caderno do PROFESSOR matemática ensino médio 3 a - SÉRIE volume

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1 caderno do PROFESSOR ensino médio 3 a - SÉRIE volume 1-29 matemática

2 Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretária da Educação Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação FDE Fábio Bonini Simões de Lima EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ru Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Eecutiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ar Plonski Coordenadoras Eecutivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA CENP Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Gladson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teieira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Mawell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peioto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião S239c São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3 a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. São Paulo : SEE, 29. ISBN Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Saonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Maumi Haama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ru César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Eecutiva: Beatriz Scavazza Assessores: Ale Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Bla, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Eecutiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Coneão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occ Design (projeto gráfico) APOIO FDE Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.61/98. * Constituem direitos autorais protegidos todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

3 Prezado(a) professor(a), Dando continuidade ao trabalho iniciado em 28 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo o ensino de qualidade, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 29. As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da eperiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado. Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos. O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas. Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho. Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo! Contamos com você. Maria Helena Guimarães de Castro Secretária da Educação do Estado de São Paulo

4 SuMário São Paulo faz escola uma Proposta Curricular para o Estado 5 Ficha do Caderno 7 orientação geral sobre os Cadernos 8 Situações de Aprendizagem 12 Situação de Aprendizagem 1 A Geometria e o método das coordenadas 12 Situação de Aprendizagem 2 A reta, a inclinação e a proporcionalidade 2 Situação de Aprendizagem 3 Problemas lineares máimos e mínimos 32 Situação de Aprendizagem 4 Circunferências e cônicas: significados, equações, aplicações 42 Orientações para Recuperação 57 Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 58 Considerações finais 6 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 61 4

5 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre São PAulo FAz ESColA uma ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5 a a 8 a séries do Ensino Fundamental Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou ecelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um teto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o tempo de discussão, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse tempo foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no conteto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados. 5

6 Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 1 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por ecelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola 6

7 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre FiCHA do CAdErno o plano de descartes: a parceria entre a álgebra e a geometria nome da disciplina: área: Etapa da educação básica: Matemática Matemática Ensino Médio Série: 3ª - Período letivo: 1º- bimestre de 29 temas e conteúdos: Geometria Analítica Plana O plano cartesiano A equação da reta A equação da circunferência As equações das cônicas 7

8 orientação GErAl SobrE os CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado nos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contetualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemáticas, bem como os elementos culturais internos e eternos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades mais ou menos do mesmo tamanho, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor eplorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento dos temas escolhidos. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicará a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando a ação do professor na sala de aula. As atividades são independentes e podem ser eploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações de espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a epectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja eplicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também em cada Caderno, sempre que possível, materiais diversos (tetos, softwares, sites e vídeos, entre outros), que estejam em sintonia com a forma de abordagem proposta, e que possam ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre. 8

9 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre Conteúdos básicos do bimestre O conteúdo básico do 1º- bimestre da 3ª- série é Geometria Analítica Plana. Mesmo quando o professor dispõe de poucas aulas por semana, tal tema costuma ser contemplado nessa série. E mesmo quando ele é apenas parcialmente ensinado, a equação da reta é apresentada aos alunos. Neste Caderno, sugerimos uma abordagem da Geometria Analítica que privilegia a equação da reta, apresentada de um modo peculiar e que destaca certa classe de problemas cuja solução depende apenas de uma compreensão adequada da ideia de proporcionalidade subjacente. São os chamados problemas lineares, entre os quais estão alguns problemas de máimos e mínimos muito interessantes. De acordo com os princípios gerais que norteiam todos os Cadernos, espera- -se que os demais assuntos sejam contemplados, com maior ou menor ênfase, segundo o interesse do professor e as condições efetivas da classe. Mas consideramos que a parte correspondente às retas, suas equações, suas propriedades e suas aplicações pode ser especialmente representativa do significado da Geometria Analítica como um método de abordagem dos problemas geométricos que contempla o ideal cartesiano ou o plano de Descartes, que buscava uma aproimação efetiva entre a Geometria e a Álgebra. A Geometria Analítica Plana é apresentada como um método de abordagem dos problemas geométricos em que os pontos do plano são representados por coordenadas (; ); retas e curvas de diversos tipos são representadas por equações; e regiões do plano são representadas por inequações, possibilitando, assim, a solução de um grande número de problemas envolvendo distâncias, comprimentos, relações, áreas, etc. Para o tratamento dos temas, sugere-se uma organização dos trabalhos em oito unidades. O primeiro passo, na unidade 1, seria o da consolidação do uso do sistema de coordenadas cartesianas XOY, já iniciado em séries anteriores, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio. Tal sistema será utilizado para representar pontos do plano, determinando-se, por eemplo, a distância entre dois pontos, o ponto médio e a inclinação do segmento determinado pelos dois pontos. A ideia de inclinação de um segmento pode ser eplorada de modo muito fecundo, tanto na caracterização de segmentos paralelos quanto na condição de alinhamento de três pontos, uma vez que para três pontos A, B e C estarem alinhados, as inclinações de AB, BC e AC devem ser iguais. Com base nessas noções iniciais, é possível propor e resolver uma série de problemas geométricos simples, em que a aprendizagem do método analítico situa-se no centro das atenções. Uma atividade para a sala de aula, incluindo questões cujas respostas podem depender ou não do sistema de coordenadas escolhido, será apresentada na Situação de Aprendizagem 1. O segundo passo, na unidade 2, após a eploração inicial do plano, seria a representação de curvas por equações, iniciando-se com a 9

