GAZETA SUMÁRIO. por Ruy Luís Gomes. Movimento Científico. Matemáticas Elementarcs. Matemáticas Superiores. Problemas

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1 GAZETA DE MATEMATICA JORNAL DOS CONCORRENTES AO EXAME DE APTIDÃO E DOS ESTUDA TES DE l\latel\iática DAS ESCOLAS SUPERIORES ANO XV 57 MAIO 1954 SUMÁRIO Von ur Zrlgung r Kugl in klillr 'fil (Sobr divisão d sfr m prts mis pquns) por II. lidwigr Sobr noção distânci m rltivid rstrit por Ruy Luís Goms Sobr o nsino d Mtmátic m Itáli por J. Sbstitio Silv Movimnto Cintífico Profssor Oottfrld Küth-Esool Esttistlo.. d Univrsid liidrid-instltuto Eli Crtn-Orgniz ão otivids Instituto Eli Crtn Mtmátics Elmntrcs Pontos Exms Aptidão às Escols SuprIors Mtmátics Supriors Pontos xms frqu3nci finis Mtm:íticllCj Grls Anállso Infinitsiml-rIsic liitmi,tlc Problms Prohlms propostos soluçõs ro),ids Boltim Bibliográfico DEPOSITÁRIO: LIVRARIA SÁ DA COSTA / RUA GARRETT, / LISBOA

2 GAZETA fi DE MATEMÁTICA. Sobr o nsino d Mtmátic m Itáli por J. Sbs/ião A Itáli ocup lugr rlvo ntr s nçõs qu têm contribuí pr o vnço ds ciêncis mtmátics.' Evoqos, n rápi sb090, os fundmntos históricos st fcto. No século xn, trvés s mouros stbfjlcis n Pnínsul Ibéric s mrcrs itlinos qu comrcivm com o Lvnt, comçou difundir-s n Europ o conhcimnto ds mtmátics árbs, qu rtvm trdição s clássicos grgos vitli zd plo mpirismo ritmético s indinos. Com st origm s vi formn dquirin vulto, n lnt sdimnt9ão, scol lgbrists itlinos qu, 400 nos pois, no limir século XVI, con sgu ultrpssr os limits d ciênci hlénic, inu gurn o prío ds mtmátics morns, com s célbrs scobrts rltivs às quçõs gru, às quis s ligm os noms SCIPIONE DEp FERRO, TARTAGLIA, CARDAN, FERRARI, BOMIlELLI. Está-s m plno Rnscimnto-ds rts, ds ltrs ds ciêncis. Por tod prt, nss Europ qui nhntist, tomm incrmnto os stus mtmá ticos (1). Após longo prío nsimsmmnto, () homm rbr os olhos pr novo contmplr s hrmonis mun. Aplicn o méto mtmá tico o stu s fnómnos nturis, KEPLER G. LILEU crim s ciêncis xcts, brin r rcionlismo cintífico. Como instrnto qu msmo indispnsávl pr s novs psquiss, irá constituir-s o cálculo infinitsiml, qu, vislbr nos trás plo grgo gnil Sircus, ncontr ind, m Itáli, insigns prcursors im ditos: CAVALIERI (discípulo GALILEU) TORRICELLT, continur d obr primiro. Não squçmos finlmnt qu, já nts disso, os grns pintors Rnscimnto, mticulosos ntu rlists pr os quis o blo é insprávl vrd iro (ou mlhor objctivo, dquilo qu tos vêm), tinhm lnç os grms d morn go mtri, inspirção post-uclin, bordn com spírito cintífico os problms d prspctiv (BnuNNELLESCHI, PAOLO UCCELLO, LEoNáRno DA VINCI outros mis). (I) Portugl t mbóm prticip ou, com P dro Nuns, no grn movimnto. O nosso mtmático cosmógrfo, intrss m problms, is nvgção, concorru pr II suprção s métos d nális finit, com o su blo stu sobr <lrmllri sféric (ou linh ru.mo), loxo Silv Estvm pois crids, no pís DANTE, s bss d trdi9ão robust, ns, riquíssim siv, cpz rsistir