Fundação Getulio Vargas Escola de Pós-Graduação em Economia Mestrado em Finanças e Economia Empresarial DANIEL MUSSI FRANÇA

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1 Fundação Getulio Vargas Escola de Pós-Graação em Economia Mestrado em Finanças e Economia Empresarial DANIEL MUSSI FRANÇA DERIVATIVOS CAMBIAIS DO MERCADO BRASILEIRO: PRECIFICAÇÃO E ADMINISTRAÇÃO DE RISCOS Rio de Janeiro 2010

2 DANIEL MUSSI FRANÇA DERIVATIVOS CAMBIAIS DO MERCADO BRASILEIRO: PRECIFICAÇÃO E ADMINISTRAÇÃO DE RISCOS Dissertação apresentada ao Mestrado em Finanças e Economia Empresarial como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Finanças e Economia Empresarial. Área de concentração: Derivativos Cambiais Orientador: Prof. Dr. Alexandre Lowenkron RIO DE JANEIRO 2010

3 DANIEL MUSSI FRANÇA DERIVATIVOS CAMBIAIS DO MERCADO BRASILEIRO: PRECIFICAÇÃO E ADMINISTRAÇÃO DE RISCOS Dissertação apresentada ao Mestrado em Finanças e Economia Empresarial como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Finanças e Economia Empresarial. Área de concentração: Derivativos Cambiais E aprovado em 24/05/2010 Pela Comissão organizadora PROF. DR. ALEXANDRE LOWENKRON (Orientador) Instituição: EPGE-FGV/RJ PROF. DR. MARCO BONOMO Instituição: EPGE-FGV/RJ PROF. DR. GABRIEL HARTUNG Instituição: EPGE-FGV/RJ

4 AGRADECIMENTOS Agradeço a meu orientador Alexandre Lowenkron pelo apoio na definição dos pontos chaves a serem abordados na dissertação e pela ajuda no aprofundamento do meu conhecimento sobre o tema abordado. Agradeço a minha família por todo o apoio recebido nos momentos difíceis, que foi essencial para que eu pudesse completar mais essa etapa de minha formação. Agradeço a minha companheira Maria Earda pela compreensão e apoio nos momentos em que precisei estar ausente, em função das responsabilidades acadêmicas. Agradeço a meu amigo Pedro Calmanowitz por toda ajuda no desenvolvimento da abordagem sobre opções desenvolvida neste trabalho. Agradeço ao Banco BBM SA por ter me fornecido o verdadeiro laboratório onde a maior parte deste trabalho foi desenvolvida.

5 RESUMO O objetivo dessa dissertação é apresentar uma documentação detalhada sobre a precificação e administração de riscos dos principais derivativos cambiais negociados no mercado brasileiro. Serão abordadas algumas particularidades desse mercado e serão propostos alguns ajustes à literatura tradicional visando fornecer uma modelagem que seja capaz de quantificar e qualificar corretamente os riscos inerentes a uma carteira de derivativos. Palavras-Chave: Futuro. Spot. CASADO. Opções. Superfície de Volatilidade.

6 ABSTRACT The central purpose of this essay is to present a detailed documentation about pricing and risk administration of Brazilian most important FX derivatives. In this work, we are going to study some particularities of the Brazilian market and some adjusts to the conventional literature must be proposed in a way to provide a good modeling for quantifying and qualifying correctly those risks enhanced in a derivatives book. Keywords: Future. Spot. CASADO. Options. Volatility Surface.

7 LISTA DE GRÁFICOS Gráfico 8.1 Superfície de Volatilidade por Deltas Gráfico 8.2 Superfície de Volatilidade por Strikes Gráfico 8.3 Comparativo de Deltas Gráfico 8.4 Comparativo de Gammas Gráfico 8.5 Comparativo de Thetas Call de 1 mês Gráfico 8.6 Comparativos de Thetas Call de 3 dias Gráfico 9.1 Superfície de Volatilidade Gráfico 9.2 Risco Pré Inicial Exemplo Gráfico 9.3 Risco Cupom Cambial Exemplo Gráfico 9.4 Risco Cupom Cambial Final Exemplo Gráfico 9.5 Risco Pré Final Exemplo Gráfico 9.6 Risco Pré Inicial Exemplo Gráfico 9.7 Risco Cupom Cambial Inicial Exemplo Gráfico 9.8 Risco Pré Final Exemplo Gráfico 9.9 Risco Cupom Cambial Final Exemplo Gráfico 9.10 Comportamento do Gamma Exemplo Gráfico 9.11 Comportamento do Vega Exemplo

8 LISTA DE TABELAS Tabela 5.1 Preços de Ajuste do DI Tabela 5.2 Calendário do COPOM Tabela 5.3 Curvas de Juros Internas Tabela 5.4 Cálculo do Cupom Curto Tabela 5.5 Curva do Cupom Cambial Tabela 6.1 Cálculo do Carrego do CASADO Tabela 8.1 Obtendo Volatilidade pelo Strike Tabela 8.2 Construindo uma Curva de Vol Intermediária Tabela 8.3 Comparativo de Deltas Tabela 9.1 Dados Auxiliares Tabela 9.2 Gregas Iniciais Exemplo Tabela 9.3 Vegas por Termos Iniciais Exemplo Tabela 9.4 Gregas Finais Exemplo Tabela 9.5 Vegas por Termos Finais Exemplo Tabela 9.6 Comparativo de Payoffs Delta por Derivada x Delta por Choque... 56

9 LISTA DE SIGLAS SUMOC Superintendência da Moeda e do Crédito CMN Conselho Monetário Nacional MCTF Mercado de Câmbio de Taxas Flutuantes MCTL Mercado de Câmbio de Taxas Livres RMCCI Regulamento do Mercado de Câmbio e Capitais Internacionais BM&F Bolsa de Mercadorias e Futuros CDI Certificado de Depósito Interbancário CETIP Central de Custódia e de Liquidação Financeira de Títulos SELIC Sistema Especial de Liquidação e Custódia FED Federal Reserve B&S Black and Scholes ATM At the Money RR Risk Reversal BF Butterfly

10 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO MERCADO DE CÂMBIO NO BRASIL MERCADO FUTURO X MERCADO À VISTA O MERCADO DE DÓLAR CASADO CONSTRUÇÃO DAS CURVAS DE JUROS Curva de Juros Interna Curva de Juros Externa (Cupom Cambial) PRINCIPAIS DERIVATIVOS NEGOCIADOS EM BOLSA DI1 Futuro DDI Futuro (Cupom Cambial) FRC (FRA de Cupom Cambial) DOL (Dólar Futuro) FRP0 (Forward Points) PRINCIPAIS DERIVATIVOS NEGOCIADOS EM BALCÃO NDF (Non-deliverable Forward) Swap Dólar x Pré Swap Dólar x CDI OPÇÕES DE DÓLAR Black and Scholes (B&S) Superfície de Volatilidade Construindo uma superfície de Volatilidade As Gregas, seus problemas e possíveis ajustes O Delta, o Gamma e superfície de volatilidade O Vega e os Vegas por vencimento O Theta e o tempo discreto Rhô Interno e Rhô Externo ADMINISTRANDO UMA CARTEIRA DE DERIVATIVOS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 58