10 reta. Os casos particulares das retas paralelas aos eios coordenados são tratados diretamente, de modo simples. Para as retas inclinadas em relação aos eios OX e OY, a qualidade comum a todos os seus pontos é o fato de que, qualquer que seja o par de representantes que escolhamos, a inclinação do segmento correspondente é sempre a mesma: tal inclinação constante é a inclinação da reta. Assim, facilmente se chega à equação = m + h, em que o coeficiente m representa a inclinação da reta, e h representa o ponto em que a reta corta o eio OY. A caracterização de retas concorrentes e paralelas, com base nas inclinações correspondentes, é uma consequência natural. Na unidade 3, o passo seguinte a ser dado é o estudo da condição de perpendicularidade de duas retas, com base em suas inclinações m 1 e m 2. Uma maneira simples de compreender que se as inclinações são tais que m 1. m 2 = 1 então as retas serão perpendiculares será apresentada neste Caderno. A forma geral da equação da reta, bem como a representação de regiões do plano por meio de desigualdades, servirá de conclusão dessa etapa. Uma atividade referente à equação da reta e à representação de regiões por meio de inequações será apresentada na Situação de Aprendizagem 2. Na unidade 4 poderá ser feita uma eploração dos estudos sobre as retas, tendo em vista a resolução de alguns problemas lineares, ou seja, problemas que, em última instância, envolvem apenas relações de proporcionalidade direta. Uma coleção deles, incluindo-se alguns problemas de máimos e mínimos, será apresentada na Situação de Aprendizagem 3. Apesar de problemas como esses não serem usualmente apresentados no Ensino Médio, pedimos ao professor que os leia com atenção, pois certamente perceberá que constituem situações simples em contetos interessantes. Na unidade 5, seria apresentada a equação da circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas. O tempo disponível pelo professor deverá determinar o nível de eploração de tal equação, deiando-se à escolha do professor o estudo das translações da equação ou da forma geral da equação da circunferência, que pode ser apenas sugerido ou deslocado para o estudo das funções, no 3º- bimestre. P r O C: = r 2 C: = r 2 A unidade 6 poderia ser utilizada para a apresentação de uma maneira simples de efetuar o cálculo da distância de um ponto a uma reta, baseado apenas na inclinação m da reta. Complementando tal cálculo, poderá ser feito um estudo simplificado das posições relativas entre retas e circunferências. 1

11 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre Na unidade 7, as cônicas são apresentadas e caracterizadas por meio de propriedades de diversas maneiras. Além de constituírem interseções de um plano com uma superfície cônica, o que lhes garante a denominação, a elipse é uma circunferência achatada ; a hipérbole surge na representação de grandezas inversamente proporcionais; e a parábola, na representação de uma grandeza que é proporcional ao quadrado de outra. Complementarmente, as cônicas também são apresentadas pelas suas importantes propriedades características em relação aos focos. Na unidade 8 são apresentadas as equações da elipse, da hipérbole e da parábola, em posições convenientes em relação aos eios de coordenadas, de modo a simplificar os cálculos. Uma etensão de tal estudo, conduzindo a equações mais gerais, pode ser dispensada ou adiada para o terceiro bimestre, na parte referente a funções. Uma atividade eploratória das caracterizações das cônicas, de suas equações em situações simples e de algumas aplicações é apresentada na Situação de Aprendizagem 4. Sinteticamente, as oito unidades que compõem o presente bimestre são apresentadas a seguir: Quadro geral de conteúdos do 1º- bimestre da 3ª- série do Ensino Médio unidade 1 O plano cartesiano. Distância entre dois pontos. Ponto médio de um segmento. Condição de alinhamento de três pontos. unidade 2 A equação da reta. Significado dos coeficientes. Retas paralelas. unidade 3 Retas perpendiculares. Regiões do plano. unidade 4 Problemas lineares. unidade 5 A equação da circunferência. unidade 6 Distância de ponto a reta. Posições relativas entre reta e circunferência. unidade 7 Cônicas. Apresentação e propriedades da elipse, da hipérbole e da parábola. unidade 8 Equações da elipse, da hipérbole e da parábola. 11

