AULA DEMONSTRATIVA. Concurso: Companhia Brasileira de Trens Urbanos (CBTU) Cargo: Matemática (todos os cargos e níveis) Matéria: Raciocínio Lógico

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1 1. APRESENTAÇÃO Conteúdo Programático Números Inteiros Noções Fundamentais Conjunto dos Números Naturais Conjunto dos Números Inteiros Módulo ou valor absoluto Operações com números inteiros Multiplicações e divisões com números inteiros Múltiplos de um inteiro Decomposição em fatores primos Critérios de divisibilidade Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Máximo Divisor Comum (MDC) Lista com os exercícios abordados hoje Considerações Finais Concurso: Companhia Brasileira de Trens Urbanos (CBTU) Cargo: Matemática (todos os cargos e níveis) Matéria: Raciocínio Lógico Professor: Bruno Leal Este curso é protegido por direitos autorais (copyright), nos termos da Lei n.º 9.610/1998, que altera, atualiza e consolida a legislação sobre direitos autorais e dá outras providências

2 1. APRESENTAÇÃO Olá, amigos concurseiros! Tudo tranquilo? Tomara que sim! Caso estejam nervosos, ansiosos por conta da Matemática, fiquem calmos: costumo dizer que não se trata de nenhum bicho-de-sete-cabeças (vá lá, duas ou três no máximo!) e se eu, que não sou nenhum Einstein, aprendi, então por que vocês, caros amigos, não conseguiriam? Passo número ZERO para aprendizagem: AUTOCONFIANÇA! Esta é a aula demonstrativa de Matemática para o concurso da CBTU. Conhecemos a banca CONSULPLAN. Tal banca é bem conhecida, com uma tradição em organizar concursos principalmente para prefeituras de municípios de pequeno/médio porte. Isso é bom, pois temos uma grande quantidade de questões para basear nossas aulas. Baseando-se na minha experiência de quase 18 anos em sala de aula, posso afirmar que o grau de dificuldade das questões pode ser considerado de fácil para médio. Como ocorre com quase todas as bancas, costuma ser bastante previsível e repetitiva nos assuntos que costuma cobrar. Claro que vamos nos basear nisso! Evidentemente que uma ou outra questão pode ser mais difícil, porém, no geral, o aluno bem preparado, como você, meu amigo, não terá maiores dificuldades. Sobre mim, meu nome é Bruno Leal Monteiro, tenho 34 anos, dou aulas de Matemática, Raciocínio Lógico e Matemática Financeira em cursinhos preparatórios desde os 18 aninhos... Lembro-me da minha primeira turma, preparatório para o CESD (Soldado Especialista da Aeronáutica, hoje em dia, é um concurso interno). Era o mais novo em sala! Todos com muita desconfiança daquele franzino professor, que nem vestibular ainda havia feito... mas deu tudo certo e até hoje estou ajudando a centenas de amigos/alunos a alcançarem seus objetivos. Só que nem um pouco franzino... rsrsrs. Sou autor de diversos materiais didáticos e do livro Matemática para Concursos A Arte de Resolver Problemas, pela Editora ELMO. Prof Bruno Leal 2

3 Como nas minhas turmas presenciais, foco o aprendizado da Matemática e do Rac. Lógico através da resolução de muitos, muitos exercícios. Espero que gostem, aprendam de verdade e que exorcizem todo e qualquer fantasma proveniente do Raciocínio Lógico que cismar rondar seus estudos! Juntos somos fortes, não perca a força, o foco e a fé! Rumo à vitória! 1.1. Conteúdo Programático O conteúdo programático que veremos é o seguinte: MATEMÁTICA (PARA TODOS OS CARGOS E NÍVEIS): Conjunto: Teoria dos conjuntos, símbolos lógicos, pertinência, representação, igualdade, desigualdade e inclusão. Subconjuntos: Reunião, intersecção, conjunto vazio, diferença, complementar. Conjuntos Numéricos: Conjunto (N) dos números naturais; Conjunto (Z) dos números inteiros; Conjunto (Q) dos números racionais; Conjunto (I) dos números irracionais; Conjunto (R) dos números reais, intervalos reais. Funções: Produto Cartesiano, relação binária, diagrama de flechas, gráfico cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função, domínio de uma função real/função inversa e função composta. Função Polinomial do 1º Grau: Função crescente e decrescente, raiz ou zero de uma função do 1º Grau; estudo dos sinais da função do 1º Grau, gráfico. É bastante coisa! Mas não temos como correr. É encararmos, sem medo. Esta aula zero tratará do tema Números Inteiros. Resolvemos nada menos que 32 exercícios, fora diversos exemplos de aplicação de propriedades. Sem perder mais tempo, vamos lá! Prof Bruno Leal 3

4 2. Números Inteiros Noções Fundamentais 2.1. Conjunto dos Números Naturais É o conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}. Os números naturais são aqueles que utilizamos para exprimir a quantidade de elementos de um conjunto. Como assim? Por exemplo: No meu estojo há 7 canetas. O 7 é um número natural, pois serviu para designar a quantidade de elementos do conjunto de canetas do meu estojo. Eu não poderia nunca dizer que no estojo há 2/5 de caneta, ou 4,59 canetas, nem mesmo 5 canetas... Já imaginou se eu dissesse que no meu estojo há 2 caneta? Você iria certamente fechar esse arquivo e dizer que eu sou louco! Há alguns subconjuntos de N que são importantes: I. O conjunto N* = {1, 2, 3, 4, 5,...} = N {0}. Toda vez que você vir o asterisco (*) associado a um conjunto significa que o elemento ZERO foi retirado do conjunto, ok? II. O conjunto {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,...} chamado de conjunto dos números PRIMOS. Um número natural é dito PRIMO quando tiver exatamente dois divisores naturais distintos: o 1 (chamado de divisor universal, pois é divisor de todos os naturais) e o próprio número. Por exemplo, o 11 é primo pois os únicos números naturais que o dividem exatamente são o 1 e o próprio 11. Já o 15 não é primo pois, além de ser divisível por 1 e por 15, também o é por 3 e por 5. Um número natural, a partir do 4, que não for primo, será chamado de COMPOSTO. É importante reparar que o menor número natural primo e o único par é o 2. O zero e o um não são nem primos nem compostos. O conjunto dos números naturais possui diversas limitações. Por exemplo, na subtração. Embora possamos subtrair 5 de 8, obtendo 3, não podemos fazer 10 15, pois o minuendo (10) é menor que o subtraendo (15). Ah, mas dá 5! Sim, dá 5, só que, por enquanto, não definimos ainda o que seja a quantidade 5. Para tanto, vamos ampliar o conjunto dos números naturais e definir o Conjunto dos Números Inteiros (Z) Conjunto dos Números Inteiros Eventualmente, você tomou noção de grandezas que admitiam valores menores que zero (negativos), como por exemplo, a temperatura. Hoje mesmo, em Boston, Prof Bruno Leal 4

