Introdução. Árvore B. CaracterísMcas. Origem do Nome. Exemplo. Grau. Rohit Gheyi. B vem de balanceamento

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1 Árvore B Rohit Gheyi Introdução Rudolf Bayer, Binary B Trees for Virtual Memory, ACM SIGFIDET Workshop 97, San Diego, California, Session B, p. 9 3 MoMvação Custo alto de acesso a memória secundária A leitura de uma página é cara Solução Aumentou o número de chaves em cada nó (página) Origem do Nome B vem de balanceamento Todos os nós folhas da árvore estão em um mesmo nível B do sobrenome Rudolf Bayer B da empresa onde Bayer trabalhou Boeing ScienMfic Research Labs CaracterísMcas Ela é uma árvore balanceada Todas as folha estão no úlmmo nível 3 4 Grau t é o grau da árvore B Uma árvore B de grau t, terá: Mínimo de chaves por nó: t Mínimo de filhos por nó: t Máximo de chaves por nó: t Máximo de filhos por nó: t Não considera a raiz Exemplo: Árvore ( 3 4) Grau mínimo: t = Exemplo Árvore 3 4 (Grau t=) Nó com mais de uma chave, ordenada raiz 4 balanceada 6

2 Construa árvores B (Grau t=) com os elementos {,, 3}. Qual a menor e maior altura da árvore? Nó Seja x um Nó Número de chaves x.n Chaves x.key[] x.key[] x.key[n] Folha x.leaf Nós Filhos x.c[], x.c[],..., x.c[n+] class BTree { int t;... } class Node { int n; int [] key = new int[*t-]; boolean leaf; Node [] c = new Node[*t];... } 7 8 Qual a altura de uma árvore B com n elementos? n + (t-)σt i n + (t-)(t h -/t-) n t h - (n+)/ t h h log t (n+/) Altura 0 3 Número de Nós t t Veja que é log t n onde t. Compare com outras árvores t maior, h menor 9 Pesquisa A mecânica é similar a pesquisa em árvore binária de pesquisa Diferença Um nó pode ter mais de uma chave Dentro do nó fazemos uma pesquisa linear 0 Pesquisa do nó 8 Exemplo raiz Pesquise pelas chaves 4, 7, 4 4

3 Algoritmo Faça um algoritmo de pesquisa. O que o algoritmo retorna? Analise o. O retorno é o nó e a posição dele O(t.log n) Acesso a Disco O(log n) B-TREE-SEARCH(Node x, int k) i while i x.n and k > x.key[i] if i x.n and k = x.key[i] return (x, i) if x.leaf return NIL return B-TREE-SEARCH(x.c[i], k) 3 y Intuição: Divisão de um Nó Grau t=3 Máximo de chaves x A B i O pai não pode estar cheio A 9 B z 4 Divisão de um Nó O que os parâmetros x, i e y representam? x: nó pai não cheio y: nó filho cheio i: índice do filho de x B-TREE-SPLIT-CHILD(x, i, y) Node z new Node() z.leaf y.leaf n[z] t - for j to t - z.key[j] y.key[j+t] if not y.leaf for j to t z.c[j] y.c[j+t] n[y] t - for j n[x] + downto i + x.c[j+] x.c[j] x.c[i+] z for j n[x] downto i x.key[j+] x.key[j] x.key[i] y.key[t] n[x] n[x] + Cria novo nó Adiciona chaves novo nó Adiciona filhos ao novo nó e altera a quant. de filhos de y Desloca os filhos de x, e adiciona novo filho Desloca as chaves de x, e adiciona Nova chave B-TREE-SPLIT-CHILD(x, i, y) Node z new Node() z.leaf y.leaf n[z] t - for j to t - z.key[j] y.key[j+t] if not y.leaf for j to t z.c[j] y.c[j+t] n[y] t - for j n[x] + downto i + x.c[j+] x.c[j] x.c[i+] z for j n[x] downto i x.key[j+] x.key[j] x.key[i] y.key[t] n[x] n[x] + 6 Analise o algoritmo. Θ(t) Faz 3 escritas no disco B-TREE-SPLIT-CHILD(x, i, y) Node z new Node() z.leaf y.leaf n[z] t - for j to t - z.key[j] y.key[j+t] if not y.leaf for j to t z.c[j] y.c[j+t] n[y] t - for j n[x] + downto i + x.c[j+] x.c[j] x.c[i+] z for j n[x] downto i x.key[j+] x.key[j] x.key[i] y.key[t] n[x] n[x] + Faça o split do nó a seguir

