MATEMÁTICA DISCRETA SISTEMAS DE INFORMAÇÃO 1 PERÍODO. Aluno:

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1 MATEMÁTICA DISCRETA SISTEMAS DE INFORMAÇÃO 1 PERÍODO Aluno:

2 MATEMÁTICA DISCRETA Carga Horária: 72 horas/aula Avaliações Cada nota bimestral será baseada na média das notas obtidas nos trabalhos (peso 3,0) e da nota da prova bimestral (peso 7,0), isto é: NB= trabalhos+ NP Datas das Avaliações 20/04 Prova Bimestral (em horário de aula) 22/06 Prova Bimestral (em horário de aula) 04/07 Prova Final (horário extraordinário, turma unificada, verificar ensalamento) Observações Importantes O curso é presencial, isto é, a presença em 75% das aulas é obrigatória (Obs.: legalmente, não são justificadas faltas por motivo de trabalho); Deixe seu celular mudo, por educação. Não é permitido o uso de celular em noite de prova; A utilização de laptops, notebooks, netbooks, smartphones, tablets, etc. será permitida somente nas aulas que requerem uso de planilhas eletrônicas; Material requerido para as aulas: calculadora científica (qualquer marca e modelo); Não serão aceitos trabalhos enviados por ; Trabalhos entregues fora do prazo valerão nota inversamente proporcional ao tempo de entrega (quanto mais tempo demorar, menor a nota máxima do trabalho); Alunos que atingirem média semestral igual ou superior a 7,0 são aprovados por média; Alunos que atingirem média semestral inferior a 7,0 e igual ou superior a 4,0 farão avaliação final (valor 10,0 conteúdo de todo o semestre, sem consulta); Alunos com média semestral abaixo de 4,0 devem refazer a disciplina no próximo semestre. Em caso de dúvidas relativas à confecção dos trabalhos, perguntas podem ser enviadas por Andressa.Assaka@gmail.com ou podem ser feitas pessoalmente nas instalações da FACET de terça a sexta, das 18:30 às 18:55, ou no intervalo das aulas. Curitiba, fev PROB AB ILID AD E & EST AT Í STICA I PR OF A. ANDRESS A AS S AK A 1

3 Discreta por que não fala muito?... não é extravagante?... não é indiscreta?... não é deselegante?... é educada???? Matemática Discreta, também chamada Matemática Finita, é o estudo das estruturas matemáticas que são fundamentalmente discretas, no sentido de não suportarem ou requererem a noção de continuidade. Grande parte (não todos), dos objetos estudados na matemática discreta são conjuntos contáveis, como os inteiros. A Matemática Discreta tornou-se popular em décadas recentes devido às suas aplicações na ciência da computação. Conceitos e notações da matemática discreta são úteis para o estudo ou a expressão de objetos ou problemas em algoritmos de computador e linguagens de programação. PROB AB ILID AD E & EST AT Í STICA I PR OF A. ANDRESS A AS S AK A 2

4 CAPÍTULO 1 TEORIAS DOS CONJUNTOS CONJUNTOS, ELEMENTOS E CONCEITOS PERTINÊNCIA CONJUNTOS IMPORTANTES CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS ALFABETOS, PALAVRAS E LINGUAGENS SUBCONJUNTOS E IGUALDADE DE CONJUNTOS DIAGRAMAS DE VENN ARGUMENTOS E DIAGRAMAS DE VENN ÁLGEBRA DE CONJUNTOS UNIÃO E INTERSEÇÃO COMPLEMENTARES DIFERENÇA CONJUNTO DAS PARTES PRODUTO CARTESIANO PROPRIEDADES DOS PRODUTOS CARTESIANOS, UNIÃO E INTERSEÇÃO UNIÃO DISJUNTA DUALIDADE CONJUNTOS FINITOS RELAÇÕES RELAÇÃO BINÁRIA TIPOS DE RELAÇÕES RELAÇÃO FUNCIONAL RELAÇÃO INJETORA RELAÇÃO TOTAL RELAÇÃO SOBREJETORA MONOMORFISMO EPIMORFISMO ISOMORFISMO...24 CAPÍTULO 2 LÓGICA PROPOSIÇÕES SENTENÇAS MATEMÁTICAS FUNÇÕES PROPOSICIONAIS AXIOMAS E TEOREMAS PRINCÍPIOS DAS PROPOSIÇÕES CONECTIVOS E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS CONJUNÇÃO DISJUNÇÃO NEGAÇÃO QUANTIFICADORES TABELAS-VERDADE PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS PROPOSIÇÕES BICONDICIONAIS EQUIVALÊNCIA LÓGICA E LEIS DA LÓGICA LEIS DA LÓGICA QUADRO-RESUMO ARGUMENTOS E PROVAS TAUTOLOGIAS CONTRADIÇÃO NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS ARGUMENTO

5 4.4.1 ARGUMENTO VÁLIDO ARGUMENTO INVÁLIDO CONSTRUÇÃO DO SILOGISMO AS REGRAS DO SILOGISMO ARGUMENTAÇÃO E TABELAS-VERDADE CIRCUITOS LÓGICOS SITUAÇÕES PRÁTICAS...64 CAPÍTULO 3 TEORIA DOS GRAFOS INTRODUÇÃO AS SETE PONTES DE KÖNIGSBERG O PROBLEMA DA COLORAÇÃO DE MAPAS ELEMENTOS DOS GRAFOS VÉRTICES E ARESTAS ORDEM DE UM GRAFO ISOMORFISMOS GRAU DE UM VÉRTICE O LEMA DOS APERTOS DE MÃOS CAMINHOS CONEXIDADE DE GRAFOS CIRCUITOS E CIRCUITOS EULERIANOS O TEOREMA DE EULER PROVA DO TEOREMA DE EULER GRAFOS EULERIANOS GRAFOS HAMILTONIANOS O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE CICLOS CICLOS HAMILTONIANOS CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE UM CICLO HAMILTONIANO O PRINCÍPIO DAS GAVETAS ÁRVORES SUBGRAFOS CRITÉRIOS PARA DETERMINAR SE UM GRAFO É UMA ÁRVORE RAÍZES E ÁRVORES BINÁRIAS ÁRVORES E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS GRAFOS PLANARES...98 BIBLIOGRAFIA

6 Capítulo 1 Teorias dos Conjuntos 1 CONJUNTOS, ELEMENTOS E CONCEITOS O conceito de conjunto é fundamental, pois, praticamente, todos os conceitos desenvolvidos em Computação e Informática, bem como seus resultados, são baseados em conjuntos ou construções sobre conjuntos. Um conjunto é uma coleção, sem repetições e sem ordenação, de nenhum ou diversos objetos denominados elementos. Frequentemente, os conjuntos são simbolizados por letras maiúsculas: A, B, X, Y, M,... e os elementos são representados por letras minúsculas: a, b, x, y, n,... Exemplos: a) as vogais b) os dígitos c) os números pares d), a,, e) os dias da semana f) Observando os exemplos, deve ficar claro que um conjunto não precisa ser constituído de elementos que compartilhem as mesmas características ou propriedades. Um conjunto que lista todos os seus elementos, em qualquer ordem, separados por vírgulas e entre chaves, é denominado denotação por extensão: 3

7 A definição de um conjunto por propriedades é denominada denotação por compreensão: Que pode ser interpretada como sendo: o conjunto de todos os elementos n, tal que n é um número par. Assim, a forma geral de definição de um conjunto por propriedades fica: E é tal que um determinado elemento a é elemento desse conjunto se a propriedade for verdadeira para a, ou seja, para o conjunto: de outra forma: Tem-se que Pelé é elemento do conjunto B e Bill Gates não é elemento de B. Embora seja possível definir qualquer conjunto por compreensão, é conveniente especificar conjuntos 1.1 PERTINÊNCIA Se um determinado elemento a é elemento de um conjunto A, então: Caso contrário, afirma-se que a não pertence ao conjunto A: Exemplo: Relativamente ao conjunto de vogais, V, tem-se que: a h V V Relativamente ao conjunto B, composto por brasileiros: Pelé B Bill Gates B 4

8 1.2 CONJUNTOS IMPORTANTES Um conjunto importante é o conjunto vazio, ou seja, o conjunto sem elementos { }, frequentemente representado por. Exemplo: a) b) Outro tipo de conjunto importante é o conjunto unitário, ou seja, um conjunto constituído por apenas um elemento. Existem, portanto, infinitos conjuntos unitários. Um conjunto unitário é geralmente denotado por 1. Exemplo: a) b) c) Os seguintes conjuntos são importantes na Matemática em geral e possuem uma denotação universalmente aceita: N Z Q R C 1.3 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Um conjunto pode possuir um número finito ou infinito de elementos. Um conjunto finito, ao contrário de um infinito, pode ser denotado por extensão, ou seja, todos os elementos podem ser listados. Exemplo: a) os seguintes conjuntos são finitos: 5

9 b) os seguintes conjuntos são infinitos 1.4 ALFABETOS, PALAVRAS E LINGUAGENS Um alfabeto é um conjunto finito. Os elementos de um alfabeto são denominados de símbolos ou caracteres. Assim, o conjunto vazio é um alfabeto, e um conjunto infinito não é um alfabeto. Uma palavra, ou cadeia de caracteres ou sentença, sobre um alfabeto é uma sequência finita de símbolos do alfabeto justapostos. Portanto, uma cadeia sem símbolos é uma palavra válida e o símbolo ε denota a cadeia vazia, palavra vazia ou sentença vazia Se representa um alfabeto, então, * denota o conjunto de todas as palavras possíveis sobre. Exemplo: a) São alfabetos: b) Não são alfabetos: c) d) e) f) g) h) A noção de conjunto permite e definição de linguagem, um dos conceitos mais fundamentais em Computação e Informática. Uma linguagem formal ou, simplesmente, linguagem, é um conjunto de palavras sobre um alfabeto. Exemplo: Suponha o alfabeto = { a,b}, então: a) 6

10 b) 1.5 SUBCONJUNTOS E IGUALDADE DE CONJUNTOS Além da noção de pertinência, outra noção importante é a de continência, que permite introduzir os conceitos de subconjunto e de igualdade dos conjuntos. Se todos os elementos de um conjunto A também são elementos do conjunto B, então se pode afirmar que A está contido em B: Ou, alternativamente, que B contém A: Nesse caso, A B ou B A, afirma-se que A é subconjunto de B. Adicionalmente, se A B, mas existe b B tal que b A, então se afirma que A está contido propriamente em B, ou que A é subconjunto próprio de B: Exemplo: a) b) c) d) e) f) Um conjunto especial e importante é o conjunto universo, denotado por U, que contém todos os conjuntos que estão em consideração. Ou seja, o conjunto universo define o contexto da discussão (entenda que U não é um conjunto fixo). Uma vez definido o conjunto universo U, para qualquer conjunto A: Os conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, possuírem os mesmo elementos. Formalmente: Exemplo: a) b) c) 7

