MÉTODOS ESTATÍSTICOS E DELINEAMENTO EXPERIMENTAL TESTES NÃO PARAMÉTRICOS. Armando Mateus Ferreira

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1 MÉTODOS ESTATÍSTICOS E DELIEAMETO EXPERIMETAL TESTES ÃO PARAMÉTRICOS Armando Mateus Ferrera

2 Índce Introdução... Testes de Aleatoredade Teste das sequêncas (runs) Testes de localzação Teste do snal (sgn) Teste de Wlcoxon (Wlcoxon sgned rank) Teste de Wlcoxon para duas amostras emparelhadas Teste de Mann-Whtney-Wlcoxon para duas amostras Aproxmação do teste Mann-Whtney-Wlcoxon à dstrbução normal 4 Análse de varânca Teste de Kruskal-Walls... 6 A estatístca de teste é: Teste de Fredman Coefcente de correlação de Spearman... 36

3 TESTES ÃO PARAMÉTRICOS Introdução Os testes de hpótese recebem a desgnação de testes paramétrcos se satsfazem smultaneamente as seguntes duas condções: Os testes ncdem explctamente sobre um parâmetro de uma ou mas populações (por exemplo, sobre a méda ou valor esperado, ou sobre a varânca); A dstrbução de probabldades da estatístca de teste pressupõe uma forma partcular das dstrbuções populaconas de onde as amostras foram recolhdas. Por exemplo, a dstrbução da estatístca de teste do teste t-student para comparar as médas de duas amostras pressupõe que as amostras foram retradas de uma população que se dstrbu segundo uma função de probabldades ormal, e além dsso pressupõe também que as varâncas das duas amostras são homogéneas. Os erros ou resíduosε (tal que x = μ + ε ) têm dstrbução normal; Os erros ou resíduosε têm varânca fnta e constante σ ; Os erros ou resíduosε são ndependentes. Assm, se algum destes pressupostos é volado, então os testes tradconas vstos anterormente não têm rgor estatístco, e deverão ser evtados, e em sua substtução dever-se-ão utlzar testes que não exgem o cumprmento de tas pressupostos. Estes testes desgnam-se por testes não paramétrcos. Os testes não paramétrcos não estão condconados por qualquer dstrbução de probabldades dos dados em análse, sendo também desgnados por dstrbuton-free tests. Tal como não é estatstcamente rgorosa a utlzação de testes paramétrcos quando não se cumprem os pressupostos necessáros, também deverá ser evtada a utlzação dos testes não paramétrcos em stuações em que prevalecem as condções de utlzação dos testes paramétrcos, pos estes (paramétrcos) são mas potentes que os testes não paramétrcos. Trate-se de um teste paramétrco ou não paramétrco, para lá dos pressupostos acma referdos, qualquer teste de hpóteses só tem valdade estatístca se as amostras sobre as que estão a ser aplcados forem aleatóras. Assm, dentro dos testes não paramétrcos, veremos alguns que se aplcam para verfcar a aleatoredade das amostras. A fórmula de Welsh para calcular os graus de lberdade do teste de comparação de duas amostras cujas varâncas não são homogéneas resulta se a volação deste pressuposto não é muto acentuada. Se as varâncas são muto dferentes, é preferível usar um teste não paramétrco.

4 Para verfcar a forma de dstrbução das populações, a fm de se decdr pela utlzação de um teste paramétrco ou por um teste não paramétrco, podem usar-se os testes de bondade ou qualdade de ajustamento das amostras a funções de dstrbução de probabldades, tas como o teste do qu-quadrado, o teste de Kolmogorov-Smrnov, teste de Shapro-Wlk. A maora dos programas estatístcos têm estes testes mplementados. Testes de Aleatoredade Imagne-se que em vnte lançamentos de uma moeda ao ar, se observa a segunte sequênca alternada da face saída: cara-coroa-cara-coroa-cara-coroa-cara-coroa-etc, sempre com a mesma regulardade. Faclmente se percebe que este resultado não é aleatóro. O que é nsólto neste resultado não é o facto de se terem regstado caras e coroas, mas sm o facto de as faces terem saído sempre de modo alternado. Em geral, a não aleatoredade pode ocorrer de mutas formas: msturas de populações com dferentes médas ou dferentes varâncas, correlação postva ou negatva entre observações sucessvas, perodcdade, etc. os gráfcos seguntes esquematzam-se algumas stuações de não aleatoredade. Dstrbução aleatóra Observações correlaconadas postvamente Observações correlaconadas negatvamente Observações provenentes de duas populações. Teste das sequêncas (runs) Este teste aplca-se em conjuntos de observações classfcadas dcotomcamente (geralmente ou, que podem ser as codfcações de varáves não numércas). Contudo, a amostra em análse pode ser uma amostra contínua, mas devendo classfcarse neste caso cada uma das observações por um crtéro dcotómco. Por exemplo, pode 3