os vndvis d Históri às criss cpticismo. Srá ncssário lmbrl o qu tm si té hoj contribuição d Itál i no cmpo ds mtmátics? Muito hvri qu dizr sobr o ssunto não é ss gor o fim m vist. O qu m proponho fzr qui é pns brv inquérito à form por qu, n ctulid, s ncon tr instituí c é orint o nsino d Mtmátic m Itáli, procurn situá-lo no complxo ds mni fstçõs culturis st pís sguin orin tção já ntriormnt ptd (1). O «caso itlino)) intrss prticulrmnt os pdgogists portuguss. Primiro qu tu, trt s d povo qu prsnt, m rlção nós, pro funds finids étnics, psíquics linguístics. Dpois há qu rconhcr st fcto: Itáli hoj é pís lto nívl culturl, intnso fcun lbor spírito qu s.ptnti m nrosos sc tors d rt, ds ltrs, d filosofi, d ciênci d técnic - com9n no mínio d pur ctivid sintrssd chgn, por insnsívis grdçõs) n lógico ncmnto) o plno ds rlizçõs prátics. Um índic xprssivo d vid mntl povo it lino é-nos ofrci prcismnt pl su orgni zção univrsitári. Existm ctulmnt m Itáli 24 univrsids Est, 4 univrsids livrs quiprds às Est, 6 institutos univrsitários, 2 politécnicos 4 institutos supriors mgisté rio quiprs os Est (2). Há ind qu tr m cont s Fculds Univr sitáris os Institutos Supriors pnnts Vticno, lém d Univrsid Grgorin. Não s fz m Itáli distinção ntr Univrsid Clássic Univrsid Técnic. Por xmplo, Univrsid Bolonh comprn s Fculds : 1) Dirito, 2) Economi Comércio, 3) Ltrs l!'ilosofi, 4) Mdicin Cirurgi, 5) Ciêncis M( ') Vr os rtigo s d Dr.& MARIA DO PILAR RIBEIRO sobr o nsino d Mtmátic n S u iç, nos n.os 12, 13, d G "t Mtmátic, bm como o. Prof HUGO RIBEIRO no n,o 26 d msm rvist. Vr ind.sobr o n si no d Mt mátic n Al m nh!) no n.o 55 st rvist. (') curv srpntiform qu, Dvm tmbém citr s os Colégios Univrsitários, como <lsboçd por nv m vigm ro constnt, cb por nlçr Trr. m infinits spirs culds m torno s po l os dint, propósito c n si n o Escol Norml Suprior Pis, qu flrmos post-univrsitár o. mis

3 GAZETA DE MATEMÁTICA tmátics, Físics Nturis, 6) Químic Indu s tril, Frm áci, 8) Engnhri, 9) A gron omi, 10) M dicin Vtrinári. Em rlção à nt rior, Univr sid Rom tm mnos s Fculds Agro n o mi, Mdicin Vtrinári Q u ím i c Indus tril mis Ciêncis Polítics, Ciêncis Esttístics, D mográfics Acturiis, Mgis tério, Arquitctur Engnhri Aro náutic. C o m s ctivids univrsitáris proprimnt dits stá rlcion o "Consiglio Nzionl ll Ricrch" (Conslho Ncionl Invstigçõs), qu f lrm os oportunmcnt. For âmbito scolr são ind digns r gis to crc 270 i ns tituiç õ s c ul t uris, incluin c m is ssociçõs váris, com ctivid cintífic, técni c, rtístic, litrári ou jurídic, muits ds quis srvids por ou mis rvists própris. A mis lt sts instituiçõs é «A c ccl mi N z io n l i Linci" (Acmi Ncionl s Líncos), glorioss trdiçõs. Dl foi sócio GALILEU (1). Nst qudro imponnt mnifstçõs culturis, os stus mtmáticos mntêm, ind h oj, si tuç ão privilgid. Sr-nos-á sgurmnt provitoso lnçr vist olhos sobr spctos vários nsino d Mtmá tic n mis vlh mis nov ds nçõs ltins. Ms nts disso há qu tomr prcução orm p sic o lógic : não s prtnd ncontrr m tu prfi ç ão, mnos ind, molo copir filmnt;.acrsc circunstânci s nuncir pr brv rform grl nsino m Itáli, o qu qur dizr qu o st coiss c tul s não consir li o mis qu às xigêncis os pontos vist mornos. 