SUMÁRIO. 1ª PARTE:... Números Inteiros... Múltiplos... Divisores... MMC e MDC...

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1 SUMÁRIO 1ª PARTE:... Números Inteiros... Múltiplos... Divisores... MMC e MDC ª PARTE:... Números Racionais e Reais... Operações com frações, decimais e radicais ª PARTE:... Razões, Proporções e Regra de três ª PARTE:... Porcentagem e taxas ª PARTE:... Sequências Professor Ivan Zecchin 1

2 2 Professor Ivan Zecchin

3 CURSO EXTENSIVO DE MATEMÁTICA MAIO/JUNHO-2012 CONTEÚDO 8 ENTRADAS Números Inteiros Múltiplos Divisores MMC e MDC Números Racionais e Reais Operações com frações e decimais. Razões, Proporções e Regra de três. Porcentagem e taxas. Sequências 1ª PARTE: Números Inteiros Múltiplos Divisores MMC e MDC Reforçando o que foi comentado nos naturais, notem que o conjunto dos números inteiros veio sanar a dificuldade que tínhamos em relação à subtração em N. Os números inteiros podem ser apresentados graficamente através de uma rua, estabelecendose um sentido positivo, um ponto de origem O, que representa o inteiro zero, e adotando-se um segmento unitário cuja extremidade representará o número 1. NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS; PROBLEMAS DE CONTAGEM Naturais Chama-se conjunto dos naturais o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, Para cada inteiro positivo, marcamos um segmento no sentido positivo, cuja extremidade representará o inteiro mencionado, da mesma forma para os negativos, no sentido contrário. É indicado por N. Em N são definidas duas operações: adição e multiplicação. Outros conjuntos que serão apresentados são ampliações dos naturais e foram surgindo devido às dificuldades de se trabalhar em N. Inteiros Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto formado pelos números... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, Observem que não é possível definir nos conjuntos anteriores a operação de divisão, dando p significado à expressão, onde p e q são q inteiros e q 0. O conjunto dos racionais vem superar esta dificuldade. Chama-se, então, números racionais a todo p número do tipo, onde p, q ЄZ e q 0. q Então: p Q = {x x =, p, q Є Z e q 0} q É indicado por Z Professor Ivan Zecchin 3

4 Onde Q é o conjunto dos números racionais. Importante: Concluímos que: a) Todo inteiro é racional (racional com denominador unitário). b) Um número decimal exato é racional. Exemplos: ,5 = ; 0,37 = ; 0,05 = N C Z C Q C R onde: c) Toda dízima periódica (número decimal não exato, mas periódico) é racional. Exemplos: 1 0, = ; 0, = N = conjunto dos naturais Z = conjunto dos inteiros Q = conjunto dos racionais R = conjunto dos reais REAIS Existem certos números que não se encaixam no conjunto anterior (Racionais). Exemplos: 3 = 1, π = 3, e = 2,7182 Não são decimais exatos, não são periódicos, portanto, não são racionais; são irracionais. O conjunto de todos os tipos de números definidos até agora, racionais ou irracionais, representa o conjunto dos números reais (R). Introdução INTERVALOS Vimos anteriormente que é possível representar graficamente os números inteiros (pontos de uma reta). O mesmo ocorre com os números racionais e irracionais. No entanto, esses conjuntos (racionais, irracionais e inteiros), isoladamente, não preenchem completamente a reta. Quando, no entanto, colocamos sobre a reta a união desses três conjuntos, a reta fica totalmente tomada por esses pontos; esta reta, que representa R, é chamada de reta real. Notações: R+ = { x R x 0} * R+ = { x R x > 0} R = { x R x 0} * R = { x R x > 0} R* = R {0} Intervalos São subconjuntos dos números reais, determinados por desigualdades. Na reta real, os números compreendidos entre 4 e 7, incluindo 4 e 7, constituem o intervalo fechado [4, 7], ou seja, [4, 7] = {x ЄR 4 x 7). Na reta real teríamos: 4 Professor Ivan Zecchin

5 Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo, teremos o intervalo aberto [4,7], ou seja, [4, 7] = {x ЄR 4 < x < 7). Na reta: Comparação de Números Inteiros Comparação de números no conjunto dos Números Inteiros (Z) pode ser representado por uma reta: No caso de encontrarmos [4, 7], seria fechado à direita e aberto à esquerda e teria a representação gráfica: Ao compararmos dois números inteiros, o maior será sempre o que estiver mais a direita na reta. + 7 > > 0 Outras situações importantes: [-, 2]= {x ЄR R x < 2}, que podemos representar por: - 2 > - 6 Adição de Números Inteiros [3, [ = {x ЄR x >3} NÚMEROS INTEIROS Módulo de um Número Inteiro É à distância ou afastamento desse número até o zero, na reta inteira, se representa por O módulo de + 8 é 8 e indica-se por + 8 = 8 O módulo de - 3 é 3 e indica-se por - 3 = 3 Números Inteiros Opostos ou Simétricos É o número que possui o mesmo módulo, mas sinal diferente. O oposto de 6 é 6, ou seja, 6 = - 6 = 6 O oposto de 9 é 9, ou seja, Adição de Três ou mais Números Inteiros Consideremos os seguintes casos: 1º) Asdrobaldo tinha R$ 800,00 de saldo bancário. Se durante o dia ele deu um cheque de R$ 500,00 e fez um depósito de R$ 200,00, qual será o seu saldo no final do dia? 2º) (+ 4) + (- 3) + (- 5) + (+ 8) Somar as quantidades positivas (+ 4) + (+ 8) = + 12 Somar as quantidades negativas (- 3) + (- 5) = - 8 Somar os resultados obtidos (+ 12) + (- 8) = = 9 = 9 Professor Ivan Zecchin 5

6 Calcular: a) b) c) d) Propriedades da Adição A adição de dois números inteiros é sempre um número inteiro; A adição de dois números inteiros é cumulativa; A adição de três números inteiros é associativa; O número 0 (zero) é elemento neutro da adição em Z. Subtração de Números Inteiros Subtrair r dois números inteiros a e b nessa ordem, significa adicionar a ao oposto de b. (+ 6) (+ 5) = (+ 6) + (- 5) = + 1 (+ 4) (- 2) = (+ 4) + (+ 2) = + 6 Adição Algébrica Toda expressão numérica que contém adição e subtração representa uma adição algébrica = ( 6 + 5) = = ( ) = = 4 Calcular: (Adição/Subtração) Resolva primeiro o que está dentro dos parênteses( ( ) )depois colchetes ( [ ] ), depois chaves( { } ). a) 34 + [ 4 + ( 5 + 4) 2] c) (5 + 5) (4 6) + ( 3 + 4) d) ( 4 + 3) + (4 8) ( ) e) ( ) ( ) 6 a. 27 b. 2 c. 13 d. -3 e. 16 Multiplicação de Números Inteiros Sinais iguais, o produto é positivo (+ 3). (+ 4) = + 12 ( 5). ( 6) = + 30 Sinais diferentes, o produto é negativo ( 2). (+ 8) à (+ 2). (+ 8) = (+ 16) = 16 (+ 5). ( 4) = 20 Multiplicação com mais de dois fatores (+ 6). (+ 2). ( 3) = 36 ( 2). (+ 3). ( 4) = + 24 Propriedades da Multiplicação A multiplicação de dois números inteiros é sempre um número inteiro; A multiplicação de dois números inteiros é cumulativa; A multiplicação de três números inteiros é associativa; O número + 1 é elemento neutro da multiplicação de números inteiros. Calcular: (Multiplicação de inteiros) a) ( 4). ( 2). (+ 8) b) (+ 7). ( 2). (+ 4) c) 12. ( 4). (+ 2) d) 54. ( 2). (+ 12) a. 64 b. -56 c. -96 d b) 4 {5 [ 4 + (+ 4 5)] + 8} 6 Professor Ivan Zecchin