5 usar-se o teste das sequêncas para testar se as observações se dstrbuem aleatoramente abaxo (codfcado com ) ou acma (codfcado com ) de um valor médo ou de um valor medano. Defne-se por sequênca um conjunto de observações dêntcas (por exemplo,,,,...) que é preceddo ou suceddo por um conjunto de observações de outro tpo (por exemplo,,,...). Cada um destes conjuntos pode conter uma só observação. Por exemplo, o conjunto de observações,,,,,,, contém 8 observações e 6 sequêncas ou runs. Em geral, uma amostra de dmensão (com observações codfcadas com o valor e observações codfcadas com o valor ), apresentará r sequêncas. O teste de hpóteses é: A amostra é aleatóra : A amostra não é aleatóra : A estatístca do teste basea-se no número de sequêncas contdas na amostra (geralmente desgnado por R). Geralmente o teste é blateral: rejeta-se a hpótese nula quando há poucas sequêncas dferentes (esta stuação levada a extrema, conduzra a uma únca sequênca, ou a duas sequêncas, que equvalera à mstura de duas populações); também se rejeta a hpótese nula quando há mutas sequêncas dferentes: na stuação extrema havera tantas sequêncas quantas as observações, o que sgnfca que a segur a uma observação codfcada com, vra obrgatoramente uma observação codfcada com. Por exemplo, se na amostra,,, 5, 5, 5 codfcarmos as observações da segunte forma:, para observações abaxo da medana; para observações acma da medana; conclu-se que exstem apenas sequêncas, o que eventualmente é um snal de não aleatoredade. Exstem tabelas para a dstrbução do número de sequêncas, em função do número de observações em cada uma das duas categoras em que amostra é clasfcada. Admtndo que a hpótese nula é verdadera (amostra aleatóra), a dstrbução de R pode ser aproxmada pela dstrbução ormal com parâmetros:. A. B μ R = + σ R = ( ).( )..... A B A B estas condções, a estatístca de teste é: 4

6 Exemplo : R μr Z = ~, σ R Em = 5 lançamentos sucessvos de uma moeda ao ar regstaram-se os seguntes resultados (em que E representa a saída de Cara e C a saída de Coroa): E, E, C, C, E, C, E, E, C, E, C, C, E, E, E, C, E, E, C, E, E, C, C, E, C Pretende-se verfcar se a amostra é aleatóra. A amostra é aleatóra : A amostra não é aleatóra : E = 4 C = R = 6 a tabela de dstrbução do número de sequêncas, para C = e E = 4, e para α = 5%, os números crítcos de sequêncas são 8 e 9, sto é, a regão crítca é para R< 8 R> 9 e a regão de acetação é para 8 R 9. Como R = 6, conclu-se que se deve acetar a hpótese nula. Fazendo a aproxmação à normal, teríamos: μ σ R R. A. B 4 = + = + = ( ). A. B.. A. B = = = A estatístca de teste é então: R μr Z = = =.8 σ.46 Decsão: R Fxando um nível de sgnfcânca, por exemplo α = 5%, e admtndo que o teste é de natureza blateral (o que corresponde a que R pode afastar-se de μ R em ambos os sentdos), o valor crítco é Z.5 = ±.96 ; como Z =.8 < Z.5 =.96, conclu-se que não se deve rejetar a hpótese de que a amostra é aleatóra. A mesma decsão pode ser tomada estmando o valor de probabldade lmte: ( α ) ( α ) p value = Pr Z < Z calc = Pr Z <.8 =.66, pelo que se aceta. 5

7 Exemplo : a tabela segunte apresentam-se o peso à nascença (P) e o peso aos 45 das (P45) de um lote de 3 borregos; a varável RESIDUOS contém os resíduos da equação de regressão P45 = P : Pretende-se verfcar se os resíduos se dstrbuem aleatoramente em torno do valor zero (que é um dos pressupostos da regressão lnear). Isto é: : Os resíduos dstrbuem-se aleatoramente em torno de Os resíduos não se dstrbuem aleatoramente em torno de : P P45 RESIDUOS GRUPO Para efectuar o teste das sequêncas, temos de classfcar cada um dos resíduos numa varável dcotómca:, se o resíduo é nferor a zero;, caso contráro (coluna GRUPO). ote-se que a amostra está ordenada em termos da varável P. 6

8 A partr do quadro anteror, calcula-se: = 4 = 6 R = 5 a tabela de dstrbução do número de sequêncas, para = 4 e = 6, e para α = 5%, os números crítcos de sequêncas são e, sto é, a regão crítca é para R< R> e a regão de acetação é para R. Como R = 5, conclu-se que se deve acetar a hpótese nula. Fazendo a aproxmação à normal, teríamos: μ σ R R. A. B 4 6 = + = + = ( ). A. B.. A. B = = = A estatístca de teste é então: Z R μr = = =.3484 σ.6786 R Decsão: Fxando um nível de sgnfcânca, por exemplo α = 5%, e admtndo que o teste é de natureza blateral (o que corresponde a que R pode afastar-se de μ R em ambos os sentdos), o valor crítco é Z.5 =±.96 ; como Z =.3484 < Z.5 =.96, conclu-se que não se deve rejetar a hpótese de que a amostra é aleatóra. A probabldade lmte é p value =.775, pelo que se deverá acetar a hpótese nula com um nível de sgnfcânca de Testes de localzação O valor esperado, esperança matemátca ou méda μ é o parâmetro de localzação mas frequentemente utlzado em nferênca estatístca. o entanto, a medana populaconal (vamos representá-la por ~ μ ), que corresponde também a um valor central das dstrbuções, pode consttur uma alternatva à méda, uma vez que: É menos nfluencada por valores extremos (consderemos a segunte amostra, com 5 observações:, 3, 3, 4, 5; a méda é.4, enquanto que a medana é 7