11 Teorema: (i) Para todo conjunto A, tem-se A U (ii) Para todo conjunto A, A A (iii) Se A B e B C, então A C (iv) A = B, se e somente se A B e B A Esse último item ilustra claramente a definição de igualdade. Verifique que a repetição dos elementos pode ser desconsiderada. É importante distinguir claramente os conceitos de pertinência e continência. Exemplo: Considere o conjunto A= 1, 2,3,,{ a },{ b, c} a) {} 1 A, {} 1 A b) A, A { } c) { a } A, { b,c } A d) { 1,2,3 } A, { 1,2,3 } A 1.6 DIAGRAMAS DE VENN Um diagrama de Venn é uma representação em forma de figura, na qual os conjuntos são representados por áreas delimitadas por curvas no plano. O conjunto universo U é representado pelo interior de um retângulo, e os outros conjuntos, por discos contidos dentro desse retângulo. Se A que representa B: B, o disco que representa A deve estar inteiramente contido no disco Se A e B são disjuntos, isto é, se eles não possuem elementos em comum, então o disco representado por A estará separado do disco representado por B: 8

12 Entretanto, se A e B são dois conjuntos arbitrários, é possível que alguns objetos estejam em A, mas não em B, alguns estejam em B, mas não em A, alguns estejam em ambos e alguns não estejam nem em A nem em B; portanto, em geral: Considere o conjunto de todos os carros vendidos em certa concessionária. Um vendedor classificou os carros em três subconjuntos, de acordo com os opcionais de cada carro. D = {carros com direção hidráulica}, A = {carros com ar condicionado}, V = {carros com vidro elétrico} Os diagramas abaixo representam as seguintes situações: a) Carros com, pelo menos, alguma das três opções. b) Carros com ar condicionado, mas sem direção hidráulica e sem vidro elétrico. c) Carros com direção hidráulica ou ar condicionado, mas sem vidro elétrico. d) Carros com vidro elétrico e ar condicionado. e) Carros com vidro elétrico, ar condicionado e direção hidráulica. f) Conjunto dos carros vendidos sem nenhum dos três opcionais ARGUMENTOS E DIAGRAMAS DE VENN Muitas afirmativas feitas verbalmente são afirmativas sobre conjuntos e podem ser descritas através de Diagramas de Venn. Assim, eles podem ser usados para determinar se um argumento é válido ou não válido. Exemplo: Mostre que o seguinte argumento é válido: S1: Minhas panelas são os únicos objetos de metal que possuo. S2: Eu acho todos os seus presentes muito úteis. S3: Nenhuma das minhas panelas é de muita utilidade. S: Seus presentes para mim não são feitos de metal. 9

13 As afirmativas S1, S2 e S3 são as hipóteses e a afirmação S é a conclusão. O argumento é válido se a conclusão S seguir logicamente as hipóteses. Por S1, os objetos de metal estão contidos no conjunto de panelas e, por S3, o conjunto de panelas e o conjunto de objetos úteis são distintos; logo, desenhando o diagrama de Venn: desenha-se: Por S2, o conjunto seus presentes é um subconjunto do conjunto dos objetos úteis e, portanto, A conclusão é válida de acordo com o Diagrama de Venn porque o conjunto seus presentes é diferente do conjunto de objetos de metal. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Quais dentre esses conjuntos são iguais: { r, t,s }, { r, t, r,s }, { t,s, t, r }, { s,s, t, t,r, r }? 02) Liste os elementos dos conjuntos. Considere N= { 1,2,3, 4,... }. a) A= { x x N,3< x< 12} b) B= { x x N, x é par, x< 15} c) C= { x x N,4+ x= 3} 03) Considere os conjuntos:, A= {} 1, B= { 1,3}, C= { 1,5,9}, D= { 1, 2,3,4,5}, E= { 1,3,5, 7,9}, U= { 1, 2,3,...,8,9} Insira o símbolo correto ou, em cada par de conjuntos: a) A b) B C c) C D d) D E 10

14 e) A B f) B E g) C E h) D U 04) Mostre que A= { 2,3, 4,5} não é um subconjunto de B { x x, x é par} = N. 05) Mostre que A= { 2,3, 4,5} é um subconjunto próprio de C { 1, 2,3,...,8,9} =. 06) As informações seguintes referem-se a um grupo de 100 alunos: - todos os homens têm mais de 20 anos - há 50 mulheres no grupo - há 60 alunos com mais de 20 anos - há 25 mulheres casadas - há 15 alunos casados com mais de 20 anos - há 10 mulheres casadas com mais de 20 anos Pergunta-se: a) há quantos alunos casados? b) quantas mulheres solteiras têm mais de 20 anos? c) quantos homens solteiros têm menos de vinte anos? d) quantos homens são casados? e) quantos alunos têm menos de vinte anos? 11

15 2 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 2.1 UNIÃO E INTERSEÇÃO A união entre dois conjuntos A e B, escrita por, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A, juntamente com todos os elementos que pertencem a B, isto é, A B= { x x A ou x B} A representação da união entre A ou B, pelo diagrama de Venn, fica: A interseção dos dois conjuntos A e B, representada por A B, é o conjunto dos elementos comuns. que pertencem a A e B, isto é A B= { x x A e x B} A representação da interseção entre A e B, pelo diagrama de Venn, fica: Teorema: São equivalentes A B, A B= A e A B= B EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Seja A= { 1, 2,3,4}, B= { 3,4,5,6,7}, C { 2,3,5, 7} a) A B b) A C c) A B d) A C =. Encontre: 02) Suponha que M denote o conjunto de estudantes do sexo masculino de uma universidade C, e F denote o conjunto de estudantes do sexo feminino na universidade C. Como seria representado o total de estudantes da universidade C? O total de estudantes que têm o mesmo sexo? 12

16 2.2 COMPLEMENTARES Todos os conjuntos considerados em cada situação são subconjuntos de um conjunto universo fixo, U. O complementar absoluto, ou simplesmente, complementar de um conjunto A, denotado por C conjunto dos elementos que pertencem a U, mas não pertencem a A; isto é, A { x x U, x A} = : C A, é o Atenção!!! Algumas referências bibliográficas utilizam a notação A ', ~ A ou complementar de A. Exemplos: A para o - Dados o conjunto universo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e o conjunto A = {0, 1, 2}, tem-se que C A = - Dados o conjunto universo e o conjunto A = {0, 1, 2}, tem-se que C A = 2.3 DIFERENÇA Sejam A e B conjuntos. A diferença entre os conjuntos A e B, denotada por A os elementos que pertencem ao conjunto A e que não pertencem ao conjunto B, ou seja: { } A B= x x A x B B, considera todos O conjunto A B é chamado de A menos B. Seu diagrama de Venn se encontra a seguir: 13

17 EXERCÍCIO RESOLVIDO 01) Suponha que U= { 1, 2,3,... }, o conjunto de inteiros positivos, seja o conjunto universo, e que A= { 1, 2,3,4}, B= { 3,4,5,6,7}, C= { 6, 7,8,9} e E { 2, 4,6,8,... } de A, B, C, D e E? Encontre A B, C D e E A. =. Quais os conjuntos complementares 2.4 CONJUNTO DAS PARTES A operação que, aplicada a um conjunto A, resulta num conjunto constituído de todos os subconjuntos de A é denominada conjunto das partes de A e é denotada por: P( A) = { x x A} Se o número de elementos de um conjunto X é n, então o números de elementos de P(X) é 2 n. Exemplo: Dados os conjuntos A = {a}, B = {a, b} e C = {a, b, c}, tem-se que: - P( ) = - P(A) = - P(B) = - P(C) = 2.5 PRODUTO CARTESIANO Antes de definir a operação produto cartesiano, será definida uma sequência de n elementos como sendo uma n-upla ordenada, ou seja, n objetos em ordem fixa. Particularmente, dizemos que uma 2-upla é uma par ordenado e é representada por x, y ou ( x, y ). Observação: A ordem dos elementos é importante! Logo, x, y ( y, x). Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A por B é como segue: A B= { a, b a A b B} 14

18 Denotamos o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo como Observações: - Não-comutatividade: A C C A - Não-associatividade: ( A B) C A ( B C) 2 A A= A PROPRIEDADES DOS PRODUTOS CARTESIANOS, UNIÃO E INTERSEÇÃO - Distributividade sobre a União: A ( B C) = ( A B) ( A C) - Distributividade sobre a Interseção: A ( B C) = ( A B) ( A C) Exemplos: 01) Dados os conjuntos A = {a}, B = {a, b} e C = {0, 1, 2}, tem-se que: - A B - B C - C B A 2 B - A N - ( A B) C - A ( B C) - A - A ) Considere três conjuntos A, B e C. Quantos produtos fundamentais podem ser formados? Liste-os e faça o diagrama de Venn mostrando as áreas de cada produto. 15

19 2.6 UNIÃO DISJUNTA A união disjunta, ou diferença simétrica, dos conjuntos A e B, denotada por A B, ou A+ B, consiste no conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B, mas não a ambos, isto é, ( ) ( ) A B= A B A B É também possível escrever a diferença simétrica da seguinte forma: A B= ( A B) ( B A) Exemplos: 01) Suponha A= { 1,2,3, 4,5,6} e B { 4,5, 6, 7,8,9} a) A B b) B A c) A B O diagrama de Venn, nesse caso, fica: =. Assim,. 02) Dados os conjuntos D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, V = {a, e, i, o, u}, P = {0, 2, 4, 6,...} e A = {a, b, c}, tem-se que: - D + V = - D + P = - + = - A+ = - A + A C = 3 DUALIDADE Conjuntos envolvidos em operações de união, interseção e complementares seguem as várias leis listadas a seguir: a) A A= A Lei de Idempotência Leis de Associatividade b) A A= A a) ( A B) C= A ( B C) b) ( A B) C= A ( B C) 16

20 Lei de Comutatividade Lei de Distributividade Lei de Identidade Lei de Involução Lei dos Complementares Lei DeMorgan a) A B= B A b) A B= B A a) A ( B C) = ( A B) ( A C) b) A ( B C) = ( A B) ( A C) a) A = A b) A U= A c) A U= U d) A = C ( A ) C = A C a) A A = U b) c) C A A = C U = C d) = U A B = A B a) ( ) C C C A B = A B b) ( ) C C C Existem dois métodos de demonstrar as leis listadas. Uma delas é através das definições das operações A B = A B e, a outra, é pelo diagrama de Venn. Por exemplo, considere a Lei DeMorgan ( ) C C C Método 1: Método 2: 17