7 Expressões Numéricas Calcular: a) 4. ( 2) + 5. (+ 3) ( 7) b) ( 6) + ( 4). (+ 6) c) Dada a expressão 4a 3b, determine o seu valor para a = 2 e b = 4. d) Sendo x = 6, qual é o valor numérico da expressão 2x + 50? e) Determine o valor numérico da expressão 2x 2xy 6y, quando x = 8 e y = 3. a. 14 b. 2 c. 4 d. 38 e. 82 a é múltiplo de c 1.2. Divisor (em Z) Se a = b. c então b é divisor de a c é divisor de a 1.3. Decomposição de um número Utilizamos o dispositivo prático da seguinte forma: 60 = (forma fatorada) Divisão de Números Inteiros Sinais iguais, o quociente é positivo 1.4. Divisores de um número 1. em IN (+ 4) : (+ 2) = + 2 ( 10) : ( 2) = + 5 Sinais diferentes, o quociente é negativo. ( 12) : (+ 2) = (+ 12). (+ 2) = (+ 6) = 6 (+ 16) : ( 4) = 4 Expressões Numéricas Simples Calcular: a) 16 ( 14) : 2 b) 100 (+ 48) : 4 c) ( 32) : a. 23 b. 88 c. -2 MÚLTIPLOS E DIVISORES 1.1. Múltiplos Sejam a, b e c números inteiros. Então: Se a = b. c a é múltiplo de b Os divisores (IN) de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 Em Z, os divisores de 60 são: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -10, -12, -15, -20, -30 e -60, mais os divisores Naturais Números Primos Em IN para que um número seja primo só pode apresentar como divisores a unidade e ele próprio (2 divisores). Portanto, são primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, Reconhecimento de um número primo. 31 é primo? Professor Ivan Zecchin 7

8 Observe que todas as divisões não apresentam restos nulos e na última, o quociente ficou menor (pode ser igual) que o divisor, portanto, 31 é primo. Outro exemplo: 33 é primo? Como a 2ª divisão apresenta resto nulo, 33 não é primo Máximo Divisor Comum (MDC) O MDC de dois ou mais números é o produto dos fatores primos comuns, elevando-se cada um dos fatores ao menor expoente Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Tomamos como MMC de dois ou mais números o produto dos fatores comuns e não comuns com o maior dentre seus expoentes. Obs.: Propriedade: 1) Dados os números 60 e 45, temos que o seu MDC e MMC, serão: Questões Resolvidas: 1) A editora do livro COMO SER APROVADO NO CONCURSO PÚBLICO recebeu os seguintes pedidos, de três livrarias: Livrarias Número de exemplares A 1800 B 2250 C 3150 A editora deseja remeter os três pedidos, em n pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor possível. O valor de n é: a) 14 b) 12 c) 15 d) 18 e) 16 RESOL.: O número de livros em cada pacote deve ser o mesmo, então deverá ser um DIVISOR de 1800, 2250 e Como ele deseja o menor número possível de pacotes, então o nº de livros por pacote deverá ser o MAIOR possível. Juntando as duas idéias acima, temos que o nº e livros por pacote deve ser o MAIOR DIVISOR COMUM das 3 quantidades. MDC (1800, 2250, 3150) = 450 MDC (45, 60) = 3. 5 = 15 MMC (45, 60) = = 180 Observe a validade da propriedade acima = Logo, irão 450 livros por pacote. Mas, ele pede o nº de pacotes, daí... livraria A /450 = 4 livraria B /450 = 5 livraria C /450 = 7 TOTAL de pacotes Professor Ivan Zecchin

9 2) Considere todos os múltiplos comuns de 18 e 24. O menor desses múltiplos que supera 500 é: a) 504 b) 518 c) 572 d) 524 Resolução: O menor múltiplo comum de 18 e 24 [ mmc(18,24)] é: 18, MMC = = 72 Os próximos múltiplos comuns serão obtidos somando-se 72 Múltiplos comuns de 18 e 24: O menor deles, acima de 500 é o ª PARTE: Números Racionais e Reais Operações com frações, decimais e radicais. NÚMEROS RACIONAIS Adição e Subtração Algébrica de Números Fracionários: - Somente podemos somar ou subtrair frações de MESMO DENOMINADOR - Caso não tenham mesmo denominador devemos escrevê-las com denominadores iguais; -- Acha-se o MMC -- Divide-se o MMC pelo denominador e multiplicase pelo numerador, de cada fração. Ex: 3/8 + 1/12 =? O MMC de 8 e 12 é : 8 = x 3 = 9 ( novo numerador da 1ª fração ) 24 : 12 = x 1 = 2 ( novo numerador da 2ª fração ) Fica, então...9/24 + 2/24 = 11/24 ( Resposta ) Calcular: a) b) 2 + 0,4 5 c) d) 0,27 1, e) 0,27 1,46 + 0,1 + 1, f) g) Professor Ivan Zecchin 9

10 Multiplicação de Números Fracionários - Numerador vezes numerador e denominador vezes denominador, simplificando antes, sempre que possível, qualquer numerador com qualquer denominador, pelo mesmo número. Ex: 3/8 x 12/5 =? - observe que 8 e 12 são divisíveis por 4, ficando 2 e 3, respectivamente. Fica, então...3/2 x 3/5 = 9/10 ( Resposta ) a) b) c) +.( 0, 4 ) 3 + d) (+ 2,5). ( 4,7) e) 3 + 3, 1 ) ( 7 4 f) ) 3 5.( 2 d) e) : 4 6 Simplificação de Frações Simplificar uma fração é dividir seus termos por um mesmo número e obter termos menores que os iniciais. 4 1 : 4 = 8 2 Adição e Subtração de números DECIMAIS. - Coloca-se vírgula debaixo de vírgula e iguale o número de casas acrescentando-se zeros e opera-se normalmente. Ex...31, , 48 =? 31, g) ( ) , , 736 Divisão de Números Fracionários - Conserva-se a 1ª fração e Multiplica-se pelo inverso da 2ª fração. - Procede-se, a seguir, como no tópico anterior. Ex...5/12 : 1/3 =? 5/12 x 3/1 = 5/4 x 1/1 = 5/4 a) : 4 6 Calcular; a) 2, , 21 b) 4, 58 12, 2 c) 500,008 19,0006 d) 0, ,3 100 Respostas: a) 15,51 b) 7,62 c) 481,0074 d) 19,466 b) ( 8,25) : ( 3,5) c) 2 ( + 2, 5 ): Professor Ivan Zecchin

