Demonstração na matemática escolar e acadêmica: especificidades e semelhanças

Transcrição

1 Demonstração na matemática escolar e acadêmica: especificidades e semelhanças Introdução Este texto é um recorte de uma pesquisa 1 de mestrado em desenvolvimento, cujo objetivo é identificar de que forma a demonstração vem sendo abordada em livros didáticos dos diferentes níveis de ensino de matemática. Apresentaremos aqui, no presente texto, dois aspectos que compõem as discussões de nossa pesquisa: compreender a forma como a demonstração vem sendo abordada por diferentes autores da Educação Matemática e da matemática acadêmica; e discutir as especificidades da matemática escolar e acadêmica no que diz respeito à demonstração. A demonstração possui um importante papel na matemática acadêmica, e compreendê-la é essencial para decodificar valores que a disciplina matemática conduz, entendermos aspectos do discurso matemático e a forma como são originadas as concepções que permeiam a sala de aula de Matemática, sendo assim considerado um tema importante para a Educação Matemática (GARNICA, 2002). Nesse sentido, acreditamos que um passo para que possamos compreender a demonstração é identificar como as pesquisas sobre o tema vêm a abordando. Além disso, segundo Garnica (2000) em sala de aula de matemática, valores e modos de fazer da prática científica ou acadêmica da matemática, insinuam-se, são reproduzidos, fortalecidos e legalizados (p. 6) na escola, deslizando práticas da matemática acadêmica para a escolar. Segundo Garnica (2000) esse deslizamento nos faz enxergar como natural que a prática de argumentação e validação de um conhecimento matemático na escola seja a demonstração. Assim, se justifica a necessidade de que tragamos para a discussão as especificidades da matemática escolar e acadêmica a fim de compreender e identificar o papel que a demonstração assume na matemática escolar. A problemática da demonstração vem sendo estudada há algum tempo. Para se obter algumas das pesquisas sobre este tema as palavras-chave não se reduzem à prova e demonstração, mas inclui argumentação, justificação e validação. Sendo que para cada um destes termos os pesquisadores apresentam significados ligeiramente diferentes (NAGAFUCHI, 2009). Frequentemente as discussões giram em torno de diferenciar prova e demonstração, não se obtendo um consenso quando se refere à disciplina escolar matemática. Não há consenso também sobre a forma como deve ser abordado a demonstração nos diferentes níveis do ensino de matemática. Consenso que é importante na matemática escolar e mais ainda na acadêmica. Na Educação Matemática os procedimentos de validação vêm sendo discutidos em seu sentido amplo e não apenas as rigorosas e formalistas, ou seja, não somente a demonstração como forma de validação (PIETROPAOLO, 2005). No que se refere à matemática acadêmica vemos que a demonstração possui o mesmo significado de prova, sendo ambas entendidas como rigorosas. Entretanto, mesmo dentro da matemática 1 A pesquisa é intitulada como O recurso da demonstração em livros didáticos de diferentes níveis do ensino de matemática e é financiada pela Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) orientada pela Profª Drª Denise Silva Vilela, docente do Departamento de Metodologia de Ensino da Universidade Federal de São Carlos DME/UFSCar, denisevilela@ufscar.br.