12 SituAçõES de APrEndizAGEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 A GEOMETRIA E O MÉTODO DAS COORDENADAS tempo previsto: 1 semana e meia. Conteúdos e temas: coordenadas cartesianas no plano; cálculo de distâncias, coordenadas do ponto médio, inclinação de segmentos usando coordenadas; escolha de sistemas de coordenadas convenientes para a solução de problemas geométricos. Competências e habilidades: compreensão da linguagem algébrica na representação de situações e problemas geométricos; epressão de resultados geométricos por meio da linguagem algébrica. Estratégias: retomada do uso de sistemas de coordenadas já iniciado na 6 a série do Ensino Fundamental e apresentação de problemas geométricos simples, que podem ser resolvidos por meio da linguagem das coordenadas. roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Na Geometria Analítica Plana, representamos os pontos de um plano por coordenadas (; ) e fazemos cálculos relativos a figuras geométricas por meio de operações algébricas sobre os pares de coordenadas. Cálculo de distância entre dois pontos da inclinação de um segmento, por eemplo, podem ser realizados conforme as epressões indicadas a seguir: B B B B C E d AB m BC m DE A B A A A 1 m AB A m AB D A B A B d AB = distância entre A e B m AB = inclinação de AB A, B, C não alinhados: m AB m BC d AB = ( B A ) 2 + ( B A ) 2 m = B AB B A A BC paralelo a DE: m BC = m DE 12

13 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre Também é possível escrever de modo simples as equações de retas paralelas aos eios coordenados: h 1 m h = h (h > ) = m + h (m < ) h = h (h < ) Comparando as inclinações das retas, podemos identificar as que são paralelas e as que são concorrentes, e particularmente a relação entre as inclinações de retas perpendiculares: = h (h < ) = h (h > ) r 1 : = m 1 + h 1 r 2 : = m 2 + h 2 Para as retas inclinadas em relação aos eios, lembrando dos gráficos das funções do 1 o grau, temos as equações indicadas a seguir: m 1 m 2 r 1 e r 2 concorrentes = m + h (m > ) 1 m 2 = m 2 + h 2 h 1 = m 1 + h 1 m 1 = m 2 r 1 e r 2 paralelas 13

14 P r 2 P m 1 = r 1 d (P, r) r : = m + h p r m 1 r r = m p +h não eiste m 2 r 1 e r 2 perpendiculares (caso particular) p dpr ( ; ) 1 = 1+ m 2 rp r 2 r 1 2 = m 2 + h 2 dpr ( ; ) = 1+ m rp 2 p m. h r dpr ( ; ) = 2 1+ m 1 = m 1 + h 1 r 1 e r 2 perpendiculares: m 1. m 2 = 1 Para calcular a distância de um ponto a uma reta, deiando de lado o caso mais simples, em que a reta é paralela a um dos eios, podemos eplorar a semelhança de triângulos indicada na figura: Para continuar nosso estudo de Geometria Analítica, três lembretes são importantes. Em primeiro lugar, trata-se de uma retomada de modo mais sistemático de um uso dos sistemas de coordenadas que, de fato, já se iniciou bem anteriormente, na solução de sistemas de equações lineares e no estudo das funções. 14

15 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre Em segundo lugar, o que aqui se buscará desenvolver é um novo método de abordar problemas geométricos já conhecidos, ou seja, a novidade está na forma de tratamento dos problemas, não no seu conteúdo. E em terceiro lugar, é importante lembrar que, muitas vezes, temos a liberdade de escolher o sistema de coordenadas que será utilizado na resolução dos problemas. Nesses casos, convém notar que, embora as coordenadas dos pontos representados dependam do sistema escolhido, eistem informações relativas aos pontos que podem depender ou não do sistema. Por eemplo, fiados três pontos A, B, C, quando escolhemos um sistema de coordenadas para representá-los: f as coordenadas dos pontos A, B e C dependem do sistema XOY escolhido; unidades de comprimento. Utilizando os sistemas de coordenadas XOY e X MY, determine: a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, M; b) a inclinação dos segmentos FE, DC, BC, AM, FA, ED, AC, FB; c) as coordenadas do ponto médio dos segmentos AB, FC, FM, AE, BC, DC. AD. F E M Y D C X f a distância entre dois desses pontos não depende do sistema escolhido; A B f a inclinação do segmento AB depende do sistema escolhido; Y E D f a área do triângulo ABC não depende do sistema escolhido; f a medida do ângulo BAC não depende do sistema escolhido, e assim por diante. F M C Para praticar o uso das informações citadas anteriormente, são apresentadas as atividades seguintes. O A B X Atividade 1 O heágono regular ABCDEF tem centro M, como mostra a figura, e cada lado tem dez Será necessário calcular a altura de um triângulo equilátero de lado 1, que é igual a