5 EUA, houve uma nevasca e a temperatura chegou a 13 graus abaixo de zero ( 13ºC). O saldo bancário, infelizmente, é outra grandeza que admite valores negativos... mais frequentemente do que gostaríamos... Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico ou oposto. O oposto do 1 é o 1, do 2 o 2 e assim por diante. O sinal " " indica que se trata de um número negativo, portanto menor que zero. Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos, que passam a ser indicados por +1, +2, +3 etc., e o zero, bem, o zero é nulo, nem positivo, nem negativo. A presença do sinal + na frente dos inteiros positivos é opcional. IMPORTANTE: a SOMA de um inteiro com o seu OPOSTO é sempre ZERO. Exemplos: (+1) + ( 1) = 0; ( 5) + (+ 5) = 0 O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos formam um outro conjunto, o conjunto dos números inteiros e é representando pela letra Z (do alemão zahl, número): Z = {... 4, 3, 2, 1,0,+1,+2,+3,+4,...}. Alguns subconjuntos importantes: I) Z* = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3,...} = Z {0} (inteiros não nulos) II) Z = {..., 3, 2, 1, 0} (inteiros não positivos) São os números negativos incluindo o zero. Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z. CUIDADO! Não são os inteiros negativos, pois o zero PERTENCE a Z. III) Z = {..., 3, 2, 1} (inteiros negativos) IV) Z + = {0,1,2,3,4,...} (inteiros não negativos) Note que o conjunto Z + = N. V) Z + = {1, 2, 3, 4,...} (inteiros positivos) Tal conjunto é igual a N 2.3. Módulo ou valor absoluto Considere a reta abaixo, e os números inteiros nela indicados. Prof Bruno Leal 5

6 Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto. Assim, a distância do ponto que representa o número 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos 4 = 4. Da mesma forma, a distância do ponto 2 à origem é 2, ou seja, o módulo de 2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim: 2 = 2 Outros exemplos: 3 = 3; 7 = 7; 0 = 0; 1 = 1. Vamos generalizar: Qual é o módulo de um número qualquer x? x =? A resposta é: depende! Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado). Portanto, x = x, se x for um número positivo e x = x, se x for um número negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo Operações com números inteiros Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações. As divisões, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Prof Bruno Leal 6

7 Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para qualquer uma destas três operações. Adições e subtrações com números inteiros Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes: Exemplo 1: Calcular o valor da seguinte expressão: Faremos duas somas separadas: uma só com os números positivos = +29; e outra só com os números negativos: ( 7) + ( 9) + ( 3) = 19. Nós repetimos o sinal negativo e SOMAMOS ou módulos. Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados = +10 ou simplesmente 10. Atenção: É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto! Exemplo 2: Calcular o valor da seguinte expressão: º passo: Achar os totais (+) e ( ): (+): = + 7; ( ): = 27. 2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo: = Multiplicações e divisões com números inteiros Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação. SINAIS IGUAIS: resultado POSITIVO (+) SINAIS OPOSTOS: resultado NEGATIVO ( ) Exemplos: Prof Bruno Leal 7

8 a) (+5) x (+2) = +10 b) (+5) x ( 2) = 10 c) ( 5) x ( 2) = +10 d) ( 5) x (+2) = 10 e) (+8) : (+2) = +4 f) (+8) : ( 2) = 4 g) (-8) : ( 2) = +4 h) (-8) : (+2) = 4 Vamos aos nossos primeiros exercícios resolvidos: QUESTÃO 01 (Agente de Segurança Metroviária SP/2013 Fundação Carlos Chagas) O resultado da expressão: é igual a: (A) 170. (B) 170. (C) 85. (D) 85. (E) 87. Solução: A questão é tranquila, não precisamos nos desesperar! Vamos, para facilitar a explicação, separar os termos da expressão em pares: (1 2) + (3 4) + (5 6) + (7 8) ( ) + ( ). Repare, meu amigo, 2 coisas: 1ª) Conseguimos formar 170 : 2 = 85 pares; 2ª) Em cada par, temos uma subtração cujo resultado é 1. Logo, nossa expressão fica , com 85 termos, logo, o resultado é 85, alternativa D. Resolva a expressão (99 9)(99 19)(99 29)... (99 189) Solução: A primeira coisa é termos CALMA! Sem pânico nem precipitações! Resolvendo as subtrações nos 3 primeiros parênteses, obtemos 90, 80 e 70, não é verdade? Ótimo! Agora repare as reticências: o que elas indicam? Que o padrão continua, e vai até uma última subtração, , que dá 90, pois nós subtraímos e repetimos o sinal do 189, pois este tem maior módulo. No momento, nossa expressão está assim: ( 90). Prof Bruno Leal 8

9 Ainda pouco falei sobre um PADRÃO. Que padrão é esse? Os números estão DIMINUINDO de 10 em 10, confere? Eles vão ficando cada vez menores até eventualmente ficarem negativos até chegar no 90. Podemos escrever então que a expressão é ( 10)... ( 90). Ora, qualquer número multiplicado por ZERO dá... ZERO! A resposta do exercício! Ufa! Passamos pelos nossos primeiros desafios. Serão dezenas até o fim do nosso curso. Não desanime, estamos juntos nesse barco! 2.6. Múltiplos de um inteiro Sejam m e n dois números inteiros. Dizemos que n é múltiplo de m se existir um número k, inteiro, tal que n = k. m. Desta forma, dizemos que 12 é múltiplo de 3, pois existe um número inteiro k (neste caso k = 4 tal que: 3 k = 12). Da mesma maneira, dizemos que 21 é múltiplo de 7, pois existe um número inteiro k (neste caso k = 3), tal que 21 = 7 k. Observemos que o 0 (zero) é múltiplo do número inteiro k, qualquer que seja k, pois sempre podemos escrever: 0 k = 0. O conjunto dos múltiplos de um inteiro k é indicado por M(k). Por exemplo, temos: M(2) = {0, ±2, ±4, ±6, ±8,...}. O conjunto dos múltiplos de zero, M(0) é UNITÁRIO: M(0) = {0}. Se a é múltiplo de b, podemos também dizer que a é divisível por b, ou então que b é divisor de a Decomposição em fatores primos Todo o número composto pode ser decomposto ou fatorado num produto de números primos. Assim, por exemplo, o número 90, que não é primo, pode ser decomposto como: 90 = 2 45 O número 45, por sua vez, sendo composto, pode ser fatorado na forma: 45 = 3 15 Desta forma poderíamos apresentar o número 90 com uma fatoração: 90 = Sendo o número 15 também um número composto, podemos apresentá-lo através do seguinte produto: 15 = 3 5 Prof Bruno Leal 9

