Cálculo Numérico Lista 01

Transcrição

1 Cálulo Numério List 1 Proessor: Dniel Henrique Silv Ess list brnge erros omputionis, sistems lineres, e zeros e unções, e obre mtéri primeir prov. Instruções geris pr entreg Nem toos os exeríios evem ser entregues. Ess list é ivii em três prtes, exeríios teórios, exeríios e álulos, e exeríios e moelgem. C prte possui lguns exeríios que evem ser entregues, e outros que não evem ser entregues, e oro om o seu oeiiente K. No so e úvis sobre qul é o seu oeiiente K, voê poe onsultr o proessor em qulquer ul, perguntr vi emil nielhs@m.usr.br, ou in onerir no site o urso, o lo o seu RA, n list isponível em mesm instrução vle pr úvis em relção à operção mo, utiliz n list. A t e entreg é i 19/9, t primeir prov. Os exeríios orresponentes pr serem entregues list poem ser entregues pessolmente, n hor prov, ou por emil, pr nielhs@m.usr.br, om o ssunto TRABALHO DE CÁLCULO NUMÉRICO. LISTAS ENTREGUES FORA DO PRAZO NÃO SERÃO ACEITAS!!!! Sobre os exeríios teórios: Sej N T o número o exeríio teório, e sej K su posição n list e presenç. Voê eve resolver os exeríios teórios tis que N T mo 8 = K mo 8. A operção mo é o resto ivisão entre números inteiros. Por exemplo, 29 mo 8 é o resto obtio o iviirmos 29 por 8. No so, 29 iviio por 8 result em 3, eixno resto 5. Se seu K or igul 29, voê everá resolver os exeríios teórios números 5; 13; 21; 29; 37; 45; 53; 61; 69; 77; 85; 93; 11 e 19. Se o seu K or igul 7, 7 mo 8 = 7, e voê eve entregr os exeríios 7; 15; 23; 31; 39; 47; 55; 63; 71; 79; 87; 95; 13 e 111. N impee voê e zer outros exeríios pr estur, ms pens os exeríios inios são pr entreg. Sobre os exeríios e álulos: Sej N C o número o exeríio e álulo, e sej K su posição n list e presenç. Voê eve resolver os exeríios e álulos tis que N C mo 2 = K mo 2. Então, por exemplo, se seu K é 13, então 13 mo 2 = 1. Nesse so, voê eve resolver os exeríios e álulos números 1; 3; 5 e 7. Em outro exemplo, se seu K or igul 18, então 18 mo 2 =, e voê eve resolver os exeríios 2; 4; 6 e 8. Pr os exeríios e álulos, é ltmente reomenável que voê ç os álulos utilizno sotwre omputionl, ou o menos um lulor. Cso voê eseje gnhr veloie pr hor prov, treine utilizno mesm lulor que voê pretene usr n prov. N impee voê e zer os outros exeríios pr estur, ms pens os exeríios inios são pr entreg. Sobre os exeríios e moelgem: Sej N M o número o exeríio e moelgem, e sej K su posição n list e presenç. Voê eve resolver os exeríios e moelgem tis que N M mo 5 = K mo 5. Então, por exemplo, se seu K or igul 33, omo 33 mo 5 = 3, então voê eve resolver os exeríios 3; 8; 13 e 18. Os exeríios e moelgem vism trnsormr problems em sistems e/ou equções. Voê não preis resolver nenhum sistem ou equção ness prte list. Apens moele o problem. N impee voê e zer os outros exeríios pr estur, ms pens os exeríios inios são pr entreg. Atenção om os exeríios que everão ser entregues. Exeríios que não são os evios e oro om o seu K serão esonsieros, e s nots orresponentes iminuís! Bom trblho, e bons estuos!