2 acadêmica há controvérsias acerca do que se aceita por demonstração. Segundo Pietropaolo (2005), há outros aspectos envolvidos no modo como os matemáticos produzem a validação de resultados. Diferentes áreas da matemática pode privilegiar uma forma e não outra, além de que em alguns temas aceitam-se processos de validação diferenciados por meio de demonstrações não-formais, humanamente verificáveis e independentes de peritos que decidam apenas com base na linguagem formal (p. 65). Assim, é importante percorrermos as formas como os pesquisadores vem tratando este tema. Argumentaremos neste artigo que há diferentes formas de se abordar e entender a demonstração tanto na área da matemática acadêmica quanto da Educação Matemática. Assim, esse texto se organiza de forma a trazer as maneiras com que autores vêm entendendo nosso objeto de estudo e posteriormente discutir as especificidades da matemática escolar e acadêmica no que se refere à demonstração. Usos da demonstração: diferentes definições e pontos de vista Vários autores da Educação Matemática e da área da matemática acadêmica abordam a temática demonstração e colocam para ela uma definição. Vamos nessa seção ver o que está sendo caracterizado por demonstração. A demonstração na matemática acadêmica é definida dentro dos moldes da Lógica, como podemos ver em Fossa (2005), Fetissov (1994) e Garbi (2010). Para estes autores não há diferença entre prova e demonstração. A demonstração é a sucessão de inferências lógicas a partir de axiomas ou proposições aceitas a priori, sendo vista como a forma de verificação da verdade, em que só se pode saber da verdade de um teorema e conhecê-lo mediante uma demonstração, sendo a essência verdadeira da matemática. Pelas palavras destes autores vemos o uso de elementos como postulados, conceitos primitivos e definições. Além disso, fica claro a exclusão à elementos concretos e visuais que poderiam acarretar na aceitação de um teorema. As suas definições seguem uma linha bem definida e que converge em teoria para um significado único. Entretanto, sobre isso Bicudo (2002) nos diz que, a demonstração, como definida nos textos de Lógica Matemática, deveria modelar as demonstrações matemáticas. Não é, no entanto, o que se vê nos livros e nos jornais matemáticos. A demonstração matemática é a que satisfaz a comunidade dos especialistas, não interessando o quão distante possa estar do ideal lógico (BICUDO, 2002, p. 65). Bicudo (2002) traz em seu texto a forma como a lógica define a demonstração e tem como objetivo, ao escrever essa definição, mostrar que a demonstração matemática não é desenvolvida por matemáticos do modo descrito pela lógica. Passos são omitidos, há a introdução de hipóteses, e produção de novas definições. Bicudo (2002) argumenta que a demonstração na prática é bem diferente da teoria. Pietropaolo (2005), nesse sentido, argumenta que a demonstração muitas vezes não leva em conta somente essa perspectiva da lógica matemática, mas a aceitação ou não da validade de uma afirmativa passa por uma comunidade de matemáticos. A confiabilidade matemática está condicionada ao acordo estabelecido entre os matemáticos, e não propriamente à linguagem utilizada. Logo, o processo de validação de uma afirmativa é social, ou seja, não é o formalismo que necessariamente vai referendá-la, mas sim, o

3 convencimento de um grupo de especialistas qualificados no assunto e de reconhecida notoriedade na comunidade dos matemáticos (PIETROPAOLO, 2005, p.68). Assim como Bicudo (2002), Pietropaolo (2005) argumenta quanto ao papel que a comunidade de matemáticos assume em uma demonstração matemática. Ampliando assim, o entendimento do que se aceita por demonstração, ou seja, alargando o significado atribuído pela lógica. Dessa forma, temos que a demonstração matemática na perspectiva desses pesquisadores, apesar de possuir uma definição bem delimitada pela lógica, na prática o que se vê são aspectos externos entrando em ação. Além de diferentes comunidades dentro da própria matemática acadêmica divergindo quanto aos aspectos que devem estar envolvidos na demonstração, e esta variando de acordo com a comunidade a quem ela se dedica. Podemos observar que há, portanto, diferentes formas de abordar os procedimentos de validação, e consequentemente a demonstração. Vemos ainda que dependendo da