11 11 1 INTRODUÇÃO O Mercado de derivativos cambiais brasileiro vem crescendo muito nos últimos anos. Esse crescimento é decorrente de vários fatores. Dentre eles, podemos destacar o longo período de estabilidade econômica e política vívido pelo país, favorecendo a entrada de investidores estrangeiros no país, seja na economia real, seja no mercado financeiro. A crescente internacionalização das empresas brasileiras, com o fortalecimento da corrente de comércio do país, resultando numa maior demanda por instrumentos de hedge. E o próprio desenvolvimento e aperfeiçoamento dos derivativos negociados em bolsa e no mercado de balcão. Apesar da crescente utilização dos derivativos no mercado brasileiro, boa parte da literatura sobre o assunto ainda é baseada na literatura estrangeira, que nem sempre pode ser adotada diretamente paras os derivativos brasileiros, devido a certas particularidades do mercado local. Podemos citar como exemplos de particularidades, a utilização da notação DU/ para o mercado de juros interbancário, a utilização da PTAX no vencimento de derivativos cambiais, a existência do mercado de CASADO para negociação do dólar à vista, concentrando a liquidez no mercado de dólar futuro. Essa dissertação tem como proposta, detalhar toda a precificação dos derivativos cambiais brasileiros, levando em consideração todas as particularidades do mercado local, preenchendo eventuais lacunas da literatura tradicional.

12 12 2 MERCADO DE CÂMBIO NO BRASIL BREVE HISTÓRICO O mercado de câmbio brasileiro como conhecemos hoje começou a ser moldado na década de 1930, quando o país deixou oficialmente o padrão ouro. Muito da regulação cambial hoje existente ainda remete a legislação criada neste período. Em 1931 foi concedido ao Banco do Brasil o monopólio das operações de câmbio e fixada a chamada centralização cambial. Todas as operações de câmbio passavam a ser fechadas exclusivamente dentro do estabelecimento monopolista. Posteriormente, as operações passaram a ser fechadas também pelos estabelecimentos autorizados pelo detentor do monopólio, hoje o Banco Central do Brasil. Ficava a cargo da Autoridade Cambial decidir quais operações cada estabelecimento poderia realizar. A Autoridade Cambial era inicialmente o Banco do Brasil, posteriormente a Superintendência da Moeda e do Crédito (SUMOC) e por fim o Conselho Monetário Nacional (CMN). Até os últimos anos do da década de 1980, apesar de passar por algumas modernizações no que tange a regulação cambial, o mercado de câmbio brasileiro foi marcado por as características básicas: taxas de câmbio oficiais fixadas pelo governo e alto grau de regulação nas operações de câmbio. Essas características são fruto de um período em que a taxa de câmbio era utilizada com base em metas reais, visando manter a competitividade dos protos brasileiros e evitando ataques especulativos contra a moeda. A forte regulação era uma forte salvaguarda em momentos escassez de divisas, quando a Autoridade Cambial podia apertar as condições para remessas de divisas ao exterior. O Brasil só começa a viver um processo de maior liberalização no mercado de câmbio a partir de 1989, quando é criado o mercado plo de câmbio. Passavam a existir dois mercados oficiais de câmbio: o mercado de câmbio de taxas flutuantes (MCTF) e o mercado de câmbio de taxas livres (MCTL). No MCTF passam a serem realizadas as operações relacionadas a viagens internacionais, transferências unilaterais, pagamentos e recebimentos de serviços, operações ouro e outras contas. No MCTL passavam a serem realizadas as contratações de câmbio do comércio exterior (exportações e importações), as principais movimentações de capitais (investimentos diretos e em bolsa, empréstimos, etc) e pagamentos dos principais itens de serviços. As atuações do Banco Central do Brasil aconteciam exclusivamente no MCTL.

13 13 Em 1999, com a mudança no perfil de atuação do Banco Central no mercado de câmbio, quando este passa a ser de fato flutuante, definido pela demanda e oferta de divisas, ocorre também a unificação das posições cambiais dos bancos. Em 2005, ocorre a unificação dos mercados de câmbio (fim do MCTL e MCTF) que passa a ser regulamentado pelo Regulamento do Mercado de Câmbio e Capitais Internacionais (RMCCI). É importante ressaltar que essa unificação teve impacto principalmente nas operações de clientes que passaram a ser fechadas nos mesmo mercado, obedecendo à mesma regulamentação cambial. No entanto, como veremos a seguir, ainda existem dois mercados para negociação de câmbio, o Primário e o Secundário. Ambos regulamentados pelo RMCCI e cuja diferença reside, basicamente, nos participantes de cada mercado. MERCADO ATUAL O mercado de câmbio brasileiro tem algumas características importantes que são responsáveis por moldar o mercado de derivativos. As características mais importantes são a não conversibilidade da moeda e a existência de dois mercados para negociação do dólar á vista, o dólar pronto. A não conversibilidade da moeda implica que o mercado de câmbio brasileiro não é aberto, sendo todas as operações envolvendo o Real e outras moedas estrangeiras registradas no Banco Central. Não é permitido, realizar operações financeiras no Brasil, que liquidem em uma moeda diferente do Real, assim como não é permitida a manutenção de contas em Real no exterior. No Brasil, existem dois mercados para negociação do dólar à vista, o primário e o secundário, cuja principal diferença reside nos participantes que atuam em cada mercado. As operações do mercado primário são realizadas entre as instituições financeiras autorizadas a operar no mercado de câmbio e seus clientes. Essas operações podem ser de caráter comercial e financeiro. As comerciais surgem da necessidade dos exportadores e importadores de movimentar divisas para a liquidação das operações comerciais. As financeiras refletem os movimentos de capitais entre países, entre bancos e clientes na forma de ingressos e remessas financeiras.

14 14 As operações do mercado secundário são realizadas pelas instituições autorizadas a operar no mercado de câmbio entre si e entre estas e o Banco Central. As instituições autorizadas a atuar no mercado secundário de câmbio são: bancos múltiplos, bancos comerciais, caixas econômicas, bancos de investimento, bancos de desenvolvimento, bancos de câmbio, agências de fomento, sociedades de crédito, financiamento e investimento, sociedades corretoras de títulos e valores mobiliários, sociedades distribuidoras de títulos e valores mobiliários e sociedades corretoras de câmbio. Enquanto as operações do mercado primário são originadas pela necessidade dos clientes de movimentar divisas para liquidação de operações comercias e financeiras, as operações no mercado secundário têm como objetivo zerar as exposições causadas pelas operações no mercado primário e proporcionar algumas apostas relacionadas ao mercado de juros em dólar, o cupom cambial. Esse modelo de funcionamento do mercado de câmbio brasileiro tem como principal beneficiário, o governo brasileiro, pois lhe confere enormes poderes no sentido de restringir ou liberar os fluxos cambiais, prejudicando ou beneficiando determinados setores da economia. Os clientes, por sua vez, são os mais prejudicados, pois enfrentam forte regulamentação em todas as operações, aumentando os custos de negociação, além de serem obrigados a fechar as operações contra uma instituição autorizada. Essa obrigatoriedade, em algumas situações, pode elevar o spread cobrado pelos bancos para fechar essas operações. No caso de empresas maiores, que são clientes de diversos bancos esse problema é menor, pois existe uma concorrência entres os bancos no sentido de ganhar a operação. Os bancos têm interesse em ganhar as operações para estimular o relacionamento com o cliente, que em geral tem outros negócios com o banco. Além disso, as operações das empresas podem ter impacto relevante no comportamento do mercado, logo é interessante para o banco ter acesso a essa informação.