21 3.1 CONJUNTOS FINITOS Conforme visto anteriormente, um conjunto é dito finito se contém exatamente m elementos distintos, onde m denota um número inteiro e não negativo. Caso contrário, o conjunto é dito infinito. Por exemplo, o conjunto vazio,, e o conjunto de letras do alfabeto são conjuntos finitos, enquanto que o conjunto de positivos inteiros pares, { 2, 4,6,8,... } é infinito. A notação n( A ) será usada para indicar o número de elementos de um conjunto finito notações para os mesmos elementos: # A, A ou card( A ). C A. Outras Se A e B são conjuntos finitos disjuntos, então A B é também finito e n( A B) = n( A) + n( B). Ao contar os elementos de A B, primeiramente, conte os que estão em A. Existem n( A ) elementos em A. Os únicos outros elementos de A B são aqueles que estão em B, mas não em A. Mas como A e B são disjuntos, nenhum elemento de B está em A e, portanto, existem n( B ) elementos que estão em B, mas não estão em A. Assim, n( A B) = n( A) + n( B). Há também uma maneira de encontrar n( A B) Se A, B e C são conjuntos finitos, então A B C também é mesmo quando os conjuntos não estão disjuntos. ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) n A, B, C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Considere os dados a seguir sobre 120 estudantes de matemática no que diz respeito aos idiomas francês, alemão e russo. 65 estudam francês 45 estudam alemão 42 estudam russo 20 estudam francês e alemão 25 estudam Francês e russo 15 estudam alemão e russo 8 estudam os três idiomas Determine o número de alunos que estuda pelo menos um dos três idiomas e faça o diagrama de Venn com o número correto de estudantes. 18

22 Os problemas a seguir se referem ao conjunto universo U= { 1, 2,3,...,8,9} e aos conjuntos A= { 1,2,3, 4,5}, B= { 4,5,6,7}, C= { 5, 6,7,8,9}, D= { 1,3,5, 7,9}, E= { 2, 4,6,8}, F { 1,5,9} 02) Determine: a) A B e A B b) A C e A C =. c) B D e B D d) D E e D E e) E E e E E f) D F e D F 03) Determine: a) A, B, D e E b) A-B, B-A, D-E, F-D c) A B, C D, E F 04) Determine: a) A ( B E) b) ( A ) E ' c) ( A D) B d) ( B F) ( C E) 05) Mostre que é possível que A B= A C sem que B= C. 06) Determine quais os conjuntos finitos: a) A= { estações do ano} b) B= { estados do Brasil} c) C= { inteiros positivos menores que 1} d) D= { inteiros ímpares} e) E= { divisores inteiros positivos de 12} f) F= { cães do Brasil} 07) em uma pesquisa com 60 pessoas, verificou-se que: 19

23 25 lêem Folha de São Paulo 26 lêem Gazeta do Povo 26 lêem Tribuna do Paraná 9 lêem Folha e Tribuna 11 lêem Gazeta e Folha 8 lêem Gazeta e Tribuna 3 lêem os três jornais a) Encontre o número de pessoas que lêem pelo menos um dos três jornais. b) Preencha um diagrama de Venn sobre o problema. c) Ache o número de pessoas que lêem exatamente um jornal. 4 RELAÇÕES 4.1 RELAÇÃO BINÁRIA Dados dois conjuntos A e B, uma relação binária R de A em B é um subconjunto de um produto cartesiano A B, ou seja R A B, onde: - A é o domínio, origem ou conjunto de partida de R - B é o contra-domínio, destino ou conjunto de chegada de R Para R A B, se a,b R, então se pode afirmar que "a relaciona-se com b". Pode-se denotar a relação R da seguinte forma: R: A B e um elemento a, b R pode ser denotado por arb. Exemplos: Sejam A = {a}, B = {a, b} e C = {0, 1, 2}. São exemplos de relações: - é uma relação de A em B - A B - Relação de Igualdade de A em A: - Relação "menor" de C em C: - Relação de C em B: 20

24 Endorrelação: dado um conjunto A, uma relação do tipo R : A A é dita uma Endorrelação ou Auto-Relação. Assim, tem-se que origem e destino fazem parte do mesmo conjunto, denotado por A, R. Uma relação binária pode ser representada no diagrama de Venn: elemento de A. A seguir, algumas definições referentes ao conceito de relação: a) a, b R : R está definida para a, e b é a imagem de a. b) Domínio de definição: é o conjunto de todos os elementos de A para os quais R está definida. c) Conjunto imagem: conjunto de todos os elementos de B que estão relacionados com algum Exemplos: conjunto {a}. Dados os conjuntos A = {a}, B = {a, b} e C = {0, 1, 2}, tem-se: - para a endorelação C,<, o domínio de definição é o conjunto {0, 1} e o conjunto imagem é o conjuto {1, 2] - para a relação =: A B, o domínio de definição é o conjunto {a} e o conjunto imagem também é o 4.2 TIPOS DE RELAÇÕES RELAÇÃO FUNCIONAL Uma relação binária R : A B é uma relação funcional se, e somente se: ( a A)( b B)( b B)( arb arb b = b ) Em outras palavras, temos que para uma relação ser funcional, cada elemento do conjunto origem deve estar relacionado a um elemento do conjunto destino, no máximo. Exemplo: Dada a relação existe no máximo um inteiro y tal que y = x X : Z Z, tal que X = { x, y Z y= x }, tem-se que, para cada inteiro x, 21

25 Pode-se visualizar uma relação funcional no diagrama de Venn. Considerando a relação R : A tal que R { a,a, b,c } = e A = {a, b, c}, o correspondente diagrama fica: A, Observe que, de fato, cada elemento do conjunto origem está relacionado a, no máximo, um elemento do conjunto destino (o que significa que podem haver elementos da origem não relacionados a algum elemento do destino) RELAÇÃO INJETORA Relação injetora é o conceito dual (inverso) de relação funcional. Uma relação binária R : A B é uma relação injetora se, e somente se: ( b B)( a A)( a A)( a Rb a Rb a = a ) Em outra palavras, para um relação ser injetora, cada elemento do conjunto destino deve estar relacionado a, no máximo, um elemento do conjunto origem. Exemplo: Dada a relação R : A B, tal que A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e R = { 1,1, 1, 2, 2,3 }, tem-se que cada elemento de B está relacionado a, no máximo, um elemento de A. Veja a seguir o diagrama que representa a relação R RELAÇÃO TOTAL Uma relação binária R : A B é uma relação total se, e somente se: ( a A)( b B)( arb) 22

26 Em outras palavras, para uma relação ser total, todos os elementos do conjunto origem devem estar relacionados a algum elemento do conjunto destino. O domínio de definição é o próprio conjunto A. Exemplo: Dada a relação R : A B, tal que A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e R = { 1,1, 2, 2, 2,3 }, tem-se que cada elemento de A está relacionado a algum elemento de B. Veja a seguir o diagrama que representa a relação R RELAÇÃO SOBREJETORA Relação sobrejetora é o conceito dual (inverso) de relação total. Uma relação binária R : A uma relação sobrejetora se, e somente se: ( b B)( a A)( arb) B é Em outras palavras, para uma relação ser sobrejetora, todos os elementos do conjunto destino devem estar relacionados a algum elemento do conjunto origem. O conjunto imagem é o próprio conjunto B. coluna. Na matriz de uma relação sobrejetora, deve existir pelo menos um valor lógico verdadeiro em cada Exemplo: Dada a relação R : A B, tal que A = {a, b, c}, B = {a, b} e R = { a, b, c,a }, tem-se que cada elemento de B está relacionado a algum elemento de A. Veja a seguir o diagrama que representa a relação R. 4.3 MONOMORFISMO total e injetora. Uma relação R : A B é um monomorfismo se, e somente se, for simultaneamente uma relação 23

27 Dessa forma, o domínio de definição é o próprio conjunto A e cada elemento de B está relacionado com no máximo um elemento de A. Exemplo: A relação = : A B, onde A = {a} e B = {a, b}, é um monomorfismo. 4.4 EPIMORFISMO Epimorfismo é o conceito dual (inverso) de monomorfismo. Uma relação R : A epimorfismo se, e somente se, for simultaneamente uma relação funcional e sobrejetora. B é um Dessa forma, o conjunto imagem é o próprio conjunto B e cada elemento de A está relacionado com no máximo um elemento de B. Exemplo: São exemplos epimorfismo, sendo que onde A = {a}, B = {a, b} e C = {0, 1, 2}: - = : A A - S : C B, tal que S= { 0,a, 1,b } 4.5 ISOMORFISMO Uma relação R : A B é um isomorfismo se, e somente se, existe uma relação S: B A tal que: R S= id A e S R= idb onde id A é uma endorrelação de igualdade em A A,= e idb é uma endorrelação de igualdade em B B,=, chamadas de relação identidade. Assim, se R S= id S R= id A e B, pode-se afirmar que a relação R possui inversa. Ainda, se existe um isomorfismo entre dois conjuntos, eles podem ser chamados de conjuntos isomorfos. Exemplo: Dados os conjuntos A = {a, b, c} e B = {e, f, g} e a relação R : A { a,e, b,f, g,c } R=. Prove que R é um caso de isomorfismo. B tal que 24

28 Teorema: Seja R : A simultaneamente um monomorfismo e um epimorfismo. B uma relação. Então R é um isomorfismo se, e somente se, R for Dessa forma, uma relação é um isomorfismo se, e somente se, for simultaneamente uma relação total, injetora, funcional e sobrejetora. Pode-se observar que para uma relação ser um isomorfismo, os conjuntos origem e destino devem possuir o mesmo número de elementos. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Para cada conjunto: - descreva uma forma alternativa (usando outra forma de notação) - diga se é finito ou infinito a) todos os números inteiros maiores que 10 B) { 1,3,5,7,9,11,... } c) Todos os países do mundo { } 02) Para A= {} 1, B= { 1,2} e {} C= 1,1, marque as afirmações corretas: a) A B b) A B c) A B d) A= B e) A C f) A C g) A C h) A= C i) 1 A j) 1 C k) {} 1 A l) {} 1 C m) C n) C 03) Sejam M= { x 2x= 6} e N= 3. Justifique ou refute que M= N. 04) Quais são todos os subconjuntos dos seguintes conjuntos? { } a) A= { a,b,c} b) B= a, { b,c }, D dado que D= { 1, 2} 05) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (inclusive nele mesmo)? Justifique. 06) Todo conjunto possui um subconjunto próprio? Justifique. 07) Sejam A= { 0,1, 2,3, 4,5}, B= { 3,4,5,6,7,8}, C= { 1,3, 7,8}, D= { 3, 4}, E= { 1,3}, F {} 1 = e X, um conjunto desconhecido. Para cada item abaixo, determine quais dos conjuntos A, B, C, D, E ou F podem ser guais a X: a) X A e X B b) X B e X C c) X A e X C d) X B e X C 25