7) Ensino scundário Sobr st fs nsino limitr -m-i brvs fr ê ncis, não porqu sj mtéri pouco int rss, m s porqu tnh o gor m vi s t, sobrtu, s n vol v r prt rfrnt o n sin o univrsitário às ctivids invstigção. Os stus scundários m Itáli durm norml r mnt oito nos. Os três primiros nos têm lu gr n chmd Scuol Mdi Infrior, pl qul não ob r igd o s pssr tos quls qu prtndm sguir qulqur c urso stus, incluin os nsino técnico-pro fissionl. (') Pr mis tlhs sobr s "OS stus sup o rio r s hojll, O curso 1) Lico-Ginnsio Clssico, qu const pri 2 nos (Ginnsio Suprior) d s gun ciclo 3 nos (L-ico Clssico). O.. Diplom di Mturità Clssic» dá csso qulqur Fcul d Univrsitári ou Instituto Suprior. 2) Lico Scintifico, t mb é m quinqunl. O "Diplom di M:turità Scintific» br csso qulqur F culd Univrsitári ou Ins tituto Sup rior, xcpto às Fculds Ltrs Dirito. 3) Istiútto Mgistrl (Insti tu to M gistério Pri mário). Nsts scols, stinds à form ção pro f ssor s Ensino Prim ário, o curso é ig u l m nt 5 nos. No fim é pss diplom hbilit ção profissionl. 4) Istituto Tcnico, difrnci m 5 modlids difrnts (industril, comrcil, náutico, grário grimnsur). Trt-s ind cursos qui n qu n i s (vntulmnt s guid o s CU1"SOS prfiço mnto), qu hbilitm dirctmnt p r trmi nds profissõs. Intrssm-nos m prticulr Escol Médi In f rior o s Licus (Cintífic o Clássico). Ao longo s oito nos stus fctus nsts scols os progl ms Mtmátic, no su conj unto, não difrm g r n mnt s qu são sguis nos nossos cursos licis. A difrnç mis snsívl vrific-s tlvz no stu d Anális infinitsiml, qu é li con duz i bstnt mis fun nos is último s nos Licu Cintífico, forncn prprção prciávl, tn to m cálculo dif r nc il como m cálculo intgrl. Nturlmn t, o stu ds ciêncis é fito com mior snvolvimnto no Licu Cintífico qu no Lic u Clássico m qu prmin orintção h n í s tic (1). A pdgogi d i d ác ti c d Mtmátic (como d mo grl tos os problms pdgógicos, incluin os d Escol P rim ári ) têm si m Itáli. s smpr objcto vi v o crinh oso intrss. Grns ci nt ists, grns pn s rs, não têm d sd nh olhr c o m svlo, no intrvlo ds sus invstigçõs, pr os problms nsino, té pr quls prntmnt mis hils. Um homm qu nst snti, smpnhou li cção pr ticulrmnt ficz profund, plos sus scritos, miro ciclo (' ) Est prmínio muifst-s no mior númro ns, vr d Escol Médi Infrior, o nsino prossguir n scol prtncnt qulqur s sguints tipos: Após médio po d por MANUPPELLA). Ifycin'thus hors smnis concodids o s stus clássicos, m prticulr, n instituiçõs culturis itli vid intlctul d (psudónimo Prof. Itáli JACI TO prsnç Grgo qulqur s tipo s (o Ltim ti n s in m tos os nnos éscols). Entrtnto, import slintr quo o slu ds língus morns é muito mis snvolvi no Licu Cintífico qu no Licu Clússico.

