Detecção de Linhas Redundantes em Problemas de Programação Linear de Grande Porte

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1 Detecção de Linhas Redundantes em Problemas de Programação Linear de Grande Porte Aurelio R. L. de Oliveira, Daniele Costa Silva, Depto de Matemática Aplicada, IMECC, UNICAMP, , Campinas, SP Resumo: A presença de linhas redundantes na matriz de restrições não é incomum em problemas reais de grande porte. A existência de tais linhas deve ser levada em consideração na solução destes problemas. Se o método de solução adotado for o simplex, existem procedimentos de fácil implementação que contornam este problema. O mesmo se aplica quando métodos de pontos interiores são adotados e os sistemas lineares resultantes são resolvidos por métodos diretos. No entanto, existem problemas de grande porte cuja única forma possível de solução é resolver os sistemas lineares por métodos iterativos. Nesta situação as linhas redundantes geram uma matriz singular e os métodos iterativos não convergem. A única alternativa viável consiste em detectar tais linhas e eliminá-las antes da aplicação do método. Este trabalho tem como objetivo apresentar um procedimento eficiente de detecção de linhas redundantes. Palavras-chave: Linhas Redundantes, Métodos de Pontos Interiores, Forma Produto. 1 Introdução Desde o surgimento dos métodos de pontos interiores para programação linear, códigos computacionais baseados nessas idéias vêm se apresentando como alternativas eficientes para solução de problemas de grande porte [1, 4, 7, 9, 10, 12]. Cada iteração de um método de pontos interiores envolve a solução de um ou mais sistemas lineares [9, 10, 11]. Usualmente métodos diretos são utilizados para resolver estes sistemas. No entanto, por limitações de tempo e memória seu uso torna-se proibitivo em muitos problemas de grande porte, fazendo com que abordagens iterativas sejam mais adequadas. Para que a opção por métodos iterativos seja bem sucedida é necessário detectar e eliminar todas as linhas redundantes da matriz de restrições, pois de outra forma é obtido um sistema linear singular e os métodos iterativos não convergem. Em [2] é proposta uma técnica sofisticada baseada na decomposição LU de uma base e sua atualização para encontrar todas as linhas redundantes de uma matriz de restrições. Este é o ponto de partida do presente trabalho. A organização deste artigo é a que vem a seguir. Na seção 2 apresentamos um algoritmo para detecção de linhas redundantes. Na seção 3 propomos uma implementação eficiente deste algoritmo. Na seção 4 apresentamos os resultados computacionais. E, finalmente, na seção 5, nossas conclusões e propostas de trabalhos futuros. 2 O algoritmo Considere sem perda de generalidade o seguinte problema de programação linear: Minimizar c j x j 325

2 sujeito a a ij x j = b i (i = 1, 2,..., m) l j x j u j (j = 1, 2,..., n). (1) Onde A = [a ij ] R mxn ; x, l, u R n e b R m. Para detectarmos as linhas redundantes da matriz de restrições (A) do problema acima (1) utilizaremos uma matriz base (B), a qual é gerada a partir de colunas da matriz de restrições. Para isso, adicionamos variáveis artificiais fixas em zero (x n+1, x n+2,.., x n+m ) ao problema (1) obtendo o problema equivalente: sujeito a Minimizar c j x j a ij x j + x n+i = b i (i = 1, 2,..., m) l j x j u j (j = 1, 2,..., n) 0 x n+i 0 (i = 1, 2,..., m). (2) Seja S o conjunto de índices i, tais que x n+i é uma variável básica; (inicialmente todas as variáveis artificiais são básicas, logo a matriz base inicial é a matriz identidade de ordem m). Apresentamos então, o algoritmo para detecção de linhas redundantes. Passo 1: Se S é vazio, pare. Caso contrário escolha k S. Passo 2: Resolva o sistema B t r = e k, onde B é a matriz base e e k representa o vetor canônico na posição k. Se r t A = 0, podemos afirmar que a k-ésima linha de A é redundante. Caso contrário, há uma variável não básica x j : r t c 0 para a coluna correspondente c de A. Substitua a k-ésima coluna de B por c e substitua x n+k por x j na base e retorne para 1. Note que o algoritmo deve ser aplicado para todo k S. 3 A proposta de implementação O algoritmo apresentado na seção anterior é bastante conhecido [6]. Porém sua implementação direta pode ter um custo computacional muito elevado. Visando a redução deste custo computacional e a eficácia do algoritmo propomos uma implementação eficiente para este, tomando como base as idéias expostas em [2], a quais serão discutidas a seguir. Um dos fatores que interferem no custo computacional do algoritmo para detecção de linhas redundantes é a dimensão da base inicial e o número de elementos não nulos contidos nesta. Podemos reduzir estes fatores através de algumas observações. Primeiramente, observando se há alguma linha nula (linha na qual todos elementos são iguais a zero) na matriz de restrições. Se sim, estas devem ser declaradas redundantes e retiradas do problema. Posteriormente, verificar se há alguma coluna única (coluna que contém apenas um elemento não nulo) na matriz de restrições. Claramente, a linha na qual esta coluna ocorre é linearmente independente das demais e pode ser retirada temporariamente do problema e não participar do procedimento de verificação de linhas redundantes. Observe que, quando uma linha é removida, novas colunas únicas podem ser geradas e mais linhas podem ser removidas, o que reduz a dimensão da base inicial. 326