9 3; o valor extremo, muto afastado do contexto das restantes, afecta bastante a méda, causando um envezamento deste parâmetro; a medana não é afectada); Quando as dstrbuções são assmétrca, a medana stua-se numa posção mas próxma do valor mas observado, podendo por sso ter mas sentdo como medda da tendênca central; Quando as dstrbuções são smétrcas, a medana populaconal e a méda ou valor esperado concdem, possundo assm o mesmo mérto como medda de tendênca central. Alguns testes não paramétrcos acerca de um parâmetro de localzação utlzam a medana como esse parâmetro. Estes testes consttuem uma alternatva aos testes paramétrcos acerca da méda. 3. Teste do snal (sgn) O teste do snal desenvolve-se com base em amostras aleatóras provenentes de populações contínuas. a hpótese nula admte-se que a medana populaconal possu um determnado valor partcular, ~ μ : ~ ~ ~ ~ : μ = μ : μ μ (note-se que a hpótese alternatva pode ser unlateral, ~ μ > ~ μ ou ~ μ < ~ μ ). A estatístca de teste é Y = número de observações abaxo (ou acma) de ~ μ. Se a hpótese nula for verdadera e a amostra for aleatóra, o número de observações com valor nferor (ou superor) a ~ μ é uma varável aleatóra bnomal com parâmetro p =.5. Então, o teste de hpótese é equvalente a testar: : p=.5 : p.5 (tratando-se de um teste unlateral, a hpótese alternatva será : p<.5 ou : p >.5). Os valores crítcos para estabelecer a regão de acetação e a regão crítca são obtdos pelo cálculo das probabldades de função bnomal. Se o teste é blateral, pretende-se estabelecer a regão crítca: c ( Y Yc Y Y ) c p= = B p + B p s Pr.5 ; ; Y k= k= Yk s 8

10 em que Yc e Yc são respectvamente os valores de Y = número de observações abaxo s (ou acma) de ~ μ correspondentes a uma probabldade α (nível de sgnfcânca), e B( ; p) é a probabldade bnomal acumulada (correspondente a k= Yk s superor da dstrbução). ote-se que Yc e Yc são smétrcos em relação a ~ μ s. α na cauda O nome do teste (snal ou sgn) provém de, ao fazer os cálculos, se regstavam tradconalmente por ou por + as observações nferores ou superores a ~ μ. Este teste tem a vantagem de poder aplcar-se a dados de tpo dcotómco que não podem regstar-se numa escala numérca, mas que podem representar medante respostas negatvas ou postvas. Por exemplo, pode ser usada em ensaos em que se regstam resultados qualtatvos do tpo fracasso ou êxto. Exemplo: Admta-se que a produção medana de lete (em ordenha, após retrar borregos) de um determnado rebanho de ovelhas Merno da Bera Baxa é de 6 ltros/anmal e ano. uma amostra de ovelhas retradas desse rebanho obtveram-se as seguntes produções por anmal e ano: 44.; 46.6; 48.; 5.8; 6.3; 6.7; 63.6; 7.7; 77.4; 8.4; 96.; 5.6 Pretende-se verfcar: ~ ~ : μ = 6 : μ 6 A hpótese nula estabelece que a produção medana é de 6 ltros; se esta hpótese é verdadera, 5% do rebanho terá uma produção nferor (e 5% terá uma produção superor a 6 l); sto é, o anteror teste pode escrever-se como: : p=.5 : p.5 estas condções, se o tamanho da população for muto grande em relação à amostra, o número de anmas com produção nferor a 6 l numa amostra de anmas, segue Β ;.5. uma dstrbução bnomal o exemplo, Y=4 (número de anmas com produção nferor a 6). o gráfco segunte apresentam-se as probabldades de acontecerem,,,..., sucessos numa prova de Bernoull com p =.5 (cada uma destas probabldades é dada k k Pr kb ; p = C p p ). pela expressão: k 9

11 Assm, para um nível de sgnfcânca α = 5%, e sendo o teste blateral, a hpótese nula sera rejetada se na amostra ocorrerem menos de 3 ou mas de 9 anmas com produção nferor a 6 l Rejeção Rejeção º anmas com produção < 6 Este valor (ou quantl da dstrbução bnomal) pode ser calculado com a função CRIT. BIOM ; p; α : (como se trata de um teste blateral, o quantl que defne o lmte superor da regão de acetação calcula-se colocando-o à mesma dstânca que separa o quantl nferor e a méda). A decsão do teste também se pode efectuar, calculando a probabldade lmte (que geralmente todos os programas estatístcos apresentam nos testes de hpótese). a folha de cálculo Excel, a função DISTRBIOM ( k; ; p; cumulatvo ) calcula a função de dstrbução cumulatva de probabldades bnomal, até a k sucessos:

12 Tratando-se de um teste blateral, a probabldade lmte será dupla desta (sto é, p value =.9385 =.3877 ). Se o tamanho da amostra é muto grande, o cálculo das probabldades da função bnomal pode ser aproxmado pela função de dstrbução normal estandardzada, sendo: ~ μ = p. ( p) σ = p.. e estatístca de teste é: Z = ( k+.5).5. p..( p) o exemplo apresentado, esta aproxmação é: Z ( k ) p..( p) = = = Para α = 5%, os quants da dstrbução normal que estabelecem as regões de acetação e de rejeção da hpótese nula são Z.5 = ±.96, donde se conclu que se deve acetar. O valor da probabldade lmte, pela aproxmação à normal é p value =.3865, valor muto aproxmado ao estmado com a função bnomal.