11 Multiplicação de Decimais - Faz-se a multiplicação como se existissem as vírgulas. - O resultado terá tantas casas decimais quantas forem as casas decimais dos números. Ex... 2,32 x 12,9 =? (observe que há um total de 3 casas decimais) 232 x 129 = Coloca-se a vírgula, com as 3 casas decimais...29,928 Calcular: a) 12,5 x 32,8 b) 0,345 x 86,3 c) 35,35 x 45,4 d) 6,999 x 1,56 Respostas: a) 410 b) 29,7735 c) 1604,89 d) 10, sobra / Abaixe o próximo número (9) / Continue a divisão...dá 2 e sobra / Abaixe a próxima casa ( 0 ) / Continue...dá 3 e sobra Divisão de Decimais - Iguala-se o nº de casas decimais dos dois números, acrescentando-se zeros onde houver menos casas e...vamos a exemplos! 13483,29 / 3,1836 Divisão de decimais: 1ª passo: iguale o número de casas decimais (casas à direita da vírgula) colocando zeros do lado que tiver menos casas ,2900 / 3,1836 2ª passo: Elimine as vírgulas / ª passo: Faça a conta "normalmente" dá para dividir por dá / Abaixe a próxima casa ( 0 ) / Continue...dá 5 e sobra / Professor Ivan Zecchin 11

12 Como não há próxima casa para baixar, acrescente um zero no resto e coloque vírgula no quociente / , Continue...dá 2 e sobra / , Continue, acrescente 0 no resto (depois de colocada a vírgula, acrescenta-se UM zero em cada resto. Se não for suficiente, acrescente um segundo zero, mas a partir desse, coloca-se zero no quociente também ). Dá 3 e sobra / , Etc..etc...etc...até o resto dar zero ou... perceber que o resultado será uma DÍZIMA OUTRA CONTA 2º passo: Elimine as vírgulas / º passo: faça a conta normalmente é suficiente para dividir por dá 7 e sobra / Abaixe a próxima casa ( 0 ) / por dá 3 e sobra / Atenção agora!! abaixe a próxima casa ( 0 ) e faça a conta normalmente, Se não der para dividir ( e não dá, pois fica 50 por 2625) acrescente zero no resultado e abaixe a próxima casa / Como não há próxima casa para baixar, acrescente zero ao resto e coloque vírgula / 2625 Divisão / º passo: iguale o n[úmero de casas decimais (casas à direita da vírgula) colocando "zeros" do lado que tiver menos casas. 191,6300 / 0, , 500 Como ainda não dá para dividir, acrescente outro zero ao resto, mas lembre-se; à partir do segundo zero colocado no resto, coloca-se zero no resultado também! 12 Professor Ivan Zecchin

13 / , por 2625 dá 1 e sobra / , E por aí vai... Calcular: a) 6,25 / 0,2 b) 0,444 / 12,3 c) 21,8 / 2,5 d) 3,0309 / 1,5 e) 2400,024 / 8 Respostas: a) 31,25 b) 0, c) 8,72 d) 2,0206 e) 300, A expressão a seguir é igual a: a) 2 8 /5 b) 2 9 /5 c) 2 8 d) Sejam X e y dois números reais não nulos e distintos entre si. Das alternativas a seguir, a única necessariamente verdadeira é: a) x < y b)x < x + y c)y < xy d) x 2 y 2 e)x 2-2xy + y 2 > 0 4. A soma de três números naturais consecutivos é um número: a) par b) ímpar c) primo d) quadrado perfeito e) múltiplo de 3 TESTES 1. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por: a) 1/125 b) 1/8 c) 8 d) 12,5 e) 80 Professor Ivan Zecchin 13

14 5. A jornada do soldado Saldanha é de 12 horas de trabalho por 24 horas de folga e a de seu sobrinho, Sardinha, que é motorista de transporte coletivo, é de 9 horas de trabalho por 18 horas de folga. Se, em certo dia, os dois iniciarem suas jornadas de trabalho em um mesmo momento, então essa coincidência voltaria a ocorrer em: a) 96 horas b) 108 horas c) 132 horas d) 144 horas e) 156 horas 6. Duas peças de madeira de 4m e 6m serão cortadas em pedaços iguais de maior comprimento possível, sem haver sobras. Quantos pedaços serão, assim obtidos: a) 8 b) 5 c) 4 d) 9 8. Se um retângulo de lados 12 cm e 30 cm for dividido em quadrados iguais de maior lado possível, serão obtidos quantos quadrados? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) Se em duas ruas paralelas forem instalados postes, do início ao fim de cada uma (que medem 112 m e 154 m, respectivamente), separados pela mesma distância entre si, de modo que esta distância seja máxima, então serão colocados, ao todo quantos postes? a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) Considerando os conjuntos A = {1, 3, 5, 15} e B = {2, 6, 10, 30}, é FALSO afirmar que: a) Para todo a, b Є A, o mmc (a, b) Є A. b) Qualquer que seja y ЄB, temos que y = 2x, para algum x Є A. c) Os números 5 e 15 são primos entre si. d) A = {x ЄN x é divisor de 15} 10. Paulo e seu amigo José jogam sinuca em um dia em que os dois estão de folga em seus trabalhos. Combinaram, então, que jogariam novamente na próxima folga dos dois. Se Paulo tem folga a cada 15 dias e José a cada 12, então quantos dias depois jogarão sinuca juntos, novamente? a) 45 b) 50 c) 60 d) 75 e) Professor Ivan Zecchin