10 Teremos, finalmente, a fatoração completa do número 90 = Se quisermos escrever o produto 3. 3 na forma de potência, teremos o que chamamos forma canônica: 90 = Como procedimento geral, podemos estabelecer uma regra para decomposição de um número natural em fatores primos. Regra: para decompormos um número natural em fatores primos, basta dividirmos o número dado pelo seu menor divisor primo; dividimos o quociente pelo menor divisor primo; procedemos da mesma maneira com os demais quocientes obtidos até chegarmos a um quociente igual a 1. O produto indicado de todos os fatores primos obtidos representa o número fatorado. Exemplos: Represente os números 90, 300 e 72 na forma canônica: 2.8. Critérios de divisibilidade Podemos verificar quando um número é divisível por outro, efetuando a operação de divisão. Existem, porém, critérios que nos permitem reconhecer a divisibilidade entre dois números sem que façamos a divisão. Tais critérios se aplicam aos principais e mais usados divisores, como observaremos a seguir: divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando for par. Quando for ímpar, deixará resto 1 na divisão por 2. divisibilidade por 3: um número é divisível por 3, quando a soma dos algarismos que o formam for múltiplo de 3. Prof Bruno Leal 10

11 Exemplos: a) 8421 é divisível por 3, pois = 15 é um múltiplo de 3. b) 8422 NÃO é divisível por 3, pois = 16 não é múltiplo de 3. Como o 16, ao ser dividido por 3 deixa RESTO 1, 8422, dividido por 3, TAMBÉM DEIXARÁ resto 1. Note, pois, que o critério por 3 não nos diz apenas se o número é ou não divisível por 3, quando não o for, também nos fornece o RESTO da divisão. divisibilidade por 4: um número é divisível por 4, quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplos: a) é divisível por 4, pois o número 24 é divisível por 4. b) deixa resto 3 na divisão por 4, pois 11 dividido por 4 deixa resto 3. divisibilidade por 5: um número é divisível por 5, quando o seu algarismo da unidade for zero ou cinco. Exemplo: deixa resto um na divisão por 5, pois o 6, algarismo da unidade, na divisão por 5 também deixa resto 1. divisibilidade por 6: um número é divisível por 6, quando for divisível, separadamente, por 2 e por 3. Exemplo: 672 é divisível por 6, pois é par e divisível por 3 ( = 15). divisibilidade por 8: um número é divisível por 8, quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: a) é divisível por 8, pois o número 712 é divisível por 8. b) deixa resto 1 na divisão por 8, pois 713, dividido por 8, também deixa resto 1. divisibilidade por 9: um número é divisível por 9, quando a soma dos algarismos que o formam for múltiplo de 9. É a mesma regra do 3. Exemplos: é divisível por 9, pois = 18 é múltiplo de 9. divisibilidade por 10: um número é divisível por 10, quando o seu algarismo da unidade for zero. Exemplo: deixa resto 7 na divisão por 10, pois termina em 7. divisibilidade por 11: um número é divisível por 11, quando a diferença entre as Prof Bruno Leal 11

12 somas dos valores absolutos dos algarismos de posição ímpar e a dos algarismos de posição par for divisível por 11. Exemplo: é divisível por 11, pois a diferença da soma dos algarismos de posição ímpar ( = 20) e a soma dos algarismos de posição par (3 + 6 = 9) é um número divisível por 11. IMPORTANTE!! Nossa querida, pero no mucho, Fundação Cesgranrio com alguma frequência cobra questões envolvendo restos. Vamos aprender como resolvê-las com facilidade, dando uma olhadinha nos exemplos preliminares: Exemplo 1: Qual o resto da divisão por 5 da soma ? A Aritmética nos ensina que o resto da soma é a soma dos restos das parcelas. Como assim, não entendi bulhufas!!! Calma, veja como é fácil: O 36, dividido por 5, deixa resto 1 (pois termina em 6) e o 87, dividido por 5, deixa resto 2 (pois termina em 7). O resto da soma é simplesmente a soma dos restos 1 e 2, ou seja = 3. Vamos conferir? = 123 que dividido por 5, realmente deixa resto 3. Exemplo 2: Qual o resto na divisão por 10 do produto 285 x 833? A Aritmética também nos ensina que o resto do produto é o produto dos restos de cada fator. Observe: O 285 dividido por 10 deixa resto 5, pois termina em 5. Já o 833, por terminar em 3, deixa resto 3 na divisão por 10. Logo, o resto do produto 285 x 833 é simplesmente o resto que 5 x 3 = 15 deixa na divisão por 10, ou seja, resto 5. Conferindo, 285 x 833 = , que realmente deixa resto 5 na divisão por 10. Exemplo 3: Qual o resto na divisão por 3 da expressão (4126 x 118) ? Prof Bruno Leal 12

13 Muita calma nessa hora! É bem fácil! Vamos inicialmente calcular os restos de cada termo da expressão por 3. 1º) = : 3 deixa resto 1; 2º) = : 3 deixa resto 1; 3º) = : 3 deixa resto 2. Agora, basta substituir cada número pelo seu respectivo resto na divisão por 3, e resolver a expressão: (1 x 1) = 3 que, dividido por 3, deixa resto ZERO! Por curiosidade, vamos calcular o resultado da expressão: = que, dividido por 3, dá quociente e resto zero. Vamos a mais alguns exercícios resolvidos: QUESTÃO 02. A diferença entre o 5º e o 2º número natural primo é: Solução: O conjunto dos números naturais primos, números que apresentam exatamente dois divisores positivos, o 1 e o próprio número, é infinito. Seus primeiros elementos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,... Note que o ÚNICO natural par que é primo é o 2. O 5º número primo é o 11 e o 2º, o 3, sendo de 11 3 = 8 a diferença entre eles. Lembrando que números naturais que são divisíveis finitamente por mais de dois divisores positivos são chamados números COMPOSTOS. Por exemplo, o 15 apresenta 4 divisores positivos: o 1, o próprio 15, o 3 e o 5. Portanto, o 15 é composto. De acordo com as definições acima expostas, o 1 não é nem primo nem composto, pois D(1) = {1} (possui apenas um divisor). O zero também não é nem primo nem composto, pois D(0) = {1, 2, 3, 4, 5,...} (possui infinitos divisores). QUESTÃO 03. (Colégio Militar do Rio de Janeiro) Examine as afirmativas abaixo: I) O conjunto dos múltiplos de 1 é um conjunto unitário; II) Todo número composto tem apenas 2 divisores primos; III) O conjunto dos múltiplos de 0 é o conjunto dos números naturais; IV) O número 1 é múltiplo de todos os números naturais; V) Todo número primo admite um divisor primo. todas as afirmativas são falsas todas as afirmativas são verdadeiras Prof Bruno Leal 13