13 3. Teste de Wlcoxon (Wlcoxon sgned rank) o teste do snal os dados são transformados em contagens de uma varável dcotómca, geralmente representados por - e por +, correspondentes às observações abaxo ou acma da medana ~ μ. Ao proceder desta forma perde-se a nformação relatva às dferenças de valor entre as observações e a medana. Por exemplo, se ~ μ =, no teste do snal é ndferente que uma observação tenha o valor 5 ou o valor : no cálculo da estatístca de teste, em ambos os casos sera contablzada como uma observação +, sto é, acma de ~ μ. o teste de Wlcoxon, a magntude das dferenças é tda em conta, exgndo-se contudo que a população seja de natureza contínua e smétrca. estas condções, o teste de Wlcoxon é mas potente que o teste do snal. Tal como no teste do snal, consdere-se o segunte teste de hpóteses: ~ ~ ~ ~ : μ = μ : μ μ (note-se que a hpótese alternatva pode ser unlateral, ~ μ > ~ μ ou ~ μ < ~ μ ). Se a população for contínua e smétrca, a amostra for aleatóra e for verdadera, então as dferenças: ~ d = x μ deverão dstrbur-se de forma smétrca em torno de. Ou seja, observar-se-ão dferenças postvas e negatvas com valores absolutos da mesma ordem de grandeza, e em número aproxmadamente gual. A avalação relatva da magntude das dferenças d pode ser efectuada ordenando de forma crescente, de a, os seus valores absolutos d e atrbundo a cada um destes o respectvo número de ordem (em nglês esta ordenação desgna-se por rank, de onde vem o nome do teste), com o snal negatvo ou postvo, consoante d sejam negatvo ou postvo. Se a população for smétrca em torno de ~ μ e for verdadera, a soma dos números de ordem referentes às dferenças d negatvas deverá ser aproxmadamente gual à soma dos números de ordem referentes às dferenças d postvas. Uma stuação contrára a esta benefca uma das hpóteses alternatvas. Por exemplo, se a soma dos números de ordem relatvos às dferenças postvas for muto maor do que a soma dos ~ ~ números de ordem das dferenças negatvas, então a hpótese alternatva : μ > μ tornar-se-á plausível. A estatístca de teste de Wlcoxon é baseada, justamente, na propredade que acaba de ser enuncada.

14 Os passos para o cálculo da estatístca de teste de Wlcoxon são: ~ Calculam-se as dferenças d = x μ ; Ordenam-se as dferenças d por ordem crescente dos respectvos valores absolutos d ; Atrbu-se um número de ordem sequencalmente a cada d ; os números de ordem referentes a d são preceddos do snal + ; os números de ordem referentes a d negatvos são preceddos do snal - ; Quando o valor absoluto de duas ou mas dferenças é o mesmo (sto é, quando exstem empates ou tes ), o número de ordem atrbuído a cada uma dessas dferenças com o mesmo valor absoluto d é a méda artmétca dos números de ordem que tas observações receberam se não estvessem empatadas. Sejam por exemplo as dferenças ordenadas a sequênca, 3, -3, 5, 7, -7, -7, 8; os respectvos números de ordem seram,.5,.5, 4, 6, 6, 6, 8. Quando exstem zeros, sto é, quando d =, estes valores devem gnorar-se, e consequentemente, reduzr o tamanho da amostra em tantas undades, tantos os zeros que exstam. Calcula-se a estatístca de teste, geralmente desgnada por T, e que resulta da soma dos números de ordem postvos (caso em que a estatístca de teste se representa por T + ) ou dos números de ordem negatvos (a estatístca de teste é representada por T ). ote-se que a estatístca de teste toma sempre um valor não negatvo, e para uma amostra de tamanho a soma de todos os números de ordem é: T + T = + ( + ). Se a hpótese nula é verdadera, as dstrbuções de T + e T são smétrcas em torno do valor esperado:. + 4 de modo que sera ndferente usar de T + ou T como estatístca de teste. Contudo, por comoddade, em cada uma das seguntes stuações de hpótese alternatva, é usual consderar: pótese nula pótese alternatva Estatístca de teste usual ~ ~ μ < μ T + ~ ~ ~ ~ μ = μ μ μ Mínmo de T + ou T ~ ~ μ > μ T 3

15 Exstem tabelas com os valores crítcos de T + ou T para decdr acerca da sgnfcânca do teste. Para amostras com 5 demonstra-se que a dstrbução amostral de T + (ou T ) se aproxma da dstrbução normal de parâmetros: Méda: Varânca: ( ). + μ T + = σ T + = 4 Se exstem empates a varânca deve ser corrgda, sendo neste caso a expressão para cálculo da varânca: Varânca: σ + 3 ( + )( + ) u =.. T 4 48 u em que u representa o número de empates no -ésmo grupo de observações guas. Quando se faz a aproxmação à função de dstrbução normal, a estatístca de teste é: Z T+ μt + = = σ T+ ( + ). T+ 4 ~,.. ( + )( + ) 4 Exemplo : Os seguntes dados referem-se aos pesos ao nascmento de uma amostra de 9 borregos:.9,.,.,.8, 3., 3., 3.3, 3.4, 3.7 Pretende-se averguar se podemos consderar que o peso medano dos borregos à nascença neste rebanho é de 3.3 kg. O teste de hpóteses é: ~ ~ : μ = 3.3 : μ 3.3 o segunte quadro apresenta-se o cálculo da estatístca de teste T + e T, conforme atrás descrto. Chama-se a atenção para a exstênca de dos empates e um zero; o zero deve ser gnorado, consderando = 8 ; as dferenças das observações para a medana μ = 3.3 correspondentes aos empates seram a ª e 3ª dferenças, se não houvesse empate ; assm, ambas terão número de ordem.5. 4

16 x ~ d = x μ d Ordem (+) Ordem (-) T + = 5 T = 3 Para amostras até 5 observações exstem tabelas dos valores crítcos da dstrbução das estatístcas T + e T, sto é, os valores das probabldades tas que Pr( T < + t ) e Pr ( T td ) ( T ) ( T ) >. a tabela em anexo, para um tamanho de amostra = 8, verfca-se que Pr < 5 = Pr > 3 =.39, ou seja, p value =.78 Assm, a hpótese nula não + é rejetada ao nível de sgnfcânca de 5%. e Caso não se dsponha da tabela, ou se opte por fazer a aproxmação à função de dstrbução normal, devem calcular-se os parâmetros desta: Méda: ( ) μ T + = = = Varânca (note-se que exstem duas dferenças empatadas, pelo que se deve fazer a correcção da varânca): u u T = = = σ + A estatístca de teste é então: Z T + μt = = =.86 σ T+ Para um nível de sgnfcânca α = 5%, e tratando-se de um teste blateral, o quantl, é Z.5 = ±.96, pelo que se conclu que não há crítco da dstrbução normal evdênca estatístca para rejetar a hpótese nula. A partr da estatístca Z =.86 também se pode calcular a probabldade lmte: p value =.684, sendo a decsão a mesma que anterormente. 5