15 15 3 MERCADO FUTURO X MERCADO À VISTA As características descritas no capítulo anterior, que definem o funcionamento do mercado de câmbio brasileiro, também são responsáveis por uma característica importante do mercado brasileiro. O grande controle das operações, a segregação dos mercados e a burocracia gerada, fizeram com que a maior parte das operações de câmbio migrasse para o mercado de futuros da Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F). Na BM&F, todos os agentes operam no mesmo mercado e de forma sigilosa. A maior concentração de agentes favorece a liquidez e a formação de um preço mais justo. Hoje em dia, quando um banco fecha uma operação com um cliente no mercado primário, ele não se zera imediatamente no mercado secundário. A trava é feita no mercado futuro, devido a sua maior liquidez. No caso das moedas conversíveis como, Dólar Americano, Euro, Yen, Dólar Australiano, o mercado de dólar á vista é tão ou mais líquido que o mercado futuro, pois todos os agentes têm acesso ao mesmo mercado e a burocracia para a liquidação das operações é muito menor. 4 O MERCADO DE DÓLAR CASADO Quando um banco trava uma operação realizada no mercado primário de câmbio, assumindo uma ponta oposta no dólar futuro da BM&F, ele ainda assume determinados riscos de taxa de juros que para serem zerados implicam numa mudança de instrumento por parte do banco. Ele precisa migrar do dólar futuro para o dólar à vista. Essa necessidade constante dos bancos fomentou no Brasil o surgimento do mercado de Dólar CASADO. O mercado de CASADO negocia o diferencial em pontos entre o dólar à vista, para liquidação em D+2, e o dólar futuro. Em geral, o futuro de referência é o do primeiro vencimento da BM&F, com exceção do último dia do mês quando o CASADO passa a ser negociado contra o segundo vencimento. Quando um banco fecha uma operação de CASADO, ele assume uma ponta no dólar futuro e uma oposta no dólar à vista, rezindo os riscos de uma eventual transferência de uma posição de um mercado mais líquido para outro de menor liquidez. O mercado de CASADO é, atualmente, responsável pela maior parte das operações realizadas no mercado secundário. Por esse motivo, ao contrario do que acontece no

16 16 caso das moedas conversíveis, a cotação do dólar à vista, no Brasil, é na verdade formado a partir da combinação do dólar futuro e do CASADO.

17 17 5 CONSTRUÇÃO DAS CURVAS DE JUROS O primeiro passo para a correta precificação dos derivativos cambiais é a definição das curvas de juros interna e externa negociadas no mercado brasileiro. 5.1 Curva de Juros Interna No mercado brasileiro, o principal instrumento utilizado para a construção da curva de juros interna é o contrato de DI Futuro da Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F). Esse contrato tem por característica, negociar a taxa efetiva do CDI diário, de hoje até a data de vencimento do contrato futuro. O CDI over é uma taxa divulgada pela Central de Custódia e de Liquidação Financeira de Títulos (CETIP) e é calculada com base taxa média dos CDI`s (Certificado de Depósito Interbancário) de um dia praticada pelos bancos. O CDI representa a taxa média pela qual os bancos trocaram depósitos com vencimento no dia útil seguinte. Apesar do CDI over apresentar pequenas oscilações diárias, sabemos que este tem grande correlação com a taxa SELIC (Sistema Especial de Liquidação e Custódia), que é a taxa básica de juros definida pelo Banco Central (BC). Sendo assim, é importante incorporarmos na nossa curva de juros as datas das reuniões do COPOM (Comitê de Política Monetária), pois são nessas datas que o BC define a taxa SELIC que ficará vigente pelos próximos 45 dias. Como os contratos de DI futuro da BM&F vencem sempre no final do mês, não somos capazes de calcular os termos da curva de juros corretamente, com base apenas nesses vencimentos. É importante ressaltar que, ao contrário da maioria dos mercados de juros internacionais, o mercado de juros brasileiro não adota a notação em dias corridos DC/360, mas a notação em dias úteis DU/. Sendo assim, podemos definir o fator de desconto de qualquer DI futuro como: Fator Onde: (1 1 DI fut ) DI fut = Taxa do DI futuro com vencimento em dias

18 18 A partir desta notação, podemos calcular também as taxas termos entre diferentes vencimentos. Fator termo Fator Fator 1 2 (1 DI (1 DI 1 1) 2 2 ) Onde: Fator i = Fator do DI com vencimento na data i i = Dias úteis até a data i Taxa ( 21) termo Fator termo 1 Abaixo, temos uma tabela com os preços de mercado da curva de DI futuro da BM&F no dia 01/04/2010 e em seguida a construção da estrutura a termo da taxa de juros. Preços de Ajuste em 01/04/2010 Contrato Data NDU Taxa 01/04/2010 CDI - Over 05/04/ ,61% DI1 - K10 03/05/ ,66% DI1 - M10 01/06/ ,95% DI1 - N10 01/07/ ,18% DI1 - Q10 02/08/ ,41% DI1 - V10 01/10/ ,88% DI1 - F11 03/01/ ,38% DI1 - J11 01/04/ ,86% DI1 - N11 01/07/ ,21% DI1 - V11 03/10/ ,49% DI1 - F12 02/01/ ,66% DI1 - J12 02/04/ ,80% DI1 - N12 02/07/ ,95% DI1 - V12 01/10/ ,02% DI1 - F13 02/01/ ,04% DI1 - J13 01/04/ ,07% DI1 - N13 01/07/ ,09% DI1 - V13 01/10/ ,10% DI1 - F14 02/01/ ,17% DI1 - J14 01/04/ ,20% DI1 - N14 01/07/ ,20% DI1 - V14 01/10/ ,23% DI1 - F15 02/01/ ,22% DI1 - J15 01/04/ ,23% DI1 - N15 01/07/ ,24% DI1 - F16 04/01/ ,25% DI1 - F17 02/01/ ,30%

