Cálculo analítico das reações de apoio das lajes maciças de concreto

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1 nais do XVI ncontro de Iniciação ientífica e Pós-Graduação do IT XVI NIT / 010 Instituto Tecnoógico de eronáutica São José dos ampos SP rasi 0 de outubro de 010 ácuo anaítico das reações de apoio das ajes maciças de concreto anio José ranzim Miranda Instituto Tecnoógico de eronáutica Praça Marecha duardo Gomes 50 - Via das cácias - P São José dos ampos SP rasi osista PII-NPq Prof. r. ávio Mendes Neto Instituto Tecnoógico de eronáutica Praça Marecha duardo Gomes 50 - Via das cácias - P São José dos ampos SP rasi esumo. ste artigo mostra o trabaho desenvovido ao ongo de um ano de Iniciação ientífica PII. O probema sob anáise está no conteto da ngenharia ivi mais particuarmente com reação à ngenharia de struturas e consiste no cácuo das reações de apoio das ajes maciças de concreto que é fundamenta para a avaiação dos pavimentos de quaquer edificação. O objetivo do projeto é disponibiizar as equações obtidas para as reações de apoio tanto na forma anaítica quanto na computaciona com um software de fáci utiização por aunos e engenheiros. metodoogia utiizada foi o método das charneiras pásticas simpificado adotado pea (NT 00) aiado ao cácuo geométrico. omo resutado do trabaho chegou-se anaiticamente a todas as reações de apoio previstas para os nove casos da tabea de zern (Mendes 009) equações essas vaidadas a partir da comparação com trabahos simiares e a um software que faz uso dessas equações para obter o vaor numérico das reações de apoio. Paavras chave: eações de apoio ácuo strutura zern Lajes Método das charneiras pásticas. 1. Introdução O projeto consiste em cacuar as reações de apoio das ajes e impantar tais equações numa pataforma de software. Tais cácuos são um requisito constante para aunos de ngenharia ivi e no IT são necessários na discipina de I-9 (oncreto strutura II) do curso de ngenharia ivi-eronáutica. Para fazer tais cácuos utiiza-se o método das charneiras pásticas simpificado (NT 00) o qua define os ânguos que permitem a divisão da área e portanto do carregamento da aje entre as vigas adjacentes. igura 1 iustra o processo. igura 1. epresentação esquemática de uma aje. s quatro arestas da figura ( e os ados paraeos respectivos) representam as vigas que suportam o carregamento apicado na aje. s inhas e por eempo representam inhas divisórias imaginárias criadas a partir dos ânguos de 5º sugeridos peo método das charneiras pásticas simpificado. próima etapa consiste no cácuo das áreas que se formam sobre a aje e a utiização da equação para a reação por unidade de comprimento 1 ( ) dd. (1) quação (1) com uniformemente distribuído ou seja independente das coordenadas espaciais e simpifica-se para

2 nais do XVI NIT IT0 de outubro de 010 Área. () Nas quações (1) e () é reação por unidade de comprimento na viga é comprimento da viga Área é a área da aje cujo carregamento está vincuado à viga em estudo e ρ é o carregamento sobre a Área. Para geometrias tradicionais obter não é um procedimento de difíci eecução. Isso já não é verdade para geometrias mais ousadas. quação () é a equação-mestra deste trabaho e é ea que indica como proceder para encontrar as reações de apoio. s tabeas de zern foram a base para o cácuo anaítico das reações das ajes nas vigas devido principamente à simpicidade e grande ocorrência dos casos da tabea pois estes abrangem todas as disposições possíveis de ajes cujos ados estejam inteiramente simpesmente apoiados ou engastados. Lados simpesmente apoiados impedem que a aje transade. Os ados engastados aém de não terem transação não têm rotação.. edução das equações quação () será utiizada para o cácuo das reações de apoio para todos os casos da tabea de zern. omo se pode ver da referida equação o termo Área é o que vai demandar maior esforço agébrico tendo em vista que há nove casos de ajes de zern (com quatro vigas cada) sendo que aguns desses casos têm ramificações. seguir será dado um eempo de como proceder para o cácuo das reações de apoio para uma aje específica..1. studo detahado de uma disposição de aje Seja uma aje em que todos os ados estejam simpesmente apoiados conforme a igura 1. sse é o primeiro caso da tabea de zern e por sua simetria representa uma das disposições mais simpes de serem avaiadas. fim de faciitar a resoução do probema as seguintes convenções foram feitas: e os índices e se referem a ados ou vigas paraeos aos originais e. Utiizando reações trigonométricas e geométricas tem-se que X tg5º 1 /. Mas devido à simetria 1 carga sobre a área Área é convencionada como suportada ecusivamente pea viga. omo o carregamento ρ é suposto constante ao ongo de toda a aje então a reação sobre a viga por unidade de comprimento é Área. () dimensão de é [força]/[comprimento] e no SI pode ser representada em N/m. Já em também por esse raciocínio a reação é Área. () Para o ado paraeo a (na igura 1 está representado por ) que é ' por simetria tem-se que. a mesma forma procuradas. para o ado ' que é paraeo ao ado. s quações () e () são as reações de apoio