17 Exemplo : Os dados seguntes referem-se ao peso vvo aos 45 das de um lote de borregos: Pretende-se verfcar se o peso medano aos 45 das de dade dos borregos deste rebanho é de kg. O teste de hpóteses pretenddo é: ~ ~ : μ = : μ o segunte quadro apresenta-se o cálculo da estatístca de teste T + e T, conforme atrás descrto. Chama-se a atenção para a exstênca de alguns empates ; devdo a estes empates, os números de ordem das dferenças são 7.5 para os dos pesos 8.5 (pos seram a 7ª e 8ª observações, e em caso de empate, recebem a méda dos números de ordem que receberam se não houvesse empate), e 3 para os três pesos 7. kg (se não houvesse empate, seram os números de ordem, 3 e 4, cuja méda é 3). x ~ d = x μ d Ordem (+) Ordem (-) T + = 9 T = 8 6

18 O valor esperado de T é:. + = = ote-se que T + = 9 e T = 8 são smétrcos em torno do valor esperado(5). A fm de calcular a estatístca de teste para proceder à decsão do teste, temos em prmero lugar de fazer a aproxmação à função de dstrbução normal. Os parâmetros são: Méda: ( ). + μ T + = = = Varânca (note-se que exstem dos grupos de observações guas, respectvamente com e com 3 observações): ( + )( + ) u u σ T + = = = A estatístca de teste é então: Z T + μt = = =.4855 σ T+ Para um nível de sgnfcânca α = 5%, e tratando-se de um teste blateral, o quantl, é Z.5 = ±.96, pelo que se conclu que não há crítco da dstrbução normal evdênca estatístca para rejetar a hpótese nula. A partr da estatístca Z =.4855 também se pode calcular a probabldade lmte: p value=.673, sendo a decsão a mesma que anterormente. 3.3 Teste de Wlcoxon para duas amostras emparelhadas Quando se têm pares de observações (, ),...,(, ) X Y X Y, e as dferenças d = X Y têm dstrbução normal, usa-se o teste paramétrco t-student para comparar as médas de duas amostras emparelhadas. Porém, se as dferenças d = X Y não se dstrbuem normalmente, pode usar-se o teste de Wlcoxon sobre as dferenças, desde que estas tenham um comportamento contínuo e smétrco. este caso, o teste de hpóteses é: 7

19 : μ = δ : μ δ d d em que μd é a méda das dferenças d X Y =. A estatístca de teste é mn ( T ; T ) +, sto é, o valor mínmo da soma dos números de ordem assocados aos valores postvos ou negatvos de d δ. Exemplo: Exstem dversos métodos de estmação do volume de madera produzdo pelas árvores, nomeadamente modelos de estmação baseados no dâmetro basal e modelos de estmação baseados no dâmetro à altura do peto (dap). Pretende-se comparar um método de estmação baseado no dâmetro basal com outro método baseado no dap. Para tal, os volumes (m3) de madera dos mesmas 5 pnheros foram estmados pelos dos métodos: Basal Dap Como exposto, pretendendo testar se as estmatvas pelos dos métodos são dêntcas, então a méda das dferenças entre as observações será nula, e o teste de hpóteses é: : μ = : μ d d em que d = V V. μd é a méda das dferenças basal dap o quadro segunte apresentam-se os cálculo do teste: V basal V dap d = V V d basal dap Ordem (+) Ordem (-) T + = 58.5 T = 6.5 8

20 A fm de calcular a estatístca de teste para proceder à decsão do teste, temos em prmero lugar de fazer a aproxmação à função de dstrbução normal. Os parâmetros desta aproxmação são: Méda: ( ) μ T + = = = Varânca (note-se que exstem três grupos de observações guas, cada um com observações): ( + )( + ) u u σ T + = = = A estatístca de teste é então: Z T + μt = = =.853 σ T+ Para um nível de sgnfcânca α = 5%, e tratando-se de um teste blateral, o quantl, é Z.5 = ±.96, pelo que se conclu que não há crítco da dstrbução normal evdênca estatístca para rejetar a hpótese nula. A partr da estatístca Z =.853 também se pode calcular a probabldade lmte: p value =.93, sendo a decsão a mesma que anterormente. 3.4 Teste de Mann-Whtney-Wlcoxon para duas amostras O teste de Mann-Whtney-Wlcoxon (ou teste M-W-W) é um teste não-paramétrco alternatvo ao teste t-student para comparar as médas de duas amostras ndependentes. O únco pressuposto exgdo para a aplcação do teste M-W-W é que as duas amostras sejam ndependentes e aleatóras, e que as varáves em análse sejam numércas ou ordnas (os pressupostos para a aplcabldade do teste t-student são mas exgentes: as populações de onde as amostras provêm têm dstrbução normal; as amostras são ndependentes e aleatóras; as populações têm uma varânca comum). Sejam e os tamanhos das duas amostras. O teste de hpóteses subjacente é: : As duas amostras têm dstrbuções dêntcas : As duas amostras têm dstrbuções dferentes ota: o teste de hpóteses também pode expressar-se pela comparação de medanas: 9

21 ~ ~ ~ ~ : μ = μ : μ μ A estatístca de teste U é calculada como se descreve em seguda. As observações das duas amostras são combnadas numa únca varável de tamanho +, sendo dentfcadas as respectvas provenêncas. O conjunto de observações assm consttuído pela junção das duas amostras é ordenado por ordem crescente, atrbundo o número de ordem à observação menor e o número de ordem + à observação maor. Caso haja empates ou tes, a cada uma das observações empatadas é atrbuído o número de ordem médo que essas observações teram se não estvessem empatadas. De seguda, calculam-se as somas dos números de ordem das observações de cada amostra: W : soma dos números de ordem das observações da amostra ; W soma dos números de ordem das observações da amostra ; : Calculam-se as quantdades: A estatístca de teste é: ( + ). U =. + W ( + ). U =. + W U ( U U ) = mn, A hpótese nula estabelece que as duas amostras têm a mesma dstrbução, e se tal acontecer, as médas (e também as medanas) das duas amostras são guas. Suponhamos que, na realdade, as duas amostras têm dstrbução dferente, e consderemos uma stuação extrema em que tal acontece, que sera numa stuação em que todas as observações de uma das amostras são nferores à menor observação da outra amostra, tal como se lustra no gráfco segunte: uma stuação destas, provavelmente estaremos na dsposção de acetar a hpótese alternatva como verdadera, ou seja, deveremos rejetar a hpótese nula.