2 Exeríios teórios 1) Dein erro e moelgem, e ê um exemplo prátio. 2) Dein erro e rreonmento, e ê um exemplo numério. 3) Dein erro e trnsição binári, e ê um exemplo numério que não sej o mesmo o em sl. 4) Bseo em um exemplo numério, explique o porquê e erros e trnsição binári serem inevitáveis em progrmção numéri. 5) Desrev ierenç entre erro bsoluto e erro reltivo, no um exemplo numério. 6) Dein erro e unerlow, no um exemplo numério. 7) Dein erro e overlow, no um exemplo numério. 8) Ao se zer um álulo tentno estimr o número e Euler, um estento progrmor reliz o álulo ( )12, e obtém o resulto 1, obvimente erro. Que tipo e erro oi ometio? 1 9) Em um moso jogo série Finl Fntsy, os pontos e vi e um inimigo são um vlor inteiro, rmzeno utilizno 16 bits, poeno ssumir vlores e té = Nesse jogo, há um inimigo om pontos e vi. Ao se r um poção pr esse inimigo, os pontos e vi ele em pr um vlor próximo e zero, evio um erro omputionl estuo em ul. Que erro é esse? 1) Explique ierenç entre um métoo ireto e um métoo itertivo. 11) Já oi visto em ul que, se x é um vlor exto, proximo por um vlor x, então o erro reltivo ometio é o pel expressão E r = x x x. Ess órmul é viável omputionlmente? Justiique. 12) Se um sistem Ax = b é tl que mtriz A possui mis linhs o que oluns, isso quer izer que o sistem é obrigtorimente impossível? Justiique, ou ê um ontrexemplo. 13) Se um sistem Ax = b é tl que mtriz A possui mis oluns o que linhs, isso quer izer que o sistem é obrigtorimente inetermino? Justiique, ou ê um ontrexemplo. 14) Do um sistem liner Ax = b, ê onições pr que esse sistem tenh solução úni. 15) Um sistem liner poe ter um úni, nenhum, ou ininits soluções. Explique porque nós trblhmos pens om sistems que possuem um úni solução omputionlmente. 16) Esrev um lgoritmo pr resolver um sistem tringulr superior. Não se esqueç e elrr tos s vriáveis utilizs ntes e esrever seu lgoritmo. 17) Esrev um lgoritmo pr resolver um sistem tringulr inerior. Não se esqueç e elrr tos s vriáveis utilizs ntes e esrever seu lgoritmo. 18) Imgine um sistem liner o tipo Ax = b, no qul 11 =. Explique porque não é possível zer eslonmento ness mtriz sem relizr tros e linhs. 19) Porque usmos estrtégi e pivotemento pr resolver um sistem liner pelo métoo e Guss? 2) Esrev um lgoritmo pr o eslonmento e um mtriz utilizno Guss om pivotemento pril. Não se esqueç e elrr s vriáveis ntes e esrever seu lgoritmo. 21) Menione um vntgem e um esvntgem entre o métoo e Guss om pivotemento pril, e o eslonmento ireto. 22) Explique s ierençs e estrtégi e pivotemento pril e pivotemento totl. 23) Menione um vntgem e um esvntgem entre o métoo e Guss om pivotemento pril, e pivotemento totl. 24) Embor o métoo e pivotemento totl exij menos omputionlmente por zer álulos om números menores que o pivotemento totl, ele não é um métoo muito utilizo n práti. Porque? 25) Sej um sistem o tipo Ax = b, one A 2x2 é um mtriz onhei. Clule qunts omprções são neessáris pr eterminr os pivôs (somno tos s iterções) por pivotemento pril, e por pivotemento totl. 26) Explique o prinípio e unionmento o métoo LU pr resolução e sistems lineres, eixno bem lro omo o sistem é resolvio pós eit eomposição LU e um mtriz qur. (Não é neessário explir omo eomposição é eit ness questão) 27) Quis são os ritérios neessários pr que exist eomposição LU e um mtriz A? 28) Quis são os ritérios neessários pr que um sistem liner poss ser resolvio trvés e eomposição LU?