14 apenas uma afirmativa é falsa apenas uma afirmativa é verdadeira nenhuma das anteriores COMPANHIA BRASILEIRA DE TRENS URBANOS (CBTU) Solução: I) FALSO, pois M(1) = {0, 1, 2, 3,...} = N (conjunto dos números naturais); II) FALSO, pois, por exemplo, 30 = 2 x 3 x 5, ou seja, é um número composto que possui 3 fatores primos; III) FALSO, pois M(0) = {0}; IV) FALSO, pois é o zero o múltiplo universal. O 1 é um divisor universal; V) VERDADEIRO, o próprio número. A opção correta é a alternativa D. QUESTÃO 04 (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) De quantas maneiras podemos escrever 497 como a soma de dois números primos positivos? Solução: Ao adicionarmos dois números pares, ou dois números ímpares, o resultado será sempre par. Mas se adicionarmos um número par com um ímpar, a soma será ímpar. Sendo ímpar o 497, pelo que colocamos acima, ele é a soma de um número par com um número ímpar. Como essas parcelas devem ser ambas primas, a única opção possível seria escrever 497 = , pois o 2 é o único natural par e primo. Porém, o 495 é composto, por ser M(5). Logo, não há nenhuma maneira de ser escrever 497 como a soma de 2 primos. QUESTÃO 05 (Centro Federal de Educação Tecnológica CEFET/RJ) Determine 3 números naturais consecutivos cujo produto é 504. Solução: Sejam x, x + 1 e x + 2 os naturais consecutivos. Sendo 504 o produto deles, podemos escrever que x. (x + 1). (x + 2) = 504. O problema é que, desenvolvendo a expressão acima, encontramos uma equação do 3º grau! Logo, é uma questão proibitiva de ser resolvida por meios algébricos. Prof Bruno Leal 14

15 Como os números são naturais e o produto deles é 504, tais números são DIVISORES de 504. Decompondo-o em fatores primos e escrevendo-o na forma canônica, vem: 504 = = , que são justamente os números consecutivos que estávamos procurando! QUESTÃO 06 Qual o menor inteiro positivo que se deve multiplicar por de modo a obter um quadrado perfeito? Solução: Um número natural é chamado quadrado perfeito quando possuir raiz quadrada exata, ou seja, quando for o quadrado de um número natural. Qualquer quadrado perfeito possui, na sua forma canônica, todas as suas bases elevadas a expoentes pares. Exemplo: 144 = é um quadrado perfeito por possui todas as suas bases elevadas a expoentes pares. O nosso número, 1944, quando fatorado, dá 2 3 x 3 5. Para ser um quadrado perfeito, deveríamos ter, no mínimo, 2 4 x 3 6. Para que isso ocorra, precisamos multiplicar o 1944 por 2 x 3 = 6, para acrescentar as bases 2 e 3 que estavam faltando. QUESTÃO 07 (FUVEST) O menor número natural n que torna o produto de n por 3888 um cubo perfeito é: Solução: Um número natural é chamado cubo perfeito quando possuir raiz cúbica exata, ou seja, quando for o cubo de um número natural. Qualquer cubo perfeito possui, na sua forma canônica, todas as suas bases elevadas a expoentes que são divisíveis por 3. Exemplo: 1728 = é um cubo perfeito por possui todas as suas bases elevadas a expoentes divisíveis por 3. O nosso número, 3888, quando fatorado, dá 2 4 x 3 5. Para ser um cubo perfeito, deveríamos ter, no mínimo, 2 6 x 3 6. Para que isso ocorra, precisamos multiplicar o 3888 por 2 2 x 3 = 12, para acrescentar as duas bases 2 e a base 3 que estavam faltando. QUESTÃO 08 Quais são os divisores positivos de 60? Solução: Para determinar os divisores positivos de um número, procedemos como se segue abaixo: 1º) Fatoramos o número dado; 2º) Traçamos uma segunda barra vertical à direita dos fatores primos; Prof Bruno Leal 15

16 3º) Um pouco acima e à direita dessa barra, escrevemos o divisor 1, que é o divisor universal; 4º) Multiplicamos os fatores primos pelos números que vão ficando à direita da segunda barra. Obs.: Os produtos que se forem repetindo não serão escritos. Aplicando-se a regra para o 60, temos: logo, D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,12, 15, 20, 30, 60}. Note, meu amigo concurseiro, que o enunciado falou em divisores POSITIVOS... mas haveria divisores negativos? Da mesma forma que acontece com os múltiplos, o oposto ou simétrico de um divisor positivo de um inteiro continuará divisor desse inteiro. Por exemplo, o 9 possui como divisores positivos o 1, o 3 e o próprio 9. Além desses, o 1, o 3 e o 9 também são divisores do 9. QUESTÃO 09 Marque V ou F: a) Todo número inteiro é divisor de 1. ( ) b) Todo número inteiro é múltiplo de zero. ( ) c) 1 é múltiplo de todos os números inteiros. ( ) d) 1 é divisor de todos os números inteiros. ( ) e) Zero é múltiplo de todos os números inteiros. ( ) Solução: a) FALSO, pois o único divisor (positivo) de 1 é o próprio 1. Todo número inteiro é MÚLTIPLO de 1. b) FALSO, pois o único múltiplo de zero é o próprio zero. Prof Bruno Leal 16

17 c) FALSO, o 1 é DIVISOR de todos os números inteiros, assim como o 1. d) VERDADEIRO e) VERDADEIRO QUESTÃO 10 Analise as afirmativas abaixo: I. O conjunto dos múltiplos de um número é um conjunto infinito. II. O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito. III. A soma de dois múltiplos de um número é também múltipla desse número. Com relação às afirmações acima, pode-se dizer que: as 3 são falsas as 3 são corretas apenas I e II são corretas apenas II e III são corretas nenhuma das anteriores Solução: É importantíssimo repararmos nesse enunciado que ele cita o conjunto dos múltiplos de um número, nada sendo especificado acerca de tal número. Conclui se que ele pode ser par, ímpar, positivo, negativo ou mesmo o ZERO. Levando isso em consideração, vamos analisar as afirmativas: I) FALSO, pois o conjunto dos múltiplos de zero é UNITÁRIO: M(0) = {0}. II) FALSO, pois o conjunto dos divisores de zero é INFINITO: D(0) = {1, 2, 3, 4,...}. Note que o zero não é divisor nem de si mesmo. III) VERDADEIRO, por exemplo, 24 e 32 são múltiplos de 8 e a soma deles, 56, também o é. A diferença e o produto de dois múltiplos de um número também é múltipla do número. Conclui-se que a alternativa correta é a letra e) QUESTÃO 11 A soma de 3 múltiplos consecutivos de 7 é 273. O maior desses números é um número: a) par b) ímpar c) múltiplo de 3 d) múltiplo de 4 Prof Bruno Leal 17