19 19 Tabela 5.1 Preços de Ajuste do DI1 Calendário de Reuniões do COPOM Data Reunião Data Efetivação 28/04/ /04/ /06/ /06/ /07/ /07/2010 Tabela 5.2 Calendário do COPOM Estrutura Termo sem Reuniões Estrutura Termo com Reuniões Data NDU Taxa Spot Taxa Termo Data NDU Taxa Spot Taxa Termo 05/04/ ,61% 8,61% 05/04/ ,61% 8,61% 03/05/ ,66% 8,67% 29/04/ ,61% 8,61% 01/06/ ,95% 9,21% 03/05/ ,66% 9,16% 01/07/ ,18% 9,64% 01/06/ ,95% 9,21% 02/08/ ,41% 10,06% 10/06/ ,98% 9,21% 01/10/ ,88% 10,80% 01/07/ ,18% 9,82% 03/01/ ,38% 11,39% 22/07/ ,30% 9,82% 01/04/ ,86% 12,34% 02/08/ ,41% 10,58% 01/07/ ,21% 12,64% 01/10/ ,88% 10,80% 03/10/ ,49% 12,85% 03/01/ ,38% 11,39% 02/01/ ,66% 12,70% 01/04/ ,86% 12,34% 02/04/ ,80% 12,83% 01/07/ ,21% 12,64% 02/07/ ,95% 13,14% 03/10/ ,49% 12,85% 01/10/ ,02% 12,64% 02/01/ ,66% 12,70% 02/01/ ,04% 12,24% 02/04/ ,80% 12,83% 01/04/ ,07% 12,42% 02/07/ ,95% 13,14% 01/07/ ,09% 12,33% 01/10/ ,02% 12,64% 01/10/ ,10% 12,22% 02/01/ ,04% 12,24% 02/01/ ,17% 13,14% 01/04/ ,07% 12,42% 01/04/ ,20% 12,75% 01/07/ ,09% 12,33% 01/07/ ,20% 12,03% 01/10/ ,10% 12,22% 01/10/ ,23% 12,80% 02/01/ ,17% 13,14% 02/01/ ,22% 12,05% 01/04/ ,20% 12,75% 01/04/ ,23% 12,53% 01/07/ ,20% 12,03% 01/07/ ,24% 12,34% 01/10/ ,23% 12,80% 04/01/ ,25% 12,35% 02/01/ ,22% 12,05% 02/01/ ,30% 12,59% 01/04/ ,23% 12,53% 01/07/ ,24% 12,34% 04/01/ ,25% 12,35% 02/01/ ,30% 12,59% Tabela 5.3 Curvas de Juros Internas Não utilizaremos o calendário completo de reuniões, pois o efeito na curva longa tende a ser menor, não acrescentando muita informação ao nosso estudo.

20 Curva de Juros Externa (Cupom Cambial) Como foi citado anteriormente, o Real não é uma moeda conversível, logo não podemos extrair o dólar futuro pela simples arbitragem do dólar à vista com as curvas de juros doméstica e estrangeira. É preciso construir uma curva de juros em dólar negociada no Brasil. Essa taxa é chamada de cupom cambial. Para iniciarmos a construção da curva de cupom cambial, precisaremos retomar o conceito de CASADO, pois este tem papel crucial na formulação da curva. O CASADO é o elo de ligação entre o mercado de dólar à vista e de dólar futuro, uma vez que a curva de juros doméstica já é conhecida. Podemos extrair o cupom cambial curto a partir das seguintes relações. Spot = Futuro CASADO Futuro Onde: t ( 1 DIt ) Spot dct (1 CCt ) 360 Futuro t = dólar futuro com vencimento na data t Spot = Dólar a vista, para liquidação em D + 2 DI t = Taxa DI para a data t CC t = Cupom Cambial para a data t t = Dias úteis até a data t dc t = Dias corridos até a data t t Exemplo Numérico Início 01/04/2010 Vencimento 03/05/2010 Futuro 1.770,00 Casado 10,20 DI 8,66% NDU 20 NDC 32 Spot 1.759,80 CC 0,92% Tabela 5.4 Cálculo do Cupom Curto

21 21 Vale ressaltar que a notação utilizada para a taxa do cupom cambial, ao contrário da utilizada para a taxa DI, é a DC/360 com capitalização simples. Para concluirmos a construção da curva de cupom cambial, precisamos estudar o contrato de FRC (Forward Rate Agreement de Cupom Cambial) negociado na BM&F. O FRC negocia a taxa termo do cupom cambial entre o primeiro vencimento do futuro de dólar o vencimento do FRC. Digamos que o primeiro vencimento do dólar é em Maio/2010. Se negociarmos um contrato de FRC para vencimento em Janeiro/2011, estamos negociando a taxa termo do cupom cambial entre Maio/2010 e Janeiro/2011. O contrato de FRC possui outras características que serão discutidas mais a frente mas que não são relevantes neste momento. O importante agora é que com o cupom curto extraído do CASADO e com as taxas do FRC nós somos capazes de construir a curva de cupom cambial. Aproveitando o exemplo acima, poderíamos achar o cupom cambial para Janeiro/2011 pela interpolação do cupom cambial curto extraído do CASADO e do FRC com vencimento em Janeiro/2011, a partir da seguinte fórmula. CC Jan11 Onde: {[(1 CC curto DC 360 curto ) (1 FRC Jan11 DC CC Jan11= Cupom Cambial com vencimento em Jan/11 CC curto= Cupom Cambial curto extraído do CASADO Jan11 DC 360 curto 360 )] 1} DC DC curto= Dias Corridos até o vencimento do contrato curto de dólar futuro. DC Jan11= Dias Corridos Jan/11 FRC Jan11= Taxa do FRC com vencimento em Jan/11 Jan11 Abaixo, temos uma tabela com os preços dos FRCs negociados no dia 01/04/2010 e a curva de cupom cambial originada a partir do cupom curto calculado acima e desta curva de FRCs.

22 22 Estrutura a Termo de Cupom Cambial Contrato Data NDC Taxa FRC Cupom cambial 01/04/ /04/ ,92% CC Curto 03/05/ ,92% FRC - M10 01/06/ ,04% 0,97% FRC - N10 01/07/ ,14% 1,06% FRC - Q10 02/08/ ,17% 1,11% FRC - V10 01/10/ ,38% 1,30% FRC - F11 03/01/ ,62% 1,54% FRC - J11 01/04/ ,85% 1,77% FRC - N11 01/07/ ,10% 2,02% FRC - V11 03/10/ ,33% 2,25% FRC - F12 02/01/ ,62% 2,53% FRC - J12 02/04/ ,85% 2,76% FRC - N12 02/07/ ,07% 2,99% FRC - V12 01/10/ ,28% 3,20% FRC - F13 02/01/ ,48% 3,40% FRC - J13 01/04/ ,67% 3,59% FRC - N13 01/07/ ,83% 3,76% FRC - V13 01/10/ ,98% 3,90% FRC - F14 02/01/ ,15% 4,07% FRC - J14 01/04/ ,29% 4,22% FRC - N14 01/07/ ,45% 4,38% FRC - V14 01/10/ ,56% 4,49% FRC - F15 02/01/ ,64% 4,57% FRC - J15 01/04/ ,78% 4,72% FRC - N15 01/07/ ,91% 4,84% FRC - F16 04/01/ ,06% 5,01% FRC - N16 01/07/ ,24% 5,18% FRC - F17 02/01/ ,41% 5,35% Tabela 5.5 Curva do Cupom Cambial Com isso, concluímos a construção da curva de juros externa negociada no Brasil. A curva de cupom cambial.