3 29) Um s onições neessáris pr que hj eomposição LU em um mtriz é que seus menores prinipis sejm não-nulos. Dê um exemplo numério one tros e linh poem ontornr isso. 3) Menione um vntgem e um esvntgem o métoo LU em relção o métoo e Guss om pivotemento pril pr resolução e sistems lineres. 31) Esrev s órmuls pr obtenção os elementos s mtrizes L e U n eomposição LU. (Assum que não são neessáris tros e linh). 32) Enunie (ms não emonstre) o teorem eomposição LU. 33) Dê um exemplo, preerenilmente prátio, e one eomposição LU é onveniente. 34) Explique bse e unionmento o métoo e Guss-Jorn pr resolução e sistems. 35) Esrev um lgoritmo pr resolução e sistems lineres trvés o métoo e Guss-Jorn. Não se esqueç e elrr quis são s vriáveis o seu lgoritmo. 36) Menione um vntgem e um esvntgem o métoo e Guss-Jorn em relção o métoo e Guss om pivotemento pril. 37) Explique omo o métoo e Guss-Jorn nos permite lulr mtrizes inverss. 38) Explique porque o métoo e Guss-Jorn nos permite lulr mtrizes inverss. 39) Tnto o métoo e Guss-Jorn qunto o métoo LU nos permitem lulr iversos sistems o mesmo tempo. Menione um vntgem e um esvntgem e um em relção o outro ness situção. 4) Explique ierenç entre métoos iretos e métoos itertivos pr resolução e sistems lineres. 41) Sej x = (x 1 ; x 2 ; x n ) t um vetor. Desrev omo lulr x 1 ; x 2 e x 42) Prove que x 1 x. 43) Dê onições pr um vetor x = (x 1 ; x 2 ; x n ) t pr que x 1 = x 44) Dentre s três orms e se lulr norm e um vetor presents no urso, qul mis viável omputionlmente? Justiique. 45) Se x (n+1) = ( b), e x (n) = ( e), esrev um órmul pr o erro bsoluto n norm 1, em unção os oeiientes ; b; ; ; e e. 46) Se x (n+1) = ( b), e x (n) = ( e), esrev um órmul pr o erro bsoluto n norm 2, em unção os oeiientes ; b; ; ; e e. 47) Se x (n+1) = ( b), e x (n) = ( e), esrev um órmul pr o erro bsoluto n norm ininito (ou, norm o máximo), em unção os oeiientes ; b; ; ; e e. 48) Se x (n+1) = ( b), e x (n) = ( e), esrev um órmul pr o erro reltivo n norm 1, em unção os oeiientes ; b; ; ; e e. 49) Se x (n+1) = ( b), e x (n) = ( e), esrev um órmul pr o erro reltivo n norm 2, em unção os oeiientes ; b; ; ; e e. 5) Se x (n+1) = ( b), e x (n) = ( e), esrev um órmul pr o erro reltivo n norm ininito (ou, norm o máximo), em unção os oeiientes ; b; ; ; e e. 51) Desrev omo é eito o proesso e Guss-Jobi (ou Jboi-Rihrson) pr resolução e sistems lineres. Não se esqueç e inluir o ritério e pr. 52) Desrev omo é eito o proesso e Guss-Seiel pr resolução e sistems lineres. Não se esqueç e inlui o ritério e pr.

4 53) Destque s ierençs entre os métoos e Guss-Jobi e Guss-Seiel. 54) Menione um vntgem e um esvntgem o métoo e Guss-Seiel em relção o métoo e Guss- Jobi. 55) Esrev omo union o proesso e Guss-Jobi mtriilmente. Não se esqueç e estr omo são s mtrizes e iterção. 56) Esrev omo union o proesso e Guss-Jorn mtriilmente. Não se esqueç e estr omo são s mtrizes e iterção, ms não se preoupe em eixr mtrizes inverss inis. 57) N teori e zeros e unções reis, temos omo objetivo eterminr um vlor (ou vários vlores) nos quis um unção (x) se nul. Desrev omo ptr ess teori pr resolver um equção n orm g(x) = h(x). 58) Enunie um problem prátio su áre one teori e zeros e unções poe ser útil. 59) Enunie (ms não emonstre) o teorem o nulmento. 6) Dê um exemplo e um unção : [ 1; 1] R, tl que ( 1) (1) <, ms unção não possui riz rel no intervlo [ 1; 1] 61) Foi visto em ul que se (x) é ontínu em [; b] e () (b) <, então unção tem o menos um riz rel no intervlo ]; b[. Justiique geometrimente ess irmção. 62) Justiique porque unção eve ser ontínu pr stiszer o teorem o nulmento, presentno um ontrexemplo. 63) O teorem o nulmento não nos permite eterminr rízes upls. Ess irmção é vereir ou ls? Justiique. 64) A volt o teorem o nulmento é vereir? Ou sej, pr to riz x, existirão pontos e b tis que () (b) < e x [; b]? Justiique, ou mostre um ontrexemplo. 65) A unção (x) = (x 3) 2 x 2 (x + 3) 2 possui três rízes reis, ms (x), x R. Isso vi ontr o teorem o nulmento? 