15 11. (FCC) Para participar de um programa de treinamento, todos os funcionários de uma empresa serão divididos em grupos, obedecendo ao seguinte critério: - Todos os grupos deverão ter o mesmo numero de componentes. - Em cada grupo, os componentes deverão ser do mesmo sexo. Se nessa empresa trabalham 132 homens e 108 mulheres, a menor quantidade de grupos que poderão ser formados é: a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) Para participar de um programa de treinamento, todos os funcionários de uma empresa serão divididos em grupos, obedecendo ao seguinte critério: - Todos os grupos deverão ter o mesmo número de componentes. - Em cada grupo, os componentes deverão ser do mesmo sexo. Se nessa empresa trabalham 132 homens e 108 mulheres, a menor quantidade de grupos que poderão ser formados é: a) 15 b) Dispondo de 3 bobinas de papel de, respectivamente, 135m, 225m e 360m, todos com 12cm de largura, deseja-se obter folhas de 12cm de largura e de comprimento máximo. Assim sendo, o comprimento de cada folha e o número de folhas que podem ser obtidas, nas condições citadas, serão: a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) Em um corredor há 30 armários numerados de 1 a 30, inicialmente todos fechados. Suponha que 30 pessoas, numeradas de 1 a 30 passem sucessivamente por esse corredor, comportandose da seguinte maneira: a pessoa de número K reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de K. Por exemplo; a de número 3, reverte o estado dos armários de números 3, 6, 9, , abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Nessas condições, após todas as pessoas passarem uma única vez pelo corredor, o número de armários que estarão abertos, é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 c) 26 d) 24 e) 20 Professor Ivan Zecchin 15

16 3ª PARTE: Razões, Proporções e Regra de três. O quociente entre dois números quaisquer, não necessariamente inteiros, chama-se razão. A razão entre duas grandezas é uma generalização do conceito de fração. Sendo a e b as duas grandezas anotamos a razão de a para b como a:b. a é chamado também de antecedente e b de conseqüente. Razão do número a para o número b (b 0) é o quociente de a por b, isto é: Exemplos: 8 1) A razão de 8 para 2 é, que é igual a ) a b 5 2,5. (ou ) 2 ou a: b A razão de 50 para 20 é A soma de dois números é 28 e a razão entre eles é 75%. Qual o maior? X/Y = 75/100 (que simplificados...3/4) X+Y = 28 Isolando x na primeira...x = 3Y/4 Substituindo na segunda...3y/4 + Y = 28 3Y + 4Y = 112 7Y = 112 Y = 112/7...Y = 16 Substituindo Y por 16 em X+Y=28...X = 12 Resposta: o maior é 16. RAZÕES Questão Resolvida, que é igual a Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra. Note que: Então Exemplo: As razões Note que: inverso multiplicativo da outra. Obs.: O produto de duas razões inversas é, sempre, igual a 1. Uma igualdade entre duas razões é dita proporção observe: A razão de 3 para 4 e a razão de 9 para 12 exprimem mesmo quociente, então dizemos que essas razões formam uma proporção. Lemos: se a e b são números reais não-nulos, a b = 1 b a a b e são razões inversas; b a 8 1 = está para 4, assim como, 9 está para 12. Genericamente: RAZÕES INVERSAS 8 4 e são chamadas inversas entre si. 4 8,isto é,uma das razões é igual ao PROPORÇÕES Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nessa ordem uma proporção se, e somente se, a razão a b c é igual à razão. d Essa proporção é indicada por: a c = b d 16 Professor Ivan Zecchin

17 onde a e d são chamadas extremos e b e c são chamados meios. Exemplo: 15 1 A razão de 15 para 45 é, que é igual a ; A razão entre 10 e 30 é, que é igual a Logo, = Portanto, os números 15, 45, 10 e 30 formam, nessa ordem, uma proporção. Propriedade Fundamental das Proporções EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Em uma sala há 30 mulheres e 40 homens. Qual a razão entre o nº de mulheres e o nº de pessoas, na sala? Solução: Resposta: (três para sete) 2. Qual o valor de x abaixo? x 6 5 = 30 mulheres pessoas = = = 3 7 Exemplo: 10 2 e formam uma proporção, pois = Resolução pelo raciocínio: Se 6 é a 5ª parte de 30, então x é a 5ª parte de 5, logo x = 1. Resolução algébrica: Pela propriedade fundamental, temos: 30. x = 5. 6 X = Propriedade das Proporções Múltiplas Somando-se ou subtraindo-se os numeradores de uma proporção, em qualquer ordem, e fazendo o mesmo com os respectivos denominadores, a proporção se manterá: Exemplo: Se 2 4 = 5 10, obteremos uma nova razão fazendo ou = = ou ainda = = que guarda evidente proporção com as razões anteriores. x = 1 Resposta: 1 3. As idades de Pedro e Luís formam, nessa 5 ordem, uma razão, igual a. 7 A soma de suas idades é 48 anos. Qual a idade dessas pessoas? Professor Ivan Zecchin 17

18 Resolução pelo raciocínio: Na razão dada, 5 e 7 representam as idades. Como sua soma é 12 e a soma real é 48, temos que o real é 4 vezes maior que a soma dos n s dados, então as idades reais serão 4 x 5 e 4 x 7 respectivamente. Assim: idade de Pedro: 4 x 5 = 20 anos idade de Luis: 4 x 7 = 28 anos Resolução algébrica: 2. Qual os valores de x e y, abaixo: a) b) x 12 5 = = x 4 8 x 5 c) = e x + y = 18 y 4 2x y 1 d) = e x + y = P: idade de Pedro L: idade de Luis P + L = 48 (I) e P 5 = (II) L 7 3. Quatro n s são proporcionais a 2, 5, 6 e 8 respectivamente. A soma do maior com o menor é 50. Qual o menor desses n s? Observe que (II) pode ser escrito : P L = 5 7 aplicando-se a propriedades das proporções múltiplas Temos 4. Um pai distribui R$ 150,00 entre seu três filhos de maneira proporcional às suas idades, que são 8,10 e 12 anos. Quanto recebe o caçula? P L P + L 48 = = = = 4, então: P 5 = 4 L e dai P = 20 e L = 28 7 = 4 Resposta: Pedro tem 20 anos e Luis 28 Obs: O problema poderia ser resolvido como um sistema de Equações 5. Numa indústria química, uma certa solução contém ao todo 350g de 3 substâncias em quantidades diretamente proporcionais ao números 2, 5 e 7. Quantos gramas de cada substância contém a solução? EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Meu filho é 21 anos mais novo que eu. A razão entre nossas idades dele e a minha, se tenho hoje 63 anos? 6. Três municípios paulistas receberam, do Ministério da Saúde, um lote de medicamentos contendo um milhão de unidades, que deve ser repartido proporcionalmente ao número de habitantes de cada um desses municípios: 50 mil, 70 mil e 80 mil. Achar a quantidade de medicamentos que cada município recebeu. 18 Professor Ivan Zecchin

