Expandido ( difíceis de fixar para a betonagem ) e originam uma superfície inferior contínua. Pode ou não haver lajeta inferior, consoante os blocos estejam colocados acima ou directamente sobre a cofragem. Lajes de vigotas pré-esforçadas Constituídas por vigotas pré-esforçadas, nas quais se apoiam blocos de cofragem 6

7 ( abobadilhas ) cerâmicos ou de betão, solidarizados por uma lajeta de compressão em betão, a executar em obra. As dimensões apresentadas dizem respeito a um determinado tipo de laje. Lajes Mistas Aço-Betão As soluções mistas, hoje em dia mais comuns são: - Lajes mistas com chapa de aço colaborante que constituem soluções muito leves e esbeltas ( 10 a 15 cm de espessura ) e evitam o recurso a cofragens de madeira, exigindo apenas um sistema de escoramento vertical. Apoiam em vigas metálicas, vigas de betão ou paredes resistentes de alvenaria. Tratase de uma solução muito utilizada em obras de remodelação/recuperação de edifícios antigos. - Lajes mistas com perfis I Constituídas por perfis metálicos, em geral de secção em I, que suportam as forças de tracção, ligados por conectores metálicos a uma lajeta de betão que absorve as forças de compressão. 7

8 - Quanto ao Modo de Flexão Dominante ( só para lajes vigadas ) Lajes Armadas numa só direcção Neste caso os momentos flectores numa das direcções ( direcção do menor vão ) são muito superiores aos da outra. l x / l y > 2 Lajes Armadas em duas direcções ou em cruz Os momentos flectores nas duas direcções principais de flexão são da mesma ordem de grandeza 0,5 l x / l y 2 8

9 - Quanto ao Comportamento Lajes Finas - h < l / 10 ( situações correntes ) Na análise destas lajes podem adoptar-se as hipóteses simplificativas da Resistência de Materiais que são: - desprezar a contribuição do esforço transverso na deformabilidade da laje - hipótese das fibras perpendiculares ao plano médio se manterem rectas e perpendiculares à superfície deformada Lajes Espessas h l / 10 Não são válidas as hipóteses simplificativas anteriores Lajes Isotrópicas Têm um comportamento ortotrópico ( lajes nervuradas ) - Quanto ao Modo de Fabrico Betonadas in situ Constituem ainda a solução maioritária, muito embora a utilização de soluções com componente de pré-fabricação vá avançando gradualmente ano após ano. Pré-fabricação Total Solução pouco utilizada, pois exige a montagem dos painéis de laje inteiramente préfabricados sobre as vigas de apoio, procedendo-se posteriormente à sua solidarização em obra. A elevada sismicidade de algumas zonas do nosso país contribui também para a pouca utilização deste sistema, já que obriga a cuidados muito especiais na concepção e dimensionamento das zonas de ligação laje-viga. Pré-fabricação Parcial Nestas soluções apenas a parte inferior da laje é pré-fabricada, evitando o recurso a cofragens inferiores contínuas. Podem ser: - pré-lajes que são lajetas de espessura constante entre 5 e 7 cm, pré-esforçadas e que são montadas sobre os apoios 9

10 - pranchas alveoladas pré-esforçadas, montadas justapostas sobre os apoios. - etc Depois de colocadas estas lajes em posição, executa-se a parte superior da laje, servindo aquelas de cofragem perdida para a betonagem a realizar em obra. Estas soluções de pré-fabricação parcial já são mais comuns, sobretudo porque evitam o recurso a cofragem inferior. A sua utilização torna-se mais económica para grandes áreas e com várias repetições. 10

11 I.2 LAJES VIGADAS I.2.1 PRINCÍPIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO E COMPORTAMENTO Em termos de dimensionamento, a regulamentação nacional permite a utilização no cálculo de esforços em lajes vigadas, da: Teoria da Elasticidade Sem redistribuição de esforços Com redistribuição de esforços Método Estático Teoria da Plasticidade Método Cinemático A utilização do cálculo elástico com redistribuição de esforços e do cálculo plástico estão no entanto limitadas por algumas condições. A verificação da segurança deverá ser feita de acordo com a teoria dos estados limites: Estados Limites Últimos Flexão Esforço Transverso Estados Limites de Utilização Abertura de Fendas Deformação Normalmente as lajes vigadas que constituem os pavimentos de um Edifício só são dimensionadas para as cargas verticais, perpendiculares ao seu plano médio, sendo a resistência às acções horizontais assegurada pela estrutura reticulada de pilares e 11

12 vigas. Face às acções horizontais as lajes funcionam como placas com cargas actuando segundo o seu plano médio, o que conduz a pequenas tensões. Já no caso das lajes de pavimento, fungiformes, a inexistência de vigas obriga ao seu dimensionamento também às acções horizontais. Condições de Apoio e Simbologia de Cálculo As condições de apoio de um painel de laje vigada são: - bordo encastrado quando há continuidade para um painel adjacente - bordo simplesmente apoiado quando se trata de um apoio limite sem continuidade - bordo livre quando não há viga de apoio Por exemplo para o conjunto de painéis da figura: 12

13 ter-se-á: Em termos de simbologia de cálculo, os Momento Flectores nas lajes seguem uma convenção diferente dos momentos nas secções de vigas ou pilares. Assim enquanto numa secção de viga ou pilar : Mxx representa o momento flector cujo vector resultante tem a direcção de X, ou seja, trata-se de um momento em torno de X. No caso das lajes: Mx representa o momento flector que produz tensões normais de flexão segundo o eixo X, ou seja é o momento que tem o vector resultante segundo Y ou momento em torno de Y. Deste modo nos painéis A, B, C e D anteriormente representados, os momentos flectores a determinar seriam: Como se pode perceber os momentos são representados por setas simples que pretendem mostrar o momento em projecção no plano. O sentido da seta não tem significado em termos de sinal, sabendo-se que momentos no centro do painel serão sempre positivos enquanto momentos sobre encastramentos serão sempre negativos. 13