29 08) Seja A um subconjunto de B e B um subconjunto de C. Suponha que a A, b B, c C, d A, e B e f C. Quais das afirmações são verdadeiras? a) a C b) b A c) c A d) d B e) e A f) f A 09) Marque os conjuntos que são alfabetos: a) Conjunto dos números naturais b) Conjunto dos números primos c) Conjunto das letras do alfabeto brasileiro d) Conjunto dos algarismos arábicos e) Conjunto dos algarismos romanos f) Conjunto { a,b,c,d } g) Conjunto das vogais h) Conjunto das letras gregas 10) Sejam = { a, b,c,..., z} e Dígitos { 0,1,2,3,...,9} = alfabetos. Assim, a) Para cada um dos alfabetos abaixo, descreva o correspondente conjunto de todas as palavras: - - Dígitos b) discuta as seguintes afirmações: - português é uma linguagem sobre, ou seja, é um subconjunto de * Dica: quais os símbolos usados para compor um texto em português? - N é uma linguagem sobre Dígitos, ou seja, é um subconjunto de Dígitos* - N = Dígitos* -Dica: como fica o caso da palavra vazia? 11) Seja A = {a, b, c, d, e}. Determine se as sentenças, abaixo, são verdadeiras ou falsas: a) {a} A b) a A c) {a} A d) A e) {c, d, e} A f) {c, d, e} A g) {a, c, f} A h) A A i) A A e A A j) {e, b, c, a, d} = A 12) Em uma classe há 15 alunos veteranos dos quais 10 são rapazes, 15 rapazes que não são veteranos e 30 meninas. Quantos alunos há na classe? 13) Dado que: - todos os nativos de Mindanau devoram pessoas brancas - todos os nativos de Bornéu devoram pessoas pretas - Nenhum homem devora ambas, pessoas brancas e pessoas pretas - João devora pessoas pretas Decida se cada uma das conclusões abaixo torna o argumento válido. a) João é nativo de Bornéu b) João não é nativo de Mindanau 26

30 14) Avalie a validade do seguinte argumento: Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é girassol. 15) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Avalie a validade das conclusões: a) Alguns baianos são louros b) Alguns professores são baianos c) Alguns louros são professores d) Existem professores louros 16) Determine a validade do seguinte argumento: Todos os meus amigos são músicos. João é meu amigo. Nenhum dos meus vizinhos é músico. João não é meu vizinho. 17) Quais dos seguintes conjuntos são iguais? { 2 2 = + = }, B { x x 3x 2 0} A x x 4x 3 0 = + =, C= { x x, x< 3} { N }, E= { 1,2}, F= { 1, 2,1}, G= { 3,1}, H= { 1,1,3} D= x x, x é impar, x< 5 N, 18) Liste os elementos dos conjuntos seguintes considerando o conjunto universo U { a, b,c,d,..., y, z} Identifique também os conjuntos iguais se existirem: C A = { x x é vogal}, B { x x é uma letra da palavra "carroça "} =, = { x x precede "f" no alfabeto}, D= { x x é uma letra da palavra "caroço"} =. 19) Encontre os elementos de X, considerando que A= { 1,2,...,8,9}, B= { 2, 4,6,8}, C { 1,3,5, 7,9} D= { 3, 4,5}, E= { 3,5} a) X e B são disjuntos b) X D mas X c) X A mas X d) X C mas X B C A =, Os problemas a seguir, referem-se aos conjuntos U= { 1, 2,...,8,9}, A= { 1, 2,5,6}, B { 2,5, 7} C= { 1,3,5, 7,9}. 20) Encontre: a) A B e A C b) A B e A C c) A e C 21) Encontre: a) A-B e A-C b) A B e A C 22) Encontre: =, 27

31 a) ( A C) B b) ( A B )' c) ( ) B C A 23) Sejam A= { a, b,c,d,e}, B= { a,b,d,f,g}, C= { b,c,e,g,h}, D { d,e,f,g, h} a) A B b) B C d) B ( C D) e) ( ) g) A B h) C D c) A ( B D) A D C f) B C D i) C-B j) ( A D) B k) ( C A) D l) ( ) =. Encontre: A D B 24) Sejam A e B conjuntos pertencentes ao universo U. Avalie as assertivas a seguir, atribuindo a cada uma (V) para verdadeira ou (F) para falsa. Justifique o motivo de considerar determinada assertiva falsa. a) A A ' = U b) A A '= c) A U= A d) A = A e) A A= A f) A A= A A ' ' = A h) ' = U i) A B= B A g) ( ) k) ( A B )' = A ' B' l) ( ) j) A B= B A A B ' = A ' B' m) A ( B C) = ( A B) ( B C) n) A ( B C) = ( A B) ( B C) o) ( A B) C= A ( B C) p) ( A B) C= A ( B C) 25) Dentre as proposições a seguir, assinale as verdadeiras. Considere que: S = {2, a, 3, 4}, R = {a, 3, 4, 1} e U é o conjunto universo. a) a S b) a R c) R= S d) { a} S e) { a} S f) S g) R h) { } S i) U S 26) Quais declarações são verdadeiras e quais são falsas? a) 1 { 1, 2,3} b) 1 { 1, 2,3} c) {} 1 { 1, 2,3} d) {} 1 { 1, 2,3} e) {} 1 { 1, 2,3} f) {} 1 { 1, 2,3} 27) Determine, explicitando os elementos constituintes, quais os conjuntos a seguir definidos: a) Números inteiros, positivos e ímpares; b) Números inteiros, positivos e cujo resto é 1 quando dividido por 4; c) Números inteiros, negativos e cujo resto seja -3 quando dividido por 4; d) Números primos e ímpares; e) Números primos e pares. 28) Sejam os conjuntos A = {1, 1, 2, 2, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4} e U é o conjunto universo. Ordene A, B, C e o de forma que o conjunto da direita seja um subconjunto do conjunto da esquerda. 28

32 29) Seja o conjunto universo, U, aquele que corresponde a todas as pessoas. A é o conjunto de todos os bacharéis em Ciência da Computação, B é o conjunto de todos os contadores (mulheres e homens), C é o conjunto de todas as mulheres e, finalmente, D é o conjunto de todas as pessoas com idade igual ou superior a 40 anos. Determine o seguinte: a) O conjunto de todas as mulheres bacharéis em Ciência da Computação e que são também contadoras; b) O conjunto de todos os homens contadores com idade igual ou superior a 40 anos; c) O conjunto de todas as mulheres bacharéis em Ciência da Computação com idade abaixo de 40 anos e que são contadoras. ( ) 30) Simplifique a expressão ( ) ( ) finitos. 31) Seja A = {1, 2, 3}. Determine A A { 2} A B C ' A ' B C ' A ', sabendo que A, B e C são conjuntos { } e A 2. 32) Sabe-se que A = {a,b,c}. Determine A 2 e 2 A. 33) Sabendo-se que A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, determine P(A B). 34) Sejam: A = {2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,10}. Para cada uma das relações, explicite seus elementos (pares) e determine o domínio e a imagem. a) R= { x, y A B x é divisível por y} b) R= { x, y A B xy=12} c) R= { x, y A B x= y+ 1} d) R= { x, y A B x y} 35) Determine quais dos seguintes conjuntos são finitos: a) O conjunto das retas paralelas ao eixo x b) O conjunto das letras do alfabeto c) O conjunto dos números múltiplos de 5 d) O conjunto dos animais que vivem na Terra e) O conjunto dos números que são solução da equação f) O conjunto dos círculos contendo a origem (0,0) x + x 5x 15= 0 36) Foi realizada uma pesquisa com uma amostragem de 25 carros novos à venda para verificar quais dos opcionais mais populares: ar condicionado (A), rádio (R) e vidros elétricos (V) já estavam instalados. A pesquisa concluiu que: 15 tinham ar condicionado 12 tinham rádio 11 tinham vidros elétricos 5 tinham ar condicionado e vidros elétricos 9 tinham ar condicionado e rádio 4 tinham rádio e vidros elétricos 3 tinham as três opções 29

33 Encontre: a) número de carros que têm apenas vidros elétricos b) apenas ar condicionado c) apenas rádio d) rádio e vidros elétricos, mas não ar condicionado e) ar condicionado e rádio, mas não vidros elétricos f) apenas uma das opções g) nenhuma das opções 37) Uma pesquisa foi realizada com pessoas que lêem revistas semanais. Entrevistando 200 pessoas, descobriu-se o seguinte: 85 pessoas compram a revista A, 75 pessoas compram a revista B, 65 pessoas compram a revista C, 30 pessoas compram as revistas A e B, 25 pessoas compram as revistas A e C, 20 pessoas compram as revistas B e C, 10 pessoas compram as três revistas. Com base nestes dados, responda ao seguinte: a) Quantas pessoas compram pelo menos uma das revistas? b) Quantas pessoas não compram nenhuma das três revistas? c) Quantas pessoas compram exatamente uma das revistas? d) Quantas pessoas compram exatamente duas das revistas? 38) O técnico da seleção brasileira de futebol convocou 22 jogadores para um amistoso. Destes, 2 são goleiros, 10 podem jogar na defesa, 10 podem jogar no meio-de-campo e 9 podem jogar no ataque. Sabe-se também que 4 jogadores podem jogar na defesa e no meio, 5 jogadores podem jogar no meio ou no ataque e apenas 1 jogador pode jogar na defesa e no ataque. Os goleiros só podem jogar no gol. Perguntas: a) Quantos jogadores são tão versáteis que podem jogar na defesa, no meio e no ataque? b) Quantos podem jogar apenas na defesa? c) Quantos podem jogar apenas no ataque? d) Quantos podem jogar no ataque ou no meio, mas nunca na defesa? 39) Uma pesquisa entre pessoas que moram em Niterói e trabalham no Rio revela que, de 50 pessoas entrevistadas, 20 delas pegam a barca com alguma frequência, 24 pegam ônibus, enquanto que 10 às vezes pegam barca e às vezes pegam ônibus. Determine: (a) Quantos passageiros vão apenas de barca? (b) Quantos passageiros vão apenas de ônibus? 30

34 (c) Quantos passageiros se utilizam de outros meios de transporte? 40) Uma pesquisa em um supermercado mostrou que, entre 150 consumidores, 60 compram uma marca A de sabão em pó, 40 compram uma marca B e 30 compram uma marca C. Dos entrevistados, 10 compram as três marcas, 20 compram as marcas A e B, 15 compram as marcas A e C e 10 compram as marcas B e C. Com base nestes dados, determine: (a) Quantos consumidores compram alguma das três marcas. (b) Quantos consumidores compram apenas a marca A. (c) Quantos consumidores compram as marcas A ou B, mas não a marca C. (d) Quantos compram exatamente duas das marcas. (e) Quantos compram apenas uma das marcas. (f) Quantos dos consumidores não compram nenhuma das marcas. 41) Foi realizada uma pesquisa sobre preferências partidárias, perguntando aos entrevistados se já haviam votado nos partidos A, B, C ou D. A pesquisa trouxe à luz os seguintes fatos: Do total de 130 pessoas entrevistadas, 17 já votaram no partido D. Estas pessoas que já votaram no partido D nunca votaram em outro partido. 60 pessoas já votaram no partido A 50 pessoas já votaram no partido B 70 pessoas já votaram no partido C 30 pessoas já votaram nos partidos A e C 25 pessoas já votaram nos partidos B e C 22 pessoas já votaram nos partidos A e B. Sabendo que todos os 130 entrevistados já votaram em algum dos 4 partidos mencionados, determine: (a) Quantas pessoas já votaram nos 3 partidos? (b) Quantas pessoas só votaram no partido A? (c) Quantas pessoas só votaram em um partido? (d) Quantas pessoas já votaram em exatamente dois partidos? Represente a situação, por meio de um diagrama de Venn. 42) Use um diagrama de Venn para mostrar se o seguinte argumento é válido: Bebês são ilógicos. Ninguém que possa lidar com crocodilos pode ser desprezado. Pessoas ilógicas são desprezadas. Bebês não podem lidar com crocodilos. 43) Considere o argumento: Todos os dicionários são úteis. Maria possui apenas romances. Nenhum romance é útil. Determine se as seguintes conclusões são válidas: a) Romances não são dicionários b) Maria não tem um dicionário c) Todos os livros úteis são dicionários 44) Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que tem clorofila são comestíveis. Logo, 31