18 Solução: Sabemos que os múltiplos de 7 se sucedem de 7 em 7 e por isso, sendo x o menor dos números, os outros serão x + 7 e x Como a soma deles é 273, vem: x + x x + 14 = 273 3x + 21 = 273 3x = 252 x = 84. O maior será = 98, que é um número par, letra a). QUESTÃO 12 Os números inteiros positivos são dispostos em "quadrados" da seguinte maneira: O número 500 se encontra em um desses "quadrados". A "linha" e a "coluna" em que o número 500 se encontra são, respectivamente: a) 2 e 2. b) 3 e 3. c) 2 e 3. d) 3 e 2. e) 3 e 1. Solução: Repare que há 9 elementos em cada quadrado, e a localização de cada número pode ser dada pelo RESTO da divisão do número por 9. Pelo critério de divisibilidade por 9, o número 500 deixa resto = 5 na divisão por 9. Portanto, o número 500 deve estar na mesma posição do 5, ou seja, no centro do quadrado, na linha 2 e coluna 2. QUESTÃO 13 (Banco do Brasil/2010 Cesgranrio) De acordo com o Plano Nacional de Viação (PNV) de 2009, a malha de estradas não pavimentadas de Goiás tem km a mais do que a malha de estradas pavimentadas. Sabe-se, também, que a extensão total, em quilômetros, das estradas não pavimentadas supera em 393km o sêxtuplo da extensão das estradas pavimentadas. Quantos quilômetros de estradas pavimentadas há em Goiás? Solução: Sendo x a extensão das pavimentadas e y, das não pavimentadas, podemos escrever: 1º) y = x e 2º) y = 6x + 393, logo, comparando as duas equações, vem: 6x = x x x = x = x = : 5 x = Prof Bruno Leal 18

19 QUESTÃO 14 (Transpetro/2012 Cesgranrio) Se a soma de dois números naturais não nulos é igual ao quádruplo de um desses números, então: (A) pelo menos um dos números é múltiplo de 3. (B) um deles é par, se o outro for ímpar. (C) certamente os dois números são compostos. (D) os dois números podem ser iguais. (E) um dos números é, obrigatoriamente, primo. Solução: Vamos representar os números por x e y. O enunciado nos disse que a soma deles é igual ao quádruplo (4 vezes) de um deles, digamos, 4 vezes y. Em símbolos: x + y = 4y isolando x, vem: x = 4y y x = 3y. Repare, querido amigo, que x é igual a 3 vezes o número natural y. Com certeza, x será múltiplo de 3, pois todo múltiplo de 3 é igual a 3 vezes alguém. Alternativa A. Vamos pensar num exemplo numérico: números: 2 e 6 soma: = 8, que é o quádruplo do 2. Note que o 6 é divisível por 3, por ser 3 vezes alguém, 3 x 2. QUESTÃO 15 (BNDES/2012 Cesgranrio) O Parque Estadual Serra do Conduru, localizado no Sul da Bahia, ocupa uma área de aproximadamente hectares. Dessa área, 7 em cada 9 hectares são ocupados por florestas. Qual é, em hectares, a área desse Parque NÃO ocupada por florestas? (A) (B) (C) (D) (E) Solução: O que o enunciado quis dizer com Dessa área, 7 em cada 9 hectares são ocupados por florestas? Que, separando a área do parque em lotes de 9 hectares cada, em cada lote 7 hectares são ocupados por florestas e 2 hectares NÃO serão ocupados. Como a área do Parque é de 9270 hectares, podemos formar 9270 : 9 = 1030 lotes de 9 hectares. Portanto, a área pedida é 2 x 1030 = 2060 hectares, alternativa A. Prof Bruno Leal 19

20 QUESTÃO 16 (Banco do Brasil Escriturário/2013 Fundação Carlos Chagas) Para recepcionar os 37 novos funcionários de uma agência, foi criada uma brincadeira na qual os novos funcionários deveriam ser divididos em grupos iguais (mesmo número de integrantes) que poderiam ter ou 5, ou 7, ou 8, ou 9, ou 10 integrantes. Das cinco opções de tamanhos dos grupos, a que deixa menos funcionários sem grupo é aquela em que os grupos têm número de integrantes igual a: (A) 7. (B) 9. (C) 5. (D) 10. (E) 8. Solução: A questão é simples, basta dividir 37 por 5, 7, 8, 9 e 10 e verificar os restos de cada divisão. O divisor que deixar o resto menor será a resposta. 1º) 37 : 5 quociente 7 e resto 2; 2º) 37 : 7 quociente 5 e resto 2; 3º) 37 : 8 quociente 4 e resto 5; 4º) 37 : 9 quociente 4 e resto 1; 5º) 37 : 10 quociente 3 e resto 7. Portanto, a resposta é a alternativa B, pois dividindo os funcionários em grupos de 9 em 9, só sobra 1. QUESTÃO 17 (DPE RS/2013 FCC) Em uma montadora, são pintados, a partir do início de um turno de produção, 68 carros a cada hora, de acordo com a seguinte sequência de cores: os 33 primeiros são pintados de prata, os 20 seguintes de preto, os próximos 8 de branco, os 5 seguintes de azul e os 2 últimos de vermelho. A cada hora de funcionamento, essa sequência se repete. Dessa forma, o 530º carro pintado em um turno de produção terá a cor: (A) prata. (B) preta. (C) branca. (D) azul. (E) vermelha. Prof Bruno Leal 20

21 Solução: Como se trata de uma sequência, vamos dividir 530 por 68: encontramos quociente 7 e resto 54. O que isso significa? Que o ciclo de 68 carros pintados ocorreu 7 vezes e, durante o oitavo ciclo, paramos no carro número 54. Isso quer dizer que, no oitavo ciclo, chegamos a pintar os 33 carros prata e os 20 carros pretos (totalizando 53 carros). O carro de número 54, o último a ser pintado, foi, seguindo a sequência, terá a cor branca. Alternativa C. QUESTÃO 18 (DPE SP/2013 FCC) Alguns funcionários da Defensoria Pública de São Paulo participaram de um seminário sobre Ações na Área Cível, pelo qual pagaram o total de R$ 715,00, no ato de suas inscrições. Se X reais era o valor unitário da inscrição e X é um número inteiro compreendido entre 40 e 60, quantos funcionários da Defensoria participaram de tal seminário? (A) 11. (B) 13. (C) 37. (D) 55. (E) 59. Solução: Seja Y o total de funcionários que participaram do seminário. Note que Y é um número inteiro positivo (não podemos ter 24,785 funcionários participando!). Se cada um desses Y funcionários pagou X reais, podemos escrever que X. Y = 715. O enunciado nos disse que X também é inteiro, logo precisamos que X e Y sejam DIVISORES de 715, sendo X, entre 40 e 60, conforme o enunciado. Decompondo 715 em fatores primos, encontramos Podemos concluir que X = = 55 (pois é um número entre 40 e 60) e consequentemente Y = 13. Logo, 13 funcionários participaram do evento, tendo cada um pagado 55 reais. Alternativa B. QUESTÃO 19 (Agente de Segurança Metroviária SP/2013 FCC) No universo dos números naturais, o resto da divisão do número Y por 13 é 2. O resto da divisão do mesmo número Y por 17 é 3. O número Y é menor do que 80. O resto da divisão do número Y por 15 é: (A) 3. (B) 0. (C) 5. (D) 12. Prof Bruno Leal 21