14 Nos painéis com bordo livre haverá que distinguir entre os momentos segundo a direcção do bordo na zona central e os mesmos momentos junto ao bordo. Isto porque há um aumento significativo desses momentos junto ao bordo livre. Os momentos flectores e esforços transversos em lajes são sempre calculados por unidade de largura. Mx - [ KNm/m ] ; Vx - [ KN/m ] Análise Qualitativa do Comportamento Elástico das Lajes a) Laje Apoiada numa direcção e com Bordos Livres na outra Neste caso a laje, quando carregada, fica sujeita a um estado de flexão cilíndrica, com curvatura nula segundo a direcção Y e portanto comportamento semelhante ao de uma viga com o mesmo vão. No entanto, na laje vai surgir um efeito que não se verifica nas vigas e que se pode explicar simplificadamente da seguinte forma: Considerando a laje como um conjunto de vigas ou faixas justapostas lateralmente, quando a laje se deforma verifica-se que a deformação transversal de cada faixa é impedida pela faixas adjacentes, originando tensões segundo a direcção perpendicular ao vão, que produzem um momento flector de compatibilidade dado por: My = ν. Mx em que: ν coeficiente de Poisson do material e que no caso do betão armado se pode considerar igual a 0,2 em fase elástica. Portanto numa laje armada numa só direcção, apesar de possuir curvatura nula na outra direcção, haverá sempre um momento flector de compatibilidade segundo esta outra direcção devido ao efeito de Poisson. 14

15 b) Laje Apoiada nos Quatro Bordos, com um lado muito maior que o outro ( ly / lx > 2) Neste caso o comportamento é muito semelhante ao anterior, ficando a laje sujeita a um estado de flexão cilíndrico em praticamente toda a largura, com uma perturbação pouco significativa nas extremidades devido à presença dos apoios. Podendo portanto igualmente afirmar-se que a curvatura segundo Y é praticamente nula. c) Laje Apoiada nos Quatro Bordos, com lados de comprimento semelhante ( 0,5 ly / lx 2) O comportamento qualitativo neste caso pode ser compreendido a partir da analogia com uma grelha de vigas nas duas direcções, intersectando-se no centro da laje. 15

16 Olhando para a superfície deformada, facilmente se conclui que sendo a curvatura maior segundo o menor vão da laje, também o serão os momentos flectores já que M = EI. 1/R = EI.K Deste modo podemos concluir que no caso de uma laje rectangular apoiada em todo o contorno, os maiores momentos aparecem segundo a direcção do menor vão. Esta conclusão é extensiva a outras condições de fronteira desde que sejam idênticas nas duas direcções. Comportamento de uma laje até à rotura A figura representa o diagrama de comportamento P-δ de uma laje até uma situação de rotura. Assim teremos: 1 Fase elástica ( Estado I ) em que o modelo elástico linear para o comportamento da laje é praticamente exacto A Valor da carga para o qual se dá o início da fendilhação 2 Fase fendilhada ( Estado II ) em que o modelo elástico é válido para o cálculo dos esforços ( não exacto ) devendo ter-se em conta o efeito da fendilhação na deformação. B Valor da carga para o qual se dá início à fase de cedência das armaduras ( plastificação ) 3 Fase de plastificação em que as fendas começam a agrupar-se, formando bandas ( charneiras plásticas ). A distribuição de esforços já é significativamente diferente da distribuição elástica. C Valor da carga para o qual se dá início ao processo de rotura 16

17 4 Fase de rotura em que se dá a deformação e formação de mecanismo por rotação em torno das charneiras plásticas ( linhas de rotura ) e esmagamento do betão. É válida nesta fase a Teoria da Plasticidade. Aspecto da face inferior de uma laje apoiada nos quatro bordos, na fase que precede a rotura: Da análise do diagrama podem reter-se os seguintes aspectos muito importantes para o estudo de qualquer laje: - Não linearidade da deformação com o valor da carga a partir do ponto de início da fendilhação. - O modelo elástico só produz esforços semelhantes aos reais em fase elástica - Uma laje bem dimensionada deverá funcionar nas condições usuais de serviço junto do ponto de início de fendilhação, acima ou abaixo e não necessariamente sempre abaixo. 17

18 I.2.2 REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS E SEU SIGNIFICADO EM TERMOS DE ESTADO LIMITE ULTIMO DE FLEXÃO Análise Plástica Como se verificou no fim do capítulo anterior, a distribuição de esforços numa laje próxima da situação de rotura, não tem nada a ver com a distribuição que se obteria fazendo um cálculo elástico. Deste modo como explicar o cálculo à rotura de armaduras com base no valor de esforços obtidos elasticamente? A resposta está no Teorema Estático da Análise Plástica. Segundo o artº 48 do REBAP a análise plástica em lajes será feita em termos da verificação da segurança expressa através da condição de que o valor de cálculo das acções é inferior ao valor de cálculo da resistência em termos de acções. No valor de cálculo das acções devem considerar-se as combinações de acções com os respectivos coeficientes de segurança γ f e no valor de cálculo da resistência, expressa em termos de acções,devem considerar-se os valores de cálculo das propriedades dos materiais determinados com base nos coeficientes de segurança γ m. A possibilidade de fazer cálculo plástico, nomeadamente através da aplicação do teorema estático, obriga segundo o REBAP: a que em qualquer ponto e em qualquer direcção, a % de armadura de tracção da laje não exceda a que conduz a um valor de x/d igual a 0,25, sendo x a profundidade da linha neutra e d a altura útil da secção ( exigência de ductilidade ) e a que a distribuição de momentos considerada não difira muito da distribuição de momentos elástica: 0,5. Mapoio el Mapoio 1,25.Mapoio el em que Mapoio el é o momento negativo elástico sobre determinado apoio. Segundo o EC2: A análise plástica pode ser feita sem qualquer verificação directa da capacidade de rotação se: i) a área da armadura de tracção é limitada de modo a que em qualquer secção x u / d 0,25, fck 50 MPa x u / d 0,15, fck >50 MPa ii) aço das armaduras é da classe B ou C ( aços de maior ductilidade) iii) 0,5 M - apoios / M vão 2,0 18