35 a) algumas plantas verdes são comestíveis. b) algumas plantas verdes não são comestíveis. c) algumas plantas comestíveis têm clorofila. d) todas as plantas que têm clorofila são comestíveis. e) todas as plantas verdes são comestíveis. 45) Foi feita uma pesquisa em sala de aula com 50 alunos e obteve-se o seguinte resultado. 17 gostavam somente de coxinha e 21 gostavam somente de risólis. Sabendo que cada aluno gostava de pelo menos um desses salgadinhos, quantos gostavam de ambos? 46) Numa escola com 630 alunos, 250 estudam matemática, 210 estudam fisica e 90 deles estudam as duas matérias. Pergunta-se: a) Quantos alunos estudam somente matemática? b) Quantos alunos estudam somente fisica? c) Quantos alunos estudam matemática ou fisica? d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? 47) Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois. Quantas pessoas foram consultadas? 48) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas utilizam os produtos A ou B. O produto B é utilizado por 800 pessoas e 320 utilizam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? 49) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c) Quantos jogam vôlei e não jogam tênis? 50) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antigenos. Em uma pesquisa efetuada em um grupo com 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles têm o antigeno A, 35 têm o antigeno B e 18 deles têm o antigeno AB. Nessas condições pede-se o número de pacientes cujo sangue tem o antigeno O. 32

36 Capítulo 2 Lógica 1 PROPOSIÇÕES De maneira geral, podemos classificar as sentenças de um idioma da seguinte forma: Declarativas: Hoje é domingo. Eu não saí de casa o dia todo. Interrogativas: Quem vem lá? Qual é o seu nome? Exclamativas: Lógico! Viva! Imperativas: Não matarás! Feche a porta! 1.1 SENTENÇAS MATEMÁTICAS Sob o ponto de vista da lógica, um valor verdade pode ser atribuído apenas às sentenças declarativas, isto é, só se pode julgar que uma sentença seja verdadeira ou falsa, quando se tratar de uma declaração. última, falsa. x> 3, 7< 10 e 3 2 = 6 são sentenças matemáticas, sendo que, as duas primeira são verdadeiras e, a Alguns exemplos de sentenças às quais não podemos atribuir valor verdade: 1. Vá mais devagar! 2. Quanto custa este livro? 3. Fulano é carioca. Uma situação parecida pode surgir no contexto matemático. A frase x + 3 = 11 pode ser verdadeira (caso o valor de x seja 8) ou pode ser falsa (caso x seja diferente de 8). Leia as seguintes sentenças. Algumas são verdadeiras e outras são falsas: 1. A grama é verde. 2. Dezembro tem 31 dias. 3. Uma semana tem 8 dias. 4. O Sol é uma estrela. 5. O verão é a estação mais fria do ano. 33

37 1.2 FUNÇÕES PROPOSICIONAIS Expressões, que contêm uma ou mais variáveis, são chamadas de funções proposicionais. Quando as variáveis são substituídas por constantes, a expressão torna-se uma proposição (verdadeira ou falsa, conforme as constantes atribuídas). Por exemplo, x é homem. Essa função proposicional torna-se uma proposição verdadeira se x = Sócrates e falsa se x = cadeira. Estas expressões também podem ser chamadas de sentenças abertas. 1.3 AXIOMAS E TEOREMAS Usando as regras da lógica, pode-se provar quando uma determinada sentença é verdadeira ou falsa. De acordo com essas regras, parte-se de um conjunto inicial de sentenças básicas, consideradas verdadeiras, os axiomas, e, usando as regras definidas pela lógica, prova-se a veracidade de novas sentenças. Estas novas sentenças verdadeiras são chamadas teoremas e podem também ser usadas na demonstração de novos teoremas. Em lógica, são consideradas apenas as sentenças que podem ser qualificadas como falsas ou verdadeiras. Tais sentenças são chamadas de proposições 1. Usa-se letras minúsculas, como p, q ou r, para representá-las. Proposição, ou sentença, é todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo PRINCÍPIOS DAS PROPOSIÇÕES 1 Princípio da Não-Contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa, simultaneamente. ter outro valor. 2 Princípio do Terceiro Excluído Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo 1 A palavra proposição também é usada em Matemática, fora do contexto estrito da lógica, como sinônimo de teorema. 34

38 2 CONECTIVOS E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS As proposições mostradas anteriormente são ditas proposições atômicas, pois não podem ser decompostas em proposições mais simples. conectivos. É possível construir proposições mais complexas utilizando os operadores lógicos, chamados de Por exemplo: a) Windows é um sistema operacional e C é uma linguagem de programação. b) Iremos ao cinema ou ao parque. b) Linux não é um software livre. c) Se chover muito, eu vou virar sapo. d) A=B se e somente se A B e B A 2.1 CONJUNÇÃO Usando duas proposições p e q pode-se construir uma nova proposição, p e q, chamada de conjunção de p e q, simbolizada por falsa. A sentença Exemplo: p q. p q é verdadeira caso ambas, p e q, sejam verdadeiras. Em qualquer outra situação, será A noite é escura e o dia é claro. A rosa é vermelha e o cravo é branco. 16 é igual a 4 e 15 é um número primo. 2.2 DISJUNÇÃO A partir de duas proposições p e q também pode ser construída a proposição composta p ou q, chamada de disjunção de p e q, ou p q. A proposição p q é verdadeira caso alguma das proposições, p ou q, seja verdadeira, e será falsa somente se ambas forem falsas. 35

39 A proposição composta de uma das proposições a torna válida. 16 é igual a 4 ou 15 é um número primo é verdadeira, pois a veracidade 2.3 NEGAÇÃO Usamos a notação p, para indicar a negação da proposição p. As proposições p e p têm valoresverdade opostos (Princípio da Contradição). falsa. Princípios da lógica Matemática: - Princípio da Identidade - Todo objeto é idêntico a si mesmo. - Princípio da Contradição - O contrário do verdadeiro é falso. - Princípio do Terceiro Excluído - De duas proposições contraditórias uma é verdadeira e a outra é 2.4 QUANTIFICADORES São expressões que aparecem, em geral, no início das frases matemáticas, cuja função é indicar o universo sobre o qual será feita a afirmação. Exemplos: para todo, cada, existe um, existe uma, não existe algum, não existe alguma, nenhum, nenhuma, qualquer um, qualquer uma,... Exemplo: As seguintes proposições têm o mesmo significado: Todo mundo é racional. Todas as pessoas são racionais. Cada pessoa é racional. Qualquer pessoa é racional. O quantificador usado nestes exemplos é chamado de quantificador universal, representado por (para todo). Exemplo: 2 2 α R,sen α+ cos α= 1 36

40 Os exemplos apresentam o quantificador existencial, representado pelo símbolo (existe). Mais uma vez, todas as proposições têm o mesmo significado. Alguma pessoa é bonita. Existe pessoa bonita. Pelo menos uma pessoa é bonita Exemplo: α R,senα= 1 Os quantificadores universais e existenciais são trocados um pelo outro quando é feita a negação de uma proposição iniciada por um deles. Exemplo: p: Todo aluno é estudioso. p : Existe aluno que não é estudioso. Outra maneira de enunciar a proposição p seria: pelo menos um aluno não é estudioso, ou mesmo, há pelo menos um aluno não estudioso. Atenção! A proposição q: Nenhum aluno é estudioso não é a negação de p. 2.5 TABELAS-VERDADE O valor-verdade de cada proposição é sempre, ou verdadeiro (V), ou falso (F). O valor-verdade de uma proposição composta é determinado pelos valores-verdade de cada uma das proposições que a compõem e apresentados em forma de tabelas, denominadas tabelas-verdade. que Por exemplo, considere a conjunção das proposições p e q, que denotamos por p q é verdadeira apenas quando ambas as proposições, p e q, são verdadeiras. Há quatro possibilidades: p é verdadeira e q é verdadeira. p é verdadeira e q é falsa. p é falsa e q é verdadeira. p é falsa e q é falsa. A tabela-verdade correspondente é: p q. Lembre-se de 37

41 As tabelas-verdade correspondentes às proposições p (não p) e p q (p ou q) são: 2.6 PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS Há frases que se compõem de uma condição e uma consequência, conforme os exemplos: Se não chover irei a sua festa. Se n é um inteiro ímpar, então n 2 é ímpar. Se r é um número natural, tal que r < 2, então r= 1. Sejam p e q duas proposições. A proposição Se p, então q é chamada de implicação, onde o conectivo Se..., então... caracteriza uma condição. A notação desta proposição é p q proposição p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de Se A, então B : Se A, B. B, se A. Todo A é B. A implica B. A somente se B. A é suficiente para B. B é necessário para A. A proposição p é chamada de hipótese e a proposição q de conclusão ou tese. O valor-verdade da verdade e q é falsa. q depende dos valores-verdade da hipótese e da conclusão, sendo falsa apenas quando p é Há maneiras ligeiramente diferentes de enunciar a proposição p Se p, então q. p implica q. Para que p seja verdadeira, é necessário que q seja verdadeira. Para que q seja verdadeira, é suficiente que p seja verdadeira. q : 38

42 Na verdade, a proposição p q é logicamente equivalente à proposição p q, cuja tabela verdade fica: Exemplo: 01) Considerando a proposição: Se eu ganhar na loteria, então nós viajaremos para Fortaleza. A tabela verdade fica: É importante perceber que a implicação depende diretamente da conclusão, e não da hipótese. A primeira possibilidade corresponde à situação ideal, isto é, p e q verdadeiras: Viajamos para Fortaleza porque eu ganho na loteria, a promessa é cumprida e p q é verdadeira. No caso de não viajarmos para Fortaleza e eu ganhar na loteria, a promessa estará quebrada. Isto corresponde ao caso p verdadeira e q falsa, tornando p q falsa. Agora, viajamos para Fortaleza, apesar de eu não ter ganhado na loteria. Ótimo! A condição não pode ser contestada. Isto corresponde ao caso p falsa, q verdadeira e, consequentemente, p q verdadeira. Como última possibilidade, não viajamos à Fortaleza porque eu não ganhei na loteria. A condição não foi quebrada corresponde ao caso p e q falsas e p implicação p q se torna verdadeira. Note que, quando a hipótese p é falsa, independente do valor-verdade da consequência q, a q é verdadeira. Portanto, a única chance de p verdadeira e a consequência é falsa. q ser falsa é quando temos uma situação em que a hipótese é 2.7 PROPOSIÇÕES BICONDICIONAIS proposição q Quando a hipótese é trocada pela consequência de uma proposição p p chamada de conversão de p q, que não são logicamente equivalentes. q, cria-se uma nova 39