22 (E) 9. COMPANHIA BRASILEIRA DE TRENS URBANOS (CBTU) Solução: Vamos encontrar os números naturais que, divididos por 13, deixam resto 2: 13 x = 15; 13 x = 28; 13 x = 41; 13 x = 54; 13 x = 87 (note que basta irmos somando de 13 em 13, a partir do 15),... Vamos agora encontrar os números naturais que, divididos por 17, deixa resto 3: 17 x = 20; 17 x = 37; 17 x = 54; 17 x = 71,... Percebemos que o 54 é o número menor que 80 que apareceu em ambas as sequências. Logo, Y = 54. Dividindo-o por 15, o quociente é 3 e o resto é 9, alternativa E. Vejamos mais alguns exercícios resolvidos, dessa vez sobre restos: QUESTÃO 20 (CMRJ) Considere 3 números naturais representados por m, n e p. Se os restos das divisões de m, n e p por 11, são, respectivamente, 3, 4 e 5, então o resto da divisão de (m + n + p) por 11 é: Solução: Como vimos na teoria, basta substituir m, n e p por 3, 4 e 5, pois o resto da soma é a soma dos restos das parcelas. Logo, teremos ( ) : : 11 resto 1 QUESTÃO 21 (UNICAMP) A divisão de um certo inteiro positivo N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N pelo mesmo número Solução: Mesma história do anterior, o resto da soma é a soma dos restos das parcelas. Como N deixa resto 148 na divisão por 1994 e o 2000 deixa resto 6, (N ) deixará resto ( ) = 154 na divsão por Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Prof Bruno Leal 22

23 Hora do Varandão da Saudade... bons tempos que nossas preocupações escolares eram o mmc... Relembrando: o mmc entre é o menor inteiro POSITIVO que é múltiplo, ao mesmo tempo, de dois os mais inteiros dados. Exemplo: Calcular o mmc (4, 6): 1º) Múltiplos (naturais) de 4 = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36...} 2º) Múltiplos (naturais) de 6 = {0,6,12,18,24,30,36,40,...} 3º) Múltiplos comuns (naturais) entre 4 e 6 = {0,12,24,36...} Portanto, o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 é o 12. Repare que o 12 não é umc único múltiplo comum. É apenas o menor, POSITIVO, dentre INFINITOS. Qualquer MÚLTIPLO de 12 continuará múltiplo tanto do 4 quanto do 6. Em princípio, no conjunto dos naturais, o mmc deveria ser o zero, por ele ser o múltiplo universal e o menor natural. Por isso que para evitar de o zero ser sempre a resposta, o fizemos de café-com-leite adotando o mmc como sendo o menor inteiro POSITIVO que é divisível ao mesmo tempo, no caso, entre o 4 e o 6. Esse processo é artesanal, e bastante lento, por isso de interesse apenas teórico. Vamos utilizar preferencialmente o processo da decomposição simultânea em fatores primos, como você certamente sabe fazer. Veja logo abaixo um exemplo: Existe ainda um terceiro processo: da decomposição separada em fatores primos. Veja o exemplo abaixo: Prof Bruno Leal 23

24 Exemplo: Determine o mmc (90, 48). Vamos utilizar o processo da decomposição separada em fatores primos dos números dados. O mmc é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes. No nosso caso, temos: 90 = 2 x 3 2 x 5 e 48 = 2 4 x 3, logo mmc (90, 48) = 2 4 x 3 2 x 5 = 720. Há algumas questões clássicas envolvendo o mmc, que veremos agora: QUESTÃO 22 De um aeroporto partem 3 aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota de ida e de volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se num certo dia, os 3 aviões partirem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia? Solução: Questões como essa, que pedem após quanto tempo determinados eventos coincidirão pela primeira vez, são facilmente resolvidas. Basta encontrarmos o mínimo múltiplo comum entre 4, 5 e 10, que é igual a 20 dias. O que caracteriza um problema de mmc é justamente isso: coincidência entre os acontecimentos dos eventos citados no enunciado. QUESTÃO 23 As revisões mecânica, hidráulica e elétrica de um dado equipamento devem ser realizadas respectivamente em intervalos de 6, 4 e 8 meses. Iniciandose a manutenção com uma revisão simultânea das 3 categorias em janeiro de 2013, essas 3 revisões coincidirão novamente em: Solução: Repare a última frase do enunciado: essas 3 revisões coincidirão novamente em... Como na anterior, a questão é sobre mmc. Sendo o mmc (6, 4, 8) = 24 meses = 2 anos, conclui-se que a próxima revisão simultânea ocorrerá em janeiro de QUESTÃO 24 (Escola de Especialistas da Aeronáutica EEAR) Certo jogo de cartas pode ter de 2 a 5 participantes. Todas as cartas devem ser distribuídas aos jogadores e todos devem receber a mesma quantidade de cartas. O número mínimo de cartas que esse jogo pode ter é: Solução: Se o jogo pode ter de 2 a 5 participantes, então pode ter 2, 3, 4 ou 5 participantes. A quantidade de cartas deve ser múltipla desses números, pois todas as cartas devem ser distribuídas e todos os jogadores recebem a mesma Prof Bruno Leal 24