19 Então segundo o Teorema Estático da Análise Plástica: - A carga distribuída p associada a um campo de esforços equilibrado e em que não seja excedida em nenhum ponto a capacidade resistente da laje M (p) Mrd, constitui um valor inferior ou igual ao da carga última p u. em que: M (p) momento da distribuição equilibrada de esforços devido à carga p Mrd momento resistente da laje Este teorema é pois a justificação da possibilidade de utilizar os resultados da análise elástica para a verificação da segurança ao estado limite último, uma vez que a solução elástica é uma das possíveis distribuições de esforços equilibradas. A utilização do método estático no cálculo de lajes origina o chamado método das faixas ou bandas. Como se representa na figura podemos admitir que a carga p é suportada em bandas nas direcções x e y, sendo α um coeficiente de repartição da carga em cada uma das direcções. Teremos assim uma banda de laje segundo x que suporta uma carga de α.p e uma banda segundo y que suporta uma carga de ( 1- α ).p Para iguais condições de fronteira nas 2 direcções o valor de α para a menor direcção deverá ser entre 0,5 e 1 para relações de vãos entre 0,5 e 2. Para relações de vãos superiores a 2, α deverá ser 1 na direcção do menor vão ( flexão cilíndrica ). Para condições de fronteira diferentes nas 2 direcções, deve considerar-se uma % de carga maior na direcção com condições de fronteira mais rígidas. α. lx 2 > ( 1- α ). ly 2 19

20 Análise Elástica com redistribuição de esforços Quando se dimensiona uma laje com base na distribuição elástica de esforços dá jeito, por vezes, pensar numa redistribuição desses esforços. Pode desta forma conseguir-se uma melhor distribuição de armaduras, diminuindo a densidade destas em zonas fortemente armadas, normalmente em armaduras superiores sobre apoios e consequentemente aumentando as armaduras inferiores no vão. Deste modo obtém-se uma melhor pormenorização de armaduras, maior ductilidade da laje e sobretudo maior facilidade de execução. A redistribuição de esforços é uma aplicação do método estático que consiste em somar à distribuição de esforços elásticos ( que é equilibrada ) um campo de esforços auto-equilibrado, obtendo-se assim uma solução ainda equilibrada. Tomemos o exemplo simples de uma laje bi-encastrada armada segundo uma única direcção, portanto com um comportamento semelhante à de uma viga bi-encastrada, sujeita a uma carga uniformemente distribuída: O diagrama de momentos elástico é: Adicionando a este campo de esforços elástico, o campo de esforços auto-equilibrado: Obter-se-á: 20

21 Que continua a ser um campo de esforços equilibrado e portanto de acordo com o Teorema Estático, válido para a verificação ao estado limite último. Caso o campo de esforços auto-equilibrado que se adicionou fosse de: O resultado seria uma redistribuição total dos momentos negativos nos apoios: Como se trata também de um campo de esforços equilibrado, a verificação ao estado limite último permanece válida para esta distribuição. No entanto como os esforços em serviço são próximos dos elásticos, sendo a redistribuição significativa, os níveis de tensão em serviço podem tornar-se elevados conduzindo a fendilhação e/ou deformações inaceitáveis. Tal seria a situação neste caso de redistribuição total. Por este motivo o REBAP impõe no seu Artº 50 que a redistribuição de momentos em lajes seja no máximo de 25% para os momentos nos apoios. Convém também salientar que a utilização da redistribuição de esforços elásticos para o dimensionamento ao Estado Limite Último só é aplicável se as zonas mais esforçadas apresentarem um comportamento suficientemente dúctil de forma a 21

22 permitir que as capacidades resistentes das secções se adaptem aos esforços actuantes. Segundo o EC2 Para lajes contínuas em que a relação entre vãos adjacentes esteja entre 0,5 e 2: δ k1 + k2. x u / d, fck 50 MPa δ k3 + k4. x u / d, fck >50 MPa δ relação entre o momento após a redistribuição e o momento flector elástico k1=0,44 k2 = 1,25.(0,6+0,0014/εcu2) = 1,25 K3=0,54 K4 = 1,25.(0,6+0,0014/εcu2) δ 0,44 + 1,25. x u / d, fck 50 Mpa δ 0,7 para aços das classes B e C 22

23 I.2.3 DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA ÚNICA DIRECÇÃO Normalmente as lajes vigadas são dimensionadas com base numa análise elástica, por ser uma técnica de fácil aplicação, recorrendo habitualmente a tabelas, e, por conduzir a um bom comportamento em serviço. Como se viu anteriormente, nos casos em que a análise elástica não é simples, pode aplicar-se o Teorema Estático da Análise Plástica. As lajes vigadas armadas numa só direcção têm um comportamento em tudo idêntico ao das vigas, pelo que o seu cálculo elástico é feito como se se tratasse de uma viga com a espessura da laje e 1 m de largura. Cálculo de Painéis Isolados Neste caso utilizam-se as fórmulas de cálculo elástico para vigas de um só tramo com as respectivas condições de apoio. 23