16 1 5 A partir desse resultado, para o sistema XOY, temos: a) A (5; ); B (15; ); C (2; 5 3); D (15; 1 3); E (5; 1 3); F (; 5 3); M (1; 5 3). b) FE: 3; DC: 3; BC: 3; AM: 3; FA: 3; ED: ; AC: 3 3 ; FB: 3 3. c) AB: (1; ); FC: (1; 5 3); FM: (5; 5 3); AE: (5; 5 3); BC: (17,5; 5 3 ); DC: (17,5; 7,5 3); 2 AD: (1; 5 3). Professor! h h = 1 2 h 2 = 75 É importante notar que os segmentos FE e BC são paralelos, assim como também o são os segmentos FA e DC, AB e ED, AM e FE etc. Esse é o significado da igualdade das inclinações, nesses casos. Para o sistema X'MY', as coordenadas são as seguintes: a) A ( 5; 5 3); B (5; 5 3); C (1; ); D (5; 5 3); E ( 5; 5 3); F ( 1; ); M (; ). b) FE: 3; DC: 3; BC: 3; AM: 3; FA: 3; ED: ; AC: 3 3 ; FB: 3 3. c) AB: (; 5 3); FC: (; ); FM: ( 5; ); AE: ( 5; ); BC: (7,5; 2,5 3); DC: (7,5; 2,5 3); AD: (; ). Muitos outros eercícios semelhantes à Atividade 1 podem ser apresentados aos alunos, tendo em vista recordar fatos e relações da Geometria Plana, epressando-os por meio das coordenadas cartesianas. Triângulos, quadrados, losangos, retângulos, pentágonos, entre outros, poderiam ser representados no plano por meio de coordenadas, calculando-se comprimentos de lados, de medianas, baricentro, etc. O destaque a ser dado é ao reconhecimento do fato de que muitos problemas de Geometria Plana já conhecidos podem ser abordados em outra perspectiva, com a parceria entre a Álgebra e a Geometria. A escolha do sistema de coordenadas mais simples em cada situação concreta também pode ser eplorada. Os eercícios seguintes ilustram o que se sugere. Atividade 2 Em um sistema de coordenadas cartesianas, represente os pontos: A (1; 2); B (3; 8); C ( 2; 8); e D ( 4; 2). a) Mostre que os pontos A, B, C, D são os vértices de um paralelogramo. b) Calcule o comprimento do lado maior do paralelogramo ABCD. c) Calcule o comprimento da diagonal menor de ABCD. d) Determine as coordenadas do ponto M em que as duas diagonais de ABCD se encontram. e) Calcule a área do triângulo AMD. 16

17 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre C 8 M B Logo, a diagonal menor é AC. d) Basta lembrar que as diagonais do paralelogramo se cruzam no ponto médio de cada uma delas e achar o ponto médio de AC, que D 2 A é 1 2 ; 5. e) Por inspeção direta, a base de AMD tem comprimento 5 e a altura mede 3; logo, a área de AMD é igual a 7,5. Vamos representar os pontos indicados para orientar a resposta aos diversos itens. No entanto, poderíamos responder a cada uma das questões apenas com as informações do enunciado, sem qualquer figura. a) Calculando as inclinações dos segmentos AB e CD, notamos que elas são iguais: 8 2 m AB = 3 1 = m CD = 4 ( 2) = 6 2 = 3 Logo, AB e CD são paralelos. De modo análogo, mostramos que AD e BC também são paralelos. Resulta, então, que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo. Atividade 3 Represente os pontos A (; ), B (3; 7), C ( 2; 13) em um sistema de coordenadas. Sendo M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BC: a) Determine as coordenadas de M e N. b) Calcule as inclinações dos segmentos AB e MN, verificando que tais segmentos são paralelos. c) Calcule as distâncias d AB e d MN, verificando que d AB = 2. d MN. Como no eercício anterior, vamos fazer um esboço da figura, para orientação da solução. b) Calculando as distâncias entre A e B, e entre B e C, obtemos: d AB = (8 2) 2 + (3 1) 2 = 4 ; C 13 d BC = (8 8) 2 + ( 2 3) 2 = 5 N Logo, o lado AB é maior, valendo B c) Calculando as distâncias entre A e C e entre B e D, obtemos as diagonais: M d AC = (8 2) 2 + ( 2 1) 2 = 45; d BD = (2 8) 2 + ( 4 3) 2 = A 3 17

18 a) As coordenadas de M, ponto médio de AC, são a média aritmética das coordenadas correspondentes de A e C: C C M = A + C 2 = 1 M = A + C 2 = 13 2 M = 1; Analogamente, N = 1 2 ; 1. B B b) Calculando a inclinação de AB, temos: m AB = + B A = 7 b + A 3 Analogamente, m MN = + M N = 7 M + N 3 Como as inclinações são iguais, concluímos que os segmentos AB e MN são paralelos. c) Calculando as distâncias entre A e B e entre M e N, obtemos: d AB = e d MN = 2 d AB ou seja, d MN = 2 Atividade 4 Para que três pontos A, B e C estejam alinhados, é necessário e suficiente que as inclinações dos segmentos AB, BC (e em conse quência, AC) sejam iguais, ou seja, que os três pontos constituam uma única rampa ABC. C m AB m BC C C A A m AB = m BC = m Ac A B C a) Determine o valor de k para que os pontos A (1; 3), B (3; 7) e C (4; k) estejam alinhados. b) Determine o valor de k para que a área do triângulo ABC seja igual a zero. c) Sendo k = 3, calcule a área do triângulo ABC. a) Devemos ter m AB = m BC ; resulta daí que = k 7, e, então, k = b) A área de ABC será nula quando os três pontos estiverem alinhados, ou seja, quando k = 9. É interessante aproimar essas duas informações: sempre que três pontos estão alinhados, a área do triângulo formado por eles é nula e vice-versa. B B c) Vamos construir uma figura para orientar a solução. A A A B C Por inspeção direta na figura, verificamos que a base AC mede 3 e a altura relativa mede 4; logo, a área é igual a 6. 18