25 quantidade de cartas. Logo, o número mínimo de cartas é dado pelo mmc(2, 3, 4, 5) = 60. QUESTÃO 25 (Colégio Militar do Rio de Janeiro CMRJ) Na festa de casamento de Márcia, foi servido um jantar, constituído de arroz, maionese, carne e massa. Garçons serviram os convidados utilizando pequenas bandejas. A quantidade servida era aproximadamente igual parta todos, sem repetição. Todos os convidados se serviram de todos os pratos oferecidos e as bandejas retornavam à copa sempre vazias. Cada bandeja de arroz servia 3 pessoas, as de maionese, 4 pessoas, as de carne, 5 pessoas e as de massa, 6 pessoas cada. Nessas condições, dos números abaixo apresentados, só um deles pode corresponder ao total de convidados que foram à festa de Márcia. Assinale-o: a) 90 b) 120 c) 144 d) 150 e) 200 Solução: Como no anterior, o total de convidados será dado por um múltiplo comum de 3, 4, 5 e 6. O menor de todos é dado pelo mmc(3, 4, 5, 6) = 60, que não apareceu nas alternativas. Qualquer múltiplo do mmc continuará sendo um múltiplo comum de 3, 4, 5 e 6. Os múltiplos de 60 são {0, 60, 120, 180,...}. Observe que o 120 apareceu na opção b), sendo esta a resposta. QUESTÃO 26 Duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se em certo instante as luzes piscarem simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar ao mesmo tempo? Solução: CUIDADO!! A questão tem cheiro de mmc, gosto de mmc, cara de mmc, corpo de mmc... e É de mmc... Mas não é o mmc(15, 10) = 30!!! Por quê? Pois não nos importa saber que determinado evento ocorre 15 vezes por minuto, 25 vezes por hora, 60 vezes por dia, etc..., e sim de quanto em quanto tempo leva para tal evento ocorrer APENAS UMA VEZ. No nosso exercício, se a 1ª luz pisca 15 vezes por minuto, ou seja, 15 vezes a cada 60 s, então ela pisca uma vez a cada 60 : 15 = 4 s. Da mesma forma, se a 2ª luz pisca 10 vezes por min, ou seja 10 vezes a cada 60 s, pisca uma vez a cada 60 : 10 = 6 s. Agora sim! Basta calcular o mmc(4, 6) = 12 s. Prof Bruno Leal 25

26 QUESTÃO 27 O menor número que dividido por 15, 18 e 24 deixa resto 7 é: Solução: Seja N o número procurado. Podemos escrever que: N 15 7, N 7 18, N Notemos que N não é múltiplo nem de 15, nem de 18 e nem de 24. Se subtrairmos os três restos 7 de N, as 3 divisões se tornam exatas, portanto, N 7 é um múltiplo comum (mc) de 15, 18 e 24. Como o enunciado pediu o menor valor possível de N, podemos escrever que N 7 = mmc (15, 18, 24) N 7 = 360 N = Máximo Divisor Comum (MDC) O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior natural que divide todos estes números, ao mesmo tempo. Exemplo 1: Calcular o mdc entre 60 e 80. 1º) Divisores de 60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} 2º) Divisores de 80 = {1,2,4,5,8,10,16,20,40,80} 3º) Divisores comuns = {1,2,4,5,10,20} Logo, o Máximo Divisor Comum é 20. Exemplo 2: Determinar o mdc dos números 360 e 210. Vamos utilizar o MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS ou ALGORITMO DE EUCLIDES. Observe o esquema: A primeira linha é a linha dos quocientes, enquanto que a última é a linha dos restos. Prof Bruno Leal 26

27 1º) Dividimos o maior número (360) pelo menor (210), obtendo quociente 1, que ficará na primeira linha, acima do 210 e resto 150, que ficará na terceira linha, abaixo do 360; 2º) Dividimos o primeiro divisor (210) pelo primeiro resto (150), obtendo quociente 1 e resto 60; 3º) Dividimos o segundo divisor (150) pelo segundo resto (60) e assim por diante até encontrarmos resto zero. O último número escrito na linha do meio, que foi o último divisor (30) será o mdc. No caso de determinarmos o mdc de 3 números, calculamos o mdc entre dois deles e, depois, o mdc entre o número que sobrou e o mdc encontrado para os 2 primeiros. Há ainda um terceiro processo, que consiste em decompor separadamente os números em fatores primos. O mdc é igual ao produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes. No nosso caso, temos: 360 = 2 3 x 3 2 x 5 e 210 = 2 x 3 x 5 x 7 logo, mdc (360, 210) = 2 x 3 x 5 = 30. Importante: a) Se o menor dos números dados dividir todos os outros, sendo todos eles positivos, ele será o mdc. Ex.: O mdc entre 8, 16 e 32 é igual a 8 pois 8 é divisor de 16 e 32. b) Números primos entre si são aqueles que não apresentam divisores primos comuns, sendo o mdc deles sempre igual a um. Ex.: O mdc entre 12 e 25 é igual a 1 pois são números primos entre si (nenhum primo divide ao mesmo tempo 12 e 25). Dividindo-se dois ou mais números pelo seu mdc os quocientes encontrados são números primos entre si. Ex.: O mdc entre 6, 9 e 21 é igual a 3, temos: 6 : 3 = 2; 9 : 3 = 3; 21 : 3 = 7 2, 3, e 7 são números primos entre si. Há algumas questões clássicas envolvendo mdc. Vamos dar uma olhada nelas: QUESTÃO 28 Seja n N. Sabendo-se que o mdc (n, 15) = 3 e que o mmc (n, 15) = 90, determinar o valor de n. Solução: Existe uma relação que liga o mmc e o mdc de dois números positivos: mmc (a, b) x mdc (a, b) = a x b, ou seja, o produto do mmc de dois números positivos pelo mdc dos mesmos números é igual ao produto deles. Prof Bruno Leal 27

28 No nosso exercício, podemos escrever que 90 x 3 = n x = 15n n = 18. QUESTÃO 29 Sabendo que a x b = e que o mmc(a,b) = 504, então o mdc(a,b) é: Solução: Como no anterior, temos que mmc (a, b) x mdc (a, b) = a x b. No nosso exercício, vem: 504 x mdc = mdc = 60. QUESTÃO 30 Um antiquário adquiriu 112 tinteiros, 48 espátulas e 80 canivetes. Deseja arrumá-los em mostruários de modo a cada um conter o mesmo e o maior número possível de objetos da mesma natureza. O total de objetos em cada mostruário será de: Solução: A marca registrada de um problema de mdc é DIVISÃO DE DOIS OU MAIS NÚMEROS EM PARTES IGUAIS E MAIORES POSSÍVEIS. O enunciado possui claramente essa marca : deseja-se arrumar (distribuir, dividir) os objetos em mostruários de modo a cada um conter o mesmo (divisão em partes iguais) e o maior número possível de objetos da mesma natureza. O que precisamos simplesmente é encontrar o mdc (112, 48, 80) = 16. QUESTÃO 31 Maria tinha 3 carretéis, o 1 o com 28m, o 2 o com 52m e o 3 o com 60m de fita colorida. Resolveu cortar as fitas em pedaços de comprimentos iguais, do maior tamanho possível e sem sobras, para fazer um enfeite. Quantos pedaços ela obteve? Solução: Como no anterior, o enunciado nos pede que dividamos (cortemos) as fitas em pedaços iguais e maiores possíveis. Logo, se trata de uma questão de mdc. Calculando o mdc (28, 52, 60), encontramos 4 METROS como resposta. Como diria João Kléber, PARA, PARA PARA!!! A resposta NÃO é 4!! O enunciado NÃO pediu o TAMANHO de cada pedaço, e sim o NÚMERO DE PEDAÇOS obtidos. Adicionando os comprimentos dos 3 carretéis, temos = 140 m. Dividindo 140 por 4, obtemos 35 pedaços. Depois de citar o João Kléber, acho melhor encerrar esta aula, rsrsrsrs... Prof Bruno Leal 28

