O SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO: POSSIBILIDADES DE CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS

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1 O SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO: POSSIBILIDADES DE CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS Jozeildo José da Silva Filomena Maria Gonçalves da Silva Cordeiro Moita Universidade Estadual da Paraíba, Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, Brasil jozeildo@bol.com.br, filomenamoita@hotmail.com RESUMO Este artigo retrata o uso das tecnologias da informação no ambiente escolar e sua inserção no processo ensino-aprendizagem da matemática, dando ênfase a geometria dinâmica que permite um ensino pautado na construção e manipulação dos elementos geométricos. Para isso, utilizamos como ferramenta o software educacional Régua e Compasso, que possui licença GPL, sendo um software gratuito e que funciona nos dois sistemas operacionais mais utilizados, Microsoft Windows e Linux, indicado para uso em escolas públicas. No decorrer do artigo, argumentamos sobre a possibilidade de contribuição para a construção de conceitos geométricos através dos recursos presentes neste software. Palavras-chave: matemática, geometria dinâmica, régua e compasso. ABSTRACT This article depicts the use of information technology in the school environment and their integration in the teaching-learning of mathematics, emphasizing the dynamics geometry that allows teaching based on the construction and manipulation of geometric elements. For this, we use educational software as a tool Compass and Ruler, which has GPL license, being a free software that works in both operating systems most used Microsoft Windows and Linux, for use in public schools. Throughout the article, we argue about the possibility of contribution to the construction of geometrical concepts through the features present in this software. Keywords: mathematics, dynamics geometry, compass and ruler

2 1 Introdução A cada dia, notamos que as novas tecnologias estão cada vez mais presentes entre as pessoas, principalmente o uso do computador. Porém, seria um exagero afirmar que todos os recantos do mundo possui uma sociedade que apresenta uma cultura pautada nas tecnologias da informação para facilitar suas atividades cotidianas. Por outro lado, observando na cultura de países que dominam o uso dessa tecnologia, observa-se que existe um perfil de desenvolvimento econômico e social superior ao dos países em que a cultura tecnológica inexiste ou é pouco presente. Com essa visão, a escola, observando as mudanças ocasionadas pelo uso das tecnologias e tendo o papel social de formar gerações aptas a enfrentar os desafios impostos pela sociedade deve reconhecer que os alunos, desde as anos iniciais de ingresso no âmbito escolar devem estar situados nessa cultura tecnológica, para que, como cidadãos sejam, como produto do processo educacional, sujeitos ativos para o desenvolvimento tecnológico da sociedade em que vivem. Assim, as pessoas precisam ser inseridas em uma cultura pautada numa reeducação em relação ao ato de organizar a informação e disseminar conhecimentos (LÈVY, 1993). Por isso, é preciso que a sociedade acompanhe esses avanços e essas novas formas de agir e de pensar; ou seja, a sociedade não pode ficar leiga aos avanços tecnológicos pautado na relação homem x máquina, que tem origem nas próprias ações e necessidades do homem. Em si tratando de ensino, adentrando na matemática e especificamente na geometria, temos observado ao longo dos anos que nesse campo de estudo, os alunos possuem muita dificuldade em formular conceitos e aplicá-los em problemas. Partindo desse pressuposto iremos, ao longo do artigo, retratar o computador como recurso didático metodológico através do uso do software Régua e Compasso que será retratado a seguir sua contribuição para o ensino de geometria pautada na geometria dinâmica que permite ao aluno investigar regularidades, fazer construções geométricas e explorar seus elementos. Enfim, o software permite uma aprendizagem que possibilita a formação de um aluno mais ativo, participativo e interativo no processo. 2 Escola, sociedade e Tecnologia O ambiente escolar é, cada vez mais, recheado de crianças e adolescentes que apresentam problemas de aprendizagem, principalmente em matemática e isso ocorre muitas vezes pela falta de interesse e atenção aos conteúdos que estão sendo explorados, por outro lado, a escola pode estar oferecendo um ensino que não corresponda com suas expectativas. Durante as aulas, é normal observarmos que os alunos apresentem conversas paralelas sobre outros assuntos que não sejam ligados aos conteúdos escolares, tais como: jogos eletrônicos, orkut, chats, manchetes da internet, softwares, etc. Será que a falta de interesse apresentada pelos alunos pode estar interligada a falta de relação entre escola e sociedade? Esse é um questionamento que surge do fato de que as