19 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre 7 B É interessante associar esse fato ao resultado da Atividade 3, notando que os lados do paralelogramo são os segmentos que unem os pontos médios dos lados dos triângulos em que 3 A C o quadrilátero inicial se divide quando são traçadas as suas diagonais. Atividade Em um sistema de coordenadas qualquer, represente quatro pontos de modo a formarem um quadrilátero ABCD. Pode escolher as coordenadas à vontade. Analisando o quadrilátero formado: a) Calcule os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA. b) Mostre que os quatro pontos médios obtidos formam um paralelogramo. 4 Atividade 6 Calcule a distância do ponto P de coordenadas (2; 15) à reta r nos casos indicados a seguir: a) r: = 3 b) r: = 9 c) = Vamos fazer uma figura para orientar a solução: = Basta seguir os passos do enunciado: calcular os 1 N pontos médios dos quatro segmentos determinados pelos pontos escolhidos arbitrariamente, calcular as inclinações dos segmentos determinados por esses quatro pontos médios, e verificar que elas são iguais duas a duas. Converse com seus colegas e procure verificar que isso vale = 8 P d Q B M para qualquer quadrilátero. Em outras palavras, = 9 os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer sempre formam um paralelogramo. D 7 A 2 = = 7 = 3 A 3 C B 19

20 a) Por inspeção direta, notamos que a distância de P até a reta = 3 é igual a 15 3 = 12. b) Analogamente, notamos que a distância de P até a reta = 9 é 9 2 = 7. c) Para calcular a distância d de P até a reta = , observando na figura a semelhança entre os triângulos PAB e MNQ, temos: PB QM = PA QN. Logo, d 1 = 8 8 1, de onde obtemos d = 1 1. Considerações sobre a avaliação Ao final desta primeira unidade, a epectativa é que a Geometria Analítica tenha sido assimilada como um método novo para a abordagem de problemas já conhecidos, como foi registrado anteriormente. Nos eercícios apresentados, a colaboração entre a Álgebra e a Geometria pode ser notada e, a partir disso, ela deve ser ampliada continuamente. Considera-se que o desenvolvimento da Situação de Aprendizagem foi bem-sucedido se os alunos consolidaram o uso do sistema de coordenadas cartesianas, tendo aprendido a determinar o ponto médio de um segmento, calcular a distância entre dois pontos e a inclinação de um segmento, bem como verificar se dois segmentos dados pelas coordenadas de seus pontos são ou não paralelos, além de outros resultados que o professor considerar viáveis no conteto de sua sala de aula, sempre associados à representação de pontos por coordenadas. SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 A RETA, A INCLINAçãO E A PROPORCIONALIDADE tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: equação da reta: proporcionalidade, inclinação constante; relação entre as inclinações de retas paralelas e de retas perpendiculares; inequações lineares e regiões do plano cartesiano; problemas envolvendo equações da reta. Competências e habilidades: compreensão da linguagem algébrica na representação de situações e problemas geométricos; epressão de situações envolvendo proporcionalidade por meio de equações e inequações envolvendo retas. Estratégias: caracterização da reta tendo por base a inclinação constante do segmento formado por qualquer par de seus pontos; enfrentamento de situações-problema envolvendo proporcionalidade, tendo como recurso a equação da reta. 2

21 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 A partir de agora, vamos procurar representar curvas por equações com base na epressão algébrica das propriedades que tais curvas apresentam. E vamos iniciar com a mais simples das "curvas", ou seja, com a reta, que é como uma "curva sem imaginação", pois segue sempre na mesma direção. Para determinar a equação de uma reta, ou seja, a relação entre as coordenadas e que deve satisfazer todos os seus pontos, basta estar atento ao fato de que todos os segmentos nela contidos têm a mesma inclinação. Deiemos de lado os casos particulares das retas paralelas aos eios coordenados, cujas equações são do tipo: = constante = m, ou seja, = m, que representa uma reta de inclinação m, passando pela origem. Se a reta não passar pela origem, mas cortar o eio no ponto de ordenada h, temos: h = m. Logo, todo ponto da reta satisfaz a equação = m + h, sendo: f h: ordenada do ponto em que a reta corta o eio OY; f m: inclinação da reta, ou seja, a variação na ordenada por unidade a mais de. = constante = k, para todo (reta paralela ao eio OY); ou então: = constante = h para todo (reta paralela ao eio OX). Consideremos agora as retas que cortam os eios. Se uma reta corta o eio OY no ponto P (; h), tendo como inclinação comum a todos os seus segmentos o valor m, então um ponto qualquer P (; ) da reta deve ser tal que a inclinação do segmento P P é igual a m. A inclinação constante de todos os segmentos de uma reta pode ser associada à representação de grandezas diretamente proporcionais. De fato, se uma grandeza é diretamente proporcional a outra grandeza, então Reiteramos então que, se a partir de certo valor h, varia de modo diretamente proporcional a, então temos: h = m, ou seja, = m + h. A inclinação m representa a constante de proporcionalidade, e é interessante notar que m corresponde à variação no valor de quando o valor de aumenta de uma unidade: = m + h = + 1 = m( + 1) + h = m + m + h = + m = 1 = m 21