23 23 6 PRINCIPAIS DERIVATIVOS NEGOCIADOS EM BOLSA 6.1 DI1 Futuro O DI1 futuro negocia a taxa média de depósitos interfinanceiros de um dia. Apesar de não ser um derivativo cambial, ele é de suma importância para o estudo dos derivativos cambiais, pois estes, em grande parte, apresentam exposição à taxa de juros interna e o DI1 futuro é um ativo que captura exclusivamente a exposição à taxa de juros interna. O preço unitário (PU) de um contrato de DI1 futuro é dado pela fórmula: PU t (1 DI ) t Onde: DI t =Taxa de juros para a data t t = Dias úteis até a data t Esse contrato foi desenvolvido de tal forma que ele não tem carrego. Para isso seu PU de fechamento é sempre carregado para o dia seguinte pela taxa de CDI over efetiva do dia. PU abertura PU fechamento ( 1 CDIOVER ) 1 OBS: eventualmente, pode se passar mais de um dia útil entre o PU de abertura e o PU de fechamento. Neste caso, o PU de fechamento deve ser carregado também pelo CDI dos dias em que a bolsa não funcionou. Como já foi mencionado, o DI1 futuro não possui theta (carrego), logo a principal exposição que devemos destacar e medir é a própria exposição à taxa de juros, que pode ser calculada pela derivada do PU em relação à taxa de juros. PU DI (1 DI) 1 PU DI

24 DDI Futuro (Cupom Cambial) Taxa de juro obtida a partir do cálculo da diferença entre a acumulação da taxa de DI, no período compreendido entre a data de operação, inclusive, e a data de vencimento, exclusive, e a variação da taxa de câmbio observada entre o dia útil anterior a data da operação, inclusive, e a data de vencimento do contrato, exclusive. (Bolsa de Mercadorias e Futuros) O DDI futuro negocia a taxa do cupom cambial sujo, ao contrario do FRC que negocia a taxa limpa. Nós chamamos de cupom cambial sujo, pois ele é calculado com base na PTAX de D 1, sendo contaminado pela variação cambial. Para acharmos a taxa limpa, precisamos retirar o efeito da variação cambial. A forma mais fácil de mostrar a diferença entre o cupom cambial limpo e o sujo é através da própria fórmula de cálculo. Futuro PTAX D 1 ( 1 DI ) dc (1 CCsujo ) 360 (1 DI ) Futuro Spot dc (1 CClim po ) 360 Como se pode perceber, a única diferença no cálculo do cupom sujo em relação ao cupom limpo é a substituição do dólar spot pela PTAX do dia anterior. Com algebrismo simples, podemos escrever o cupom limpo em função do cupom sujo. CC lim po Spot PTAX PTAX D1 D1 Spot PTAX D1 CC sujo O preço unitário (PU) de um contrato de DDI futuro é dado pela fórmula: PU 1 CC sujo dct 360 Assim como o PU do DI1 o PU do DDI precisa ser rolado todos os dias pelo CDI over do dia mas, no caso, do DDI, também precisamos descontar a variação da PTAX.

25 25 PU abertura PU fechamento (1 CDI PTAX PTAX OVER t1 t2 1 ) OBS: assim como no caso do PU do DI1, o procedimento deve ser repetido para os dias úteis em que a BM&F não esteja aberta. O calculo do ajuste das operações de DDI é dado pela seguinte fórmula: Ajuste ( PU operado PU ajuste) PTAX t1 Para o caso de posições em aberto, substituímos o PU operado pelo PU abertura. O DDI tem exposição direta a as variáveis: dólar spot e ao cupom cambial limpo. A sua derivada em relação ao dólar spot é dada por: PU D 1 Spot 1 CC sujo Ptax Spot CC lim po A derivada em relação ao cupom limpo é dada por: PU CC dc po 2 lim po (1 CClim ) OBS: A fórmula acima nos dá a exposição em dólar do contrato de DDI ao cupom cambial, pois é a forma mais utilizada no mercado. Ao contrário do contrato de DI1, o DDI possui theta mas esse, no entanto, não possui uma fórmula fechada e deve ser calculado de forma discreta. O cálculo do theta do DDI envolve conceitos que serão discutidos mais a frente, então, por hora, me limitarei a escrever a relação existente entre o theta do DDI e o Theta do dólar futuro de mesmo vencimento. DDI DOL (1 PRE ) 1

26 26 Onde: DDI = Theta do DDI para um dado vencimento DOL = Theta do DOL de mesmo vencimento PRE=Taxa de juros interna projetada para o vencimento do contrato Du= Dias úteis até o vencimento do contrato 6.3 FRC (FRA de Cupom Cambial) O FRC ou Forward Rate Agreement de Cupom Cambial foi criado pela BM&F para possibilitar a negociação cupom cambial limpo. Basicamente, quando negociamos um contrato de FRC estamos negociando dois contratos de DDI, numa proporção tal que não exista exposição cambial, apenas exposição ao termo de cupom cambial. Os contratos de FRC são sempre desmembrados em contratos de DDI longo, com vencimento no mês de referência do FRC, e em contratos de DDI do primeiro vencimento da BM&F, porém em ponta oposta. As quantidades geradas por cada operação de FRC é dada pela seguinte relação: QDDI longo QFRC QDDI Onde: curto QDDI ( dc 1 FRC longo longo dc 360 curto ) QFRC = Quantidade de contratos de FRC QDDI longo = Quantidade de contratos de DDI longo QDDI curto = Quantidade de contratos de DDI curto dc longo= Dias corridos até o vencimento do DDI longo dc curto= Dias corridos até o vencimento do DDI curto

27 27 Essa relação entre a quantidade de contratos de DDIs longos e de DDIs curtos é que nos garante que a operação tenha exposição zero a variação cambial. 6.4 DOL (Dólar Futuro) O Contrato de dólar futuro negocia a cotação do dólar no vencimento do contrato, mais especificamente a PTAX do dia útil anterior à liquidação do contrato. O contrato de DOL tem valor de face 50 mil dólares americanos e seu ajuste é calculado da seguinte forma. Ajuste ( PO PA)*50 Onde: PO = Preço operado PA = Preço de ajuste Os preços do DOL na BM&F são cotados em reais por mil dólares No caso de posições em aberto, basta substituir o preço operado pelo preço de ajuste do dia anterior. Para analisarmos quais são os fatores de risco que afetam uma posição de dólar futuro, vamos voltar à fórmula do próprio dólar futuro analisada anteriormente. ( 1 DIt ) DOLt Spot dct (1 CCt ) 360 t A partir desta fórmula podemos visualizar que existem quatro variáveis a serem estudadas: dólar spot, taxa de juros interna, cupom cambial e tempo. As exposições as três primeiras variáveis são calculadas de forma direta pelas respectivas derivadas. DOL ( 1 DI ) Spot dc (1 CC ) 360 DOL Spot DI (1 DI (1 CC 1 ) dc ) 360 Futuro 1 DI