3 tecnologias da informação através do uso do computador já são fatos presentes em seu cotidiano. Papert (2008, p. 52) caracteriza certas ações realizadas pela escola como algo errado e comenta sobre o que ele acredita ser certo para uma eficaz relação entre a escola e o mundo da informatização; e acredita que se os professores estiverem capacitados para a exploração do uso da informática como método educativo, poderão compreender o processo de mudança na escola como sendo um desenvolvimento e, por tanto, estarão aptos a entender os processos de mudanças no comportamento das crianças. O fato de a escola ignorar as mudanças ocorridas na maneira de educar faz com que os alunos frutos dessa educação sejam sujeitos desatualizados, pois, para Moita (2007), vivemos numa sociedade audiovisual eletrônica, que comporta um currículo cultural, ou seja, um conjunto mais ou menos organizado de informações, valores, via produtos culturais (neste caso, audiovisuais), que atravessam o cotidiano das pessoas e interferem em suas formas de ver, de sentir, de pensar, de aprender. 3 Os softwares de geometria dinâmica e sua repercussão no ensino A utilização de softwares dinâmicos apresenta-se como uma importante metodologia para o ensino de geometria, este ambiente computacional permite aos alunos construírem figuras, realizarem investigações sobre propriedades e conceitos matemáticos, manipulando o objeto e seus elementos dinamicamente na tela do computador, além de identificarem especialmente as características das figuras geométricas. Em consonância as idéias de Zulatto (2002), a geometria dinâmica oferece uma nova proposta que visa explorar os mesmos conceitos da geometria clássica, porém, através de um software interativo. Assim, é possível disponibilizar representações gráficas de objetos geométricos que aproximam o objeto material da tela do computador (desenho) ao objeto teórico (figura), favorecendo o desenvolvimento de uma leitura geométrica dos desenhos por parte do aprendiz, contornando, assim, uma das dificuldades do ensino da Geometria. Entretanto, Borges Neto e Santana (2000) afirmam que um simples contato com a tecnologia não garante uma aprendizagem satisfatória do aluno, destacando a importância do planejamento cuidadoso das atividades e de professores bem preparados para atuar como mediadores na aprendizagem e que sejam cientes da natureza das atividades baseadas em tecnologia. Além disso, a geometria vem sendo, em alguns casos, pouco trabalhada pelos professores, esse fato ocorre, muitas vezes, pela falta de domínio deste campo matemático, sendo priorizados os campos algébricos e aritméticos. Outro fato que colabora para isto é a geometria ser confundida com o ensino de medidas, neste caso, os alunos praticamente não estudam conceitos geométricos. Para Pires, Curi e Campos (2000), os conceitos geométricos são importantes porque, por meio deles, o sujeito da aprendizagem desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive.

4 Os softwares de geometria dinâmica possibilitam construções geométricas que também podem ser feitos com os materiais concretos habituais, porém através dos recursos presentes nesses softwares essas construções são realizadas com um tempo significantemente menor. No que se refere a exploração do software, o aluno pode formular sua própria conjectura e tentar verificas se são válidas. Isso é possível graças ao recurso arrastar presentes nesses softwares que permite a simulação de diferentes casos da figura, verificando, portanto os casos possíveis de configuração dessa figura geométrica. Para Gravina (1996) existem duas possibilidades se explorar o software com os alunos; uma delas seria processo de construção feito a partir das orientações do professor ou até mesmo a partir de sua criatividade, uma segunda abordagem seria o professor entregar figuras prontas para que os alunos possam explorar suas propriedades através da experimentação. Um exemplo de atividade que pode ser citado é quando se entrega aos alunos uma construção pronta representando um ângulo com uma bissetriz, neste caso, os alunos poderiam aumentar ou diminuir esse ângulo, assim poderão ter mais segurança na formulação do conceito de que a bissetriz de um ângulo é a reta que cruza seu vértice, dividindo-o em dois ângulos de mesma medida ou mesmo de que a bissetriz de um ângulo é a reta que divide o ângulo na metade. Figura 1 Bissetriz do ângulo AÔB Analisando a grande contribuição em utilizar softwares como metodologia de ensino e tendo em vista algumas problemáticas em torno do ensino geométrico, escolhemos argumentar sobre o software Régua e Compasso e sua possibilidade de contribuição para o ensino da geometria. Este é um software de geometria dinâmica, que transforma a tela do computador num ambiente interativo, onde o aluno pode construir e manipular os desenhos geométricos, como se estivesse usando os instrumentos régua e compasso.