22 Ou seja, quando aumenta de uma unidade, a variação de será = m. Eemplo ilustrativo = h (h > ) Sem qualquer necessidade de cálculo, na reta de equação = 473,5 + 12,879, se variar de uma unidade passando, por eemplo, de 28 para 29, o valor de aumentará de 473,5 que é o coeficiente de na equação = m + h. os sinais dos coeficientes m e h = k k < = h Nestes casos m = = k k > (h < ) Muitos eemplos de retas com diferentes valores e sinais para m e h são apresentados a seguir, e é muito interessante acostumar-se a associar a cada uma das retas representadas o pequeno triângulo correspondente ao significado da inclinação. Nestes casos não eiste m m = m + h Se duas retas são paralelas, então elas têm a mesma inclinação; se são concorrentes, então suas inclinações são diferentes. As figuras seguintes podem colaborar para a compreensão de tais afirmações: h 1 r 1 r 2 = m 1 + h 1 = m 2 + h 2 Retas paralelas ao eio OX, que têm equação do tipo = h, podem ser consideradas retas de inclinação m =. Retas que passam pela origem do sistema de coordenadas têm equação do tipo = m, uma vez que h =. Para as retas paralelas ao eio OY, não se define inclinação. m 1 = m 2 r 1 e r 2 paralelas 22

23 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre = m 1. + h 1 r 1 h m r = m 2. + h 2 r 2 r r r 6 5 6,4 m 1 m 2 r 1 e r 2 concorrentes r 7 π Para a familiarização com tais fatos são apresentados a seguir alguns eercícios. As questões formuladas são simples, mas representam conhecimentos fundamentais. Com os valores de h e m, podemos escrever diretamente a equação da reta (Atividade 1). Também podemos facilmente escrever a equação da reta que passa por um ponto dado, com inclinação dada, ou que passa por dois pontos dados (Atividades 2 e 3). Atividade 1 Represente no plano cartesiano as retas r 1 a r 9 correspondentes aos valores de h e m tabelados abaio: r 8,5 7 r 9,8 π Um esboço das nove retas, destacando-se os valores relativos dos coeficientes m e h, é indicado a seguir: r 6 = 5 + 6,4 r 9 =,8 + π = r 4 r 7 = π h m r 3 = 3 2 r 1 5 r r 1 = 5 r 5 = 3 7 =,5 7 r 8 r 2 =

24 Atividade 2 Determine a equação da reta que passa pelo ponto A (2; 5) e tem inclinação m = 3. Y P 1ª- solução Sendo a reta inclinada em relação aos eios, a equação é da forma = m + h. Substituindo as coordenadas dos pontos, temos: 7 = m. 1 + h = m. 4 + h Resolvendo o sistema, temos: m = 3 e h = 4. Atividade 3 Escreva a equação da reta que passa pelos pontos A (1; 7) e B (4; 16) A 2 1ª- solução A equação da reta é do tipo = m + h, ou seja, é = 3 + h Como o ponto (2; 5) pertence à reta, devemos ter: 5 = h Logo, h = 1, e a equação é = 3 1 2ª- solução Sendo (; ) um ponto genérico da reta, devemos ter: m = 5 2 = 3. Logo, 5 = 3( 2), e segue que = 3 1 X B Logo, a equação é = ª- solução A inclinação da reta é m = = 3. E já sabemos que a equação é do tipo = 3 + h. Se ela passa pelo ponto A (1; 7), temos: 7 = h de onde segue que h = 4. Logo, a equação é = Professor, uma sugestão! Apresente eercícios de fiação sobre os fatos básicos eplorados nas atividades anteriores. Proponha aos alunos a determinação de diversas equações de retas a partir de diferentes informações: f Reta passando por dois pontos dados. f Reta passando por um ponto dado, sen- do fornecida a inclinação. A atividade pode ficar ainda mais interessante e significativa se forem incluídos os casos de retas paralelas aos eios coordenados

25 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre Atividade 4 Considere o quadrado ABCD cujo lado mede cinco unidades e o triângulo equilátero EFG, cujo lado mede dez unidades. A B A B D 5 C D 5 C E 1 E G F 1 M a) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das retas AB, BC, CD, DA, AC e BD. G F b) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das retas EF, FG, GE e OM, onde M é o ponto médio do lado EF e O é o ponto médio do lado GF. Naturalmente, eistem muitas respostas distintas para a questão. São indicados a seguir alguns eemplos de sistemas de coordenadas que poderiam ser escolhidos: a) reta AB: = 5 reta DC: = reta AD: = reta CB: = 5 reta DB: = reta AC: = + 1 b) reta FG: = f calculando a altura do triângulo equilátero, obtemos h = 5 3; logo, as retas EF e EG têm equações do tipo = m + 5 3; 25