direção em que olhamos as pesquisas, as bibliografias, temos a sensação de unicidade e convergência do conceito e uso de demonstração. Observamos que nas pesquisas da Educação Matemática, no que se refere aos processos de validação, diferentes expressões tem sido usadas, tais como, demonstrações rigorosas, provas rigorosas, provas formais, ou simplesmente provas, dentre outras. Muitas vezes os pesquisadores se preocupam em diferenciar os termos provas de demonstrações, e outras os tratam como sinônimos. Assim, é comum os termos prova e demonstração, aparecerem adjetivados. Isso indica uma necessidade, por parte dos pesquisadores, de definirem melhor esses termos. Dessa forma, é importante entendermos porque são tratados ora como sinônimos ora com somente algumas similaridades. Segundo Garnica (1995), enquanto que na literatura da Matemática ou da Lógica, prova, demonstração, prova rigorosa, dentre outros termos, são tratadas como sinônimos, que significam convencer, validar, verificar, ou seja, são usados para legitimar um resultado, na literatura da Educação Matemática, prova ou demonstração vêm sempre adjetivadas (GARNICA, 1995, p. 12). Para Garnica (1995), a necessidade de tal adjetivação depende do que está em foco. Por exemplo, para matemáticos puros não faz sentido falar em prova rigorosa, uma vez que ela já é em si rigorosa; para outros, o rigor se estabelece, entre as várias provas matemáticas possíveis, aquelas herdeiras diretas do programa estabelecido por Euclides, n Os Elementos (GARNICA, 1995, p. 12). No entanto, há autores que, segundo Garnica (1995), corroborando com Balacheff, fazem uma explicitação dos termos para distinguir prova e demonstração: uma prova é uma explicação aceita por uma dada comunidade num dado momento, podendo ser debatida, refutada ou aceita. No interior da comunidade Matemática, porém, só são aceitas como provas as explicações que adotam uma forma particular, um conjunto de enunciados válidos organizados segundo certas regras, sendo que um enunciado ou é reconhecido como verdadeiro ou é deduzido a partir do precedente por regras de dedução válidas e pré-fixadas, do domínio da Lógica. A esse tipo particular de prova BALACHEFF chama demonstração (p. 13). Para prosseguirmos nesta discussão é interessante analisarmos as definições de prova e demonstração constantes em dicionários de língua de portuguesa e de filosofia. Nas definições constantes nos dicionários Aurélio e Michaelis, observamos que a demonstração se constitui em um raciocínio que permite a verificação da validade de uma proposição, mas que também é uma prova. Já a prova seria uma forma de estabelecer a veracidade de uma

4 proposição e essa forma se daria por verificação ou demonstração. Assim, vemos que pelos dicionários a demonstração seria um caso particular de prova o que mostra o caráter hierárquico da demonstração em relação à prova - não se excetuando possibilidades de que ambos sejam vistos como sinônimos. No dicionário de filosofia Nicola Abbagnano, temos as definições: Demonstração O termo D 2. e seu conceito (...)foram introduzidos na Lógica por Aristóteles (...) como silogismo que deduz uma conclusão de princípios primeiros e verdadeiros ou de outras proposições deduzidas silogisticamente de princípios primeiros e evidentes. Sua estrutura formal é a do silogismo (ABBAGNANO, 1998, p. 248). Prova Procedimento apto a estabelecer um saber, isto é, um conhecimento válido. Constitui P 3. todo procedimento desse gênero, qualquer que seja sua natureza: mostrar uma coisa ou um fato, exibir um documento, dar testemunho, efetuar uma indução são P. tanto quanto as demonstrações da matemática e da lógica. Portanto, esse termo é mais extenso que demonstração (v.): as demonstrações são P., mas nem todas as P. são demonstrações (ABBAGNANO, 1998, p. 819). A demonstração é definida a partir da lógica aristotélica, consistindo sua estrutura em silogismo, logo, a prova aborda segundo o dicionário, além da demonstração outras formas de validação. Assim, nesse sentido não se tem a prova como sinônimo de demonstração, mas sim demonstração como subproduto da prova. Podemos também, a partir da leitura de pesquisas, compreender as formas como esses termos são empregados no âmbito da Educação Matemática. Nesse contexto, podemos citar os trabalhos de Nicholas Balacheff. A teoria