5 4 O software Régua e Compasso e o ensino da geometria O software Régua e Compasso, em inglês C.a.R, uma abreviação de Compass and Ruler, que significa Compasso e Régua, é um software alemão, cujo nome original é Z.u.L. "Zirkel und Lineal" desenvolvido pelo professor René Grothmann da Universidade Católica de Berlim, na Alemanha, cuja versão original no site O software está disponível em varias línguas, inclusive possui versão em português, funciona nos sistemas operacionais Microsoft Windows e Linux, ideal para escolas públicas, pois é gratuito e possui licença GPL (General Public License) e pode ser baixado acessando Para Carvalho (2008), o software contém ferramentas para construções geométricas (planas) com régua e compasso e com muita simplicidade consegue-se obter construções geométricas, ela acrescenta que com apenas alguns cliques, pode-se marcar pontos, traçar retas e circunferências, transportar distâncias, tirar paralelas e perpendiculares. Todos os diagramas típicos de um texto de geometria plana podem ser feitos com precisão e rapidez utilizando apenas o rato. Por tanto, é observado que, contrariamente aos desenhos feitos com régua e compasso no mundo real, as construções geométricas virtuais produzidas com o software Régua e Compasso são dinâmicas: elas se movem sobre o comando do aluno, além disso, os pontos geométricos iniciais de uma construção podem ser arrastados com o mouse mantendo-se as relações matemáticas que vigoram entre eles e os demais objetos. Com isso, é permitido o estudo de uma construção sob diferentes configurações de pontos, sem que seja necessário realizar uma nova construção. Esse é um dos pontos fortes dos programas de Geometria Dinâmica. 4.1 Os recursos presentes no software régua e compasso O software Régua e Compasso possui várias ferramentas úteis para a construção e exploração de elementos geométricos, porém mostraremos algumas ferramentas mais básicas para a realização de construções e explorações. Ponto selecionando esta ferramenta e clicando na área de trabalho do software, com o botão esquerdo do mouse, cria-se um ponto livre, móvel. Com ela é possível determinar pontos fixos clicando com o botão direito do mouse sobre o ponto e marcando a opção fixo. Reta constrói-se uma reta, marcando-se dois pontos. Segmento de Reta Constrói-se um segmento de reta, marcando-se dois pontos reta Semi-reta a semi-reta é construída do mesmo modo que a reta e o segmento de Reta paralela essa construção é feita clicando em uma reta, segmento de reta ou

6 semi-reta e depois em uma área livre. Reta perpendicular constrói-se clicando em uma reta e em um ponto. Ponto Médio é obtido clicando-se em dois pontos. Círculo marcando-se dois pontos A e B ou um segmento AB, sua construção é feita clicando-se no ponto A e depois no ponto B, obtendo-se um círculo com centro em A, passando por B. Essa circunferência tem raio móvel. Círculo com raio fixo marca-se um ponto (centro da circunferência), a seguir marca-se outro ponto e digita-se a medida desejada para o raio, em uma janela que se abre automaticamente. Ângulo marca-se o primeiro ponto, em seguida, o vértice do engulo e, por fim, o último ponto. Além das ferramentas mostradas o software dispõe de outras ferramentas com várias utilidades na construção de elementos geométricos. 4.2 O recurso arrastar e sua contribuição para a verificação de conjecturas O arrastar é uma das principais características positivas do software Régua e Compasso que, segundo Cowper (1994) abre novas possibilidades para o ensino de geometria, baseado na exploração, possibilitando que os conceitos básicos se tornem mais acessíveis para o aluno. Ao arrastar um objeto, pode-se observar todos os casos da figura possíveis para um mesmo conjunto de figuras com a mesma propriedade. (HENRIQUES, 1999, p. 53) Uma questão importante levantada pelo recurso do arrastar é a possibilidade de verificar conjecturas. Por exemplo, para um quadrilátero ser considerado um quadrado é necessário que possua quatro lados e quatro ângulos congruentes (figura 2), porém na geometria dinâmica isso só é verificado usando o recurso arrastar, pois se a partir da manipulação da figura, os ângulos ou lados não se mostrarem congruentes, essa figura não poderá ser considerada um quadrado, mesmo que antes do uso do recurso arrastar ela fosse considerada (figura 3). Construção inicial Construção após arrastar um dos vértices Figura 2 demonstração do recurso arrastar em figura geométrica regular