26 f como a reta EF passa pelo ponto F(5; ), concluímos que = m , ou seja, m = 3; a equação de EF é = + 5 3; f analogamente, como EG passa pelo ponto ( 5; ), concluímos que sua inclinação é 5 3, ou seja, é igual a 3; sua equação é = ; f a reta OM terá equação do tipo = m., uma vez que passa pela origem. Como as coordenadas do ponto M são 5 2, 5 3 2, calculamos o valor de M e obtemos m = 3; portanto, a equação de OM é = 3. a outra deverá ter inclinação negativa. Além disso, podemos mostrar que, eistindo as inclinações m 1 e m 2 de duas retas perpendiculares, então seu produto sempre será igual a 1: Se m 1 e m 2 são as inclinações de r 1 e r 2 r 1 e r 2 são perpendiculares então, m 1. m 2 = 1 Para justificar tal fato, basta observar a figura: h 2 = m 1 + h 1 Professor: Outros sistemas de coordenadas poderiam ser escolhidos. Em sala de aula, essa diversidade possibilita algumas comparações interessantes sobre quais resultados dependem e quais não dependem de tal escolha. Nesse momento também é interessante analisar qual o sistema mais conveniente, no sentido de simplificar as equações a serem obtidas. Atividade 5 Se duas retas inclinadas em relação aos eios coordenados r 1 e r 2 são perpendiculares, então suas inclinações m 1 e m 2 têm sinais opostos, ou seja, m 1. m 2 <. É possível convencer os alunos de tal fato representando retas em diferentes situações e notando que se uma tem inclinação positiva, então certamente h 1 m 2 1 m 1 = m 2 + h 2 Pode-se notar que, no triângulo retângulo formado pelas duas retas e pelo segmento em que estão representadas as inclinações m 1 e m 2, a altura relativa à hipotenusa é igual a 1; logo, o produto dos comprimentos dos segmentos representados por m 1 e m 2 é igual a 1, uma vez que o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre ela. Como as inclinações têm sinais opostos, concluímos que: 26

27 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre m 1. m 2 = 1, ou seja, m 1 = 1 m 2. Um outro modo de comprovar tal relação é aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo anteriormente referido, notando que um dos catetos é 1 + m 12, o outro é m 2, e a hipotenusa é m 1 m 2 (lembrar que m 2 é negativo; logo, o comprimento do segmento representado pelas duas inclinações é m 1 m 2 ). Isso significa que: (m 1 m 2 ) 2 2 = 1 + m m 22, de onde segue que m 1. m 2 = 1. Conhecendo esse fato, vamos resolver alguns eercícios em que se escreve a equação da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r em diversos casos, como os seguintes: A (; ) = 4 3 (; 4) = 2 5 (; 3) =,2 + 7 (; 7) = (1; 2) = Em cada caso, buscamos a equação da reta que passa pelo ponto dado e é perpendicular à reta dada. Para obter a inclinação m da reta procurada, basta tomar a inclinação m da r reta dada, inverter e trocar o sinal, pois sabemos que o produto m.m deve ser igual a 1. Assim, temos a seguinte tabela: A r m m' (; ) = (; 4) = (; 3) =,2 + 7,2 5 (; 7) = = 3 (1; 2) = As retas perpendiculares são, portanto: = m. + h, com o m calculado acima e com o h calculado a partir do fato de que elas passam pelo ponto indicado. No primeiro caso, teríamos: = 1 + h; como a reta passa pela origem (; ), h =, e temos = No segundo caso: = 1 + h; como a reta passa pelo 2 ponto (; 4), temos: 4 = 1 + h segue que h = 4, e temos 2 = Nos demais casos, temos, sucessivamente: = 5 3 = =

28 Atividade 6 Já vimos que a equação = m + h representa os pontos de uma reta inclinada em relação aos eios coordenados. Uma reta divide o plano em dois semiplanos. Em um deles, o que se situa acima da reta, os pontos são tais que > m + h; no outro, abaio da reta, temos < m + h. Se os semiplanos incluem os pontos da reta, temos m + h para os pontos acima da reta ou na reta, e m + h para os ponto abaio da reta ou na reta. = m + h = m + h m + h m + h m + h m + h Observação sobre a notação: > m + h: pontos do semiplano situado acima da reta = m + h. m + h: pontos do semiplano situado acima da reta, mais os pontos da reta = m + h. < m + h: pontos do semiplano situado abaio da reta = m + h. m + h: pontos do semiplano situado abaio da reta, mais os pontos da reta = m + h. Para eercitar a associação de regiões do plano a inequações, associe cada uma das regiões hachuradas A, B, C, D, E, F a uma inequação, ou a um sistema de inequações do tipo > m + h, ou então, < m + h: A = = 5,5 B 28

29 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre = C D = 7,5 = 4,9 = 4 + E F = π A: B: < 5,5 C: D: 4,9 < 7,5 E: para 7 F: π 2 < π para 5 A equação da reta em sua forma geral a + b = c não foi especialmente contemplada na apresentação das ideias neste teto. Entretanto, consideramos importante que o professor eplore em alguns eercícios o fato de que tal equação sintetiza adequadamente os dois casos aqui estudados em separado: as retas paralelas aos eios coordenados e as retas inclinadas em relação aos eios. Particularmente importante nesse caso é reconhecer a inclinação da reta apresentada na forma geral a + b = c. Sendo b, a reta não será paralela ao eio OY e podemos encontrar sua inclinação. Eplicitando o valor de, escrevemos = a b + c e notamos que b a inclinação da reta é m = a. Seria interessante praticar tal reconhecimento em variados b eercícios. Para dedicar mais espaço neste Caderno à eploração de temas menos frequentemente abordados, deiamos tal tarefa a cargo do professor. 29