desenvolvida por este pesquisador é muito utilizada por pesquisadores que atuam principalmente no tema "Argumentação e prova e também demonstração. Além disso, ele traz contribuições para identificarmos a forma que os pesquisadores vêm fazendo uso da demonstração. Para este texto são interessantes as definições e diferenciações que Balacheff (2000) traz sobre prova e demonstração, conforme explicitamos anteriormente pelas palavras de Garnica. Geralmente estes termos são tidos como sinônimos na prática científica de matemática, no entanto, tratá-los dessa forma, segundo Balacheff (2000) pode oferecer obstáculos para investigação do tema demonstração. Por isso ele as distingue. As provas e demonstração são vistos como produtos do processo de validação. Assim, o nível de validação deverá depender do contexto em que o estudante se insere, e pelos conhecimentos que possui. Dessa forma, Balacheff (2000) classifica dois tipos de provas que dependem do tipo de ação do estudante: as pragmáticas e as intelectuais. As provas pragmáticas são as que recorrem a ação e a exibição, ou seja, são as validações que são apoiadas em conhecimentos práticos, em experimentações e figuras, isto é, utiliza-se os recursos da ação. As provas intelectuais são as provas que não envolvem a ação, se apoiando em formulações e relações entre propriedades, e não em casos particulares, possuindo como objetivo a generalização. Balacheff (2000) defende que para que os estudantes compreendam o significado e sejam capazes de elaborar uma demonstração, é necessário que eles passem por estes dois níveis. 2 Demonstração 3 Prova

5 Balacheff busca delimitar bem o que se trata de demonstração e o que se trata de prova. Sendo essa última, subdividida em diferentes níveis de rigor e generalidade. O autor enfatiza que na área da matemática ou de qualquer outro ramo de conhecimento, é preciso ter em mente que a demonstração não pode ser ensinada do mesmo modo em sala de aula e em um ambiente científico. Para ser convertida em objeto de ensino, a demonstração deve sofrer uma transformação adaptativa, uma transposição didática, sob um conjunto de limites específicos do sistema de formação. Para ele as provas devem ter seu lugar nas práticas escolares desde as primeiras séries, podendo ser aceito como prova outros argumentos que não somente a demonstração em seu sentido estrito. No entanto, os critérios do que se aceita por prova devem evoluir no decorrer da escolaridade. Observa-se que Balacheff busca apresentar a prova como alternativa para que seja possível abordar, mesmo que após um longo processo, a demonstração. Esta é vista como um procedimento rigoroso e formal, e como um objetivo a ser atingido no ensino e aprendizagem da matemática. Podemos ainda citar algumas pesquisas da área da Educação Matemática de forma a compreender o uso que vem sendo feito da demonstração. Para Rama (2005), uma demonstração matemática pode ser apresentada de diferentes formas, sendo que o julgamento sobre a validação do resultado obtido, em função da forma escolhida, não pode desconsiderar a maturidade do público que se espera convencer (p. 98). Na perspectiva de Rama (2005), as provas apresentadas na Educação Básica não carecem do rigor formal que caracteriza a matemática acadêmica, podendo ser compensado com a utilização de argumentos adequados sobre casos particulares, de desenhos, da observação de regularidades, dentre outros, recorrendo quando necessário a mais de uma dessas estratégias. Na mesma direção que Rama (2005), encontra-se a pesquisa de Carvalho (2007), que diferencia prova de demonstração da forma como Balacheff o faz. Percebe-se que o intuito da autora não é propor diminuir o rigor de uma demonstração na escola, mas mostrar que esta atividade tão importante pode ser ensinada de forma gradativa e significativa no processo de ensino da matemática escolar. Assim, diferenciar prova e demonstração possibilita que explicações mais simples, porém coerentes oferecidas pelos estudantes sejam valorizadas e caracterizadas como prova. Ainda segundo essa autora, com um trabalho adequado, as explicações simples podem evoluir, aumentando o rigor até que seja possível o uso das demonstrações. A pesquisa de Ordem (2010) busca compreender a abordagem da prova e da demonstração em livros didáticos de 6ª à 8ª série de Moçambique. Para fazer essa análise, também é utilizada a teoria de Balacheff e sua tipologia de provas. O autor é da opinião de que simplesmente apresentar as demonstrações em livros didáticos, sem que se leve os estudantes a refletirem sobre o complexo processo de constituição de uma demonstração, provavelmente oferecerá pouco sucesso no desenvolvimento de competências dos estudantes (ORDEM, 2010, p. 37): "é preciso destacar que a denominada demonstração final de um teorema é o culminar de um processo, a apresentação limpa e ordenada de uma larga investigação nunca isenta de intuição, provas, argumentos, justificações, erros,