4 GAZETA DE 7 MATEMÁTICA pl su cpc id orgni z r, pl su fort pr sonlid, foi o c él b r g óm t r FEDERlGO ENRIQUES. E nt r outrs sus i nicitivs, s «Qustioni rigurdnti l mtmticll lmnt1'ú" rtigos utors vários po r l colctân di rigid, tivrm mpls distnts rprcussõs, não (ntro for d Itáli) como d só no nsino té no scnvolvimnto p rópri ciênci. Foi ind por inicitiv su s sus colbor rs, qu o «Priodico di Mtm tic», j ornl dic o nsino scundário pub li c s 1886 té 1918, rprcu m 1921 c omo "P?'iodico di Mtmtich (stori,didttic, filosofi)), snvolvn progrm proximção ntr s mtm áti cs lmntrs s mtmátics supriors, com vist o sclrcimnto difusão iis d outrins. os coló quios m qu prticipm profssors nsino scundário nsino s uprior tornm-s frqunts As confrêncis simultnmnt profssors prtir FELIX KLEIN s pssm xctmnt msmo mo (1). não s squc slintr: "Mis qu s di frnçs s métos ou s in dicçõs s progrms influi sobr ficáci nsino o vlor s qu nsinm : su mntlid, o clor comunictivo, pixão qu dicm às coiss nsin ds, lrguz i nt rsss qu os torn cpzs s colocrm no lugr s lunos sntirm corno s t s. N mdid m qu tis ts possm s r dquiris, é n cssári o pr tnt o cuidr sobrtu d prpr ção univrsitári, pois disso, cri r os profsso rs condiçõs vid qu ixm Entrtnto, ENRIQ.UES suficint librd pr mntr snvolvr su ntão. Assim ENRIQUES stá crto mo pr Itáli como An ális pts m Itáli pr o nsino scundário, com os corr sponnts sguis n Almnh, obsr v-s qu nos primiros o spcto lógico é bstnt mis pronunci qu nos sguns. Srimos tnt' s xplicr st fcto como distinção ntr mntlid ltin mntlid grmân ic; ms vrd é qu nos txtos univrsitários s coiss não própri cultur», pr A l mnh. Sri msmo intrssnt fzr stu comprtivo sts is csos, co rrsponnts dus ltitus difrnts. D rsto s iis KLEIN já nts tinhm pn tr m Itáli. Eis como o próprio ENRIQ.UES s rfr ss fcto no su blo livrinho «L mtmtich nll stori nll cultur» : «En t rtnto linv-s n outros píss movi mnto (qu n Almnh ncontrou propulso r m F. KLEIN) pr introdução mé tos mis intui tivos mpíricos, fcilitn o nsino d prt l mntr cláss ic d gomtri dn impulso, por outro l, o stu mis g rl ds proprids qu stão n bs d An ális infinitsiml. Em Itáli ptou-s o nsino intuitivo nos primiros nos d scol médi como fs prprtóri stu rcio nl, - no qu s rfr os grus nsino mis lvs - orm iis klinins tv co mço xcução no progrm «licu m od rn o» nos livros qu p r l form scri tos. Ms m g rl os profssors itl inos -tlvz pl ducção l ó g ic qu rcbrm ns fculds univrsitáris-ncon trm dificuld m colhr st spírito qu é inrnt crto incbmnto mo rcio cinr significtivo, ms librdmnt imprfito. Assim, o pr ogrm novo licu cintífico, i nstu r com rform GENTILE (1), rtom «licu mo rno» lguns ssuntos (riv d, int grl) no snti mior rigor lógico». E com fito hoj ind, confrontn os txtos pdgógic s As iis s F. KLEIN, mrcm sr mditds por tos F. ENlllQ.liES, t nto como mplmnt conhcids qu s dicm à cr quls rir nsino. Ensino univrsitário Qun não hj indicçõs m co ntr ário s infor mçõs sguints rfrm-s concrtmnt à Uni Rom. nsino univrsitário d Mtmátic tm lugr sobrtu (ms não xclusivmnt) n Fculd Ciêncis Mtmátics, Físics Nturi s, qu con fr o gru "utor» (isto é "l icnci») m qulqur s sguin t s rmos : 1) Q uí mic ; 2) Físic; 3) Mtmátic; 4) Mtmá:.. t ic F ísic ; 5) Ciêncis Nturi s ; 6) Ciêncis Bio lógics; 7) Ciêncis Gológics. Tmbém nst Fcul d são c urss prprtó rios En gnhri (is nos). A durção norml s stus m cd ds licnciturs é 4 nos, com xcpção d licncitur m Qu í mic qu rqur 5 nos. Em q ulq ur ds licnci turs os cursos stão rpr tis m dus ctgoris : cursos fundmntis vrsid O cursos complmntrs. Os cursos fundm n tis culm-s ssncilmnt no primiro (') É ginis biénio têm por finlid forncr intrssnt obsrvr qu, ntr os mis convi tos o ori pologists nsino intuitivo xprimntl n Escol Médi Infrior (sgun méto nturl rscobrt), s (') Est rform rcb o nom filósofo itlino qu introduziu. cont hoj m Itáli sobrinb F, ENRIQUES, CASTELNUOVO, distint colborr d Gc;l Prof." EM1IA Mtmátic.