24 24

25 Cálculo de Conjunto de Painéis Contínuos Suponhamos o conjunto de painéis representado na figura: Atendendo à relação entre vãos de cada painel, tratam-se de painéis armados na direcção do menor vão. Deste modo e tal como sucedia nos painéis isolados, o cálculo deverá ser feito como se se tratasse de uma viga, neste caso contínua de 5 tramos, de espessura igual à da laje e 1m de largura. Um aspecto importante a ter em conta no cálculo da laje contínua é a possibilidade de alternância de sobrecargas nos painéis. A importância deste aspecto tem a ver com o valor das sobrecargas e a sua relação com as cargas permanentes. Quanto maior for essa relação mais importante será a sua consideração no cálculo. 25

26 A não consideração deste efeito, por exemplo quando se sobrecarregam todos os tramos, pode originar mau funcionamento em serviço por parte do pavimento, podendo ocorrer fendilhação e flechas exageradas. A alternância de sobrecargas deve ser considerada em cada caso de acordo com a respectiva linha de influência. Assim para o caso do pavimento apresentado, ter-se-ia por exemplo, para a obtenção do Mmáx positivo no 1º tramo: Linha de influência de M a meio vão do 1º tramo Alternância de sobrecargas a considerar Pode assim enunciar-se a seguinte regra para a obtenção do Mmáx positivo num dado tramo: Sobrecarrega-se o tramo em questão e os outros alternadamente. No caso dos Mmáx negativos sobre os apoios, vamos considerar a obtenção desse momento sobre o 1º apoio: Linha de influência de M sobre o 1º apoio 26

27 Alternância de sobrecargas a considerar Pode assim enunciar-se a seguinte regra para a obtenção do Mmáx negativo sobre um dado apoio: Sobrecarregam-se os dois tramos adjacentes ao apoio em questão e os outros alternadamente. Em termos de esforço transverso proceder-se-ia de igual forma, com base na respectiva linha de influência. Caso se pretendesse calcular o esforço transverso máximo na secção imediatamente à direita do 1º apoio ter-se-ia: Linha de influência de V na secção à direita do 1º apoio Alternância de sobrecargas a considerar 27

28 I.2.4 DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES No caso de painéis de laje com relação entre vãos compreendida entre 0,5 e 2,0, a laje apresenta momentos flectores significativos segundo as duas direcções, pelo que como já se viu anteriormente, considera-se como armada em duas direcções. A análise elástica de um sistema de painéis contínuos armados em 2 direcções pode ser feita de diferentes formas: a) Análise do sistema global utilizando métodos numéricos, nomeadamente o método dos elementos finitos. Este método de cálculo exige o recurso ao cálculo automático. Permite obter uma distribuição elástica de esforços muito parecida com a real, nomeadamente porque considera a deformabilidade das vigas de suporte do sistema. b) Análise dos painéis de laje isolados com recurso a tabelas de cálculo ( Bares, Hahn, Montoya, etc ), seguida de uma posterior redistribuição da diferença entre os momentos sobre apoios comuns, para obtenção da distribuição no conjunto dos painéis. Este método permite obter uma distribuição de esforços equilibrada e portanto válida para a verificação dos estados limites últimos, no entanto diferente da distribuição elástica real, já que simplificadamente não considera a deformabilidade das vigas de suporte. c) Análise do conjunto de painéis utilizando tabelas em que a continuidade dos momentos sobre os apoios comuns a painéis adjacentes é considerada directamente. Também despreza a deformabilidade das vigas de apoio. O método dos elementos finitos é hoje largamente utilizado através de vários programas de cálculo conhecidos como o SAP ou o ROBOT, pelo que na maior parte dos casos este constitui o método de cálculo das lajes de pavimento. No entanto nos casos mais simples de pavimentos com plantas de formas muito regulares, o método simplificado descrito na alínea b) continua a ser bastante utilizado, já que não exige para além das tabelas, grandes meios de cálculo. Será pois este o método de cálculo a seguir neste curso, utilizando para o efeito as Tabelas para o cálculo de lajes de R. Bares. Para ter em conta a alternância de sobrecargas, dado que como se referiu, o cálculo é feito para os painéis isolados, é utilizada uma técnica conhecida por Método de Marcus, válida para sistemas de lajes sujeitas a cargas uniformemente distribuídas e com vãos adjacentes semelhantes. 28

29 Método de Marcus Suponhamos o seguinte sistema de painéis: Isolando os painéis, teríamos os seguintes modelos de cálculo : - Painéis A Painéis de Canto 29

30 - Painéis B Painéis de Bordo - Painel C Painel Interior Como se observa nos modelos de cálculo anteriores, os bordos sem continuidade são considerados como apoios simples e os bordos com continuidade como encastramentos. O facto de se considerarem os apoios em vigas de bordadura como apoios simples, permitindo a rotação livre, significa que se despreza a rigidez de torção dessas vigas. 30

31 De facto devido à fendilhação, a rigidez de torção das vigas decresce rapidamente para valores de cerca de 1/4 a 1/10 do valor elástico, o que torna os momentos na laje junto à viga muito pequenos. Por outro lado se se considerassem os momentos flectores na ligação à viga de bordadura, como algumas tabelas de cálculo de lajes o fazem ( tabelas do ACI, por exemplo ) haveria que, por equilíbrio, ter em conta os momentos torsores na viga aquando do cálculo desta. Como na prática, não se considera essa acção sobre a viga, pode tornar-se contra a segurança da estrutura, a utilização de tabelas que forneçam os valores dos momentos sobre apoios descontínuos. - Mmáx Como se viu no caso do conjunto de painéis armados numa só direcção, os momentos negativos sobre apoios de continuidade são máximos se a sobrecarga actuar simultaneamente nos 2 painéis adjacentes a esse bordo. No caso actual de um conjunto de painéis armados em duas direcções a conclusão mantém-se válida. Deste modo e admitindo a hipótese inicial de os painéis terem vãos semelhantes, quando ambos os painéis adjacentes à viga de apoio estão igualmente sobrecarregados, a rotação desse apoio será muito pequena, pelo que se pode admitir que a condição de apoio nesse bordo é o encastramento. 31