43 Veja numa tabela-verdade a comparação das duas proposições: Exemplo: Considere a proposição do tipo p q : Se Linda é brasileira, então ela gosta de samba. A conversão desta proposição fica: Se Linda gosta de samba, então ela é brasileira Considere as diferentes possibilidades. Especialmente a situação em que Linda, caindo numa roda de samba, faz inveja às melhores passistas do lugar e acaba confessando ser uma americana de Miami. Isto é, p é falsa, mas q é verdadeira. A proposição Se Linda é brasileira, então ela gosta de samba é verdadeira (pois não é falsa), mas a sua conversão Se Linda gosta de samba, então ela é brasileira é falsa, pois, exatamente como no caso acima, gostar de samba não é coisa apenas de brasileiros ou brasileiras. Continuando com esse exemplo, tomando a proposição: Se Linda não gosta de samba, então ela não é brasileira. Esta proposição é da forma q p. A sua tabela verdade, comparada à p q fica: contrapositivas. As proposições p q e q p são logicamente equivalentes, por isso são chamadas Há um tipo de proposição composta por duas proposições iniciais p e q que ocorre com certa frequência: ( p q) ( q p), isto é, p implica q e que implica p, chamada de bicondicional, denotada por. Dessa forma, a proposição ( p q) ( q p) é equivalente a p q, que pode ser lida como p se e somente se q ou mesmo p é necessário e suficiente para q e será verdadeira quando ambas as proposições têm o mesmo valor-verdade. 40

44 A proposição bicondicional A se e somente se B é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores lógicos contrários. Podem-se empregar também como equivalentes de A se e somente se B as seguintes expressões: A se e só se B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocamente. Se A então B e reciprocamente. A somente se B e B somente se A. A é necessário e suficiente para B. A é suficiente para B e B é suficiente para A. B é necessário para A e A é necessário para B. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição bicondicional A se e somente se B corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B. Usando a versão ( p q) ( q p) de p q, a sua tabela-verdade fica: 3 EQUIVALÊNCIA LÓGICA E LEIS DA LÓGICA Duas proposições são ditas logicamente equivalentes quando têm os mesmos valores-verdade em todos os casos possíveis. Quando duas proposições, p e q, são equivalentes, usa-se a seguinte notação: p q Por exemplo, a proposição Marcos é pintor e gosta de pescar, pode ser negada Não é verdade que Marcos é pintor e gosta de pescar. Outra maneira é Marcos não é pintor ou não gosta de pescar. Estas duas últimas afirmações são ditas logicamente equivalentes. 41

45 As tabelas-verdade são úteis para detectar quando duas proposições são logicamente equivalentes. O exemplo Não é verdade que Marcos é pintor e gosta de pescar é um caso particular da situação ( p q) equivalente a p q, em que p é Marcos é pintor e q é Marcos gosta de pescar. Exemplo: Ao montar uma tabela-verdade para ( p q) e p q, pode ser facilmente mostrado que as proposições são logicamente equivalentes. Nesse problema, constrói-se uma tabela com cindo linhas, na primeira delas, são alinhadas as diferentes etapas e, nas outras quatro, consideram-se todas as possibilidades, uma vez que há duas proposições básicas, p e q. Exemplo: Construir a tabela-verdade de p ( q r). 3.1 LEIS DA LÓGICA Pode-se utilizar o conceito de equivalência lógica para expressar algumas das leis da lógica. Lei de Idempotência: Para qualquer proposição p, p p p p p p Além disso, os conectivos e são comutativos e associativos. Leis de Comutatividade: Dadas duas proposições quaisquer, p e q, p q q p p q q p Leis de Associatividade: Dadas três proposições quaisquer, p, q e r, 42

46 ( p q) r p ( q r) ( p q) r p ( q r) ou, simplificadamente: p q r p q r Leis de Distributividade: Dadas três proposições quaisquer, p, q e r, p ( q r) ( p q) ( p r) p ( q r) ( p q) ( p r) Leis de DeMorgan: Para quaisquer proposições, p e q, ( p q ) p q ( ) p q p q Leis de Absorção: Para quaisquer duas proposições, p e q, p ( p q) p ( ) p p q p Exemplo: Consideremos as seguintes proposições: p: 2 é um número inteiro; q: 2 é maior do que 3; r: 2 é um número primo. Conectando-as pode-se montar as seguintes proposições: a: 2 é um número inteiro, ou 2 é maior do que 3 e primo. b: 2 é um número inteiro ou maior do que 3, e 2 é um número inteiro ou primo. As proposições a p ( q r) e b ( p q) ( p r) são logicamente equivalentes. Este é um caso particular da lei de distributividade. Determine o valor verdade dessas proposições. A palavra princípio pode ser usada como sinônimo de axioma ou de teorema. A mesma coisa acontece com a palavra lei, que está sendo usada para indicar quando determinadas proposições são logicamente equivalentes e, para isso, deve-se constatar a equivalência usando tabelas-verdade. Exemplo: 43

47 As leis de DeMorgan são usadas para reescrever as negações de proposições. Considere a seguinte proposição: Todo número par é divisível por 2 e existe um número inteiro n tal que 2n = 3. Reescreva a negação, usando as leis de DeMorgan QUADRO-RESUMO Para finalizarmos esta parte, vamos montar um quadro com o resumo das principais leis da lógica. EXERCÍCIO RESOLVIDO 01) Reescreva as proposições abaixo de diferentes maneiras e faça a tabela verdade: a) Se o tempo estiver bom, irei à praia. b) Se recebermos uma boa oferta, venderemos o terreno. 4 ARGUMENTOS E PROVAS 4.1 TAUTOLOGIAS Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C,... é uma tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C,... que a compõem. Exemplo: A proposição Se (A e B) então (A ou B) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: 44

48 Outro exemplo de tautologia envolve o conectivo condicional: ( p q) p cuja tabela-verdade é: 4.2 CONTRADIÇÃO Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C,... é uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C,... que a compõem. Exemplo: A proposição A se e somente se não A é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: O exemplo mostra que uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiros ou simultaneamente falsos. Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que: a negação de uma tautologia é sempre uma contradição enquanto que a negação de uma contradição é sempre uma tautologia 4.3 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Conforme visto, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação não A deve ser falsa e, 45

49 sempre que A for falsa, não A deve ser verdadeira. Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada. A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições compostas: 4.4 ARGUMENTO Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P 1, P 2,... P n, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser usados os correspondentes hipótese e tese, respectivamente. Os argumentos que têm somente duas premissas são denominados silogismos. Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos: I. P 1 : Todos os artistas são apaixonados. P 2 : Todos os apaixonados gosta de flores. C: Todos os artistas gostam de flores. II. P 1 : Todos os apaixonados gosta de flores. P 2 : Míriam gosta de flores. C: Míriam é uma apaixonada ARGUMENTO VÁLIDO Um argumento é válido, ou ainda, que ele é legítimo ou bem construído, quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: quando um argumento é 46

50 válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Isto significa que jamais se pode chegar a uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for válido. É importante observar que, ao discutir a validade de um argumento, é irrelevante o valor de verdade de cada uma das premissas. Em Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou falsidade das proposições que compõem os argumentos, mas tão-somente a validade destes. Exemplo: O silogismo: Todos os pardais (P) adoram jogar xadrez (X). Nenhum enxadrista gosta de óperas (Op). Portanto, nenhum pardal gosta de óperas. está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a verdade das premissas seja questionável. Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento do conjunto P (pardais) pode pertencer ao conjunto Op (os que gostam de óperas) ARGUMENTO INVÁLIDO Um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal construído ou falacioso, quando a verdade das premisssas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplo: O silogismo: Todos os alunos do curso(c) passaram (P). Maria (m) não é aluna do curso. Portanto, Maria não passou. é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo). Maria pode ter passado mesmo sem ser aluna do curso, pois a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado. 47

51 A tabela abaixo traz um resumo das situações possíveis para um argumento: CONSTRUÇÃO DO SILOGISMO A estrutura básica do silogismo consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride através da premissa menor e infere, necessariamente, uma conclusão adequada. Exemplo: Todos os atos que ferem a lei são puníveis (Premissa Maior) A concussão é um ato que fere a lei (Premissa Menor) Logo, a concussão é punível (Conclusão) O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da lógica, as premissas são chamadas de proposições que, por sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normalmente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concussão é o menor. 48

52 4.4.4 AS REGRAS DO SILOGISMO 1 Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, médio e menor. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. Termo Médio: Mimi é um gato. Termo Menor: Mimi é um mamífero. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. Termo Médio: Maria é uma gata(2). Termo Menor: Maria é quadrúpede. O termo gata tem dois significados, portanto, há quatro termos ao invés de três. 2 Os termos da conclusão nunca podem ser mais extensos que os termos das premissas. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todas as onças são ferozes. Termo Médio: Nikita é uma onça. Termo Menor: Nikita é feroz. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Antônio e José são poetas. Termo Médio: Antônio e José são surfistas. Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. Antonio e José é um termo menos extenso que todos os surfistas. 3 O predicado do termo médio não pode entrar na conclusão. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a lei. 49

53 A ocorrência do termo médio homem na conclusão é inoportuna. 4 O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extensão universal. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilidades. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Alguns homens são sábios. Termo Médio: Ora os ignorantes são homens Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios O predicado homens do termo médio não é universal, mas particular. 5 De duas premissas negativas, nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero Premissa Menor: Lulu não é um gato. Conclusão: (?). 6 De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclusão negativa. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser desejados. Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. 7 A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais não voam. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 50

54 Conclusão: Alguns animais voam. 8 De duas premissas particulares nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Mimi é um gato. Premissa Menor: Um gato foi covarde. Conclusão: (?) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS tautologias: 01) Construa as respectivas tabelas-verdade para constatar que as seguintes proposições são a) ( p p) ( ) p q p q b) ( ) c) p ( p q) d) ( p q ) p q 4.5 ARGUMENTAÇÃO E TABELAS-VERDADE Considere o seguinte argumento: P 1 : Se você estudar, passará no teste. P 2 : Você estuda. C: Você passará no teste. Suponhamos que uma condição suficiente para passar no teste é estudar, isto é, vamos considerar que, caso você estude, então você passará no teste. Você estuda! A conclusão é: você passará no teste. Analisando a situação, têm-se apenas duas proposições básicas: p: Você estuda. q: Você passa no teste. Verifica-se que, quando p também verdadeira. ( ) q e q são verdadeiras, a implicação ( p q) p q será 51