30 Atividade 7 Uma pessoa deve fazer uma dieta em que deve ingerir no mínimo 75g de proteínas por dia, servindo-se apenas de certo alimento A. a) Se cada grama de A fornece,15g de proteína, quantos gramas de A deverão ser ingeridos por dia, no mínimo? Sendo a quantidade de gramas de A, a ser ingerida, devemos ter., Concluímos, então, que 5, ou seja, devem ser ingeridas no mínimo 5 g do alimento A. b) Represente algebricamente a relação entre a quantidade de A em gramas a ser ingerida e a quantidade de proteínas correspondentes. A quantidade em gramas de proteína ingerida é uma função da quantidade em gramas ingerida do alimento A. Então, temos: =,15. c) Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares (; ) para os quais a prescrição da dieta é atendida. Os pares (; ) do plano cartesiano que correspondem ao atendimento à prescrição da dieta são os pontos da reta =,15, tais que 5, ou seja, são os pontos da reta =,15 à direita da reta = 5. d) Represente no plano cartesiano a região em que a dieta estaria igualmente satisfeita, porém com alimentos mais ricos em proteínas do que o alimento A. Os pares (; ) que correspondem a alimentos mais ricos em proteínas do que A são tais que >,15, ou seja, ingerindo-se gramas, a quantidade de proteínas será maior do que,15: trata-se da região acima da reta =,15; como devemos ter a ingestão de, no mínimo, 75g de proteína, então 75, e devemos considerar, na região >,15, apenas os pontos acima da ou na reta = 75. = 5 =,15 = 75 3

31 Matemática 3ª- série, 1 o bimestre Atividade 8 Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para plantar milho e alfafa. Chamando de a área a ser plantada de milho e de a área a ser plantada de alfafa, e sabendo-se que o fazendeiro pode optar por deiar uma parte das terras sem plantar qualquer uma das culturas, responda às seguintes questões: a) Represente a relação algébrica que deve eistir entre os valores de e. Sendo a quantidade de alqueires plantados de milho e a quantidade de alqueires plantados de alfafa, e sabendo-se que eiste a opção de não plantar todos os 18 alqueires, devemos ter, então, a soma + menor ou igual a 18, ou seja, b) Represente a região A do plano cartesiano que corresponde à relação entre e anteriormente referida. Representando no plano cartesiano, obtemos o semiplano abaio da reta + = 18, e mais os pontos da reta + = 18; naturalmente, somente faz sentido no problema em questão os pares (; ) em que temos e. região B do plano correspondente aos pares (; ) que satisfazem as condições formuladas? Sabendo que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho, temos, então, 5; no plano, teremos a região à direita da reta = 5, e abaio da reta, + = 18. d) Sabendo-se que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho e no mínimo 3 alqueires de alfafa, qual a região C do plano que corresponde aos pares (; ) que satisfazem as condições formuladas? Sabendo que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho e no mínimo 3 alqueires de alfafa, devemos ter, simultaneamente, + 18, 5 e 3; no plano, trata-se da região acima da, ou na reta = 3, à direita da, ou na reta = 5, e abaio da, ou na reta + = 18 (incluindo-se os pontos das duas retas). 18 Para obtermos a representação dos pontos da reta + = 18, basta escolhermos os pontos em que = (e, portanto, = 18), e em que = (e, portanto, = 18). A + = 18 c) Sabendo-se que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho, qual a 18 31

32 18 B + = 18 Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, é fundamental que as equações de retas estejam naturalmente associadas à variação proporcional entre e, tanto a partir da origem quanto a partir de outros valores: = k, h = k, ou ainda, = k( ) = 18 C Espera-se que os alunos compreendam que retas paralelas aos eios têm equações simples, e que retas inclinadas em relação aos eios têm equações na forma = m + h e ainda que saibam interpretar o significado dos coeficientes m e h. Especial atenção deve ser dada ao pequeno triângulo que determina a inclinação de cada reta, em decorrência das múltiplas informações que ele propicia. Também faz parte das epectativas de aprendizagem o reconhecimento de regiões do plano determinadas por desigualdades do tipo < m + h, ou > m + h, bem como de suas variações, envolvendo igualdade e desigualdade. SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 PROBLEMAS LINEARES MÁXIMOS E MÍNIMOS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: equação da reta em diferentes contetos: problemas lineares; representação de retas e regiões do plano cartesiano: problemas de máimos e mínimos. Competências e habilidades: capacidade de recorrer à linguagem da Geometria Analítica para enfrentar situações-problema em diferentes contetos; reconhecimento da importância da ideia de proporcionalidade e de sua relação direta com as equações das retas. Estratégias: apresentação de uma coleção de problemas lineares, alguns deles envolvendo situações de máimos ou mínimos, como motivação para uso das equações e inequações associadas a retas e regiões do plano. 32