22 Consderemos as duas amostras acma representadas grafcamente; a partr deste gráfco é possível estabelecer os números de ordem (não nteressam os valores x, mas sm a ordem ou lugar que cada observação ocupa) de cada uma das amostras (cada ponto representa uma observação): Amostra W = 55 Amostra W = 55 ( ). + U =. + W = + 55 = ( ). + U =. + W = + 55 = A estatístca de teste é então U ( U U ) = mn, = mn, = Se, pelo contráro, tvéssemos duas amostras cujas observações fossem guas aos pares (a prmera observação da amostra A gual à prmera observação da amostra B; etc), as dstrbuções das duas amostras seram exactamente guas, sendo guas os números de ordem das observações em ambas as amostras, stuação em que se devera acetar a hpótese nula: A partr deste gráfco é possível estabelecer os números de ordem de cada uma das amostras: Amostra A W A = 5 Amostra B W B = 5 ( ) B. B + UA = A. B + WB = + 5 = 5 ( ) A. A + UB = A. B + WA = + 5 = 5 A estatístca de teste é então U ( U U ) = mn, = mn 5,5 = 5 A Isto é, valores grandes da estatístca U são favoráves à acetação da hpótese nula, e valores pequenos de U são favoráves à não acetação da hpótese nula B

23 Exstem tabelas dos quants da dstrbução U de Mann-Whtney-Wlcoxon. Contudo, chama-se a atenção para que se deve ter o cudado de verfcar qual a estatístca U a que se refere a tabela. Esta chamada de atenção prende-se com o facto de que alguns autores consderam a estatístca U como sendo a estatístca atrás apresentada ( U = mn ( U, U) ); outros autores consderam como sendo o valor W (ou W ) atrás calculados; outros anda consderam a estatístca U =. U ou U =. U (por exemplo, Zar, 999) O programa SPSS utlza a estatístca U mn ( U, U ) MIITAB consdera a estatístca U = W. = aqu descrta. O programa Em anexo apresenta-se a tabela dos valores crítcos da estatístca U mn ( U, U ) atrás descrta, e apresentada por Johnson e Kuby (999). =, 3.4. Aproxmação do teste Mann-Whtney-Wlcoxon à dstrbução normal Se ambas as amostras em análse têm tamanhos guas ou superores a observações, pode fazer-se a aproxmação à função de dstrbução normal, com parâmetros:. Valor esperado: μ U = Varânca: σ ( + + ).. U = Se exstem empates ou tes nos números de ordem, deve fazer-se uma correcção no cálculo da varânca; sendo u os números de números de ordem empatados, a expressão para cálculo da varânca deve ser: Varânca:. σu = ( ) 3 3 u u A estatístca de teste é então: Z U μu = ~, σ U Exemplo: um ensao delneado com o objectvo de estmar os efetos da nalação prolongada de óxdo de cádmo, 5 cobaas foram sujetas em laboratóro a um ambente contamnado

24 com este óxdo, e cobaas estveram num ambente normal sem essa contamnação (grupo de controlo). A varável de nteresse é a concentração de hemoglobna após o ensao: Anmas expostos Grupo de controlo Pretende-se averguar se a nalação prolongada de óxdo de cádmo altera o nível de hemoglobna. O teste de hpóteses pode expressar-se pela comparação de medanas: ~ ~ ~ ~ : μ = μ : μ μ o quadro segunte apresentam-se os cálculos de W cadmo e W controlo : Teor de hemoglobna Grupo Ordem (Cádmo) Ordem (Controlo) 3.7 Cádmo 3.8 Cádmo 4. Cádmo 3 4. Cádmo Cádmo Cádmo Cádmo 7 5. Controlo Controlo Cádmo Cádmo Cádmo 5.7 Cádmo Cádmo 4 6. Controlo 5 6. Controlo Controlo 7 3

25 6.5 Cádmo Cádmo Cádmo 6.8 Controlo 6.9 Controlo 7. Controlo Controlo Controlo 5 W = 45 W = 8 cadmo controlo ( ) ctr. ctr + Ucad = cad. ctr + Wctr = = 5 ( ) cad. cad Uctr = cad. ctr + Wcad = = 5 A estatístca de teste é U ( U U ) = mn, = 5 cad ctr Para um nível de sgnfcânca α = 5%, e = 5 e =, o quantl crítco da dstrbução U de Mann-Whtney-Wlcoxon é U (.5;5;) = 45, e como a estatístca de teste U = 5 é nferor a este valor crítco, deve rejetar-se a hpótese nula de que as duas amostras têm a mesma medana, ou seja, deve conclur-se que a exposção ao óxdo de crómo afecta o nível de hemoglobna nas cobaas. Usando a aproxmação à dstrbução normal, temos:. 5 Valor esperado: μu = = = 75 Varânca: ( + + ) ( + + ) σu = = = 35 ote-se que exstem 3 grupos de números de ordem empatados, cada um com empates; são nomeadamente os números de ordem 4.5, 8.5 e.5. Assm, a varânca deve ser calculada em função de um factor de correcção devda à exstênca destes empates. A varânca a consderar deve ser a de seguda calculada, e não a anteror: Varânca: ( ) 3 3 u u. σu = ( ) + ( ) + ( ) = 5 5 = Como atrás se referu, a rejeção da hpótese nula é para valores pequenos da estatístca de teste U. 4