28 28 DOL dc (1 DI ) CC 360 dc (1 CC ) OBS: Assim como no DDI a exposição do DOL ao cupom cambial está em dólar. O problema aparece quando temos que calcular o theta do dólar futuro. Pra começar, não seria uma boa idéia derivarmos em relação ao tempo, dado que usamos as notações de tempo diferentes, sendo uma em dias úteis e outra em dias corridos. Além disso, para calcularmos corretamente o theta do futuro, precisamos remeter a outra variável citada anteriormente, o CASADO. O theta do futuro é na verdade uma função direta do carrego do casado, que por sua vez é dado pela diferença entre o carrego do caixa em dólar e do caixa em reais. O CASADO, como já foi dito, é definido como o diferencial em pontos entre o dólar à vista, para liquidação em D+2, e o dólar futuro de primeiro vencimento da BM&F. Uma vez que a data de liquidação do futuro é fixa, sabemos que o que varia de um dia para o outro em relação ao mercado de CASADO é a data de liquidação do dólar à vista. É exatamente essa informação que utilizaremos para calcular o carrego do CASADO. Uma operação de dólar à vista envolve troca de caixa entre dois agentes. Se o BANCO A comprar 2 milhões de dólares do BANCO B pela cambial de USDBRL 1,800 para liquidação em D+2, sabemos que em dois dias o BANCO A deverá entregar R$ para o BANCO B e o BANCO B deverá entregar USD para o BANCO A. Ou seja, trata-se essencialmente de uma operação de caixa e qualquer tentativa de se calcular o carrego dessa operação deve levar em consideração o custo de carregamento desses 2 ativos: o dólar e o real. Apesar de este custo ser discutível, uma vez que cada instituição aplica seu caixa a taxas diferentes, o mercado costuma utilizar para o cálculo do carrego do caixa em reais o CDI de um dia e para o caixa em dólares a taxa dos FED Funds. Com base nas ponderações acima, podemos afirmar que para calcularmos o valor do carrego do CASADO, basta sabermos a data de liquidação do dólar à vista negociado hoje e do dólar à vista negociado em D+1. Com isto, sabemos quantos dias de CDI e quantos dias de FED Funds separam as as liquidações. Aplicando esse diferencial de juros a cotação do dólar, encontramos o carrego do CASADO.

29 29 (1 CDIover ) CASADO Spot ( dc 1 FF 360 Onde: CASADO 1) = Theta (carrego) do CASADO Spot = Dólar à vista para liquidação em D + 2 CDI over = Taxa do CDI de um dia FF = Taxa dos FED Funds Du = dias úteis entre a data de liquidação do dólar à vista negociado hoje e do dólar à vista negociado amanhã. Dc = dias corridos entre a data de liquidação do dólar à vista negociado hoje e do dólar à vista negociado amanhã. Exemplo Numérico Hoje 01/04/2010 D + 2 de hoje 06/04/2010 Amanhã 05/04/2010 D + 2 de amanhã 07/04/2010 Dias de CDI 1 Dólar Spot 1.800,0 Dias de Fed Funds 1 Casado Hoje 10,20 CDI Over 8,62% Variação Casado 0,58 FED Fundes 0,19% Casado Amanhã 9,62 Tabela 6.1 Cálculo do Carrego do CASADO Agora que já definimos o carrego do CASADO, podemos voltar à discussão sobre o theta do futuro. A primeira coisa que devemos fazer é olhar a relação entre o futuro curto da BM&F e o dólar spot. Spot DOL curto CASADO Dessa relação tiramos o valor do theta do futuro curto. Supondo um dólar spot parado, temos que: DOL curto Casado Agora, para calcularmos o theta dos futuros com outros vencimentos, escreveremos a fórmula de um futuro genérico em função do dólar curto. DOL longo DOL curto ( ) (1 DIc, l ) ( dcl dcc ) 1 CCc, l 360 l c

30 30 Onde: DI c, l = Taxa termo do DI entre o vencimento do futuro curto e o vencimento do futuro longo. CC c, l = Taxa termo do Cupom Cambial entre o vencimento do futuro curto e o vencimento do futuro longo. l = Dias úteis para o vencimento do futuro longo c = Dias úteis para o vencimento do futuro curto dc l = Dias corridos para o vencimento do futuro longo dc c = Dias corridos para o vencimento do futuro curto Como podemos perceber, o futuro longo é proto do futuro curto por um termo de taxas de juros e esse termo não possui carrego, logo se torna trivial calcularmos o theta dos futuros longos. Basta multiplicarmos o theta do futuro curto pelo mesmo termo de taxa de juros. DOL longo DOL curto ( l c ) (1 DIc, l ) ( dcl dcc ) 1 CCc, l 360 DOL CASADO DOL longo curto 6.5 FRP0 (Forward Points) Contrato de FRP0 negocia o diferencial de pontos entre a PTAX formada no próprio dia e dólar futuro curto. Por exemplo, se comprarmos um contrato de FRP0 ao preço de 10 pontos e a PTAX do dia for 1,780, no final do dia será como se tivéssemos comprado um contrato de dólar futuro curto ao preço de 1,790. Esse contrato é largamente utilizado para zerar exposições a PTAX. Essa é exposição é comum nos contratos de derivativos cambiais, pelo fato de o Real não ser uma moeda conversível. Sendo assim, a grande maioria dos contratos de derivativos cambiais é liquidada pela PTAX, gerando uma exposição para os bancos quando os derivativos não vencem junto com os contratos de dólar da BM&F. OBS: também é negociado na BM&F o FRP1. A única diferença em relação ao FRP0 é que ele negocia o diferencial da PTAX do dia seguinte em relação ao futuro curto.