55 Usando uma tabela-verdade: A primeira linha da tabela mostra que, quando p ( p q) temos que a conclusão c Premissas: p q p Conclusão: q são válidos. 1 = e p2 = q é verdadeira. Isto significa que os argumentos da forma O argumento exemplificado é chamado de método direto ou modus ponens. = p são ambas verdadeiras, Exemplo Este exemplo ilustrará outro tipo de argumento muito usado. Premissas: p1: Se não chover, Mateus irá ao parque. p2: Se Mateus for ao parque, ele brincará com seus amigos. Conclusão: c: Se não chover, Mateus brincará com seus amigos. Para analisá-lo, serão consideradas as seguintes proposições básicas: p: Não chove. q: Mateus vai ao parque. r: Mateus brinca com seus amigos. A estrutura deste argumento é Premissas: p q q r Conclusão: p r Este argumento é válido. A tabela-verdade: 52

56 As linhas 1, 5, 7 e 8 indicam que sempre que as premissas são verdadeiras, a conclusão é verdadeira. A Lei do Silogismo afirma que os argumentos do tipo Premissas: p q q r Conclusão: p r são válidos. Exemplo Premissas: p1: Se eu ganhar o prêmio de fim de ano da companhia, compro carro novo p2: Compro carro novo Conclusão: c: Ganhei o prêmio da companhia. Este argumento é formado por apenas duas proposições simples: p: ganhar prêmio q: comprar carro A estrutura deste argumento é Premissas: p q q Conclusão: p Esse argumento não é válido, conforme visto anteriormente. A tabela-verdade de ( p q) q p : EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Em cada um dos argumentos abaixo, destaque as proposições simples que compõem as premissas e as conclusões. Construa uma tabela-verdade com base nas proposições simples e nas premissas. Determine, então, a validade ou não do argumento. 01) Se o cachorro escapar, ele pegará o gato. Se o gato for pego, eu estarei em apuros. Portanto, se o cachorro escapar, eu estarei em apuros. 53

57 02) Todas as pessoas inteligentes gostam de Matemática. Romeu é uma pessoa. Romeu não gosta de Matemática, portanto, Romeu não é inteligente. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Determine quais das frases abaixo são proposições: Cenouras são saudáveis. Todos os homens são astutos. A paciência é uma virtude. A paciência é um jogo. Todo mundo tem um segredo. Todo amor é forte. O quadrado de cada número é não negativo. Tom Jobim é um compositor brasileiro. O Brasil é um país tropical. Faça as malas. Debussy compôs duas sinfonias. Para todo mal há cura. Não fume! Quantos anos você tem? Que calor! Quanto custa esta mesa? 02) Construa a negação de cada uma das seguintes proposições: A pera é uma fruta. Algumas óperas são longas. Todos gostam de dançar. Algumas pessoas não têm carro. 54

58 Todos têm televisores e geladeiras. O dinheiro não traz a felicidade. Todo desfile de escola de samba tem mestre-sala e porta-bandeira. Dom Quixote é um personagem criado por Miguel de Cervantes. Todo amor é forte. Nenhum amor é fraco. 03) A negação de "todos os homens são bons motoristas é: a) todas as mulheres são boas motoristas; b) algumas mulheres são boas motoristas; c) nenhum homem é bom motorista; d) todos os homens são maus motoristas; e) ao menos um homem é mau motorista. 04) Assinale a assertiva incorreta. a) A negação de "2 é par e 3 é ímpar" é "2 não é par ou 3 não é ímpar". b) A negação de "5 é primo ou 7 é par" é "5 não é primo e 7 não é par". c) A negação de 2 5 é 2 5. d) A negação de "existe um número primo par" é "qualquer número primo não é par". e) A negação de "nenhum número é inteiro" é "algum número é inteiro". 05) Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo: a) O tempo será frio e chuvoso. b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova. c) Maria não é morena ou Regina é baixa. d) Se o tempo está chuvoso então está frio. e) Todos os corvos são negros. f) Nenhum triângulo é retângulo. g) Alguns sapos são bonitos. h) Algumas vidas não são importantes. 06) A proposição É necessário que todo acontecimento tenha causa é equivalente a: a) É possível que algum acontecimento não tenha causa. b) Não é possível que algum acontecimento não tenha causa. c) É necessário que algum acontecimento não tenha causa. d) Não é necessário que todo acontecimento tenha causa. e) É impossível que algum acontecimento tenha causa. 07) Se não é verdade que Alguma professora universitária não dá aulas interessantes, então é verdade que: a) todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. b) nenhuma professora universitária dá aulas interessantes. 55

59 c) nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária. d) nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. e) todas as aulas interessantes são dadas por professoras universitárias. 08) Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições compostas: a) p q b) p q c) p q d) ( p q) e) ( p q ) p f) p ( q q) g) ( p q) r h) ( ) p q r 09) Use a tabela-verdade para provar a seguinte lei de distributividade: p ( q r) ( p q) ( p r). Para isto, preencha a tabela abaixo por etapas. 10) Se Alfredo comer lagosta, ele ficará feliz. Alfredo come lagosta. Podemos concluir que ele está feliz. 11) Se eu trabalhar com afinco, terminarei de pintar minha cerca. Se eu não ficar batendo papo com os amigos, eu trabalharei com afinco. Eu não terminei de pintar minha cerca. Podemos concluir que fiquei batendo papo com meus amigos. 12) Se eu comer agrião todos os dias, eu viverei mais do que 80 anos. Eu não como agrião todos os dias. Lamentavelmente, eu não chegarei à veneranda idade de 80 anos. 13) Se, ao dirigir meu carro, eu não ultrapassar os 80 km por hora, eu não provocarei acidentes. Eu dirijo meu carro a 100 km por hora, portanto, eu provocarei acidentes. 14) Se fizer bom tempo, vou à praia. Se eu levar minha bola de vôlei, Mariana ficará super feliz. Vou à praia, mas Mariana não ficou super feliz. Podemos concluir que, eu não levei minha bola de vôlei. 15) Se Maria vier, Joana virá. Se Carla não vier, Joana não virá. Podemos concluir que, se Maria vier, Carla virá. 16) Se Luiz souber poupar seu dinheiro, ele ficará rico. Se Luiz ficar rico, ele comprará um carro novo. Luiz comprou um carro novo, podemos, então, concluir que ele soube poupar seu dinheiro. 17) Alguns portugueses são lisboetas. Todos os lisboetas são mexicanos. Logo, alguns mexicanos são portugueses. 18) Alguns artistas não são geniais. Todos os artistas são pessoas criativas. Logo, algumas pessoas criativas não são geniais. 56

60 19) Se o mal existe, a vida é absurda. Se a vida é absurda, o mal existe. Logo, a vida é absurda se, e só se, o mal existe. 20) Se Sócrates tem razão, a vida por examinar é absurda. Sócrates tem razão. Logo, a vida por examinar é absurda. 21) Sócrates era grego. Kant não era grego. Logo, Deus existe. 22) A Justiça é possível se, e só se, Platão tiver razão. Platão tem razão. Logo, a Justiça é possível. 23) Não é verdade que nada é real e que tudo é uma ilusão. Nada é real. Logo, não é verdade que tudo é uma ilusão. 24) Não se pode definir a arte nem se pode definir o conhecimento. Logo, não é verdade que se pode definir a arte e se pode definir o conhecimento. 25) Se o conhecimento não for possível, a filosofia é inútil. Logo, se a filosofia não é inútil, o conhecimento é possível. 26) Se não é verdade que Deus existe e é sumamente bom, a vida não faz sentido. Deus não existe ou não é sumamente bom. Logo, a vida não faz sentido. 27) Tudo é uma ilusão e se tudo é uma ilusão, nada vale à pena. Logo, nada vale à pena. 28) Não é verdade que nada vale à pena e se tudo é uma ilusão, nada vale a pena. Logo, não é verdade que tudo é uma ilusão. 29) Não é verdade que se pode definir a arte e o conhecimento. Logo, não se pode definir a arte ou não se pode definir o conhecimento. 30) Se o conhecimento não for possível e tudo for uma ilusão, a filosofia é inútil. Se a filosofia for inútil, Platão e Kant estavam enganados. 31) Não é verdade que Platão e Kant estavam enganados. Logo, o conhecimento é possível ou não é verdade que tudo é uma ilusão. 32) Se legalizarmos as drogas, toda a gente poderá drogar-se. Se toda a gente puder drogar-se, acabaremos na mais completa barbárie. Logo, se legalizarmos as drogas, acabaremos na mais completa barbárie. 33) Se Sócrates era ateniense, era grego. Se era grego, não era egípcio. Logo, se Sócrates era ateniense, não era egípcio. 34) Ou podemos conhecer tudo ou não podemos conhecer nada. Mas não podemos conhecer tudo. Logo, não podemos conhecer nada. 35) Ou existo ou não existo. Mas não é verdade que eu não existo. Logo, eu existo. 36) Três alunos são suspeitos de não estarem matriculados no Curso de Raciocínio Lógico. O Aparecido entrevistou os três, para cobrar a matrícula, e obteve os seguintes depoimentos: AURO: Joaquim não pagou e Cláudia pagou JOAQUIM: Se Auro não pagou, Cláudia também não pagou CLÁUDIA: Eu paguei, mas pelo menos um dos outros não pagou Pede-se: 57

61 a) Exprimir simbolicamente os depoimentos b) Identificar os pagantes e os não pagantes, supondo que todos os depoimentos são verdadeiros 4) Identificar os mentirosos, supondo que todos pagaram as matrículas. 37) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo. a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 38) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade. 39) José quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo Contra Fogo, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio têm opniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Julio está enganado. Se Julio estiver enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme Fogo contra Fogo está sendo exibido, ou José não ira ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo, a) O filme Fogo contra Fogo está sendo exibido. b) Luis e Julio não estão enganados. c) Julio está enganado, mas Luis não. d) Luis está enganado, mas Julio não. e) José não irá ao cinema. O texto abaixo refere aos exercícios de 40 a 43: Chapéuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana. A Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que freqüentavam a floresta. A Raposa mentia às segundas, terças e quartasfeiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O Lobo Mau mentia às quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade nos outro dias da semana. (Adaptado de Linguagem Lógica de Iole de Freitas Druck) 40) Um dia Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa e o Lobo Mau descansando à sombra de uma árvore. Eles disseram: Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir. 58

62 Lobo Mau: Ontem foi um dos meus dias de mentir. A partir dessas afirmações, Chapéuzinho Vermelho descobriu qual era o dia da semana. Qual era? 41) Em outra ocasião Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa sozinha. Ela fez as seguintes afirmações: Eu menti ontem. Eu mentirei daqui a 3 dias. Qual era o dia da semana? 42) Em qual dia da semana é possível a Raposa fazer as seguintes afirmações? Eu menti ontem. Eu mentirei amanhã. 43) Em que dias da semana é possível a Raposa fazer cada uma das seguintesafirmações: a) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã. b) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã. c) Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã. d) Menti ontem se e somente se mentirei amanhã. 44) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: Tania é quem está sentada no meio. A que está sentada no meio diz: Eu sou Janete. Finalmente, a que está sentada à direita diz: Angélica é quem está sentada no meio. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete e) Tânia, Angélica e Janete 45) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo, a) Nestor e Júlia disseram a verdade b) Nestor e Lauro mentiram c) Raul e Lauro mentiram d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade e) Raul e Júlia mentiram. 46) Uma sentença lógica equivalente a Se Pedro é economista, então Luisa é solteira. é: a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. 59