19 DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS Para se dividir um certo valor em partes proporcionais (ou em partes DIRETAMENTE PROPORCIONAIS) basta escrever a proporção, como fizemos até agora. Exemplo: Dividir o nº 180 em três partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Partes: a, b e c a + b + c = 180 a b c a + b + c 180 = = = = = 18 (Prop.múltiplas) então: Resposta: as partes são 36, 54 e 90. Assim: a = 18 a = 36 2 b = 18 b = 54 3 a b c a + b + c = = = = = então: a = 1200 a = 1 8 Resposta: as partes são: 150, 120 e 100, respectivamente. Obs.: a = 150 b 1 = 1200 b = b = c 1 = 1200 c = a = Veja que nas divisões diretas, ao maior cabe a maior parte, e nas inversas, ocorre o contrário! REGRA DE SOCIEDADE DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Consideremos, agora, o inverso dos números dados. No restante, mantém-se o que foi visto. Exemplo: Dividir o nº 370 em partes inversamente proporcionais a 8, 10 e 12. Partes: a, b e c, então a + b + c = 370 Temos agora, apenas, uma aplicação prática das divisões proporcionais. Não há, portanto, diferenças nas resoluções dos problemas, mas somente um contexto diferente. Exemplo: Em uma sociedade há os capitais de R$ ,00 e R$ ,00, investidos por dois sócios A e B. Havendo, ao final de um período, lucro de R$ 6.000,00, que parte cabe a cada um? Professor Ivan Zecchin 19

20 Resolução: O lucro é proporcional ao capital investido (assim como prejuízo!) assim: A B A + B = = = então: = 1 5 A 1 1 = A = A = B 1 1 = B = B = DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA Quando a divisão é feita levando-se em consideração mais de uma sequência de valores. Nesses casos devemos converter para uma só sequência e fazer de maneira DIRETAMENTE Proporcional a ela. Procedimento; mantenha os números aos quais a divisão é Direta e inverta os números aos quais a divisão é Inversa, multiplicando-os a seguir, respectivamente. Resposta: A cada um coube R$ 2.400,00 e R$ 3.600,00 respectivamente. CONSIDERAÇÃO: Todas as proporções têm um Coeficiente de Proporcionalidade (CP), que é o número que simplificou o numerador e o denominador da fração. Para descobrir o CP, basta dividir a informação dada sobre os números originais (a soma deles, a diferença entre eles, etc) pela respectiva informação extraída dos números aos quais a divisão será proporcional. Para se obter os valores originais, multiplica-se o CP pelos números aos quais a divisão é. No exemplo anterior, teríamos; A soma dos lucros é 6000 Como os lucros foram somados, somamos os valores aos quais a divisão é proporcional, e 18000, obtendo O CP será, então, 6000/30000 = 1/5. Os lucros serão: 1ºsócio...1/5 x = º sócio...1/5 x = 3600 Se a divisão for INVERSA, procede-se da mesma forma, invertendo antes os números dados. Por exemplo, se uma divisão de R$ 500,00 é feita de forma D.P. aos nº 6 e 15 e I.P. a 3 e 5, mantemos 6 e 15 e invertemos 3 e 5 (ficando 1/3 e 1/5). Agora, multiplicamos respectivamente, ou seja, o 1º com o 1º e o 2º com o 2º. Ficando: 6 x 1/3 = 2 15 x 1/5 = 3 Pronto! A divisão será feita de maneira D.P. aos números 2 e 3. CP = 500/ (2+3) = 500/5 = 100 Caberá à 1ª pessoa x 2 = R$ 200 Caberá à 2ª pessoa x 3 = R$ Professor Ivan Zecchin

21 Questão Resolvida No departamento de expedições de uma empresa, 3 funcionários resolvem dividir a confecção de "X" pacotes, de maneira proporcional ao número de filhos de cada um e, ao mesmo tempo, inversamente proporcional aos seus salários, que são R$ 1500,00, R$ 1800,00 e R$ 2400,00, respectivamente. A Paulo, o primeiro deles, que tem 5 filhos, coube a confecção de 60 pacotes. Sabendo-se que Pedro, o 2º, tem 4 filhos e Miguel tem 6 filhos. "X", é, então, um valor entre... X será dividido em partes: (Paulo, Pedro e Miguel) Conhecendo o CP podemos achar as outras quantidades, multiplicando os nº s de cada um por ele. Pedro: 1/450 x 1800 = 40 pacotes Miguel: 1/400 x 1800 = 45 pacotes X é o total de pacotes, portanto a soma das 3 quantidades; X = X = 145 pacotes D.P. a (mantenha, pois é DP) E I.P. a (inverta, pois é IP)...1/ / /2400 Multiplique respectivamente; Nº de Paulo...5 x 1/1500 = 5/1500 = 1/300 Nº de Pedro...4 x 1/1800 = 4/1800 = 1/450 Nº de Miguel...6 x 1/2400 = 6/2400 = 1/400 Não podemos achar o CP da forma tradicional, pois não conhecemos o valor (nº total de pacotes) a ser distribuído (X), mas sabemos que cada número acima será multiplicado pelo CP para dar a quantidade que caberá a cada um. Ocorre que sabemos a quantidade que cabe a Paulo...60 pacotes. Daí: 1/300 x CP = 60...CP = 300 x 60...CP = 1800 Obs: para agilizar os cálculos, os números 1500, 1800 e 2400 poderiam ter sido simplificados (por um mesmo nº). Daria na mesma, afinal...o assunto é Proporções. EXERCÍCIOS - TESTES 1. A sociedade criada por Pedro, Paulo e Padilha não durou muito. Padilha permaneceu na sociedade por 15 meses e Paulo, 21. Pedro, único sócio que nunca deixara a sociedade, extinguiu a empresa 28 meses após a sua criação, por causa do prejuízo acumulado de R$ ,00. Sabendo que esse prejuízo foi dividido entre os sócios proporcionalmente ao tempo de permanência de cada sócio na sociedade, assinale a opção correta. a) Pedro arcou com 50% do prejuízo. b) Paulo arcou com 30% do prejuízo. c) Padilha arcou com 20% de prejuízo. d) A soma dos prejuízos de Paulo e de Padilha corresponde a mais de 50% do prejuízo total. e) A diferença entre os prejuízos de Pedro e de Padilha corresponde a menos de 20% do prejuízo total. Professor Ivan Zecchin 21