66) Explique omo o erro pr zeros e unções poe ser lulo tnto em relção o eixo x qunto em relção o eixo y. 67) Utilizno sotwre, vej omo é o gráio unção (x) = log 1 (1 + x) 3. Pr ess unção, nós obteremos um vlor mis próximo riz se utilizrmos um erro em relção o eixo x ou em relção o eixo y? Justiique. 68) Utilizno sotwre, vej omo é o gráio unção g(x) = 1 x 3 1. Pr ess unção, nós obteremos um vlor mis próximo riz se utilizrmos um erro em relção o eixo x ou em relção o eixo y? Justiique. 69) Em situções prátis, o erro em relção o eixo x é mis utilizo o que o erro em relção o eixo y. Porque ess práti é mis omum? 7) O que é mis eiiente em termos e preisão, um progrm que ompre erros em relção o eixo x e o eixo y e pre quno tingir o resulto em mbos, ou um progrm que ç o mesmo, e pre quno tingir o primeiro os ois ritérios? Justiique. 71) O que é mis eiiente em termos e veloie, um progrm que ompre erros em relção o eixo x e o eixo y e pre quno tingir o resulto em mbos, ou um progrm que ç o mesmo, e pre quno tingir o primeiro os ois ritérios? Justiique. 72) Explique bse e unionmento pr o métoo bisseção, inluino seu ritério e pr. 73) Esrev um lgoritmo pr o métoo bisseção, ssumino que o intervlo [; b], unção (x), e mrgem e erro ε são os. Não se esqueç e esrever quisquer outrs vriáveis utilizs. 74) O métoo bisseção onsegue enontrr rízes upls? Justiique. 75) O métoo bisseção poe ser utilizo n unção (x) = x 2 (x 1), ujs rízes são e 1. Se prtirmos o intervlo [ 2; 3], pr qul s rízes o métoo irá onvergir? 76) O métoo bisseção poe ser utilizo n unção (x) = x 2 (x 1), ujs rízes são e 1. Se prtirmos o intervlo [ 2; 2], pr qul s rízes o métoo irá onvergir? 77) Quis onições evem ser stiseits pr que o métoo bisseção tenh su onvergêni grnti? 78) Deuz o número n mínimo e iterções neessáris pr que o métoo bisseção onvirj om mrgem e erro ε, prtino e um intervlo iniil [; b], em unção e ε, e b.

5 79) Explique omo union o métoo s proximções suessivs (ou métoo itertivo liner) pr eterminr zeros e unções. 8) Explique grimente iei por trás o métoo s proximções suessivs, em três sos, um quno unção φ(x) é resente e o métoo onverge, um quno unção φ(x) é eresente e o métoo onverge, e outr quno o métoo iverge. 81) D um unção (x) genéri, mostre que sempre há pelo menos ois moos e se rir us unções e iterção pr o métoo s proximções suessivs, φ 1 (x) e φ 2 (x). (Não se preoupe em veriir se esss unções onvergem ou não. Apens mostre que é possível ri-ls, mesmo que els ivirjm). 82) Esrev um lgoritmo pr o métoo s proximções suessivs, ssumino que onvergêni sej ssegur. São s unção e iterção φ(x), o intervlo iniil [; b], e mrgem e erro ε. Não se esqueç e elrr quisquer outrs vriáveis que voê utilizr no lgoritmo. 83) Esrev um lgoritmo pr o métoo s proximções suessivs, ssumino que nós não sbemos se onvergêni é ssegur. São s unção e iterção φ(x), o intervlo iniil [; b], e mrgem e erro ε, e o número máximo e iterções N mx. Não se esqueç e elrr quisquer outrs vriáveis que voê utilizr no lgoritmo. 84) Quis onições o métoo s proximções suessivs eve umprir pr que su onvergêni sej ssegur? 85) Interprete grimente onição φ (x) < 1, x [; b] pr onvergêni o métoo s proximções suessivs. 86) Menione um vntgem e um esvntgem o métoo s proximções suessivs em relção o métoo bisseção pr obtenção e zeros e unções. 87) O métoo s proximções suessivs por eterminr rízes upls? Justiique. 88) O que ontee no métoo s proximções suessivs se unção e iterção φ(x) or onstnte? Justiique lgébri ou geometrimente. 89) Explique geometrimente o unionmento o métoo e Newton pr eterminr zeros e unções reis. 9) Esrev um lgoritmo pr o métoo e Newton pr eterminr zeros e unções, ssumino que su onvergêni é ssegur. São s unção (x), o intervlo iniil [; b], e mrgem e erro ε. Não se esqueç e elrr outrs vriáveis que voê usr no lgoritmo. 