7 Construção inicial Construção após arrastar o vértice B Figura 3 demonstração do recurso arrastar em figura geométrica irregular Essa possibilidade de se verificar essa propriedade da figura é possível devido às propriedades invariantes que ocorrem nas transformações possibilitadas pelo recurso arrastar tratadas por Cowper (2004, p. 174), segundo ele, estas relações são: paralelismo; ortogonalidade; proporcionalidade (proporção de comprimentos), [dependendo da configuração do software]; simetria pontual (rotacional); simetria axial (reflexivo); incidência (em alguns casos). Durante a fase de conjectura, o arrastar pode ser dividido em três modalidades de estratégia para o desenvolvimento de atividades: arrastar sem um propósito definido ( wandering draggin ), onde é possível encontrar ao acaso regularidades e configurações interessantes; arrastar para testar ( dragging test ) onde se procura chegar a alguma hipótese previamente levantada; e lugar geométrico pelo arrastr ( lieu muet dragging ) que significa que, ao preservar algumas regularidades de uma figura, um certo lugar geométrico C é construído empiricamente ao arrastar um ponto P (Oliveiro et al, 1998). Vejamos um exemplo em que tentaremos verificar as propriedades presentes em um quadrilátero formado a partir da união dos pontos médios MNOP de um quadrilátero qualquer ABCD. Nessa atividade, os alunos poderão optar pela estratégia de arrastar sem propósito definido, arrastar os vértices do quadrilátero ABCD, para procurar formular alguma conjectura. (figura 5) Figura 5 manipulação usando o recurso arrastar A partir daí podem levantar a hipótese de que MNOP representa um paralelogramo e usando os recursos de retas paralelas presente no software podem verificar se este quadrilátero possui dois pares de lados paralelos. (Figura 6)

8 Figura 6 uso de retas paralelas para verificar conjecturas Os alunos, podem também usar o recurso para medir seus lados e perceber se com a manipulação da figura os lados opostos mantêm as mesmas medidas, atualizadas simultaneamente. (figura 7). Figura 8 verificação de conjecturas a partir de medidas dos lados de um quadrilátero 5 A pesquisa A pesquisa se caracteriza como um estudo de caso e foi realizada numa escola pública municipal de Orobó, interior de Pernambuco que possui 1 laboratório de informática com 10 computadores. O público alvo foi constituído por 8 alunos do 7º ano (6ª série) do Ensino Fundamental com faixa etária entre os 10 e 13 anos de idade organizados em duplas, nomeadas por A, B, C e D, cuja amostra se deu de forma aleatória. Os alunos colaboradores participaram de 5 encontros/aulas iniciais com duração média de 1 hora cada um, em que foi abordada a apresentação e a utilização dos recursos presentes no software. Após essa etapa, foram propostos mais 3 momentos/aulas com 1 atividade cada. Todas as atividades com elementos geométricos pré-construídos, pois o objetivo do estudo não foi a construção geométrica e sim a observação do comportamento dos alunos para verificar como eles se apropriam dos conceitos geométricos a partir do software. Nessas atividades os alunos estavam livres para consultar materiais como livro de matemática e caderno de anotações.

9 Figura 9 Atividade 1, envolvendo quadriláteros A atividade 1, envolvendo quadriláteros é composta por três quadriláteros, sendo um quadrilátero irregular (letra a ), um quadrado (letra b ) e um retângulo (letra c ). Pela simples observação os alunos das duplas A e D consideraram que os quadriláteros apresentam indícios que podem conduzir a classificá-los como semelhantes e regulares. Porém apresentam propriedades distintas após os alunos medirem seus lado e ângulos e arrastar seus vértices. Nesta atividade os alunos tiveram a oportunidade de comparar os quadriláteros, formular suas conjecturas e associá-las as propriedades apresentadas a partir da exploração de seus elementos constituintes (lados, pontos, etc.). Figura 10 Atividade 2, envolvendo polígonos regulares Na atividade 2, as 4 duplas perceberam que polígonos regulares possuem lados e ângulos congruentes. É importante também destacar que antes de realizar as atividades, os alunos tiveram que fazer as medidas dos lados e ângulos para que pudessem levantar hipóteses e conclusões, já que, inicialmente, elas não estavam expostas neste hexágono.