6 refinamentos, etc. Assim, sua posição é de que os livros didáticos deviam levar em consideração atividades de cunho exploratório, que permitam por meio de exploração de propriedades à formulação de conjecturas seguidas de suas validações por meio da demonstração. Como conclusão o autor destaca que os autores dos cinco livros analisados validam as propriedades dos triângulos por meio de provas pragmáticas, além de constatar a ausência de atividades de natureza investigativa, que a seu ver possibilitariam um melhor trabalho com as demonstrações em sala de aula. Podemos constatar então, que enquanto na matemática acadêmica vemos significado único e bem delimitado para a demonstração, mesmo que na prática outros elementos entrem em ação, na Educação Matemática vemos os autores buscando alternativas para abordá-la em sala de aula, desenvolvendo aos poucos capacidades que permitam isso. Não é questionado as especificidades e semelhanças desse procedimento de validação que é objeto da matemática acadêmica também na matemática escolar, nem explicitado qual a finalidade e papel que este procedimento desempenha nesse ambiente, mas procura-se alternativas para que isso possa ser feito. Nesse sentido, é importante discutirmos sobre as especificidades da matemática acadêmica e escolar de forma a refletirmos sobre esse deslizamento de elementos de um contexto para outro. Especificidades da matemática escolar e acadêmica no que diz respeito à demonstração A demonstração é um elemento importante para a matemática acadêmica e para a matemática escolar uma vez que este procedimento é entendido como inerente à matemática. No entanto a matemática escolar e a acadêmica possuem características diferentes, e se desenvolvem em ambientes distintos, com objetivos específicos. Mesmo com as diferenças das práticas científica e a escolar da matemática, há a transferência das características do ambiente do primeiro com relação ao segundo. Moreira (2004), em sua tese de doutorado, trás contribuições para que possamos identificar as diferenças entre estes dois contextos, e entender a matemática escolar não como a matemática científica didatizada, nem como uma construção autônoma da escola (MOREIRA, 2004, p. 15). A matemática escolar e a acadêmica são utilizadas neste trabalho com base na definição exposta em Moreira (2004, p. 18). Assim, a matemática acadêmica se refere à um corpo científico de conhecimentos, segundo a produzem e a percebem os matemáticos profissionais, já a matemática escolar é entendida como o conjunto dos saberes validados, associados especificamente ao desenvolvimento do processo de educação escolar básica em matemática, logo, a escolar assumirá os saberes produzidos e mobilizados pelos professores, assim como as pesquisas que se referem ao ensino e aprendizagem da disciplina. Segundo Moreira (2004), a matemática escolar e a acadêmica são referenciadas, em última instância, nas condições em que se realizam as práticas respectivas do matemático e do professor de matemática da escola (p. 20). Assim, enquanto a prática do matemático da academia tem por algumas características produzir resultados originais, buscar pela máxima generalidade possível, por meio de processo rigorosamente lógico-