5 GAZETA DE MATEMÁTICA 8 bs d cultur g r l bstnt sólid vst no rmo d Fculd Ciêncis R om pr o no qu trt - pr ocurn , n contrm- s li, ntr ou trs, s s guin ts progrssos d ciên ci bnficir o máximo s d m tologi, ms rnun cin s logo snvolvimnto x ustivo i nform ç õs rltivs à L icn citur m C iênc is M t mát i cs : i nvi ávl. Cm'sos fundmntis: 1. Anális mtm átic (lgé Trt- s, cim t u, nsinr o mlhor possí v l ) (binl) - 2. G omtri nlí tic com lmntos proj ctiv go mtri d sc ri tiv com d s nho ( b in l) - 3. Anális suprior - 4. Gomtri supri or - 5. M câ ni c rcionl com lmntos státic snho - 6. Físic xpri mntl com ti'blhos p ráticos ( bin l) - 7. Fí sic mtmátic - 8. Q uím i c g r l inorgâ nic com lmntos orgâni c (1). Além sts cursos qu, sgun o qu s diss trás, são tod os obrigtórios, o luno trá scolhr p lo mnos três ntr os sgui nts 17 cursos c o mpl mntrs: 1. Tori ds funçõs - 2. Tori s númros - 3. Gomtri difrncil- 4. G omtri lgébric - 5. Topologi-6. Mtmátics sup r iors - 7. Mtmátics compl m ntr s - 8. Mtmátics lm nt r s pon t o vis t suprior - 9. Históri ds mtmátics C áicul o ds probbil i dd s 11. Mtmát ic cturil t écni c s sguros livrs sobr vid hn A::; tron omi -13. Go si -14 Cál culos néricos gráficos -15. Físic s ssuntos qu, lém d s up érfl u o, sri ciênci fit ss nt (o qu não qur dizr mo n nh ciênci ntig sr critério s lcção sctnlizd), s gun s gm, tnnt prci o qu, ns d isc ip l in s m qustão, é fctivmnt básico rl intr ss pr form ção gr l mt mát ico, fí si co, ng nhi ro - sm ixr tr m cont o st ctul d ciênci. D qu i rsult qu os prog rms s cursos fundmntis não pom vrir muito no pr no. E tos sss cursos são obri g tórios. Qunto os cursos compl m nt rs, o ponto vis t pt é r di clm nt divrso. g r l não fim. A cultur bst, v intm nt, pr formção ci ntist. A cul tu r grl é m io, não O primi r o biénio stus stblc tr nsição ntr o Licu Univrsid - é óbvio qu não hvrá nsi no vrdirmnt univrsitário s não houvr contcto com frnt i nvsti gç ão ctu l, o qu por su vz s r i i m p ossí vl sm sp cil izç ão. Or, prcismnt, pr stblcr ss con tcto, pr co nduz ir o luno té à fron tir conh cim nto, pr o fmilir iz r com s vicissitus d invstigção com os p roblm s qu cont in brtos - pr isso msmo é qu xistm os cursos complmntrs. E como não é possív l sp ci liz r o luno simultânmnt m tods s sp ci lid s (té M. DE LA PALISSE s ri cpz o diz r), sg u -s, como corolário imdito, qu os cursos compl m nt rs não vm sr ob rigtóri os m bloc o. Um outro corolário ponto vist xpln é qu os pr o g r m s tis cursos vm tr mpl mr bri c i nfinitsiml. Tóric -16. Físic sup rio r- 17. Mcânic suprior. A nális lgébric cd sts nttm no no sguint Anális infinitsi