3 Outro fator determinante no custo computacional do algoritmo é o número de variáveis artificiais na base inicial, uma vez que, o número de iterações depende desta quantidade. Em [2] é proposta uma heurística cujo objetivo é construir uma base inicial com o maior número de colunas estruturais possível. A seguir, apresentaremos tal heurística. Note que a heurística deve ser aplicada somente após realizados os procedimentos descritos acima. 3.1 A Heurística Inicialmente, o número de elementos não nulos em cada linha e coluna da matriz de restrições é calculado. Associe uma variável artificial à linha mais densa. Remova temporariamente esta linha do problema e atualize a contagem de elementos não nulos em cada coluna. Caso ocorra alguma coluna única, atribua a linha na qual ela ocorre à variável básica estrutural correspondente. Repita este procedimento até que cada linha esteja associada a uma variável (artificial ou estrutural). Através desta construção obtemos uma base inicial triangular superior e não singular. 3.2 Forma Produto Em todo o algoritmo de detecção de linhas redundantes, a principal operação de cada iteração consiste na resolução de um sistema linear do tipo B t r = e k. Portanto, é imprescindível manter uma representação da base (B), capaz de contribuir com a eficiência do algoritmo. Optamos por uma representação inspirada na forma produto da inversa [8]. A forma produto da inversa, foi proposta por Dantzig e Orchard-Hays ao observarem que, em uma troca de base, a inversa da nova base pode ser obtida a partir da inversa da base atual por uma matriz de transformação elementar. Desta forma, considere E uma matriz de transformação elementar de ordem m, com uma coluna não trivial η na posição k e B = [b 1,..., b m ] a matriz base de uma dada iteração. Suponha que a j-ésima variável não básica x j tenha sido selecionada para substituir a k-ésima variável básica. Denotando B como a nova base, tem-se: B = [b 1,.., b k 1, a.j, b k+1,...b m ]. Onde a.j é a coluna da matriz de restrições relacionada a variável x j. Sendo a.j um vetor m-dimensional, é possível escrevê-lo como a combinação linear das colunas de B: a.j = m v i b i = Bv. (3) Se 0 então b k pode ser expresso de acordo com a equação (3): Definindo o vetor i=1 b k = 1 a.j i k η = [ v 1,..., 1 v i b i., 1, +1,..., v m ] t (4) tem-se que b k = Bη. Sendo E uma matriz de transformação elementar cuja coluna não trivial é dada por η (4), temos: B = BE. (5) Da equação (5) temos que: 327