91) Esrev um lgoritmo pr o métoo e Newton pr eterminr zeros e unções, ssumino que não sbemos se onvergêni é ssegur. São s unção (x), o intervlo iniil [; b], mrgem e erro ε, e o número máximo. Não se esqueç e elrr outrs vriáveis que voê usr no lgoritmo. 92) Quis onições evem ser stiseits pr que tenhmos grnti onvergêni o métoo e Newton pr zeros e unções? 93) Vereiro ou lso: O métoo e Newton sempre onverge mis rpimente que bisseção. Justiique, ou ê um ontrexemplo. 94) Justiique irmção: O métoo e Newton é um so espeil o métoo e proximções suessivs. 95) Deuz os ritérios pr onvergêni o métoo e Newton prtir os ritérios e onvergêni o métoo s proximções suessivs. 96) O métoo e Newton poe eterminr rízes upls? Justiique. 97) Demonstre lgebrimente que o métoo e Newton sempre etermin solução e equções e primeiro gru n primeir iterção, om erro zero. 98) Argumente geometrimente porque o métoo e Newton sempre etermin solução e equções e primeiro gru n primeir iterção, om erro zero. 99) Menione um vntgem e um esvntgem o métoo e Newton em relção o métoo bisseção pr obtenção e zeros e unções reis. 1) Menione um vntgem e um esvntgem o métoo e Newton em relção o métoo s proximções suessivs pr obtenção e zeros e unções. 11) Computionlmente, o métoo e Newton é o mis rápio pr obtenção e rízes reis em zeros e unções, ms esse métoo não é muito utilizo n práti. Porque? 12) Explique geometrimente o unionmento o métoo s sentes pr eterminr zeros e unções reis.

6 13) Esrev um lgoritmo pr o métoo s sentes pr eterminr zeros e unções, ssumino que su onvergêni é ssegur. São s unção (x), o intervlo iniil [; b], e mrgem e erro ε. Não se esqueç e elrr outrs vriáveis que voê usr no lgoritmo. 14) Esrev um lgoritmo pr o métoo s sentes pr eterminr zeros e unções, ssumino que não sbemos se onvergêni é ssegur. São s unção (x), o intervlo iniil [; b], mrgem e erro ε, e o número máximo. Não se esqueç e elrr outrs vriáveis que voê usr no lgoritmo. 15) Quis onições evem ser stiseits pr que tenhmos grnti onvergêni o métoo s sentes pr zeros e unções? 16) Dierenie o métoo e Newton e s sentes pr obtenção e zeros e unções reis, menionno um vntgem e um esvntgem e um métoo sobre o outro. 17) Vereiro ou lso: O métoo e Newton e o métoo s Sentes possuem o mesmo ritério pr onvergêni. Justiique, ou ê um ontrexemplo. 18) Se um unção possui três rízes reis istints, proponh um métoo pr eterminr iniviulmente riz. 19) Dein intuitivmente orem e onvergêni e um métoo pr zeros e unções. 11) O métoo e Newton possui onvergêni quráti. O que isso signii em relção o erro o métoo? 111) Clssiique em relção orem e onvergêni o métoo bisseção, o métoo e Newton e o métoo s sentes. 112) O métoo s proximções suessivs não possui um orem e onvergêni etermin. Porque isso oorre? Exeríios e Cálulos Atenção: Ness list, utilize qutro ss eimis pr os álulos e problems om sistems lineres, e ino ss eimis pr álulos e problems om zeros e unções. Lembre-se e que voê poe utilizr qulquer sotwre/progrm pr resolver os álulos envolvios. Apens eixe inio qul sotwre/progrm voê utilizou pr zer os álulos. 3.2x 1 +.4x 2 + x 3.6x 4 = x 1) Consiere o sistem liner o por { 1 2.5x 2 +.2x 4 = x 1.8x x 3.6x 4 = x 1 +.5x x x 4 =.55 ) Veriique quis métoos (iretos e itertivos) poem ser plios pr resolução esse sistem. b) Resolv esse sistem liner trvés e toos os métoos iretos. ) Pr um os métoos itertivos, ç três pssos e métoo, prtino o ponto x () = ( ), e nlisno o erro reltivo ometio em iterção, utilizno norm ininit (o máximo)..3x 1.1x x 3 +.5x 4 = x 2) Consiere o sistem liner o por { 1.2x 2 +.6x x 4 = x 1.9x 2 +.7x 3 +.9x 4 = x x 2 +.8x 3 = 1.75 ) Veriique quis métoos (iretos e itertivos) poem ser plios pr resolução esse sistem. b) Resolv esse sistem utilizno toos os métoos iretos. ) Fzeno tros e linh, mostre que esse sistem poe ser resolvio pelos métoos itertivos. ) Pr um os métoos itertivos, ç ois pssos e métoo, prtino o ponto x () = ( ), e nlise o erro reltivo ometio em iterção, utilizno norm ininito (o máximo) ) Sej mtriz A = [ ] ) Veriique que, sem zer tros e linh, eomposição LU ess mtriz não é possível.