3 nais do XVI NIT IT0 de outubro de eações de apoio para todos os casos da tabea de zern O procedimento detahado na seção.1 foi reproduzido para os demais oito casos da tabea de zern. Tabea 1 reúne todas as reações anaíticas obtidas para as disposições de aje constantes na tabea de zern. Os casos e 7 apresentam duas subdivisões cada em virtude de mudanças de parâmetros geométricos para as inhas divisórias de carregamento. ssas mudanças dependem somente da razão entre as medidas de dois ados adjacentes da aje. Na couna estrição da Tabea 1 vae embrar que é uma convenção obrigatória para todos os nove casos. Tabea 1. ácuo de todas as reações possíveis para os nove casos da tabea de zern. aso estrição igura G G

4 nais do XVI NIT IT0 de outubro de 010 Tabea 1. ácuo de todas as reações possíveis para os nove casos da tabea de zern (continuação). aso estrição igura G H

5 nais do XVI NIT IT0 de outubro de 010 Tabea 1. ácuo de todas as reações possíveis para os nove casos da tabea de zern (continuação). aso estrição igura G Vaidação das equações deduzidas ntes da impementação das equações das reações anaíticas obtidas em uma pataforma de software é necessário que se faça a vaidação das mesmas. primeira procura naturamente é por trabahos simiares já reaizados a fim de comparar os resutados obtidos. amacho (00) cacua parâmetros chamados sendo ta que a reação por unidade de comprimento sobre a viga é i i i. (5) O índice i que acompanha os termos de reação parâmetro e o ado pode ser substituído por i = e. notação i significa trocar o ado indicado por i. Ou seja trocar por ou vice-versa. Por eempo caso i = i = e caso i = i =. Os parâmetros encontrados por amacho (00) estão presentes na Tabea.

6 nais do XVI NIT IT0 de outubro de 010 Trabahando a Tabea 1 de modo a idar com cácuos arredondados e com os índices definidos na equação (5) chega-se à Tabea. notação usada por amacho (00) contudo para os índices e e para a apóstrofe é diferente da empregada neste trabaho. Sendo assim comparar as Tabeas e requer um certo cuidado quanto às diferenças de notação empregadas. e quaquer forma apesar da diferente quantidade de casos anaisados pois amacho (00) conseguiu agrupar os casos.1 e.1 e e 8 da Tabea 1 é imediato perceber que os resutados dessas duas tabeas conferem perfeitamente. sse é um grande indício de que as equações obtidas na Tabea 1 estão corretas. Tabea. Parâmetros obtidos de amacho (00) para todos os casos da tabea de zern. Outros trabahos foram consutados e menção especia é feita a astro (009). astro auno de engenharia ivi- eronáutica do IT utiizou o software Nastran para o cácuo numérico das reações de apoio num projeto de edifício. Utiizando as geometrias de zern e os vaores de ρ e apresentados em tais projetos foi possíve chegar a vaores semehantes de e que estavam atestados em tais projetos com a devida observância dos arredondamentos e utiizando as equações da Tabea 1. oi utiizada a paniha iterativa de cácuo feita no Microsoft ce a qua será detahada na Seção com as informações da Tabea 1 para reaizar ta comparação. Portanto foram feitas vaidações teóricas e numéricas e ambas atestaram a vaidade das equações obtidas na Tabea 1 que eram o objetivo fundamenta do presente trabaho.