22 2. Dois negociantes constituíram uma sociedade com um capital de R$ ,00, com o que lucraram R$ ,00. Encerrando-se a sociedade, o primeiro recebeu R$ ,00 entre capital e lucro. Determine o capital do segundo negociante. (em R$) a) b) c) d) e) d) a = b 4 e) a = 4b 5. O proprietário de uma pequena empresa de transporte resolveu distribuir R$ 6.000,00 entre seus 3 motoristas, em partes inversamente proporcionais à quantidade de multas de trânsito que tiveram durante 1 ano. Quanto coube a cada motorista, sabendo que 2 deles foram multados 2 vezes cada um e o outro, 5 vezes? (em R$) a) 2.000, e b) 1.500, e Para estimular a assiduidade, uma professora primária promete distribuir 600 figurinhas aos alunos de suas três classes. A distribuição será feita de modo inversamente proporcional ao número de faltas de cada classe durante 1 mês. Após esse tempo, as faltas foram: 8, 12 e 24. Achar a quantidade de figurinhas que cada classe recebeu: a) 100, 200, 300 b) 100, 300, 200 c) 200, 300, 100 d) 300, 200, 100 e) 300, 100, Os números 2a + b e a + b formam, entre si 6 uma razão de. 5 Pode-se afirmar que, se a e b não são nulos, então: a) a = b c) 1.800, e d) 2.800, e 400 e) 2.500, e GRANDEZAS PROPORCIONAIS, DIRETA E INVERSAMENTE Grandezas são os aspectos que variam no decorrer de uma situação (nº de pessoas, preços, idades, força, etc.), sendo que uma pode, ou não, ter relação com outra. Se o aumento de grandeza A implicar no aumento PROPORCIONAL de grandeza B diremos que essas são entre si, DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, porém se isso implicar no decrescimento PROPORCIONAL de B, então serão INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. Exemplos: 1) A quantidade de dinheiro e nº de bens que se pode adquirir com ela. mais dinheiro, mais bens (proporcionalmente) b) a = c) a = b 2 b 3 - grandezas diretamente proporcionais - 22 Professor Ivan Zecchin

23 2) Velocidade de um carro e o tempo gasto em uma viagem. mais velocidade, menos tempo (proporcionalmente) - grandezas inversamente proporcionais - Obs.: Não basta o crescimento mútuo, é necessário que haja proporcionalidade Exemplo: A idade de um pai e a idade do seu filho não são grandezas diretamente proporcionais, pois apesar de haver um crescimento das duas num mesmo período, a proporção não se mantém região a ser pintada. b) O número de pintores e o tempo que eles gastam para pintar um prédio são grandezas inversamente proporcionais. c) A medida do lado de um triângulo eqüilátero e seu perímetro são grandezas diretamente proporcionais. d) O número de ganhadores de um único prêmio de uma loteria e a quantia recebida por cada ganhador são grandezas inversamente proporcionais. e) A velocidade desenvolvida por um automóvel e o tempo gasto para percorrer certa distância são grandezas diretamente proporcionais. EXERCÍCIOS 1. Classificar em Direta (D) ou inversa (I) a relação entre as grandezas. a) ( ) nº de operários e quantidade de trabalho feito b) ( ) dificuldade para fazer o trabalho e o tempo preciso para executá-lo c) ( ) o nº de páginas de um livro e a quantidade de linhas por página, do mesmo livro d) ( ) o tamanho do lado de um quadrado e a sua área TESTES 1. É comum em nosso cotidiano surgirem situações-problema que envolvem relações entre grandezas. Por exemplo, ao se decidir a quantidade de tempero que deve ser usada na comida, a quantidade de pó necessária para o café, a velocidade com que se deve caminhar ao atravessar uma rua, etc,. está-se relacionando, mentalmente, grandezas entre si, por meio de uma proporção. Em relação às proporções, julgue os itens abaixo. 2. Em uma viagem foi levada certa quantidade de alimentos para um nº fixo de participantes. Durante a viagem ocorrem imprevistos que antecipam o fim da mesma. Em relação às grandezas envolvidas no problema (alimentos x participantes) e à situação em questão, podemos dizer que: a) são inversamente proporcionais e faltará alimento b) são inversamente proporcionais e sobrará alimento c) são diretamente proporcionais e sobrará alimento d) são diretamente proporcionais e faltará alimento e) são diretamente proporcionais e não sobrará alimento a) A quantidade de tinta necessária para fazer uma pintura depende diretamente da área da Professor Ivan Zecchin 23

24 TESTES -1 ( C OU E ) Uma empresa resolve distribuir um prêmio, em dinheiro, entre seus 4 vendedores, de forma proporcional ao n de produtos vendidos por cada um. Considerando que os vendedores são x, y, z, e w e que o número de produtos vendidos são, respectivamente, 8, 10, 10 e 12. Julgue os itens. 1) W vendeu 50% a mais que x e, por isso, recebe 50% a mais que x 2) Se y e z recebem juntos R$ 800,00 então a quantia distribuída foi superior a R$ 1.800,00 3) Se w recebe R$ 300,00 a mais que y então z recebe R$ 600,00 a mais que x. 4) Se x recebe R$ 1.000,00 então y recebe R$ 1 250,00. 5) x recebe 20% a menos que y e y 20% a mais que x TESTES 2 (Alternativas) 1. Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos de serviço de três soldados na corporação, que devem dividir entre si um certo número de fichas cadastrais para verificação. a) Daniel é 180. b) Manoel é 176. c) Daniel é 170. d) Manoel é 160. e) Daniel é Ao se dividir um certo valor entre três pessoas, de forma proporcional às suas idades 20, 30 e 45 anos, observa-se estar correto que, exceto: a) O mais velho receberá mais de 45% da quantia a ser distribuída. b) Um deles receberá, exatamente, 50% a mais que outro deles. c) Um deles receberá, exatamente, 50% a menos que outro deles. d) O mais velho receberá menos que os outros dois,juntos. e) Se o mais novo receber R$ 1000,00, então o mais velho receberá R$ 2250,00 3. Uma verba pública foi dividida em partes proporcionais a 1, 2 e 3, para atender, respectivamente, às despesas relativas a três rubricas: A, B e C. Tendo sido efetuada uma transferência, para a rubrica A, de 1/5 do valor destinado à rubrica C, as partes da verba destinadas às rubricas A, B e C tornaram-se proporcionais, respectivamente, a: a) 2, 3, 4 b) 3, 4, 5 c) 4, 5, 6 d) 5, 6, 7 e) 7, 8, 9 Nome dos soldados: Abel, Daniel, Manoel. Idade, em anos: 20, 24, 30. Tempo de serviço, em anos: 3, 4, 5. Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na corporação, o número de fichas que caberá a 24 Professor Ivan Zecchin

25 4. Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que são, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no TRT. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá trabalha há 16 anos, o número de pareceres que o mais jovem deverá emitir é: a) 18 b) 24 c) 32 d) 36 e) Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho Matilde e Julião foram incumbidos de arquivar X processos. Sabe-se que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3/5 de X em 2 horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria para, sozinho, arquivar todos os X processos? a) 8. b) 7. c) 6. d) 5. e) 4. GABARITO 5. A tabela a seguir mostra as participações dos três sócios de uma empresa na composição de suas ações. Sócio Total de ações Paulo Silva Maria Oliveira Carlos Braga Os lucros da empresa em determinado ano, que totalizaram R$ ,00, foram divididos entre os três sócios proporcionalmente à quantidade de ações que cada um possui. Assim, a sócia Maria Oliveira recebeu nessa divisão a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Testes -2 (Alternativas) 1 E 2- C 3- C 4 E 5- E 6- E Professor Ivan Zecchin 25