31 31 7 PRINCIPAIS DERIVATIVOS NEGOCIADOS EM BALCÃO 7.1 NDF (Non-deliverable Forward) O NDF é um contrato que se assemelha ao contrato de dólar futuro, porém com uma pequena diferença. Enquanto, no dólar futuro você tem ajustes diários, que são calculados pela diferença entre o preço operado (ou o preço de ajuste do dia anterior no caso de uma posição em aberto) e o preço de ajuste, no NDF a liquidação se dá apenas no vencimento do contrato ou numa eventual pré-liquidação. Por conta disso, o valor a mercado de um NDF é dado pelo resultado futuro trazido a valor presente. Essa diferença gera pequenas alterações no cálculo das exposições ao dólar spot, ao cupom cambial, a taxa de juros interna e ao tempo. NDF Spot NDF DI Nocional dc 1 CC 360 Forward (1 DI 1 ) Nocional NDF CC dc Nocional 360 (1 CC dc ) ; OBS: Calculada em dólar 1 Nocional CASADO NDF {(1 CDI over) [ Futuro (1 ) Forward ] Futuro Forwrad} Spot CASADO (1 DI) Onde: Nocional: Valor futuro em dólares do contrato de NDF Forward: Cambial futura do dólar negociada no início da operação Futuro: Valor atual do dólar futuro para o mesmo vencimento do NDF CC: Cupom Cambial para a data de vencimento do NDF DI: Taxa de juros interna para a data de vencimento do NDF Dc: Dias corridos até o vencimento do NDF Du: Dias úteis até o vencimento do NDF Spot: Dólar a vista para liquidação em D + 2

32 Swap Dólar x Pré O swap dólar pré funciona essencialmente com um NDF, só que é escrito de forma diferente. Enquanto no NDF negocia-se um taxa forward para o dólar, no swap são negociados três fatores: dólar spot, cupom cambial e taxa pré em reais. No entanto, a fixação desses 3 fatores nos fornece uma taxa forward implícita, fazendo com que o swap se comporte exatamente como um NDF. A forward implícita é dada pela seguinte fórmula: Forward Onde: 0 Spot 0 (1 PRE 0 ) dc0 1 CC0 360 Forward 0 = Forward implícita Spot 0 = Dólar a vista de partida do swap PRE 0 = Taxa pré em reais do swap CC 0 = Taxa pré em dólares do swap 0 = Dias úteis de ração do swap dc 0 = Dias corridos de ração do swap 0 As fórmulas de cálculo dos fatores de risco são as mesmas utilizadas para o contrato de NDF, porém com as pequenas alterações. A taxa forward do NDF deve ser substituída pela forward implícita do swap e o nocional do NDF deve ser substituído pelo nocional futuro em dólares do swap, que é dado pela seguinte fórmula. Nocional futuro Nocional 0 dc0 ( 1 CC0 ) 360

33 Swap Dólar x CDI O swap de dólar contra CDI é muito parecido com o swap dólar x pré, exceto pelo fato de neste a ponta em reais ser flutuante, logo não existe o risco pré em reais. O valor do swap não muda quando a curva de juros em reais varia. Vejamos como ficam as fórmulas para o swap dólar x CDI. Swap Nocional S 0 CC 1 CC dc 360 dc dc0 Nocional 0 (1 CC0 ) Swap dc 360 ; OBS: Calculada em dólar CC 360 dc 2 (1 CC ) 360 VF Swap Reais [1 (1 CDI over ) 1 ] VF Dólar Futuro [ 1 (1 CDI (1 DI) over ) 1 CASADO (1 )] Spot CASADO VF Dólar VF Nocional 0 dc0 ( 1 CC0 ) 360 Re ais Nocional 0 Spot0 Fator CDI (1 DI) n Fator CDI ( 1 CDI i ) Onde: Fator CDI i0 1 = Fator acumulado do CDI até a data atual Nocional 0 = Nocional em dólares do swap Spot 0 = Dólar inicial do swap CC 0 = Taxa pré em dólares do swap dc 0 = Dias corridos de ração do swap Futuro: Valor atual do dólar futuro para o mesmo vencimento do NDF CC: Cupom Cambial para a data de vencimento do swap DI: Taxa de juros interna para a data de vencimento do swap Dc: Dias corridos até o vencimento do swap Du: Dias úteis até o vencimento do swap

34 34 8 OPÇÕES DE DÓLAR As opções de dólar foram separadas em um capítulo a parte neste trabalho por tratar-se de um assunto mais extenso e cuja complexidade merece uma atenção especial. O objetivo principal deste trabalho, com relação às opções, é mostrar como algumas técnicas podem nos ajudar a utilizar o modelo tradicional de Black de Scholes mesmo em ambientes em que algumas das premissas básicas desse modelo não sejam observadas. As as principais questões que serão abordadas são a existência da superfície de volatilidade no lugar da volatilidade constante e a não continuidade do tempo. Também veremos alguns pequenos ajustes que são feitos nas taxas de juros por questões de notação diferente entre o mercado interno e o externo. 8.1 Black and Scholes (B&S) Primeiramente, vamos analisar o modelo de Black and Scholes pela ótica do mercado brasileiro, onde faremos algumas considerações sobre os inputs tradicionais do modelo. Abaixo, podemos visualizar a fórmula tradicional de B&S para moedas. c S e r f T rt N( d1) X e N( d2 ) p X e Onde: d 1 r T r f T N( d2) S e N( d1) 2 S ln( ) [ r rf ] T X 2 T d 2 2 S ln( ) [ r rf ] T X 2 d1 T c = preço da call p = preço da put S = Dólar a vista (spot) X = Strike r = taxa de juros em reais T r f = taxa de juros em dólar = volatilidade implícita T = tempo, em anos, para o vencimento da opção

35 35 Sabemos que as taxas de juros no modelo de B&S devem ser taxas exponenciais, no entanto, esta não é a notação utilizada nos mercados de juros no Brasil, logo precisamos converter as taxas antes de usá-las no modelo. Além disso, assim como a maioria dos derivativos cambiais negociados no Brasil, as opções de dólar também vencem pela PTAX do dia anterior a data de liquidação das opções. Como a PTAX é uma média formada rante o dia mas que muitas vezes fica praticamente definida pela manhã, é de praxe no mercado se descontar um dia de volatilidade na precificação das opções, de tal forma que o tempo T utilizado nas equações passa a ser: 1 T = dias úteis para a liquidação da opção E as taxas exponenciais devem ser calculadas da seguinte forma; ln[( 1 PRE ) ] r T dc ln[ 1 CC ] r 360 f T Onde: CC: Cupom Cambial para a data de vencimento da opção DI: Taxa de juros interna para a data de vencimento da opção dc: Dias corridos até o vencimento da opção : Dias úteis até o vencimento da opção

36 Superfície de Volatilidade A superfície de volatilidade nada mais é do que uma correção que o mercado faz ao modelo de B&S. A superfície de volatilidade tem a capacidade de ajustar as probabilidades de ocorrência de determinados eventos. O mercado sabe que a volatilidade dos ativos não é constante e que ela se comporta de determinadas maneiras em cenários de calmaria ou de estresse. São essas características que definem a aparência de uma superfície de volatilidade. Abaixo podemos ver uma típica superfície de volatilidade para opções de dólar no Brasil. Superfície de Volatilidade 35,00% 30,00% 25,00% Vol 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% Prazo 0% 10% 35% 65% 90% 100% Delta Put Gráfico 8.1 Superfície de Volatilidade por Deltas Como é possível perceber, a superfície não é definida em função de strikes, mas em função dos deltas. Isso é uma característica marcante no mercado de moedas mundial, não só no Brasil. A utilização da superfície em função dos deltas tem como objetivo suavizar essa superfície, além de ser uma forma de parametrização que favorece análises históricas do comportamento da volatilidade.