7 nais do XVI NIT IT0 de outubro de 010 Tabea. Parâmetros obtidos a partir das equações deduzidas na Tabea 1. aso estrição 1 9 : Impementação omputaciona O primeiro fator na escoha do software foi a praticidade. eve-se ter em mente que o cácuo das reações de apoio é parte de um projeto mais compeo de engenharia. ém disso como se depreende da Tabea 1 as equações a serem impementadas são eatas e eigem pouco processamento computaciona. Por útimo é comum os engenheiros idarem com massas de dados (às vezes numerosas) em engenharia estrutura no software Microsoft ce que já é de utiização universa. Peos motivos epostos optou-se por utiizar o referido software para impementar as equações anaíticas deduzidas neste trabaho. Opções como programação em e Matab também foram evadas em consideração. oram utiizados conceitos de formatação condiciona e V quando do uso do ce de forma a tornar o visua do software intuitivo e fáci de usar. igura mostra a principa paniha de cácuo do programa ce concebido. asta ao usuário inserir os inputs (dados de entrada) reativos aos comprimentos dos ados ao carregamento e à configuração de zern desejada que a paniha cacua as reações de apoio que são os dados de saída (ou outputs ) para as quatro vigas da aje. aje mostrada no canto direito inferior da igura é uma ferramenta de visuaização que reúne todos os dados de entrada e de saída dando uma boa compreensão do probema como um todo.

8 nais do XVI NIT IT0 de outubro de 010 igura. parência da paniha iterativa concebida para o cácuo numérico das reações de apoio.. oncusões O projeto de Iniciação ientífica PII mostrou as diversas faces que abrange uma pesquisa científica. esde a pesquisa bibiográfica a parte agébrica de comparação de resutados o diáogo com outras equipes de trabaho e com o professor orientador a parte computaciona o cumprimento de prazos estabeecidos a confecção de reatórios e de artigo científico etc. sse conhecimento será de grande vaia para todos os trabahos posteriores que vierem a ser feitos peo auno. O projeto como um todo sofreu aguns atrasos e estes se deram em boa parte devido ao fato de o auno ter trocado o curso de ngenharia ivi-eronáutica peo de ngenharia eroespacia tendo assim que se dedicar a outras tarefas vincuadas a esse novo curso do IT. O conteúdo do projeto tem um viés educaciona para o auno PII e prático para quem for usufruir do trabaho. essa forma o projeto foi feito com o rigor adequado mas sem interferir negativamente no cotidiano das auas e trabahos do IT. spera-se que outros aunos se entusiasmem a dar continuidade a esse projeto trabahando com casos mais gerais de disposição de ajes do que as feitas neste trabaho uma vez que as anotações aqui registradas dão uma boa compreensão dos casos eementares reacionados a reações de apoio em vigas. 5. gradecimentos Iniciamente agradeço a eus peo dom da vida e peas maravihas que e tem operado na minha vida. gradeço também a minha famíia meu grande tesouro. Gostaria de fazer uma menção especia ao meu orientador professor ávio Mendes (IT/II) por ter aceitado ser o meu orientador e ainda sobremodo peas ições e sábios consehos que tem me dado com o rigor e profissionaismo necessários. Não poderia deiar de agradecer ainda ao comitê do programa PII no IT coordenado peo professor Marcos Massi que não tem medido esforços para que os objetivos do NPq junto aos aunos bosistas do PII sejam cumpridos. inamente faço menção ao NPq grande maestro de todo o projeto PII o qua sem dúvida é a empreitada inicia para muitos graduandos que amejam a pesquisa científica. 6. eferências ssociação rasieira de Normas Técnicas (NT). N Projeto e eecução de obras de concreto armado. NT São Pauo 00. amacho Jefferson S. studo das Lajes urso de concreto armado. UNSP Iha Soteira 00. isponíve em em 5 de março de 010. astro odopho O. Projeto fina: difício Gavião (Trabaho de I-9). IT São José dos ampos 009. Mendes ávio. Notas de aua de I-9 (oncreto strutura II). IT São José dos ampos 009.

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