26 REGRAS DE TRÊS SIMPLES REGRA DE TRÊS COMPOSTA As regras de três se constituem em um conjunto de procedimentos para a montagem correta da proporção que resolverá o problema. Regras: 1- escreva as grandezas envolvidas no problema; 2 - compare-as (Diretas ou Inversas?); 3 - coloque os dados e a variável na grandeza procurada; 4 - escreva a proporção de acordo com a regra 2 Exemplo: 10 homens fazem um serviço em 3 dias. Se fossem somente 3 homens, fariam o mesmo serviço, em: quanto tempo? Resolução: 1 escrever as grandezas: Nº homens (h) nº de dias (d) 2 comparando: h d (mais homens gastam menos dias) 3 dados: * existem mais de 2 grandezas; * cada grandeza é comparada com a grandeza que possui a variável; * a proporção é formada entre a razão da variável e o produto das outras, considerando-se a proporcionalidade; * as demais regras anteriores se mantém. Exemplo 1 15 operários trabalham 12 dias de 8 horas para abrir 400 metros de uma vala. Quantos metros abrirão 20 operários de competência dobrada, se trabalhassem 10 dias de 5 horas? 1) escrevendo as grandezas e comparando-as, teremos: obs.: Todas as grandezas são Dir. proporcionais à grandeza metros de vala, pois o seu aumento determina um aumento proporcional em cada uma das outras. (compare, sempre, a grandeza da variável a cada uma das outras, separadamente). 2) colocando os dados, teremos: h d x 4 proporção como são grandezas inversas, invertemos uma das razões, então: Resposta: 10 dias obs.: 10 x 3 3 = ou = x 3) Proporção: =... x Resolvendo: x = 555 metros, aproximadamente. Se as grandezas fossem diretas, a proporção seria escrita como está. 26 Professor Ivan Zecchin

27 Consideração Na grandeza competência estabelecemos 1 para o primeiro grupo e, consequentemente, 2 para o segundo, pois a competência dobrou, mas qualquer outro valor estaria correto, desde que no segundo grupo colocássemos o DOBRO (isso é proporção!) 20/x = 5/9 5X = 180 x = 180/5 Questões Resolvidas 1. Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo comprimento? a) 32 b) 33,3 c) 34 d) 35,5 e) 36 x = 36.segundos...letra"E" 2. Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente: a) 1h e 40min b) 2hs, 2min, 2seg c) 2hs, 20min d) 2hs, 22min, 30seg É uma regra de três... observando que o assunto é o número de cortes e para se obter 6 pedaços, serão feitos 5 cortes e para se obter 10pedações ser]ao feitos 9 cortes na folha. Tempo(seg.)...nº de CORTES x...9 e) 2hs, 54min Se faz em 8h...faz 1/8 por hora Se faz em 6h...faz 1/6 por hora Se faz em 5h...faz 1/5 por hora Trabalhando juntos, na mesma hora serão feitos...1/8 + 1/6 + 1/5, ou seja 59/120 do trabalho Para cortar mais cortes... levará mais tempo, logo as grandezas são Diretamente proporcionais. Daí, mantenha as frações como estão; Professor Ivan Zecchin 27

28 Regra de três... Homens dias(duração vív.) 1h...59/ x...1 (o trabalho completo) X... 1/x = 59/120 x = 120/59 Se os víveres duram mais tempo... há menos homens se alimentando. Grandezas inversas, então mantenha a fração que contém a variável e inverta a outra 45/x = 2000/1600 fazendo a divisão teremos 2h completas e sobram 2 h que, convertidas para minutos, serão 120 minutos. Simplificando Dividindo 120 por 59 teremos 2 minutos completos e sobram 2 minutos, que convertidos para segundos serão 120 segundos. Dividindo por 59...teremos 2 segundos. Daí, 2h 2min 2seg (aproximadamente, pois a conta não é exata)... letra "B" 45/x = 5/4 5x = x = 180 X = 180/5 X = 36 dias (Resposta) 3. (comentada) A guarnição de uma fortaleza é formada de homens que tem víveres para 60 dias. No fim de 15 dias, chega um reforço de 400 homens. Para Quantos dias deverão durar os víveres restantes? Comentários: TESTES 1. Se 30 galinhas botam 30 dúzias de ovos em 30 dias, e se 20 galinhas comem 20 quilos de ração em 20 dias, então qual é a quantidade de ração necessária para se obter duas dúzias de ovos? a) menos de 2 kg; b) mais de 2kg e menos de 3,5kg; c) mais de 3,5kg e menos de 5 kg; Regras de três. d) mais de 5kg e menos de 7 kg; e) mais de 7kg. 28 Professor Ivan Zecchin

29 2. Uma granja possui 360 aves e cada uma recebe, diariamente, a mesma quantidade de ração. Nesse esquema, o estoque de ração existente hoje na granja é suficiente para alimentar as aves por, exatamente, 40 dias. Se hoje forem adquiridas 120 novas aves e, ao mesmo tempo, a quantidade diária de ração de cada ave for reduzida em 20%, então o estoque de ração da granja será suficiente para alimentar as 480 aves por: a) mais de 35 dias b) mais de 30 e menos de 35 dias c) mais de 25 e menos de 30 dias d) mais de 20 e menos de 25 dias e) menos de 20 dias 3. Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza certo trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por dia, realizará o mesmo trabalho em quantos dias? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) Um estudante observa que em 8 horas de estudo contínuo ele resolve uma certa quantidade de exercícios, mas se gastasse 1 min e meio a menos na resolução de cada exercício, ele resolveria todas em 5 horas. O número máximo de exercícios resolvidos pelo estudante: a) é divisor de 20 b) é múltiplo de 50 c) é primo d) tem a forma fatorada 2 (elevado na 2). 3.5 (elevado na 2) e) possui raiz quadrada inferior a Segundo previsões da divisão de obras de um município, serão necessários 120 operários para construir 600 m de uma estrada em 30 dias de trabalho. Sabendo-se que o município poderá disponibilizar apenas 40 operários para a realização da obra, os primeiros 300 m da estrada estarão concluídos em a) 45 dias. b) 50 dias. c) 55 dias. d) 60 dias. e) 65 dias 4. Para chegar ao trabalho, José gasta 2h 30min dirigindo à velocidade média de 75 km/h. Se aumentar a velocidade para 90 km/h, o tempo gasto, em minutos para José fazer o mesmo percurso é: a) 50 b) 75 c) 90 d) 125 e) 180 Professor Ivan Zecchin 29