26 ote-se que os valores da varânca e da varânca corrgda são muto próxmos; só numa stuação de exstrem mutos números de ordem empatados é que estes dos valores dferem aprecavelmente. A estatístca de teste é então: Z U μu 5 75 = = =.775 σ U Para um nível de sgnfcânca α = 5%, e tratando-se de um teste blateral, o quantl, é Z.5 = ±.96, pelo que se conclu que se deve crítco da dstrbução normal rejetar a hpótese nula. A partr da estatístca Z =.775 também se pode calcular a probabldade lmte: p value =.55, sendo a decsão a mesma que anterormente. 4 Análse de varânca A análse de varânca (AOVA) é uma metodologa estatístca cujo objectvo é comparar k > amostras ou tratamentos, a fm de verfcar se há dferenças sgnfcatvas entre as médas dos tratamentos que sejam resultado dos efetos dos tratamentos. O modelo lnear subjacente a uma análse de varânca é: xj = μ + τ + εj em que x j é cada uma das j =,..., observações do tratamento, com =,..., k, μ é a méda global de todas as observações, τ é o efeto do tratamento, sto é, a parte da varabldade que pode ser mputada ao facto de cada uma das amostras ter sdo objecto de um tratamento dferente, e ε j é a varabldade resdual ou erro expermental, sto é, a parte da varabldade que não pode ser mputada aos tratamentos. Recordemo-nos que os pressupostos subjacentes ao teste paramétrco t-student para comparar as médas de duas amostras, : μ = μ, são: ) cada uma das duas amostras provém de uma população normal; ) as varâncas são homogéneas, σ = σ. ) Os resíduos são ndependentes, com dstrbução normal e com varânca fnta e constante. Se estes pressupostos são volados, deve usar-se um teste não paramétrco. De modo smlar, quando se pretendem comparar k > médas amostras, : μ = μ =... = μk, pela metodologa de análse de varânca, os pressupostos são uma extensão dos anterores: 5

27 cada uma das k amostras provém de uma população normal; as varâncas das k amostras são homogéneas, σ = σ =... = σk e constantes; Os erros ou resíduosε j (tal que x j = μ + τ + ε j, sendo τ o efeto do tratamento) têm dstrbução normal; Os erros ou resíduosε j têm varânca fnta e constante σ (esta propredade denomna-se por homoscedastcdade); Os erros ou resíduosε j são ndependentes. Está provado que a AOVA é uma metodologa estatístca bastante robusta, relatvamente a pressupostos das dstrbuções das populações e da homogenedade das varâncas das amostras ou tratamentos. Se os tamanhos de cada uma das amostras (sto é, o número de repetções) são guas para todas as amostras, a AOVA é robusta no que se refere à homogenedade das varâncas. Se os tamanhos são bastante dferentes, então a probabldade de cometer erro do tpo I afasta-se do nível de sgnfcânca α, sendo este afastamento dependente da heterogenedade das varâncas: se as varâncas maores estão assocadas às amostras com maor número de repetções, a probabldade de erro tpo I será menor que α ; se as maores varâncas estão assocadas às amostras de menor dmensão, então a probabldade de erro tpo I é maor que α. A valdade da AOVA é apenas lgeramente afectada pela volação do pressuposto da normaldade (smetra e achatamento), especalmente se são grandes. Se as populações subjacentes são muto achatadas (platcúrtcas) e são pequenos, a potênca da AOVA dmnurá. Se as populações são pouco achatadas (muto elevadas no centro da dstrbução ou leptocúrtcas) e os tamanhos são pequenos, a potênca do teste aumenta. Assm, a valdade do teste da AOVA prevalece váldo a não ser que as volações dos pressupostos sejam muto graves, stuação em que se deverá usar um teste de análse de varânca não paramétrco que não exge tas pressupostos. 4. Teste de Kruskal-Walls O teste de Kruskal-Walls ou análse de varânca pelos números de ordem ( ranks ) pode ser utlzado nos casos em que se utlza o teste paramétrco da AOVA, sendo apenas lgeramente menos potente. Além dsso, deve ser utlzado nas stuações em que a AOVA paramétrca não pode ser utlzada, nomeadamente quando as k amostras não provêm de populações normas, ou quando as varâncas são muto heterogéneas. Quando k =, o teste de Kruskal-Walls é dêntco ao teste de Mann-Whtney- Wlcoxon. 6

28 Sejam k as amostras em análse, cada um com repetções, e k = o número total de observações. Pretende-se verfcar se as k amostras (ou tratamentos, como geralmente são desgnados) têm dstrbuções dêntcas. O teste de hpóteses é: : As dstrbuções das k amostras são dêntcas; As dstrbuções das k amostras dferem na localzação. : (note-se que, à semelhança dos demas testes não paramétrcos, a formulação do teste de hpóteses não deve usar os parâmetros populaconas). = A estatístca de teste é: k R = = ( ) onde R é a soma dos números de ordem das observações do grupo ou tratamento (note-se que a soma de todos os números de ordem de todos os tratamentos deve ser. + ). gual a Se exstem números de ordem empatados, a estatístca de teste deve ser corrgda para esta stuação. Para tal, calcula-se o factor de correcção: e a estatístca de teste corrgda é: C = m 3 ( u u) = 3 c = C onde u é o número de empates em cada grupo, e m é o número de grupos de números de ordem empatados. ote-se que c será pouco dferente de, quando os u são pequenos comparatvamente a. Para atrbur os números de ordem às observações, procede-se tal como no teste de Mann-Whtney-Wlcoxon, sto é, juntam-se as observações de todos os tratamentos, e ordenam-se todas as observações. Quando exstem observações guas (empates ou tes), o número de ordem a atrbur a cada uma das observações empatadas é o número de ordem médo dos números de ordem que essas observações teram se não estvessem empatadas. 7