32 Pode então enunciar-se como regra para a obtenção dos momentos negativos máximos em determinado painel que o painel deve ser calculado para a totalidade das cargas ( cp+sob) e com os bordos com continuidade considerados como encastrados. - Mmáx + Para obtenção dos momentos positivos máximos nos painéis A e C, por exemplo, a distribuição de sobrecargas que produz esses momentos será a seguinte: que pode ser decomposta em: a) b) 32

33 Para a situação de carga a) em que todos os painéis estão igualmente carregados com cp+sob/2 é novamente lícito considerar que as vigas de apoio com continuidade praticamente não rodam, pelo que os apoios com continuidade devem ser considerados no cálculo dos painéis individualizados como encastramentos. No entanto para a situação de carga b), estando os painéis adjacentes a cada viga de apoio com continuidade, carregados com + sob/2 e sob/2, então essas vigas já tenderão a rodar, pelo que neste caso os bordos com continuidade devem ser considerados no cálculo como encastramentos. Pode então enunciar-se que para a obtenção dos momentos flectores positivos máximos num determinado painel, tendo em conta a possível alternância de sobrecargas, tem de adicionar-se o momento positivo obtido para cp+sob/2 actuando o painel com os bordos de continuidade considerados como encastramentos, com o momento positivo obtido para sob/2, actuando o mesmo painel, mas em que agora os bordos com continuidade devem ser considerados como apoios simples. São estas regras simples, que permitem, de uma forma simplificada, obter o efeito da alternância de sobrecargas sobre o cálculo dos painéis feito individualmente, que constituem o chamado método de Marcus para o cálculo de lajes armadas em duas direcções. - Equilíbrio entre Painéis Adjacentes Feito o cálculo dos momentos flectores para cada painel individualmente, há que no final proceder ao reequilíbrio dos momentos negativos calculados para cada um dos painéis adjacentes a cada apoio de continuidade. Esses momentos serão diferentes sempre que os painéis o sejam, pelo que, para que a viga não fique sujeita a momento torsor o momento terá de ser o mesmo à direita e à esquerda do apoio. Por exemplo, no caso do pavimento em análise, entre os painéis de canto A e os painéis de bordo B, sobre a viga de apoio 1, ter-se-á: 33

34 O valor elástico de M AB estará compreendido entre M A e M B e dependerá da rigidez à flexão dos painéis adjacentes. Pode ser obtido a partir da redistribuição da diferença entre momentos no apoio pela fórmula: M AB = M B + (M A - M B ) x K B / K A + K B ( fórmula de iteracção do Método de Cross ) Ou M AB = M A x K B / K A + K B + M B x K A / K A + K B Em que: K A rigidez à flexão do painel A na direcção em causa K B rigidez à flexão do painel B na direcção em causa Se os vãos forem semelhantes, que era uma das condições iniciais para a aplicação do Método de Marcus, ter-se-á: K A ~ K B e então: M AB = (M A + M B ) / 2 Que normalmente é a expressão adoptada na prática. Para esta simplificação na obtenção do momento negativo final sobre o apoio comum estar do lado da segurança e poder cobrir as situações de maiores diferenças entre momentos, deve sempre verificar-se se: M AB 0,8 x Mmáx (M A ; M B ) 34

35 No caso em que: M AB < 0,8 x Mmáx (M A ; M B ) considera-se M AB = 0,8 x Mmáx (M A ; M B ) Quando é feito este reequilíbrio de momentos sobre o apoio, há sempre descida do diagrama de momentos de um dos lados. Por exemplo, no caso analisado, o momento positivo no painel A para a combinação de acções que conduziu ao M A máx no apoio sofre um acréscimo, porque com a redistribuição, o diagrama de momentos desce no painel A. Por outro lado o Mmáx + no painel A é determinado com base numa combinação de acções diferente, mais desfavorável, pelo que haverá que verificar se este momento positivo de dimensionamento obtido pelo método de Marcus não é ultrapassado pelo momento positivo anterior após a redistribuição. Tal depende da importância da consideração da alternância de sobrecargas que como se viu está ligada à relação entre a sobrecarga e a carga permanente. Para as relações usuais entre carga permanente e sobrecarga e se: M AB 0,8 x Mmáx (M A ; M B ) então o momento positivo de dimensionamento obtido pelo método de Marcus é normalmente superior. Para casos de maiores sobrecargas ou sobretudo se M AB < 0,8 x Mmáx (M A ; M B ), então deve sempre verificar-se se o momento positivo após a redistribuição de esforços não ultrapassa o momento positivo de dimensionamento. 35

36 Hipótese 1 Hipótese 2 Mmáx + = Máx ( M+ hip.1 + M ; M+ hip.2 ) No caso de vãos adjacentes bastante diferentes, deve efectuar-se o reequilíbrio final de momentos negativos sobre os apoios, com base nas fórmulas de rigidez apresentadas. Nestes casos sucede normalmente que após a redistribuição o vão menor fica apenas com momentos negativos. Nesta situação coloca-se habitualmente no vão menor uma armadura superior corrida e uma armadura inferior que é normalmente metade da dos vãos adjacentes. 36