7 dedutivo, e utilizar linguagem precisa, a prática do professor de matemática ocorre num ambiente educativo (o que já indica a necessidade de uma visão diferente), e a natureza dos objetos matemáticos estudados está profundamente associada - e, muitas vezes, é o que dá sentido - aos princípios, às definições, às justificativas e argumentações, aos métodos e aos resultados da matemática escolar (MOREIRA, 2004, p. 20). Vejamos um exemplo dessas diferenças: Tomemos, para concretizar as idéias, o exemplo dos números reais. São cortes de Dedekind? São classes de equivalência de seqüências de Cauchy? São seqüências de intervalos encaixantes? Para o matemático profissional, a distinção entre essas formas de conceber o número real não é relevante. O mesmo objeto matemático número real pode ser pelo menos três coisas completamente diferentes e não há o menor problema. (...) Esta é a forma matematicamente científica de conhecer os reais (...) Agora pensemos na forma como o professor do ensino básico precisa conhecer esse mesmo objeto. Em primeiro lugar é fundamental concebê-lo como número, o que faz toda a diferença, porque números são coisas que já estão concebidas como tal: 1, 2, 3, 2/5, etc., são números (...) Em segundo lugar são números que estendem os já conhecidos racionais, isto é, são números tais que os racionais são uma parte deles. E, finalmente, são objetos criados com alguma finalidade, ou seja, devem responder, de certa forma, a alguma necessidade humana. A estrutura de corpo ordenado completo é reconhecida a posteriori (MOREIRA; DAVID, 2003, p. 65). Dessa forma, entendemos que a matemática escolar e acadêmica possuem características específicas, que são moldadas dentro do ambiente onde se executa as práticas dos profissionais responsáveis por elas. Garnica (2001) também trás contribuições para que pensemos de que forma se dá a manifestação da matemática científica e a pedagógica. Segundo ele, é esta manifestação que nos permite falar em prática científica matemática e educação matemática como formas distintas para se compreender o mundo, o que não significa que elas estão desconectadas. Além de explicitar as divergências o autor ainda apresenta algumas similaridades. No quadro abaixo estão organizadas as características: Duas formas de manifestações discursivas da Matemática Científica Pedagógica Ambos os discursos estão pautados na construção do conhecimento matemático plasmada na comunicação, na negociação oral de significados na mediação desempenhada pelo texto escrito (GARNICA, 2001, p. 5) A comunicação entre os matemáticos profissionais é restrita a um grupo, e fundamenta-se no domínio da linguagem desse grupo. A comunicação na prática em sala de aula é rica de pluralidades. Há diferentes contextos educativos, com pessoas distintas quer seja em relação aos conteúdos, quer seja quanto ao domínio lingüístico natural ou formal envolvido (GARNICA, 2001, p. 5). A matemática é pronta, solidificada e A matemática se encontra em estado nascente. intensivamente reproduzida. O texto tem a função de divulgação da produção, e é extremamente formalizado. Em ambos são obscuras as formas de obter os resultados matemáticos O texto tem o papel da interiorização, e estes são quase-formais. Os elementos apresentados por Garnica (2001) se concentram nas formas discursivas. Embora ambos possuam como foco a construção do conhecimento matemático, estes possuem pontos de partida diferentes, onde um visa construir novos conhecimentos a partir do que já tem, ou reelabora-los, o outro visa à construção via interiorização de algo que já está pronto. Além disso, a forma de comunicação e de escrita em ambos são

8 diferentes, pois em um ambiente há uma linguagem comum, formalizada, no outro há diferentes sujeitos envolvidos, ou seja, a comunicação é rica em pluralidades. Moreira (2004), em sua dissertação de mestrado, nos apresenta alguns elementos pelos quais também é possível ver a distinção entre a matemática escolar e a matemática acadêmica. Apresentaremos considerações sobre as demonstrações. Tanto na matemática escolar quanto na acadêmica é necessário validar afirmações e explicar razões porque alguns fatos são aceitos como verdade e outros não. No entanto, o autor esclarece que o papel das demonstrações para ambos é distinto. Segundo Moreira (2004), temos que na matemática acadêmica devido à sua estruturação axiomática, todas as provas se desenvolvem apoiadas nas definições e nos teoremas anteriormente estabelecidos (p. 23). Assim, as definições devem ser precisas, a fim de que se evitem ambiguidades de um objeto matemático. As demonstrações juntamente com as definições formais são elementos importantes no momento de avaliação da comunidade de um novo resultado, e é o que permite à incorporação de um novo resultado àqueles já aceitos como