7 b) Fzeno tros e linhs pr ess mtriz, etermine eomposição LU pr ess mtriz (epois s tros e linh eits) ) Resolv os sistems Ax = [ 1] ; Ax = [ 5 ] ; Ax = [ 2 ] x 1 + x 2 + 7x 3 = 4) Sej o sistem liner o por { 5x 1 + 2x 3 = 3 2x 1 + 8x 2 2x 3 = ) Justiique porque é impossível plir qulquer um os métoos itertivos pr esse sistem sem relizr tros e linh. b) Fzeno s tros e linh neessáris pr grntir que onvergêni os métoos itertivos são grntis, resolv o sistem o, pelo métoo itertivo e su preerêni, utilizno erro reltivo o pel norm ininito (o máximo), té que ε <.1, prtino o ponto iniil x () = [ ] 5) Sej unção polinomil por (x) = 1.2x x x ) Utilizno lgum sotwre gráio, ç um esboço o gráio ess unção no intervlo [ 5; 5]. b) Demonstre que ess unção irá possuir três rízes reis istints, e etermine intervlos I 1 ; I 2 ; I 3 tis que intervlo ontenh um úni riz o polinômio. ) Cso voê plique o métoo bisseção no intervlo [ 5; 5], pr qul s rízes o métoo irá onvergir? ) Qunts iterções são neessáris pr que o métoo bisseção onvirj, prtir o intervlo [ 5; 5], om mrgem e erro bsoluto ε <.1? (Note que não é neessário lulr s iterções) e) Determine qulquer um s rízes su esolh, prtino e um os intervlos I 1 ; I 2 ; I 3 eterminos no item b), om mrgem e erro bsoluto ε <.1. 6) Sej unção polinomil (x) = 2x 2 5x 17 ) Demonstre que ess unção possui us rízes reis istints, seno um positiv e um negtiv. b) Constru o menos qutro ierentes unções e iterção φ(x) que possm ser utilizs no métoo s proximções suessivs. (Não se preoupe em veriir se s unções onvergem ou não) 5x + 17 ) Determine um intervlo no qul unção e iterção φ(x) = irá onvergir pr riz positiv o 2 problem. ) Com unção o item nterior, plique o métoo s proximções suessivs, e etermine riz om erro bsoluto ε <.1 7) D unção (x) = ln(x 2 + 1) + x 2 ) Demonstre que ess unção possui um riz rel no intervlo [1; 2] b) Mostre (utilizno sotwre gráio) que o métoo e Newton tem su onvergêni grnti no intervlo [1; 2] ) Clule riz esse problem pelo métoo e Newton om erro reltivo ε <.1 8) D unção (x) = ln(x 2 + 1) + x 2 ) Demonstre que ess unção possui um riz rel no intervlo [1; 2] b) Mostre (utilizno sotwre gráio) que o métoo s sentes tem su onvergêni grnti no intervlo [1; 2] ) Clule riz esse problem pelo métoo s sentes om erro reltivo ε <.1 Exeríios e Moelgem 1) Esrev o sistem liner uj solução é o ponto e interseção entre os plnos: α: 3x 2y + z = 1; β: 7x + 5y z = 7; γ: x 3y + z = 7 2) Moele um sistem liner que etermine um unção e seguno gru que pss pelos pontos ujs oorens são (2; 4), ( 1; 5) e (; 2) 3) Moele um sistem liner que etermine um equção e tereiro gru o tipo y = x 3 + bx 2 + x + tl que el psse pelos pontos (2; 1); (1; 4); (; 3); ( 1; 2). 4) A som os primeiros n + 1 números nturis, ou sej, n, é o por um equção e seguno gru, o tipo x 2 + bx +. Moele um sistem liner que lule os vlores e ; b e. (Embor sej possível se euzir isso om som e P.A., ç o sistem liner orresponente)