63 e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista. 47) Das premissas: Nenhum herói é covarde. Alguns soldados são covardes. Pode-se corretamente concluir que: a) alguns heróis são soldados. b) alguns soldados não são heróis. c) nenhum herói é soldado. d) alguns soldados não são heróis. e) nenhum soldado é herói. 48) Determine o valor verdade da sentença A ( B C) A ( B C), sabendo-se que VAL(A) = V, VAL(B) = F e VAL (C) = V. Obs.: VAL = valor-verdade 49) Determinar o valor verdade da sentença A ( B C) ( C D), sabendo que VAL(A) = V, VAL(B) = F, VAL(C) = F, VAL(D) = V 50) Diversas formas de negação são apresentadas para cada uma das sentenças a seguir. Qual é a correta? -Algumas pessoas gostam de Matemática. - Todo o mundo gosta de sorvete. a) Algumas pessoas não gostam de Matemática a) Ninguém gosta de sorvete.. b) Todo o mundo não gosta de Matemática. b) Todo o mundo não gosta de sorvete. c) Todo o mundo gosta de Matemática. c) Alguém não gosta de sorvete. - Alguns retratos estão velhos ou apagados. - Todo o mundo é alto e magro. a) Nenhum retrato está velho ou apagado. a) Alguém é baixo e gordo. b) Alguns retratos não estão velhos ou apagados. b) Ninguém é alto e magro. c) Todos os retratos não estão velhos ou não estão apagados. c) Alguém é baixo ou gordo. 51) Sejam A, B e C as seguintes sentenças: A: Rosas são vermelhas. B: Violetas são azuis. C: Açúcar é doce. Traduza as seguintes sentenças compostas para notação simbólica. a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis. b) Rosas são vermelhas e, ou bem violetas são azuis ou bem açúcar é doce. c) Sempre que violetas são azuis, as rosas são vermelhas e o açúcar é doce. d) Rosas são vermelhas apenas se as violetas não forem azuis e se o açúcar for azedo. e) Rosas são vermelhas e, se o açúcar for azedo, então as violetas não são azuis ou o açúcar é doce. 52) Com o uso de letras para denotar as sentenças componentes, traduza as seguintes sentenças compostas para notação simbólica: a) Se os preços subirem, as construções ficarão mais caras, mas se as construções não forem caras, elas serão muitas. 60

64 b) Tanto ir para cama como nadar é condição suficiente para trocar de roupa; no entanto, trocar de roupa não significa que se vai nadar. c) Ou vai chover ou vai nevar, mas não ambos. d) Se Janete vencer ou perder, ela estará cansada. e) Ou Janete irá vencer ou, se perder, ficará cansada. 53) Traduza para o português as seguintes representações: b) ( C A' ) B c) ( ) a) B C' B C' ' A d) ( A B) C' e) B' ( A C) f) C ( A' B) g) A ( B C' ) h) A B B' A' 54) Em um determinado país, todos os habitantes são ou um contador de verdade que sempre fala a verdade ou mentirosos que sempre mentem. Viajando neste país, você encontra dois habitantes, Paulo e Luiz. Paulo diz "Se eu for um contador de verdades, Luiz também é um contador de verdades". Paulo é um mentiroso ou um contador de verdade? E Luiz? 55) Construa tabelas-verdade para as seguintes representações. Indique as tautologias e as contradições. a) ( A B) A ' B b) ( A B) C A ( B C) c) A ( A ' B' )' d) A B A' e) ( A B) ( A C) ( B C) f) A ( B A) h) ( ) ( ) g) A B B' A' A B' A B ' i) ( A B) C' A' C j) ( ) k) ( A B) A B l) ( ) m) A B ( A B )' B' A B A' A B B' A 5 CIRCUITOS LÓGICOS O termo digital é usado diariamente. O mundo está repleto de computadores interligados, telefonia digital, transmissão de dados via satélite e uma variedade de gadgets: smartphones, tablets, câmeras, agendas, relógios, etc. Internamente, nesses equipamentos eletrônicos, encontram-se os circuitos lógicos ou circuitos digitais, onde sinais devem ser selecionados ou combinados de maneira controlada. 61

65 Os circuitos lógicos são usados para produzir decisões do tipo verdadeiro ou falso, baseados nas múltiplas entradas de sinais, que podem ser de dois tipos: tensão elétrica alta (ligado) ou tensão elétrica baixa (desligado) 2. Eles são formados por linhas condutoras, chamadas de entradas, que recebem os sinais iniciais, e estão ligadas umas às outras por conectores diversos, chamados de portas, e terminam em uma saída que emite o sinal resultante. Na verdade, as portas são os tipos mais básicos, mais elementares, de circuitos lógicos. O nível de voltagem na saída de cada um deles depende dos sinais dados nas entradas, de acordo com as leis da lógica. A voltagem, ou tensão elétrica, alta corresponde ao valor-verdade verdadeiro, enquanto que a voltagem baixa corresponde ao valor-verdade falso. As três portas básicas estão listadas abaixo, com os seus respectivos diagramas: 1. Porta de inversão ou porta NÃO 2. Porta E 3. Porta OU Exemplo Construir o circuito lógico correspondente à função proposicional ( p q ) r. Agora, para completar o circuito, fazemos a conexão destas duas partes com uma porta E : 2 Para nós é natural realizar tarefas matemáticas com dez dígitos. No entanto, para que um circuito use dez dígitos, é necessário que ele opere com dez níveis diferentes de voltagem - um para cada dígito aumentando a complexidade em projetar e construi-los. 62

66 A tabela-verdade desta proposição esclarece o funcionamento do circuito. Por exemplo, sob que circunstâncias se dará a saída um sinal de alta voltagem? Isto é equivalente a querer saber quando ( p q ) r. A tabela-verdade fica: A tabela indica que a saída estará ligada, isto é, um sinal de alta voltagem será gerado, quando a entrada r estiver desligada e pelo menos uma das fontes p ou q estiver ligada. É muito comum construir uma tabela usando apenas os dígitos 0 e 1 em lugar das letras F e V (sistema binário), permitindo operar com os números, usando a seguinte regra: (ou) funciona como soma enquanto que (e) funciona como produto. 1 1= 1. Atenção!!! Para facilitar a compreensão, convenciona-se como soma de 1 com 1 o valor 1, isto é, Nas tabelas-verdade: O comutador NÃO,, apenas reverte de um dígito para o outro: Exemplo 63

67 A tabela do circuito lógico equivalente à função proposicional ( p q) r pode ser escrita usando o sistema binário: A saída emitirá sinal de alta voltagem (ligada) nos casos onde o número 1 aparece. Isto ocorrerá em três situações: sempre que a entrada r estiver ligada aparecerá o dígito 0 na coluna r e, pelo menos, uma das entradas p ou q estiver ligada. 5.1 SITUAÇÕES PRÁTICAS A seguir, duas situações práticas, que requerem construção de circuitos lógicos, serão abordadas. Exemplo Quer-se instalar um alarme sonoro num carro (saída) que soará caso o motorista desligue a chave de ignição (entrada) com os faróis acesos (entrada). Construindo a tabela-verdade associada a esta situação, pode-se perceber que a campainha deve soar apenas quando os faróis estiverem acesos e a ignição estiver desligada. A tabela-verdade da função proposicional i f fica: Este circuito é formado de uma porta de inversão no sinal, que vem da chave de ignição, e uma porta E unindo os dois sinais resultantes: 64

68 Exemplo Mostrar que o circuito de um sistema de alarme contra incêndio com dois sensores de fumaça (entradas) e uma campainha (saída) é correspondente ao circuito da porta OU. Exemplo ( ) ( ) Desenhar o circuito correspondente à função proposicional p q p q. Construindo a tabela-verdade: Conclui-se que este circuito produzirá o sinal ligado quando uma, e somente uma, das duas entradas p e q estiver ligada. Este circuito pode ser substituído por uma única porta, chamada de OU Exclusivo, representada por: Exemplo: 65

69 O dono de uma casa quer instalar um sistema de alarme que deverá ser acionado (uma campainha C soará), caso qualquer uma de duas janelas, J1 ou J2, seja forçada, e caso a energia elétrica E esteja ligada. Uma primeira companhia apresentou o seguinte projeto: Função proposicional:: Tabela verdade: O dono da casa achou que o projeto estava super faturado e solicitou a outra companhia um sistema mais econômico. A pessoa encarregada do caso, na segunda companhia, analisou a proposição que corrresponde ao circuito: Função proposicional:: Tabela verdade: As duas tabelas-verdade mostram que os sistemas são equivalentes, sendo que o segundo sistema utiliza uma porta a menos. Neste sentido ele é melhor que o primeiro. 66

70 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ( ) 01) Desenhe o circuito lógico correspondente à proposição ( p q) ( p r) q ( r). ( ) Construa sua tabela-verdade e mostre que é equivalente ao circuito ( p r) q ( r). Desenhe o circuito lógico correspondente a última proposição. 02) Desenhe um circuito lógico com apenas quatro portas e que seja equivalente ao circuito lógico abaixo. Para isto, escreva a proposição correspondente e use as leis da lógica para simplificá-la. no diagrama. 03) Considerando o diagrama lógico da figura, determine a expressão lógica da função F representada 04) Determine as expressões das funções lógicas representadas no diagrama. 05) Determine e simplifique a expressão lógica da função F. 67

71 06) A tripulação de um avião é composta de dois pilotos e um engenheiro. Descreva um circuito que gere um alarme quando o engenheiro deixa seu posto ou quando ambos os pilotos deixam seus lugares. 68

72 Capítulo 3 Teoria dos Grafos 1 INTRODUÇÃO 1.1 AS SETE PONTES DE KÖNIGSBERG Conta-se que, no século XVIII, havia sete pontes cruzando o rio Pregel, que banhava a pequena cidade universitária prussiana de Königsberg, hoje Kaliningrad, Rússia. Quatro delas ligavam as margens opostas a uma pequena ilha formada nesse rio, outras duas ligavam as margens opostas a uma outra ilha, próxima à primeira, e a última ponte ligava as duas ilhas, conforme a figura. Os habitantes de Königsberg costumavam passear na cidade nas tardes ensolaradas de Domingo, mas nunca tinham conseguido dar um passeio especial: sair de casa, atravessar todas as pontes uma só vez e regressar a casa. No entanto, a dúvida quanto à possibilidade persistia. Euler, em 1735, conseguiu provar, com clareza, que não era possível dar o tal passeio. Para demonstrar esta impossibilidade apresentou à Academia de Ciências Russa de São Petersburgo um diagrama em que fazia a seguinte analogia: à terra, representada pelas duas margens, e às duas ilhas, associou quatro pontos; às sete pontes, associou sete linhas. O diagrama era algo parecido com o da figura: Feita tal associação, o problema das sete pontes ficou restrito a traçar o diagrama descrito, com um movimento contínuo, sem levantar o lápis do papel e sem traçar uma linha mais de uma vez. 69