válidos. No caso da matemática escolar, há dois aspectos, segundo Moreira (2004) que modifica o papel da prova 4. O primeiro é o fato da validade de um resultado não ser posto em dúvida, pois, já é garantida pela matemática acadêmica. Já o segundo, se refere à aprendizagem, ao desenvolvimento de uma prática pedagógica visando à compreensão do fato, à construção de justificativas que permitam ao aluno utilizá-lo de maneira coerente e conveniente na sua vida escolar e extra-escolar. Há uma diferença significativa entre alinhar argumentos logicamente irrefutáveis que garantam a validade de um resultado a partir de postulados, definições e conceitos primitivos da teoria e, por outro lado, promover entre os alunos da escola o desenvolvimento de uma convicção profunda a respeito da validade deste mesmo resultado (MOREIRA, 2004, p. 24). Dessa forma, o julgamento da validade de um resultado, ou das argumentações passa pela comunidade escolar e pela elaboração de formas de convencimento próprias (MOREIRA, 2004, p. 24). Nesse sentido, Moreira (2004) no diz que: Na matemática escolar, a prova dedutiva rigorosa não é a única forma aceitável de demonstração (p. 27). O que nos traz evidências de que há diferentes usos da demonstração, no que se refere à Educação Básica, o que é um pressuposto de nossa pesquisa. Nesse contexto, Moreira (2004) argumenta que justificativas mais livres, menos formais, podem levar a uma compreensão mais aprofundada da matemática, citando o exemplo das demonstrações feitas a partir de dobraduras de papel. Segundo o autor elas podem contribuir para a verificação de fatos da geometria, podendo ser mais convincentes na escola do que as demonstrações formais. Logo, os conceitos primitivos e os postulados seriam conhecimentos oriundos da experiência dos estudantes, da vida cotidiana. No entanto, essa forma de compreender a demonstração na matemática escolar trás consigo algumas dificuldades, como um possível relaxamento nos raciocínios utilizados, podendo até cair na circularidade lógica, compreensão equivocada e redução da importância da demonstração. Assim, a consideração das dificuldades que podem surgir ao se tratar com formas de demonstração mais flexíveis não sugere, necessariamente, o abandono desse 4 Neste momento prova está sendo usada como sinônimo de demonstração.

9 tipo de postura em relação às argumentações e justificativas, no processo de educação matemática escolar. A sinalização é no sentido de que se desenvolva uma atitude permanentemente crítica, não apenas em relação às demonstrações formais, como também em relação a formas alternativas de argumentação (MOREIRA, 2004, p. 28). As diferenças evidenciadas entre a matemática escolar e acadêmica até o momento se referem à linguagem empregada, à comunicação, ao tipo de texto que fazem uso, às formas de apresentação dos conceitos e definições, ao rigor e ao procedimento de validação empregado. Para justificar o porquê é importante para nós diferenciar a matemática escolar da acadêmica nos apoiaremos nas considerações de Moreira (2004): A distinção é importante porque se a matemática escolar é concebida como mero subconjunto da matemática científica, a tendência é que a primeira seja reduzida à parte elementar da última, podendo se desenvolver uma desqualificação do conhecimento matemático escolar frente ao saber acadêmico. Nesse processo, a matemática escolar acaba se tornando apenas o componente fácil, simples e básico do complexo e sofisticado edifício da matemática científica (MOREIRA, 2004, p. 35). Como um dos objetivos de nossa pesquisa é discutir o papel da demonstração na matemática escolar, com a finalidade de ampliar e discutir o significado deste procedimento no âmbito da Educação Matemática, entendemos que assumir tais diferenciações é um passo para que possamos fazê-lo. Romper com a ideia de que a matemática escolar é uma redução da matemática acadêmica possibilita que possamos compreender e identificar de que forma e qual o papel que a demonstração assume na educação básica, além do de verificação da veracidade de proposições. Considerações finais Este texto foi estruturado no sentido de mostrar que a matemática acadêmica e a escolar possui semelhanças, particularidades, especificidades, objetivos específicos e formas de lidar com o conhecimento matemático. Trouxemos pesquisas