4 Sendo assim, após p atualizações da matriz base temos: B = BE 1. (6) B = B 0 E1 1 E E 1 p onde: B 0, é a base inicial; E i = [e 1,..., e k 1, η k, e k+1,..., e m ] t ; η k = [ v 1,..., 1, 1, +1,..., vm ] t. Portanto, o sistema B t r = e k pode ser resolvido em duas etapas: Onde (7) pode ser expresso como y t = e k (E p...e 2 E 1 ). (E 1 1 E E 1 p ) t y = e k (7) B t 0r = y (8) Acreditamos que esta abordagem é mais vantajosa em relação a apresentada em [2]. Visto que a base é atualizada poucas vezes, em no máximo o número de variáveis artificiais presentes na base inicial. A utilização de uma técnica de implementação relativamente simples, como a proposta no presente trabalho, torna o algoritmo mais eficiente pois o esforço e o tempo computacional serão menores. Outro ponto favorável é a utilização da estrutura triangular da base inicial. Através de algumas modificações propostas em [2], as quais visam a melhora do procedimento de decomposição e atualização LU, a base inicial pode perder sua forma triangular sendo necessária uma nova decomposição LU. Em nossa proposta, a forma triangular da base inicial é preservada e com isto temos B = LU = IU, onde I é a matriz identidade e U uma matriz triangular superior conhecida. Assim, resolvemos o sistema B t r = e k por meio da resolução de um sistema triangular superior e produto de matrizes elementares por vetores. 4 Resultados Computacionais Nesta seção apresentaremos os experimentos numéricos realizados e seus respectivos resultados. Integramos o algoritmo de detecção de linhas redundantes, proposto neste trabalho, as rotinas de preprocessamento do código PCx modificado [4, 7, 12]. E com a finalidade de avaliar o desempenho de nossa proposta, também foi integrado a este código, o procedimento descrito em [4, 12], o qual detecta as linhas redundantes através da decomposição LU retangular da matriz de restrições. As implementações foram feitas em linguagem C e testadas em uma plataforma Intel(R) Pentium(R) 4, 3.40GHz e com 2Gb de memória RAM, em Linux, utilizando compiladores gcc e gfortran. Como problemas testes nós utilizados alguns dos problemas de maior porte das seguintes coleções, NETLIB 1, MISC 2 e QAP [5]. Tais problemas são apresentados na Tabela 1. Nesta tabela, as colunas LINS e COLS mostram respectivamente o número de linhas e colunas dos problemas antes do preprocessamento. RLINS e RCOLS mostram os correspondentes números após a aplicação das rotinas de preprocessamento do PCx. E por fim, LLINS e LCOLS representam os respectivos números após o procedimento de detecção de linhas redundantes (LR). Podemos perceber que após a aplicação das rotinas de preprocessamento houve uma diminuição na dimensão da maioria dos problemas, principalmente nos problemas de maior porte testados. O que mostra a importância do preprocessamento neste tipo de problemas. No entanto, 1 Netlib collection LP test sets, Netlib lp repository, Online at 2 Miscellaneous LP models, Hungarian Academy of Sciences OR Lab, Online at 328

5 também podemos verificar que estas não são suficientes para detectar linhas redundantes. Em alguns casos (NUG06-3rd, NUG15, NUG12, NUG07-3rd, NUG08-3rd) em que nenhum tipo de redundância foi detectado por estas rotinas, foi identificado um número elevado de linhas redundantes, as quais geram uma série de complicações no processo de solução. O que dá ênfase a importância de detectar e remover este tipo de redundância. Problemas Coleção LINS COLS RLINS RCOLS LLINS LCOLS LR NUG06-3rd QAP NUG15 QAP PDS-20 NETLIB KRA30A QAP PDS-30 MISC PDS-40 MISC PDS-50 MISC PDS-60 MISC PDS-70 MISC PDS-80 MISC PDS-90 MISC NUG12 QAP NUG07-3rd QAP NUG08-3rd QAP NUG30 QAP STE36A QAP DFL001 NETLIB Tabela 1: Dados dos problemas testes Na Tabela 2 é apresentada uma comparação entre as dimensões da matriz base (B) e o número de iterações se aplicássemos diretamente o algoritmo apresentado na seção 3 e quando a heurística também descrita nesta seção é aplicada. Nesta tabela, a coluna B1 indica a dimensão da base e o número de iterações do algoritmo apresentada na seção 3 caso este fosse implementado diretamente. E as colunas B2 e VA, mostram respectivamente, a dimensão da base e número de colunas artificiais presentes nesta (quantidade que também representa o número de iterações do algoritmo) quando a heurística é utilizada. Podemos perceber que houve uma redução significativa no número de iterações o que comprova que a heurística proposta em [2] de fato contribui para a redução do custo computacional do algoritmo. E, por fim, a Tabela 3 apresenta os resultados relevantes de tempo. Para cada problema teste, foram realizados dez experimentos numéricos e em cada um destes foi medido o tempo de processamento em segundos para cada procedimento (procedimento proposto neste trabalho e procedimento descrito em [4, 12]). Nesta tabela, as colunas TM1, PT1 e MT1 representam respectivamente, o tempo médio de processamento, pior tempo de processamento e melhor tempo de processamento obtido pelo procedimento descrito em [4, 12]. TM2, PT2 e MT2 mostram o correspondente quando aplicado o procedimento proposto neste trabalho. E por fim, a coluna DTM apresenta a diferença entre os tempos médios do procedimento utilizado como parâmetro de comparação e o aqui proposto. Podemos verificar que a rotina que detecta as linhas por meio da decomposição LU retangular mostrou-se pouco eficiente. Apresenta elevados tempos de processamento, os quais somados ao tempo total de solução pode comprometer a eficiência do método de resolução escolhido. Em contrapartida, nossa proposta apresentou um desempenho bastante satisfatório. Em comparação com o outro procedimento, mostrou-se em média cinco vezes mais rápida, chegando a ser cerca de nove vezes mais rápida no caso do problema NUG08-3rd. Entretanto, houve uma pequena queda de desempenho quando o problema não apresenta 329