37 - Dimensionamento de painéis adjacentes a uma consola No caso de painéis armados em 2 direcções e adjacentes a uma consola o método de cálculo é um pouco diferente, devido à existência da consola, já que a influência desta tem de ser considerada, quando se calcula o painel isoladamente. Suponhamos por exemplo o seguinte conjunto de painéis: Calculemos então o painel A. Comecemos por verificar se a consola garante, quando sujeita às cargas permanentes (cp) o encastramento ao painel A: 1º - Cálculo de M no bordo adjacente à consola para o painel actuado por 1.5.(cp+sob) ( cargas majoradas) e considerando esse bordo como encastrado. 37

38 2º - Cálculo de M no mesmo bordo mas agora calculado pelo lado da consola quando esta está sujeita apenas às cp. Se M - cons(cp) < My - A(cp+sob)γ, considera-se que a consola permite a rotação do bordo adjacente, não garantindo portanto o encastramento ao painel A e prosseguindo o cálculo deste, considerando esse bordo como um apoio simples. 3º - Cálculo dos momentos no painel A No final e porque a consola existe de facto, deverá fazer-se a correcção de My+ My+ Final = My+ - = My+ - (M - cons(cp) /2 ) 38

39 Se pelo contrário M - cons(cp) My - A(cp+sob)γ, considera-se que a consola não permite a rotação do bordo adjacente, garantindo portanto o encastramento ao painel A e prosseguindo o cálculo deste, considerando esse bordo como um apoio encastrado. 3º - Cálculo dos momentos no painel A No final e para corrigir a situação de cálculo para a situação real tem de fazer-se a correcção de My+ My+ Final = My+ - = My+ - (M - cons(cp)- My - A(cp+sob)γ)/2 4º - Cálculo do momento negativo final sobre o bordo de ligação à consola calculado a partir da consola 39

40 I.2.5 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS: FLEXÃO E ESFORÇO TRANSVERSO Estado Limite Último de Flexão Normalmente no cálculo de lajes maciças vigadas despreza-se a rigidez de torção. Caso contrário poder-se-á utilizar uma fórmula simplificada para ter em conta o efeito dos momentos torsores na verificação do estado limite último de flexão, que é: Mx Rd Mx Sd + Mxy Sd My Rd My Sd + Mxy Sd Estado Limite Último de Esforço Transverso Nas situações correntes de lajes vigadas procura-se dimensionar a espessura da laje de forma a que esta não necessite de armaduras de esforço transverso, dada a dificuldade de montagem destas armaduras. Regulamentarmente não há exigência de armadura de esforço transverso mínima pelo que procura-se sempre absorver o esforço transverso à custa da resistência do betão, que é para lajes sem armadura de esforço transverso, de acordo com o REBAP: Vcd = 0,6. ( 1,6 d ). ζ 1. bw. d sendo que: 1,6 d 1,0 e bw = 1m Segundo o EC2 Essa resistência é dada por: V Rd,c = [C Rd,c.k.(100.ρ L.f ck ) 1/3 +k 1.σ cp ].bw.d [v min + k 1.σ cp ].bw.d Onde, C Rd,c =0,18/ γ c =0,18/1,5=0,12 K=1+ (200/d) 2, com d em mm ρ L = A sl / bw.d 0,02 (A sl representa a área de armadura de tracção, prolongada de um comprimento não inferior a d+l b,net para além da secção considerada ) k 1 = 0,15 σ cp =N sd / A c < 0,2.fcd em MPa (N sd representa o esforço normal devido a cargas aplicadas ou ao pré-esforço, devendo ser considerado positivo quando for de compressão e A c representa a área da secção transversal de betão) v min = 0,035.k 3/2 1/2. f ck 40

41 Quanto ao cálculo do esforço transverso em lajes vigadas armadas em duas direcções, ele pode ser feito directamente a partir das tabelas de Bares, como se mostra na figura seguinte, correspondente a uma situação de laje simplesmente apoiada nos 4 bordos: Na prática, no entanto, é normalmente utilizado um método simplificado, baseado numa repartição de cargas a 45º entre bordos adjacentes com idênticas condições de apoio ou 60º / 30º para uma situação respectivamente de bordo encastrado versus bordo simplesmente apoiado. Nas figuras seguintes são apresentados exemplos com determinação dos diagramas de reacções ao longo dos bordos, e o respectivo valor de esforço transverso máximo, recorrendo a este método. 41

42 Através deste método simplificado de repartição das cargas pelos apoios, é pois possível determinar as reacções das lajes nas vigas, possibilitando um posterior cálculo da estrutura reticulada tridimensional constituída apenas por pilares e vigas. Nas lajes de pavimento de edifícios correntes, não há normalmente necessidade de recorrer a armaduras de esforço transverso para verificar a segurança a este estado limite último. Os problemas de esforço transverso em lajes surgem por exemplo nos apoios inferiores em lajes verticais de muros de suporte, com vários troços, como é o caso das paredes de contenção em caves enterradas. 42

43 I.2.6 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO: FENDILHAÇÃO E DEFORMAÇÃO Estado Limite de Fendilhação Calculada a armadura para garantir a verificação da segurança aos estados limites últimos, o REBAP permite a verificação do estado limite de fendilhação em lajes, de uma forma simplificada, a partir de uma disposição adequada de armaduras. Deste modo, de acordo com o REBAP, e para as solicitações correntes, o cálculo da abertura de fendas é dispensado se o espaçamento das armaduras principais não exceder os seguintes valores: Ambiente Aço A235 Aço A400 Aço A500 Pouco Agressivo cm 20 cm Moderadamente cm 10 cm Agressivo ---- Cálculo de abertura Cálculo de abertura Muito Agressivo de fendas de fendas obrigatório obrigatório Analisando o quadro anterior conclui-se que para o aço A235 não será preciso a verificação deste estado limite, enquanto que as limitações para o espaçamento máximo de armaduras principais se agravam do aço A400 para o A500. No caso de ambientes muito agressivos ( ambientes marítimos, industriais muito poluídos, etc ) o cálculo de abertura de fendas é obrigatório desde que se utilizem os aços A400 ou A500. A justificação para estas situações está no facto da abertura de fendas estar directamente relacionada como se sabe com a corrosão das armaduras. Assim quanto maior for a agressividade do meio ambiente mais acelerado será o processo de corrosão pelo que maiores serão as exigências no controle da fendilhação. Relativamente à influência da classe de resistência do aço, como o processo de corrosão é também mais acelerado quanto maior for a tensão de serviço no aço, também se compreende o agravamento das exigências com o aumento daquela classe. 43