29 3. Lista com os exercícios abordados hoje COMPANHIA BRASILEIRA DE TRENS URBANOS (CBTU) 01) (Agente de Segurança Metroviária SP/2013 Fundação Carlos Chagas) O resultado da expressão: é igual a: (A) 170. (B) 170. (C) 85. (D) 85. (E) ) Resolva a expressão (99 9)(99 19)(99 29)... (99 189) 03) A diferença entre o 5º e o 2º número natural primo é: 04) (Colégio Militar do Rio de Janeiro) Examine as afirmativas abaixo: I) O conjunto dos múltiplos de 1 é um conjunto unitário; II) Todo número composto tem apenas 2 divisores primos; III) O conjunto dos múltiplos de 0 é o conjunto dos números naturais; IV) O número 1 é múltiplo de todos os números naturais; V) Todo número primo admite um divisor primo. a. todas as afirmativas são falsas b. todas as afirmativas são verdadeiras c. apenas uma afirmativa é falsa d. apenas uma afirmativa é verdadeira e. nenhuma das anteriores 05) (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) De quantas maneiras podemos escrever 497 como a soma de dois números primos positivos? 06) (Centro Federal de Educação Tecnológica CEFET/RJ) Determine 3 números naturais consecutivos cujo produto é ) Qual o menor inteiro positivo que se deve multiplicar por de modo a obter um quadrado perfeito? Prof Bruno Leal 29

30 08) (FUVEST) O menor número natural n que torna o produto de n por 3888 um cubo perfeito é: 09) Quais são os divisores positivos de 60? 10) Marque V ou F: a) Todo número inteiro é divisor de 1. ( ) b) Todo número inteiro é múltiplo de zero. ( ) c) 1 é múltiplo de todos os números inteiros. ( ) d) 1 é divisor de todos os números inteiros. ( ) e) Zero é múltiplo de todos os números inteiros. ( ) Solução: a) FALSO, pois o único divisor (positivo) de 1 é o próprio 1. Todo número inteiro é MÚLTIPLO de 1. b) FALSO, pois o único múltiplo de zero é o próprio zero. c) FALSO, o 1 é DIVISOR de todos os números inteiros, assim como o 1. d) VERDADEIRO e) VERDADEIRO 11) Analise as afirmativas abaixo: I. O conjunto dos múltiplos de um número é um conjunto infinito. II. O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito. III. A soma de dois múltiplos de um número é também múltipla desse número. Com relação às afirmações acima, pode-se dizer que: a) as 3 são falsas b) as 3 são corretas c) apenas I e II são corretas d) apenas II e III são corretas e) nenhuma das anteriores 12) A soma de 3 múltiplos consecutivos de 7 é 273. O maior desses números é um número: a) par Prof Bruno Leal 30

31 b) ímpar c) múltiplo de 3 d) múltiplo de 4 COMPANHIA BRASILEIRA DE TRENS URBANOS (CBTU) 13) Os números inteiros positivos são dispostos em "quadrados" da seguinte maneira: O número 500 se encontra em um desses "quadrados". A "linha" e a "coluna" em que o número 500 se encontra são, respectivamente: a) 2 e 2. b) 3 e 3. c) 2 e 3. d) 3 e 2. e) 3 e 1. 14) (Banco do Brasil/2010 Cesgranrio) De acordo com o Plano Nacional de Viação (PNV) de 2009, a malha de estradas não pavimentadas de Goiás tem km a mais do que a malha de estradas pavimentadas. Sabe-se, também, que a extensão total, em quilômetros, das estradas não pavimentadas supera em 393km o sêxtuplo da extensão das estradas pavimentadas. Quantos quilômetros de estradas pavimentadas há em Goiás? 15) (Transpetro/2012 Cesgranrio) Se a soma de dois números naturais não nulos é igual ao quádruplo de um desses números, então: (A) pelo menos um dos números é múltiplo de 3. (B) um deles é par, se o outro for ímpar. (C) certamente os dois números são compostos. (D) os dois números podem ser iguais. (E) um dos números é, obrigatoriamente, primo. 16) (BNDES/2012 Cesgranrio) O Parque Estadual Serra do Conduru, localizado no Sul da Bahia, ocupa uma área de aproximadamente hectares. Dessa área, Prof Bruno Leal 31

32 7 em cada 9 hectares são ocupados por florestas. Qual é, em hectares, a área desse Parque NÃO ocupada por florestas? (A) (B) (C) (D) (E) ) (Banco do Brasil Escriturário/2013 Fundação Carlos Chagas) Para recepcionar os 37 novos funcionários de uma agência, foi criada uma brincadeira na qual os novos funcionários deveriam ser divididos em grupos iguais (mesmo número de integrantes) que poderiam ter ou 5, ou 7, ou 8, ou 9, ou 10 integrantes. Das cinco opções de tamanhos dos grupos, a que deixa menos funcionários sem grupo é aquela em que os grupos têm número de integrantes igual a: (A) 7. (B) 9. (C) 5. (D) 10. (E) 8. 18) (DPE RS/2013 FCC) Em uma montadora, são pintados, a partir do início de um turno de produção, 68 carros a cada hora, de acordo com a seguinte sequência de cores: os 33 primeiros são pintados de prata, os 20 seguintes de preto, os próximos 8 de branco, os 5 seguintes de azul e os 2 últimos de vermelho. A cada hora de funcionamento, essa sequência se repete. Dessa forma, o 530º carro pintado em um turno de produção terá a cor: (A) prata. (B) preta. (C) branca. (D) azul. (E) vermelha. 19) (DPE SP/2013 FCC) Alguns funcionários da Defensoria Pública de São Paulo participaram de um seminário sobre Ações na Área Cível, pelo qual pagaram o total de R$ 715,00, no ato de suas inscrições. Se X reais era o valor unitário da inscrição e X é um número inteiro compreendido entre 40 e 60, quantos funcionários da Defensoria participaram de tal seminário? (A) 11. (B) 13. (C) 37. (D) 55. (E) 59. Prof Bruno Leal 32