29 A estatístca (ou c ) avala em que medda as k amostras ou tratamentos dferem, relatvamente aos respectvos números de ordem. Esta dea pode mas faclmente percebe-se se dermos à expressão de cálculo de uma forma equvalente: em que k = n. R R. + = R é a méda dos números de ordem da.ésma amostra e R é a méda de todos R= n+. Como faclmente se percebe, a estatístca os números de ordem (sto é, é nula quando todas as médas dos números de ordem são guas, e aumenta à medda que as médas dos números de ordem das amostras dferem. Isto é, para valores grandes de deve rejetar-se a hpótese nula. Assm, a regão de rejeção está toda localzada na cauda superor da dstrbução de. Os valores crítcos da dstrbução da estatístca de teste (ou tabela em anexo, para k 5 tratamentos. c ) apresentam-se na Para grandes amostras, ou k > 5 tratamentos, a estatístca de teste (ou c ) aproxma-se a uma dstrbução χ (qu-quadrado) com k graus de lberdade. Como atrás se referu a propósto da regão de rejeção, esta está localzada na cauda superor da dstrbução. Exemplo : Consdere os seguntes 3 tratamentos, A, B, C, cada um com 7 repetções: Tratamento A Tratamento B Tratamento C Pretende-se averguar se três tratamentos conduzem a resultados guas, sto é: : Os três tratamentos têm a mesma dstrbução; Os três tratamentos não têm a mesma dstrbução. : 8

30 o quadro segunte apresentam-se os números de ordem atrbuídos a cada uma das observações, após ter juntado e ordenado todas as observações dos três tratamentos: x Tratamento Ordem 8 B 9 A.5 9 A.5 A 5 A 5 C 5 A 7.5 B 7.5 B.5 B.5 B.5 C.5 3 A 4 3 B 4 3 C 4 4 A 6 5 B C C C C Após ter atrbuído os números de ordem, é convenente separar de novo as observações por tratamento, a fm de prossegur com os cálculos: Tratamento A Tratamento B Tratamento C x Ordem x Ordem x Ordem R = R = 5.5 R = A estatístca de teste (sem correcção devda aos empates) é: k R = 3. ( + ) = 3 = = Como exstem m = 7 grupos de observações empatadas, respectvamente com, 3,, 4, 3, e observações, deve fazer-se a correcção da estatístca de teste; o factor de correcção é: 9

31 C m 3 ( u u) ( ) + ( 3 3) + ( ) + ( 4 4) + ( 3 3) + ( ) + ( ) = = =.9857 = 3 3 A estatístca de teste corrgda é então: c = = = C.9857 Para um nível de sgnfcânca α = 5%, e para três tratamentos, cada um com 7 repetções, o valor crítco da dstrbução da estatístca é (.5;7;7;7) = 5.89 ; como a estatístca de teste é c = < (.5;7;7;7) = 5.89, conclu-se que não há evdênca estatístca para rejetar a hpótese nula. Procedendo à aproxmação à dstrbução χ, para um nível de sgnfcânca α = 5% e para υ = k = 3 = graus de lberdade, o valor crítco é χ (.5; ) = 5.995; como c = < χ(.5;) = 5.995, conclu-se que não se deve rejetar a hpótese nula. O valor da probabldade lmte é p value =.56. Exemplo : um estudo de lmnologa medu-se o p de oto amostras de água de cada uma de quatro barragens. Os valores são os seguntes: Barragem Barragem Barragem 3 Barragem Pretende-se averguar se as águas das quatro orgens têm o mesmo valor de p, sto é: : O valor do p da água é o mesmo nas 4 barragens; O valor do p da água não é o mesmo nas 4 barragens. : Cada um dos quatro tratamentos (barragens) tem = 8 (=,,3,4) observações, sendo = 3. o quadro segunte apresentam-se os cálculos dos números de ordem de cada observação, após ter juntado num únco vector todas as 3 observações : 3

32 p Barragem úmero de ordem Após ter ordenado por ordem crescente todas as observações, e atrbuído os respectvos números de ordem, é convenente dspor novamente as observações soladas por tratamento, a fm de facltar os cálculos subsequentes: P Ordem p Ordem p Ordem p Ordem R = 55 R = 3.5 R 3 = 75 R 4 = 65.5 A estatístca de teste (sem correcção devda aos empates) é: 3

33 R = 3. + = k ( ) + = =.648 Como exstem m = 7 grupos de observações empatadas, respectvamente com, 3, 3, 4, 3, e 3 observações, deve fazer-se a correcção da estatístca de teste; o factor de correcção é: C m 3 ( u u) ( ) + ( 3 3) + ( 3 3) + ( 4 4) + ( 3 3) + ( ) + ( 3 3) = = =.9949 = A estatístca de teste corrgda é então: c.648 = = =.776 C.9949 Para um nível de sgnfcânca α = 5% e para υ = k = 4 = 3 graus de lberdade, e fazendo a aproxmação à dstrbução χ, o valor crítco é χ (.5;3 ) = 7.85 ; como =.776> χ = 7.85, deve rejetar-se a hpótese nula. c (.5;3) O valor crítco da dstrbução função IV. CI ( α; υ ) da folha de cálculo EXCEL: χ está tabelado (tabela em anexo), ou pode usar-se a A probabldade lmte pode calcular-se para o valor da estatístca de teste, com a função DIST. CI ; υ da folha de cálculo: c 3

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