44 Segundo o EC2 A verificação do estado limite de fendilhação numa laje também pode ser feita de uma forma indirecta através da adopção de uma armadura mínima e da imposição de limites ao diâmetro máximo dos varões e ao afastamento máximo entre os mesmos. Por exemplo no caso de lajes de betão armado de Edifícios, solicitadas à flexão sem tracção axial significativa, não são necessárias medidas específicas para controlar a fendilhação quando a espessura total da laje não é superior a 200 mm e se respeitem as indicações do EC2 sobre disposição de armaduras. Para lajes de espessura superior a 0,20m, tendo em atenção a limitação da fendilhação expressa no quadro seguinte: Ambiente Combin. de Betão armado Betão pré-esforç. acções Pouco agressivo Frequente --- 0,2 mm (X0,XC1) Quase Perman. 0,4 mm* --- Mod. agressivo Frequente --- 0,2 mm (XC2,XC3,XC4) Quase Perman. 0,3 mm descompressão Muito agressivo Frequente --- descompressão (XD1,XD2,XS1,XS2,XS3) Quase Perman. 0,3 mm descompressão *- apenas por razões estéticas e não de durabilidade diz-se que a fendilhação está controlada no caso de deformações impostas, se o diâmetro dos varões não for superior ao do quadro seguinte após a respectiva correcção, e, no caso de outras acções, se for respeitado o diâmetro máximo, depois de corrigido, ou, o espaçamento máximo entre varões, indicado também no quadro. Tensão no aço Máximo diâmetro do varão (mm) Máximo espaçamento entre varões (mm) [MPa] w k=0,40 mm w k=0,30 mm w k=0,20 mm w k=0,40 mm w k=0,30 mm w k=0,20 mm

45 A tensão no aço será a tensão na armadura no instante após a fendilhação. Poderá considerar-se f yk no caso de deformações impostas, que é a tensão considerada no cálculo da armadura mínima, embora, caso o diâmetro das armaduras não satisfaça o estabelecido no quadro, deverá adoptar-se o par (σ s,φ) que respeite o controlo indirecto dessa tabela, passando a armadura mínima a ser calculada com esse valor de σ s.no caso de cargas aplicadas poderá estimar-se de forma simplificada a tensão nas armaduras considerando σ s ~ fyd/1,5. O diâmetro máximo dos varões Φ s * deve ser corrigido de acordo com: Flexão - Φ s = Φ s *.( f ct,ef /2,9).k c.h cr /(2.(h-d)) Tracção simples - Φ s = Φ s *.( f ct,ef /2,9). h cr /(8.(h-d)) Com Φ s diâmetro corrigido máximo dos varões Φ s * - diâmetro máximo dos varões obtido no quadro h cr - altura traccionada antes da fendilhação ( =h para tracção simples e h/2 para flexão simples ) k c = 0,4 para flexão simples Por exemplo, para tracção simples considerando betão C30/37 (f ct,ef =2,9 MPa) e d=0,9h obtém-se Φ s = 1,25.Φ s * Para flexão simples considerando betão C30/37 (f ct,ef =2,9 MPa) e d=0,9h obtém-se Φ s = Φ s * Estado Limite de Deformação A necessidade de limitar a deformação nas lajes é importante, não só do ponto de vista da aparência, evitar as tradicionais barrigas na laje, mas também por forma a limitar os danos em elementos não estruturais suportados pelas lajes como: paredes de alvenaria, painéis pré-fabricados, vãos envidraçados, etc. Nas figuras seguintes apresentam-se alguns danos que se podem observar em paredes de alvenaria devidos a deformação excessiva dos pavimentos. 45

46 As lajes, sendo elementos estruturais particularmente esbeltos, são bastante sensíveis à deformação. O REBAP estabelece no seu artº 72 como valor limite de deformação, em lajes correntes de edifícios, uma flecha de 1/400 do vão para combinações frequentes de acções. Quando a laje suportar paredes de alvenaria, esse valor não deve exceder 1,5 cm por forma a evitar a fissuração daquelas. Segundo o EC2 o valor limite de deformação para garantir a aparência e condições de utilização de uma laje, deverá ser de 1/250 do vão para combinações quase permanentes de acções. Admite a execução de uma contra-flecha máxima de 1/250 do vão para compensar parcial ou totalmente as deformações. As flechas susceptíveis de danificar elementos não estruturais ( alvenarias, envidraçados,etc) devem ser limitadas a 1/500 do vão para as flechas que ocorram depois da construção, para combinações quase permanentes de acções. A estimativa das deformações em lajes pode ser realizada, por exemplo, recorrendo ao método dos coeficientes globais que permite avaliar aproximadamente o agravamento da flecha instantânea elástica ao longo do tempo, devido a factores como a retracção e fluência do betão e fendilhação da secção. Este factor andará para as situações correntes entre 3 a 5. Relativamente à flecha instantânea elástica, ela depende sobretudo da chamada esbelteza da laje ( l/h ). 46