10 Figura 11 Atividade 3, triângulo já explorado pelo recurso arrastar Na atividade 3, os alunos da dupla B, de início, se mostraram acreditar que o triângulo se caracterizava como eqüilátero. Porém, ao realizar as medições de seus lados e ângulos, e seguir a orientação da atividade puderam ter a possibilidade de perceber mudanças nas propriedades desse triângulo e, de acordo com as definições classificá-los como isósceles, pelo fato de que ele possui dois lados e ângulos congruentes e mesmo que movendo seus vértices suas características permanecem a mesma. 6 Considerações A partir do artigo é notável perceber que a escola precisa ter um novo olhar para o ensino e tentar aproximá-lo dos avanços ocasionados pelas tecnologias se valendo de recursos tecnológicos enquanto métodos didáticos de ensino. Para os professores de matemática, ao expor conteúdos envolvendo polígonos sugerimos que sejam oferecidas oportunidades para que os alunos possam manipular, explorar e verificar propriedades de elementos geométricos, ao invés de apenas levantar conclusões a partir da observação estática de seus elementos constituintes. Durante a pesquisa foi possível perceber a contribuição que o software Régua e Compasso pode oferecer ao ensino da geometria, pois permite ao alunos a investigação de conjeturas a partir da exploração de elementos geométricos, contribuindo com a formulação de conceitos por meio da manipulação desses elementos. Vale ressaltar que o software apesar de contribuir para a exploração da geometria dinâmica e enriquecer o ensino de geometria, também possui algumas limitações como, por exemplo, a representação de uma raiz quadrada ou potência que não se encontram disponível no software. Assim, pela pouca abordagem nas escolas do Brasil, consideramos que a geometria dinâmica necessita ter maior foco enquanto parte integrante do currículo de matemática nas escolas, por oferecer ao aluno oportunidades de aprender pela exploração, ao invés de aprender apenas pela observação. Esse é um dos pontos fortes da geometria dinâmica.

11 Referências BORGES NETO, H.; SANTANA, J. R. Resolução de problemas mediadas por instrumentos no ensino de geometria com uso do computador, disponível em: CARVALHO, Maria José. O Que é o C.a.R.? Universidade Católica Portuguesa. Portugal. Disponível em < > acesso em 23 de outubro de COWPER, W. Exploring drag-mode geometry. In: Discovering geometry with a computer Using Cabri Géomètre. Heinz Shumann and David Green. Ed. Shartwell-Brat, GRAVINA, M. A. Geometria dinâmica: uma nova abordagem para o aprendizado de geometria. In: Simpósio brasileiro de Informática na Educação,7., Belo Horizonte, Anais Belo Horizonte, 1996 HENRIQUES, A. Ensino e aprendizagem da geometria métrica. (Dissertação: Mestrado em Educação Matemática) Universidade Estadual Paulista Rio Claro, LÈVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática. Rio de Janeiro: Editora MOITA, F. Games: contexto cultural e curricular de saberes de experiências feitas. In: SILVA, E; MOITA, F e SOUZA, P. Jogos eletrônicos: construindo novas trilhas. EDUEP: Campina Grande, OLIVEIRO, F. ARZARELLO, F. MICHELETTI, C; ROBUTTI, O. Dragging in Cabri and modalities of transition from conjectures to profs in geometry. PME. Stellenboch. South Africa, PAPERT, Seymour. A máquina das crianças: repensando a escola na era da informática. Porto Alegre: Artes Médicas, PIRES, C. M. C., CURI, E., CAMPOS, T. M. M. Espaço e forma: a construção de noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do ensino fundamental. São Paulo, PROEM ZULATTO, R. B. A. Professores de Matemática que Utilizam Softwares de Geometria Dinâmica: Suas Características e Perspectivas. Dissertação de Mestrado, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002.