37 Superfície por Strike 25,00% 20,00% 15,00% Vol 10,00% 5,00% 0,00% Strike Prazo 1400 Gráfico 8.2 Superfície de Volatilidade por Strikes Outra característica marcante na curva de volatilidade é sua inclinação. Como podemos perceber, as opções de deltas mais altos, possuem volatilidades mais elevadas. Isso é decorrente de um histórico de volatilidades realizadas mais elevadas em cenários em que a cotação do dólar sobe Construindo uma superfície de Volatilidade O modo mais difundido de se construir uma superfície de volatilidade é a partir de volatilidades at the money (ATM), Risk Reversals (RR) e Butterflies (BF). A volatilidade ATM é a volatilidade da opção de strike igual ao forward de mesmo vencimento da opção e é o ponto de partida para a construção da superfície. O Risk Reversal é uma medida de assimetria representada pela diferença entre a volatilidade da call e da put de mesmo delta, ou seja, o RR de 25 é a diferença entre a volatilidade da call de 25% de delta e a volatilidade da put de 25% de delta. RR 25 25c 25p O Butterfly é uma medida de convexidade representada pela diferença entre a média das volatilidades da call e da put de mesmo delta e a volatilidade ATM. BF 25 25c 2 25p ATM Em geral, utilizamos sete parâmetros para a construção da superfície de volatilidade: Vol ATM, RR25, BF25, RR10, BF10, RR5 e BF5

38 38 A idéia é conseguir com esses parâmetros uma curva que se aproxime o máximo possível dos pontos observados no mercado. Esses parâmetros, no entanto, só nos fornecem sete pontos da curva e nós precisamos ainda encontrar os pontos intermediários. Para tal, podemos fazer uso, por exemplo, de um spline cúbico 1, que é um modelo de interpolação muito difundido. Com o que vimos até aqui, nós já somos capazes de construir uma curva de volatilidade para cada vencimento. No entanto, a nossa superfície é em função de deltas e não de strikes. Acontece que o delta de uma opção não é função apenas do strike. Ele depende também da volatilidade implícita, logo precisamos de um mecanismo que nos permita achar a volatilidade para um dado strike. A forma mais usual de se fazer isso é através de um processo iterativo. Começamos o processo usando a Vol ATM para calcular o delta da opção. Com esse delta, voltamos à curva de vol e conseguimos uma nova volatilidade que é usada para calcular um novo delta. Repetimos esse processo até que os deltas convirjam. Demonstração do Processo para Obtenção da Volatilidade por Strike Dias úteis 40 Dias Corridos 57 Delta Put VOL Futuro 1,760 0% 13,22% Cupom Limpo 1,05% 5% 13,18% DI 8,95% 10% 13,15% Strike 1,800 25% 13,43% 35% 13,95% Processo Iterativo 50% 14,60% Passos Vol Delta Put 65% 15,85% Passo 1 14,60% -64,05% 75% 16,88% Passo 2 13,76% -65,00% 90% 19,36% Passo 3 13,76% -64,99% 95% 20,42% Passo 4 13,76% -64,99% 100% 21,51% Passo 5 13,76% -64,99% Tabela 8.1 Obtendo Volatilidade pelo Strike 1 Ver Weisstein, Eric W. "Cubic Spline." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

39 39 Como podemos perceber, o processo de convergência é bem rápido. Com isso, já somos capazes encontrar a volatilidade de cada strike para um dado vencimento cuja curva de vol seja conhecida. No entanto, o mercado só apresenta liquidez para negociação de alguns vencimentos de opção então precisamos de um mecanismo de interpolação que nos dê as curvas de volatilidade intermediárias, para os termos de menor liquidez. Uma das formas de se fazer isso é construindo uma curva intermediária a partir da interpolação das volatilidades ATM de dois vencimentos e posteriormente interpolando os spreads entre a vol ATM e as vols dos demais deltas ( ATM 2 2 ATM 1 1) ATM termo 2 1 ATM x ATM ATM termo x x ( 1) SP i x SPi x i 2 1 ( SPi SP 1) Vol i Onde: x ATM x SPi x ATM termo = Termo de volatilidade ATM entre o vencimento 1 e o vencimento 2 ATM 1 = Volatilidade ATM para o vencimento 1 ATM 2 = Volatilidade ATM para o vencimento 2 ATM x = Volatilidade ATM para um vencimento intermediário entre 1 e 2 SP i 1 = Diferença entre a volatilidade do delta i para o vencimento 1 e a volatilidade ATM para o mesmo vencimento SP i 2 = Diferença entre a volatilidade do delta i para o vencimento 2 e a volatilidade ATM para o mesmo vencimento SP i x = Diferença entre a volatilidade do delta i para o vencimento x e a volatilidade ATM para o mesmo vencimento Vol i x = Volatilidade do delta i para o vencimento x 1 Método extraído do livro Fx Options and Structured Options disponível em

40 40 Abaixo, temos um exemplo de construção de uma curva intermediária. Construindo uma Curva de Vol Intermediária n Delta Put Vols Vols Spreads Spreads Spreads Vols 0% 12,88% 13,22% -0,72% -1,38% -1,09% 13,21% 5% 12,81% 13,18% -0,79% -1,42% -1,15% 13,16% 10% 12,75% 13,15% -0,86% -1,46% -1,20% 13,11% 25% 12,78% 13,43% -0,83% -1,18% -1,02% 13,28% 35% 13,15% 13,95% -0,45% -0,65% -0,56% 13,74% 50% 13,60% 14,60% 0,00% 0,00% 0,00% 14,31% 65% 14,55% 15,85% 0,95% 1,25% 1,12% 15,43% 75% 15,33% 16,88% 1,73% 2,28% 2,04% 16,34% 90% 17,34% 19,36% 3,74% 4,76% 4,32% 18,62% 95% 18,17% 20,42% 4,57% 5,82% 5,28% 19,59% 100% 19,01% 21,51% 5,41% 6,91% 6,26% 20,57% Tabela 8.2 Construindo uma Curva de Vol Intermediária 8.3 As Gregas, seus problemas e possíveis ajustes Quando nos propomos a fazer um estudo sobre opções, invariavelmente somos levados a discutir suas derivadas, as populares Gregas. As gregas mais famosas são o delta, o gamma, o vega, o theta e o rho. Veremos mais adiante que o calculo dessas gregas pode se tornar um pouco mais complicado no mundo real do que vemos na maioria dos livros sobre opções O Delta, o Gamma e superfície de volatilidade O delta é a grega mais famosa e é a derivada que mede quanto varia o preço da opção quando variamos o preço do ativo objeto. c Delta S Apesar do conceito de Delta ser bem simples, essa é uma das gregas mais problemáticas. O primeiro problema e mais simples é a definição de qual delta utilizar. A maioria dos livros fornece a fórmula do Delta Forward, que é a derivada do preço da opção em relação ao preço do forward do ativo objeto de mesmo vencimento. No entanto, a utilização do Delta Forward dificulta a segregação dos riscos associados às gregas, particularmente quando tratamos de uma carteira de opções com vencimentos variados.