47 De facto, analisando a expressão da deformação elástica: a c = k. p. l 4 / EI em que k é uma constante que depende das condições de apoio e modos de flexão da laje que para uma laje de espessura constante h será: a c / l = 12. k. p. (l/h) 3 / E Verfica-se assim que o valor da flecha instantânea elástica varia com o cubo da esbelteza da laje, pelo que será essa a variável principal a ter em conta quando se faz o pré-dimensionamento de uma laje pensando na verificação do estado limite de deformação. Desta forma compreende-se o artº 102 do REBAP que propõe valores de esbelteza máxima para as lajes de modo a garantir a verificação deste estado limite. Neste artigo o REBAP também indica algumas espessuras mínimas para lajes, tendo em conta: - razões construtivas, nomeadamente salvaguardando afastamentos e recobrimentos mínimos de armaduras - garantia da capacidade resistente - deformabilidade - isolamento acústico e que são: - h 5 cm para lajes de terraços não acessíveis - h 7 cm para lajes sujeitas predominantemente a cargas distribuídas - h 10 cm para lajes sujeitas a cargas concentradas - h 12 cm para lajes sujeitas a cargas concentradas importantes - h 15 cm para lajes apoiadas directamente em pilares ( fungiformes ) Estes valores são mesmo os valores mínimos permitidos não permitindo qualquer dispensa do cálculo da deformação ou de qualquer outro estado limite. Para que a verificação do estado limite de deformação possa ser dispensada, uma vez garantida a segurança aos estados limites últimos, a espessura terá de ser superior ao seguinte valor: h li / 30.η li vão equivalente da laje li = α.l ( sendo l o menor dos vãos no caso de lajes armadas em duas direcções ) 47

48 E sendo α, função das condições de apoio e modo de flexão da laje: η por sua vez é um parâmetro cujo valor depende da classe de resistência do aço adoptado, sendo dado por: η Aço 1.4 A A A500 A justificação para estes valores, obrigando uma laje com A500 a uma espessura superior à mesma laje com A400 e esta de espessura superior à laje com A235, tem a ver com a ductilidade do aço ( capacidade de deformação do aço para além da cedência ). 48

49 De facto sendo o A235 mais dúctil que o A400 e este mais dúctil que o A500, uma laje com um aço mais dúctil terá sempre maior capacidade de deformação. No quadro seguinte indicam-se os valores máximos de l/h a que a expressão anterior conduz. Verifica-se para algumas situações mais desfavoráveis que estes valores são excessivos, não garantindo a limitação da deformação a l /400 para as combinações frequentes de acções. Entre esses casos mais desfavoráveis podem considerar-se as situações de grandes sobrecargas ( sob > 5 KN/m2) e existência de bordo livre em lajes armadas em duas direcções. Nestes casos para garantir o valor limite de deformação é recomendável utilizar a expressão: h li / 21.η que é mais conservadora, originando menores valores para a esbelteza máxima. No quadro seguinte indicam-se precisamente os valores máximos das esbeltezas obtidos da expressão do REBAP e da anterior, para o caso mais comum do aço A400. Apresenta-se também o valor da espessura mínima da laje para um vão de 6 m, a que as duas expressões conduzem. 49

50 A necessidade de limitar a deformação em pavimentos de edifícios é particularmente importante no caso de existirem paredes divisórias de alvenaria ou fachadas envidraçadas que possam sofrer danos devidos à deformação excessiva das lajes. Como já anteriormente se referiu, para evitar a fendilhação nestes elementos, a deformação deve ainda ser limitada a um máximo de 1,5 cm. De acordo com o REBAP esta condição é garantida de uma forma indirecta, através da expressão: h (li) 2 / 180.η Também aqui, para as situações mais desfavoráveis anteriormente descritas, a limitação da flecha máxima a 1,5 cm só é garantida de uma forma mais eficaz se utilizarmos a expressão mais conservadora: 50

51 h (li) 2 / 125.η Verifica-se que no caso de lajes suportando paredes de alvenaria a observância conjunta das 2 expressões, é condicionada até um determinado vão pela expressão geral e a partir daí pela expressão anterior. É conveniente uma chamada de atenção para que as condições anteriores não sejam encaradas como regras de pré-dimensionamento, muito embora na prática funcionem normalmente como tal, mas sim como limites de esbelteza a observar para de um modo indirecto limitar o valor das deformações. Será pois, sempre possível, adoptar valores de espessuras inferiores aos indicados, desde que se proceda ao cálculo das deformações a longo prazo. Segundo o EC2 o Estado Limite de Deformação também pode ser verificado limitando a esbelteza da laje (l/h). Assim desde que as lajes de betão armado de Edifícios sejam dimensionadas satisfazendo os limites l/d (vão/altura útil) que se seguem pode admitir-se que a respectiva flecha não irá exceder os limites estabelecidos. l/d k.[11+1,5. fck. ρ 0 /ρ + 3,2. fck. (ρ 0 /ρ -1) 3/2 ], se ρ ρ 0 l/d k.[11+1,5. fck. ρ 0 /(ρ-ρ`) + 1/12. fck. ( ρ`/ρ 0 )], se ρ>ρ 0 em que: k coeficiente que tem em conta o sistema estrutural ρ 0 taxa de armaduras de referência (ρ 0 = fck x 10-3 ) ρ taxa de armaduras de tracção na secção de ½ vão ou no apoio no caso de uma consola ρ` - taxa de armaduras de compressão na secção de ½ vão ou no apoio no caso de uma consola Estas expressões foram obtidas, admitindo que para as acções no estado limite de utilização, a tensão no aço, numa secção fendilhada a ½ vão ou no apoio de uma consola é igual a 310 MPa para A500. No caso de outros aços os valores obtidos devem ser multiplicados por η= 310/σ s ~ 500/fyk. A s,adoptado /A s, nec.à rotura Os valores de k estão dados no quadro seguinte, bem como L/d máximos, que foram calculados para C30/37;A500 e considerando Mqp ~ 50%Msd 51