4 Inserção Como inserir uma chave em uma árvore B? A mecânica é similar a pesquisa em árvore binária de pesquisa Mais complicada Diferença Ao percorrer os nós, sempre que Mver algum com a capacidade máxima, fazemos a divisão de um nó 9 Exemplo Inserir chave Caso normal t= 4 Exemplo Inserir chave 6 Encontra nodo cheio t= Mostre como fica graficamente a árvore B (t=) depois de inserir as chaves:, 0, 9, Algoritmo Explique o Algoritmo. Analise o Raiz cheia B-TREE-INSERT(BTree T, int k) Node r T.root if n[r] = t - Node s new Node() T.root s s.leaf FALSE s.n 0 s.c[] r B-TREE-SPLIT-CHILD(s,, r) B-TREE-INSERT-NONFULL(s, k) else B-TREE-INSERT-NONFULL(r, k) 3 4 4

5 Algoritmo Explique e analise o algoritmo. O(t.log n) B-TREE-INSERT-NONFULL(x, k) int i x.n if x.leaf while i and k < x.key[i] x.key[i+] x.key[i] x.key[i+] k x.n x.n + else while i and k < x.key[i] if x.c[i].n = t - B-TREE-SPLIT-CHILD(x, i, x.c[i]) if k > x.key[i] B-TREE-INSERT-NONFULL(x.c[i], k) Se for folha, insere o nó Pesquisamos o local para descermos Se formos descer para um nó cheio fazemos split B-TREE-INSERT-NONFULL(x, k) int i x.n if x.leaf while i and k < x.key[i] x.key[i+] x.key[i] x.key[i+] k x.n x.n + else while i and k < x.key[i] if x.c[i].n = t - B-TREE-SPLIT-CHILD(x, i, x.c[i]) if k > x.key[i] B-TREE-INSERT-NONFULL(x.c[i], k) 6 Excluir Como remover uma chave em uma árvore B? A mecânica é similar a pesquisa em árvore binária de pesquisa Diferença Ao percorrer os nós, sempre que Mver algum com a capacidade mínima, fazemos uma junção dos nós 7 8 Mecânica: Chave no Nó Externo. Se k esmver no nó folha x Exclua Mecânica: Chave no Nó Interno. Se k esmver no nó interno x a. Se o nó y (filho esquerdo de x) Mver no mínimo t chaves chave k (antecessor de k) a parmr do nó y SubsMtua k por k b. Se o nó z (filho direito de x) Mver no mínimo t chaves chave k (sucessor de k) a parmr do nó z SubsMtua k por k c. Se y e z (filhos esquerdo e direito) possuírem t chaves, Junte os dois nós em y adicionando k chave k e o link z do nó x. O nó y terá t chaves. chave k do nó y 9 30

6 Mecânica: Chave não está no Nó 3. Se k não esmver no nó x, ache o nó x.c[i] apropriado que deva conter a chave k Se x.c[i] Mver t chaves a. Se Mver um irmão com no mínimo t chaves Movimente uma chave para o nó x.c[i] ConMnue a remoção a parmr do nó x.c[i] b. Se os irmãos Mverem t chaves Junte x.c[i] com um dos seus irmãos ConMnue a remoção a parmr deste novo nó Se x.c[i] não Mver t chaves c. ConMnue a remoção a parmr do nó x.c[i] Exemplo: Caso chave 4 Nodo Externo Exemplo: Caso a chave 0 Nodo Interno 4 Exemplo: Caso b chave Nodo Interno Exemplo: Caso c chave Nodo Interno 30 Exemplo: Caso 3a chave Nodo sem chave

7 Exemplo: Caso 3b chave Nodo sem chave Mostre como fica graficamente a árvore B depois de remover as chaves: 4,,, Applet hup://people.ksp.sk/%7ekuko/bak/index.html Aplicações Banco de dados Sistema de arquivos O número de acesso ao disco é proporcional a altura da árvore 39 Referências Capítulo 9 a edição Capítulo a edição 4 7

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