6 linhas redundantes (KRA30A, NUG30 e STE3EA). Uma perda pequena comparada aos ganhos nos casos em que estas linhas estão presentes, em especial, nos modelos de programação linear de grande porte, foco deste trabalho. Problemas B1 B2 VA NUG06-3rd NUG PDS KRA30A PDS PDS PDS PDS PDS PDS PDS NUG NUG07-3rd NUG08-3rd NUG STE36A DFL Tabela 2: Comparação entre dimensões e número de iterações Problemas TM1 TM2 PT1 PT2 MT1 MT2 DTM NUG06-3rd NUG PDS KRA30A PDS PDS PDS PDS PDS PDS PDS NUG NUG07-3rd NUG08-3rd NUG STE36A DFL Tabela 3: Resultados de tempo para os problemas testes 5 Conclusão A proposta mostrou-se eficiente em termos de tempo computacional, fator de extrema importância quando estamos tratando de preprocessamento em programação linear [3], ao ser 330

7 comparada com um procedimento tradicional de detecção de linhas redundantes. A diferença de desempenho entre ambos os procedimentos aumenta de acordo com a dimensão do problema, enfatizando que o procedimento proposto neste trabalho pode ser uma alternativa eficaz para a resolução do problema em questão. Entretanto, nos falta analisar mais efetivamente como este procedimento interfere no processo de solução dos problemas. Verificar se há interferência nos fatores esparsidade, estabilidade numérica, dimensão, número de iterações do método, tempo total de solução, entre outros. E se sim, como estas intervenções atuam na eficiência do método de solução escolhido. Como trabalho futuro, propomos a integração deste algoritmo em todo o procedimento do código PCx, e não somente as rotinas de preprocessamento, para que seja possível a análise descrita acima. Agradecimentos Ao CNPq e à FAPESP pelo apoio financeiro. Referências [1] I. Adler, Resende, M.G.C., Veiga, G. e Karmakar, N., An implementation of Karmarkars algorithm for linear programming, Mathematical Programming, 44 (1989) [2] E. D. Andersen, Finding all linearly dependent rows in large-scale linear programming, Optimization Methods and Softwares, 6 (1995) [3] E. D. Andersen e K. D. Andersen, Presolving in linear programming, Mathematical Programming, 71 (1995) [4] S. Bocanegra, F. F. Campos e A. R. L. Oliveira, Using a hybrid preconditioner for solving large-scale linear systems arising from interior point methods, Computation Optimization and Applications, 36 (2007) [5] R. S. Burkard, S. Karisch e F. Rendl, Qaplib - a quadratic assignment problem library, European Journal of Operations Research, 55 (1991) [6] V. Chvàtal, Linear Programming, W. H. Freeman and Company, New York, [7] J. Czyzyk, S., Mehrotra, M., Wagner e S. J. Wright, PCx an interior point code for linear programming, Optimization Methods Software, 11-2 (1999) [8] G. B. Dantzig, W. Orchard-Hays, The product form for the inverse in the simplex method, Mathematical Tables and Others Aids to Computation, 8 46 (1954) [9] J. Gondzio, Multiple centrality corrections in a primal-dual methods for linear programming, Computation Optimization and Applications, 6 (1996) [10] I. J. Lustig, R. E., Marsten e D. F. Shanno, On implementing Mehrotras predictor-corrector interior point method for linear programming, SIAM Journal on Optimization, 2 (1992) [11] S. Mehrotra, On implementation of a primal-dual point method, SIAM Journal on Optimization, 2 (1992) [12] A. R. L. Oliveira e D. C. Sorensen, A new class of preconditioners for large-scale systems from interior point methods for linear programming, Linear Algebra Its Applications, 394 (2005)