30 7. Uma obra será executada por 14 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 4 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto? a) 8h 4min b) 8h 40min c) 8h 44min d) 8h 24min e) 8h 20min 8. (Questão comentada) Dois funcionários de uma empresa Jadilson e Geildo foram incumbidos de arquivar os 140 documentos de um lote e dividiram o total de documentos entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24 e 32 anos. Sabe-se que: ambos iniciaram a execução dessa tarefa quando eram decorridos 17/48 do dia e trabalharam ininterruptamente até terminá-la; durante a execução da tarefa a capacidade operacional de Geildo foi 75% da de Jadilson. Nessas condições, se Jadilson terminou de arquivar a sua parte às 12 horas e 30 minutos, Geildo terminou de arquivar a dele às a) 13 horas e 50 minutos. b) 13 horas e 15 minutos. Resolução: Vejamos quantos documentos cabe a cada um. Se a divisão é em partes inversamente proporcionais, basta trocar os valores e fazer uma divisão direta. Jailson...32 Geildo...24 CP = 140/(32+24) = 140 / 56 = 2,5 Jailson...2,5 x 32 = 80 documentos Geildo...2,5 x 24 = 60 documentos Regra de três.. Tempo documentos capacidade 12,5* X ,5/x = 80/60. 75/100...resolvendo... X = 12,5 horas, ou seja 12h e 30minutos... letra E 1-*OBS: como o tempo gasta por cada um deles é contado a partir de um mesmo momento, podemos já usar esse tempo nos cálculos 2-12, 5 horas = 12 horas e 30minutos c) 13 horas. d) 12 horas e 45 minutos. e) 12 horas e 30 minutos. 30 Professor Ivan Zecchin

31 9. Uma pessoa resolve 30 questões de Matemática em 4 horas. Outra pessoa resolveria o mesmo n em 5 horas. Trabalhando juntas, desde o início da resolução dos problemas, elas resolveriam as questões acima e mais 30 do mesmo nível de dificuldade, em: a) 4h26m40s b) 4h18m20s c) 3h45m30s d) 3h20m50s e) 2h40m40s 10. O motor de um navio consome 200 litros de óleo em 5 horas quando faz 1500 rotações por minuto. Exigindo-se mais do motor, 1800 rotações por minuto, quantos litros de óleo ele consumirá em 3 horas de viagem? a) 125 4ª PARTE: Porcentagem e taxas. PORCENTAGENS Uma porcentagem é o resultado da aplicação de uma taxa sobre certo valor, chamado principal. Exemplo: Quanto é 20% de 60? Solução: então teremos: 20%: taxa (na forma percentual) 60: principal 12: porcentagem / = / / b) 136 c) 140 d) 144 e) 150 1) FORMA FRACIONÁRIA Exemplo: a) GABARITO (TESTES) 1 B 2 - A 3 E 4 D 5 - E b) c) A 7- D 8 - E 9 - A 10 -D 2) FORMA PERCENTUAL Quando substituímos o denominador 100 pelo símbolo % (lê-se por cento ) temos a taxa percentual. Então lembre-se: o símbolo % significa dividido por ) FORMA UNITÁRIA (nº decimal) Professor Ivan Zecchin 31

32 Exemplos: a) b) c) 56 0,56 = = 56% ,06 = = 6% 100 0,8 0,008 = = 0,8% 100 A conversão da taxa de uma forma para outra deve ser imediata e não pode se constituir em um problema, por isso o domínio dessa unidade é muito importante, visto que é a base para um nº enorme de questões em concursos. Exemplos: Converter a taxa 18,6% para a forma decimal ou unitária. SOLUÇÃO: CONVERSÕES DA TAXA VEJA: a) b) c) d) 100 0,21= 0,21 = ,13 = 0,13 = ,06 = 0,06 = ,15 1,15 = 1,15 = = 115% Aplicações da Taxa Quando se aplica uma taxa sobre um certo valor, MULTIPLICA-SE a taxa pelo valor, na forma decimal ou fracionária. Ex: 28% de = 21% = 13% = 6% 18,6% = = 0,186 0, =m 150 Observe que a questão se resume a deslocar a vírgula, então: Dividiu por 100?: A vírgula desloca-se se duas casas para esquerda. VEJA: 78 a) = 0, b) 9,1% = 0,091% Ou 28/ = 150 O que um nº representa de outro? Para saber o que um nº representa de outro, percentualmente,...divida-os! c) d) 124% = 1,24 0,8% = 0,008 Ex: O que o 4,5 representa de 15: Multiplicou por 100?: a vírgula desloca-se se duas casas para a direita. Divida 4,5 po or 15 e obtenha a taxa em sua forma decimal. Leve a vírgula duas casas para a direita e coloque o símbolo %. 4,5 / 15 = 0,3 = 30% 32 Professor Ivan Zecchin

33 PROPRIEDADE: PORCENTAGENS DE UM MESMO NÚMERO No estudo e na utilização da porcentagem, um detalhe é fundamental: toda taxa se refere a algum número, isto é, quando falamos que um atraso num pagamento acarreta multa de 20%, fica subentendido que os 20% são calculados sobre o valor devido. Uma taxa que não se refira a outro número é apenas uma outra maneira de escrever um número. Por exemplo, 5% é uma outra maneira de escrever o número 0,05 (cinco centésimo). Já 5% de correspondem ao valor 50. Feita essa distinção, podemos escrever a seguinte propriedade: redução: 0,06. 1,1X = 0,066X (6,6% de X) Agora sim, como o aumento e a redução estão baseados em X, podemos compará-los. - aumento: 10% - redução: 6,6% Aumento final de 3,4% Para a resolução de problemas envolvendo Reajustes Sucessivos pode-se usar a fórmula: 1+i ac = (1+i 1 )x(1+i 2 )x(1+i 3 ) x... Onde i ac = Reajuste Acumulado e i 1, i 2, i 3, etc são os reajustes parciais Exemplo de aplicação da fórmula REAJUSTES SUCESSIVOS Quando várias correções ocorrem seguidamente, acumulando-se. Nesses casos, cada novo reajuste incidirá sobre o valor anterior já corrigido. Exemplo: Se meu aluguel sobe 10% e depois é reduzido de 6%, então ele ainda ficou aumentado de 4%, certo? ERRADÍSSIMO! Veja: O aumento e a redução não incidiram sobre o mesmo valor, por isso não podemos operar com as taxas dadas. A redução incidiu sobre o SALÁRIO JÁ AUMENTADO, então... Suponha que os funcionários de um banco tiveram em 2006 três aumentos salariais cumulativos, que totalizaram, no ano, 25% - resultado de negociações salariais. Ficou estabelecido, ao final dessas negociações que o primeiro reajuste seria em março de 2006 e seria de 12%. O segundo reajuste, de 80% do primeiro (percentualmente) seria em junho/06. O terceiro e último aumento do ano foi em outubro, o que totalizou a taxa citada acima. Pode-se dizer que o aumento de outubro representa do aumento de março: a) 12% b) 15,26% c) 16% d) 18,50% e) 25% valor inicial do salário: X aumento: 0,1X (10% de X) novo salário: X + 0,1X = 1,1X Professor Ivan Zecchin 33