Analytic Hierarchy Process (AHP)

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1 Analytic Hierarchy Process (AHP) Evolução histórica Thomas L. Saaty (in memoriam) Escala e comparações 1/9 1 9 Síntese normal e ideal Soma = 100% ou max=100% Particularidades 1

2 Evolução histórica do AHP 1965: L. A. Zadeh publica o paper Fuzzy sets 1977: T. L. Saaty publica o paper A scaling method for priorities in hierarchical structures 1980: T. L.Saaty publica o livro Analytic Hierarchy Process pela McGraw-Hill 1990s: Software Expert Choice (desenvolvido por E. H. Forman e T. L. Saaty) : 14 Simpósios internacionais sobre AHP ( 2008: Estudos sobre MCDM evidenciam a liderança do AHP (papers por Wallenius et al. e Tramarico et al.) 2009: International Journal of the AHP ( 2

3 Escala Saaty (Escala Fundamental) Intensidade Definição Explicação Igual importância Importância moderada Forte importância Importância demonstrada Importância extrema Dois elementos contribuem igualmente para o elemento do nível superior A experiência favorece levemente a um dos elementos A experiência favorece fortemente a um elemento A dominância de um elemento pode ser comprovada na prática Há evidência a favor de um elemento na mais alta ordem de afirmação 1,1 1,9 Quando a importância dos elementos está muito próxima 3

4 Problema de seleção de fornecedores Fornecedor Preço [$] Qualidade Entrega Aceitável Lenta Muito boa Rápida Boa Com atrasos Selecionar um fornecedor Preço Qualidade Entrega Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3 4

5 Prioridade (pesos) dos critérios com AHP Critério P Q E Autovetor Prioridade Preço (P) 1 1/ % Qualidade (Q) 1 5 2,5 64% Entrega (E) 1 0,41 10% Soma 4 1 / 3 23 / ,9 100% A w = l max w Matriz de comparações: A = [ a ij ] Autovetor direito: w = [ w j ] = [(P a ij ) 1/n ] Autovalor máximo: l max s w = [13/3; 23/15; 9] [0,26; 0,64; 0,10] T 3,008 Índice de consistência (consistency index): CI = (l max n)/(n 1) 0,004 Razão de consistência (consistency ratio): CR = CI / RI = 0,004/0,52 < 0,01 < 0,10 OK! 5

6 Prioridade local das alternativas (critério quantitativo inverso) Fornecedor Preço [$] Inverso Prioridade /15 38% /20 28% /17 34% Soma / % 6

7 Prioridade local das alternativas (critérios qualitativos) Qualidade Prioridade Fornecedor 1 1 1/7 1/5 7% Fornecedor % Fornecedor % Consistência: CR = 0,06 OK! Entrega Prioridade Fornecedor 1 1 1/5 3 18% Fornecedor % Fornecedor 3 1 7% Consistência: CR = 0,03 OK! 7

8 Síntese normal (distributiva) Fornecedor Preço (26%) Qualidade (64%) Entrega (10%) Prioridade global 1 38% 7% 18% 16% 2 28% 65% 75% 58% 3 34% 28% 7% 26% Matriz de decisão: X = [ x ij ] Vetor de pesos dos critérios: w = [ w j ] Vetor de decisão: X w = x = [ x i ] 8

9 Síntese ideal (% máximo) Fornecedor Preço (26%) Qualidade (64%) Entrega (10%) Prioridade global 1 1 0,11 0,24 0,35 2 0, ,94 3 0,88 0,43 0,09 0,51 Matriz de decisão: X = [ x ij ] Vetor de pesos dos critérios: w = [ w j ] Vetor de decisão: X w = x = [ x i ] 9

10 Análise de sensibilidade (síntese normal) 10

11 Análise de sensibilidade (síntese ideal) 11

12 Particularidades do AHP e outros métodos Inversão vs. preservação em ordens Medição absoluta vs. relativa Redução no número de comparações de pares Melhoria da consistência de matrizes de comparações 12

13 Rank reversal (inversão na ordem) Tipo 1: exclusão de alternativa Tipo 2: inclusão de alternativa Tipo 3: exclusão de critério Tipo 4: inclusão de critério Tipo 5: outras alterações Projeto Ranking X 1 Y 2 Z 3 Projeto Ranking X 2 Y 1 13