8 5) A som os n + 1 primeiros quros, ou sej: n 2 será um equção e tereiro gru, o tipo x 3 + bx 2 + x +. Moele um sistem liner uj solução etermine os oeiientes unção e tereiro gru em questão. (Esse exeríio tmbém poe ser resolvio por séries, ms ç trvés e sistems lineres!) 6) Anlogmente, som os primeiros n + 1 ubos pereitos, n 3 será um equção e qurto gru. Crie o sistem que moel esse problem. O métoo s rções priis, muito utilizo em equções iereniis trnsorm um rção entre ois polinômios, one o gru o polinômio numeror é menor o que o o polinômio enominor é trnsormo em um som e rções, one um els tem numeror omo seno um número rel, e enominor e primeiro gru. Too o métoo é bseo n resolução e sistems lineres. Desubr, pr item, quis são os vlores os oeiientes reis A, B, C... que tornem s equções vereirs: 7) 8) 9) 3x + 1 (x + 3)(x 1) = x 2 + 9x + 2 (x 2)x(x + 1) = A (x 1) + 5x 2 6x + 3 (x 1)x(x + 1)(x + 3) = 1) 2.5x2 + 9x 1.5 x(x 3)(x + 1) = A x + B (x + 3) A (x 2) + B x + C (x + 1) A (x 1) + B x + B x 3 + C x + 1 C (x + 1) + D (x + 3) 11) Em um resturnte jponês são venis váris opções e ombos e lmoço, om preços vrios. N list, nós temos s seguintes opções, segui pelos reltivos preços: Combo Iniviul Exeutivo: 4 Sushis + 2 Sshimis + 1 Bolinho sorte + 1 Skê = R$ 9,6 Combo Fmilir : 15 Sushis + 1 sshimis + 5 Bolinhos sorte = R$ 29, Combo Grupo Exeutivo :12 Sushis + 6 Sshimis + 3 Bolinhos sorte + 7 Skê = R$ 4,8 Combo Super Sumô : 2 Sushis + 2 sshimis + 4 Bolinhos sorte + 2 Skê = R$ 56, Suponh que não hjm promoções (ou sej, não há esontos em ombo). Moele um sistem liner que etermine o preço e item iniviul o rápio. 12) Qurto números são tis que sus soms, três três são iguis 22, 24, 27 e 29. Moele um sistem liner que lule que números são esses. 13) Sej (x) unção (x) = 3os(x).x 2. Determine um moelo omputionl pr enontrr o menor vlor pr x positivo tl que (x) = ) Um veneor e hurros perebeu que, veneno hurros à R$ 1,8, ele onsegui vener 12 hurros por i. Além isso, pr R$,1 mis no preço os hurros, ele peri 5 lientes. Determine um unção que lule o luro ele, em unção vrição e preço x. 15) Um miro empres tem seu usto, o trvés o tempo, estimo pel unção C(t) = 5 + 4(1.1) t, t em meses. Já su reeit é estim trvés unção R(t) = (2+.1t) 3t, pr t entre e 15. Determine um unção que ê o luro ess empres. E esrev um equção que etermine prtir e qul mês empres pss r luro superior 1,. 16) Sej o polinômio e 6º gru (x) = x 6 x 5 25x4 + 17x3 + 3x 2 4x 12. Moele um orm que permit 2 2 eterminr os pontos e inlexão (one onvie o gráio inverte o sentio) pr ess unção. 1 17) Sej unção (x) = 1+x2 e sej α um ponto qulquer e seu omínio. Pssno-se rets tngentes à (x) por α, teremos sempre um inlinção om o eixo x, e um oeiiente ngulr. Determine um equção que lule pr qul vlor e α esse oeiiente ngulr será máximo. 18) Proponh um métoo pr eterminr qul vlor é mior: e p ou p e. 19) A rzão áure é um número irrionl, muito presente n rquitetur e no plnejmento e objetos o nosso i i. Os los e um retângulo estão n rzão áure, se proporção entre os los é mesm proporção entre o menor lo, e ierenç entre o lo mior e o menor. Determine um equção que lule rzão áure. 2) Sej (x) unção moel n questão 14 (voê poe supor el omo pré-lul). Moele um unção que etermine o preço iel pr o luro máximo.