que indicam que a matemática escolar não é uma redução da matemática acadêmica, onde os objetos desta devem ser transferidos para aquela. E isso se aplica ao procedimento da demonstração. Assim, buscamos identificar de que forma as pesquisas da Educação Matemática e autores que tratam da matemática acadêmica veem a demonstração, e pensam nesse procedimento como conhecimento a ser desenvolvido na escola. Encontramos em literatura da matemática acadêmica, definições do que é demonstração, o que nos leva a crer, em um primeiro momento, na unicidade de seu significado e na forma como esta deve ser realizada e o que se aceita como tal. No entanto, na prática constatam-se elementos externos que entram em ação no momento da demonstração além do papel da comunidade matemática para aceita-la ou não. No que se refere à Educação Matemática pontuamos a teoria de Balacheff, que é autor utilizado por pesquisadores da área, mostrando que assumir a prova de forma diferente da demonstração permite a abordagem dos processos de validação em sala de aula, com o objetivo de fazer com que os estudantes transitem das provas menos rigorosas, para a intelectual, a demonstração. As pesquisas citadas não mencionam e não reconhecem de forma explícita as particularidades do ambiente escolar e acadêmico, e por isso, acreditamos que de uma forma ou outra a demonstração se faz presente como forma de validação a ser desenvolvida

10 em sala de aula, e a única capaz de atingir a verdade, além de ser vista algo inerente à matemática e um objeto importante para ela. Referências Bibliográficas ABBAGNANO, Nicola. Dicionário de Filosofia. Trad. coord. rev. Alfredo Bosi e Maurice Cunio et al. 2ª. ed. São Paulo: Mestre Jou, BALACHEFF, N. Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas. Bogotá: una empresa docente y Universidad de los Andes, BICUDO, Irineu. Demonstração em Matemática. BOLEMA: Boletim de Educação Matemática, Ano 15, nº 18, p Rio Claro: UNESP, CARVALHO, C. C. D de. Uma análise praxeológica das tarefas de prova e demonstração em tópicos de álgebra abordados no primeiro ano do Ensino Médio p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, FETISSOV. A. I. A demonstração em geometria. 1. ed. São Paulo: Atual Editora, p. (Coleção Matemática: Aprendendo e Ensinando). FOSSA, J. A. Introdução ás técnicas de demonstração na Matemática. 2 ed. São Paulo, SP: Livraria da Física, v p. GARBI, G. G. C. Q. D.: Explicações e demonstrações sobre conceitos, teoremas e fórmulas essenciais da geometria. São Paulo: Editora Livraria da Física, GARNICA, A. V. M. Fascínio da técnica, declínio da crítica: um estudo sobre a prova rigorosa na formação do professor de matemática p. Tese (Doutorado em Ensino e Aprendizagem de Matemática e seus Fundamentos Teóricos-Filosóficos) - Instituto de Geociências e ciências exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, GARNICA, A. V. M. É necessário ser preciso? É preciso ser exato? Um estudo sobre argumentação matemática ou Uma investigação sobre a possibilidade de investigação. In: CURY, H. N. (Org.). Formação de professores de matemática: uma visão multifacetada. Porto Alegre: EDIPUCRS, p MOREIRA, P. C. O conhecimento matemático do Professor: formação na Licenciatura e prática docente na escola básica p. Tese (Doutorado em Conhecimento e Inclusão Social) - Faculdade de Educação, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MOREIRA, P. C.; DAVID, M. M. M. S. Matemática escolar, matemática científica, saber docente e formação de professores. Zetetiké, v.11, n.19, pp NAGAFUCHI, T. Um estudo historio-filosófico acerca do papel das demonstrações em cursos de bacharelado em matemática f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática), Universidade Estadual de Londrina, Londrina, ORDEM, J. Prova e demonstração em geometria: uma busca da organização matemática e didática em livros didáticos de 6 a 8 séries de Moçambique. 141 p. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)- Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, PIETROPAOLO, R.C. (Re)significar a demonstração nos currículo da educação básica e da formação de professores de matemática f. Tese (Doutorado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, RAMA, A. J. Números inteiros no ensino fundamental e médio p. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.