14 Síntese normal: rank reversal Alternativa C1 74% C2 18% C3 9% Prioridade global X 56% 8% 14% 44% Y 33% 69% 69% 43% Z 11% 23% 17% 14% Alternativa C1 74% C2 18% C3 9% Prioridade global X 63% 10% 17% 49% Y 38% 90% 83% 51% 14

15 Síntese ideal: rank preservation Alternativa C1 74% C2 18% C3 9% Prioridade global X 1 0,11 0,20 0,77 Y 0, ,71 Z 0,20 0,33 0,25 0,23 Alternativa C1 73% C2 19% C3 8% Prioridade global X 1 0,11 0,20 0,77 Y 0, ,71 15

16 Ratings (medição absoluta) As alternativas não são comparadas umas com as outras As alternativas são comparadas com padrões Padrão Pontuação Normal. Ideal. Excelente 10 30% 1,0 Muito bom 8 24% 0,8 Bom 7 21% 0,7 Médio 5 15% 0,5 Fraco 3 9% 0,3 Muito fraco 0 0% 0,0 16

17 Ratings (exemplo de seleção de fornecedores) Fornecedor Preço Qualidade Entrega 1 $ Muito bom Aceitável Fraco Lenta Fraco 2 $ Médio Muito boa Muito bom Rápida Excelente 3 $ Bom Boa Bom Com atrasos Muito fraco Fornecedor Preço (26%) Qualidade (64%) Entrega (10%) Prioridade global 1 0,8 0,3 0,3 0,43 2 0,5 0,8 1 0,74 3 0,7 0,7 0 0,62 17

18 Redução do número de comparações n z = n(n -1)/2 y = 2n -3 x = n n = ordem da matriz = número de elementos comparados x = número de elementos na primeira diagonal acima da diagonal principal = número mínimo de comparações z = número de elementos acima da diagonal principal = número máximo de comparações 18

19 Redução do número de comparações (exemplo de seleção de fornecedores) Critério P Q E Autovetor Prioridade Preço (P) 1 1/3 0,82 21% Qualidade (Q) 1 5 2,5 66% Entrega (E) 1 0,49 13% Estimando-se a 13 = a 12 a 23 = 1/3 5 = 5/3... neste caso, l max = 3 IC = (3-3)/2 = 0 RC = 0 Fornecedor Preço (21%) Qualidade (66%) Entrega (13%) Prioridade global 1 1 0,14 0,20 0,33 2 0, ,94 3 0,75 0,33 0,11 0,42 19

20 Matriz de comparações inconsistente Elemento X1 X2 X3 X4 X5 Autovetor Prioridade X ,0 45% X ,7 26% X ,0 15% X ,6 9% X5 1 0,3 5% Autovalor máximo: l max 5,6 Índice de consistência: CI = (l max n)/(n -1) 0,15 Razão de consistência: CR = CI / RI = 0,15/1,11 0,14 > 0,10 Não OK! 20

21 Melhoria na consistência das comparações Elemento X1 X2 X3 X4 X5 Autovetor Prioridade X1 1 1, ,0 45% X2 0,58 1 1,73 2,89 5,2 1,7 26% X3 0,33 0,58 1 1,67 3 1,0 15% X4 0,2 0,35 0,6 1 1,8 0,6 9% X5 0,11 0,19 0,33 0,56 1 0,3 5% B = [b ij ] = [w i /w j ] A e B possuem o mesmo autovetor direito max (abs(b ij -a ij ) = b 15 -a 15 = 4 21

22 Matriz de comparações quase consistente Elemento X1 X2 X3 X4 X5 Nova prioridade Prioridade original X % 45% X % 26% X % 15% X % 9% X5 1 4% 5% Autovalor máximo: l max 5,46 Índice de consistência: CI = (l max n)/(n -1) 0,12 Razão de consistência: CR = CI / RI = 0,12/1,11 0,11 > 0,10 Não OK! 22

23 Matriz de comparações consistente Elemento X1 X2 X3 X4 X5 Nova prioridade Prioridade original X % 45% X % 26% X % 15% X % 9% X5 1 4% 5% Autovalor máximo: l max 5,39 Índice de consistência: CI = (l max n)/(n -1) 0,10 Razão de consistência: CR = CI / RI = 0,10/1,11 0,09 < 0,10 OK! 23