fim no s. A nálogs dispos iç õ s são stblcids pr o n ) O nsino binl Físic implic x m único no fim biénio, nqu nt o os rs p cti vos trblhos l b ortório comportm xm no fi m c d no. Os r st nt s cursos comportm único xm no fim o mês ( ') no s in o d G omtr i (n lític, proj ctiv s critiv. d licnci tur m Ciên cis Mtmátics, figurm crtos cursos com plm n t rs - tis como Astronomi, Cálculo ctul'i l, tc. - cujo cráctr é mis proprimnt o spcilizção técnic, sr v in pr quls lu no s qu pr tn d m s guir d trm i nd s pro fissõ s. Os cu rs os são tos nuis, x cp to l guns cursos fundmntis qu são bi n is. No início cd no lctivo F culdd p ubli c «Or din g li Stndi" com i ndicção s cursos profss d os dnrnt ss no, bm como s rspctivos Pi'ogrms, horários, profss or s qu os rgm, tc. Consultn por xmplo o "Ordin gli Studill smpr por ml. O luno é su b m ti xm no gm vribilid (1). Dv ind obsrvr-s qu, no p l no mtmátic é fito nsino d Anális is profssors qu nsinm ltrndmnt, Há dus épo cs xm: durnt no. J unho outr durnt o mês Out ubro. As uls comçm m princípios Novmbro tr mi n m m fins Mio. Não há xms frquênci. Q u n muito o pro fssor po submtr os lu n o s x m d hoc título sondgm. A l icn citur é concluí d com s r só po (') A binl xm, o qul dmiti o luno qn tnh obti pro- prsnç curso nul Químic d cnrso Físic n Licncitur Mtmátic po cusr strnhz, sobrtu tnn qu xist já tur m Mtmátic Licnci Físic. Ess. prsnç corrspon ponto vist multo gnrliz m Itáli, sgun O qul o mtmático prcis tomr contcto com s ciêncis d ntu Alguns sss cursos t m signção muito vg prcis milt pr prmitir mior vrstilid progrm. rz. D rsto, é prciso notr qu os progrms sts cursos são m rgr mors.

6 9 GAZETA DE MATEMÁTICA.-----v ção m tos os cursos fundmntis m plo mnos três s cursos complmntrs por l scolhi s. A prt mis i mportnt xm licncitur é discussão orl ts scrit qu, n mdid possívl, v rvlr crt originlid. (Não há m Itáli nnh ti po xm qu corrs p on d pr oprim nt o nosso utormnto j o licn ci é utom àticmnt utor). Alé m d discussão trblho scrito, o xm licncitur com pr n ind discussão orl is ou três tms p r opost os plo júri. A prtir trciro no o luno dirig o mlhor s sus sforços pr prprção d ts. Os cursos complmntrs q u tivr scolhi forncr-ih-ão mtéri sugstõs pr ss fim. O ppl pro fssor m tis curso s v pois sr m grn prt o orintr o luno pr o trblho invstigção, ou plo mnos pr o rlborção pssol. D rsto, no sgun biénio o númro hors lctiv s é bstnt r duzid (não há trblhos práticos n mior prt s cursos), o qu ix o luno muito tmpo livr pr s concntrr trblh1' por si. Há ind ctivid smin ários; ms não com o c r áctr intnsi d qu s obsrv por xmp l o n Almnh (1). Anlisn os ds pr c nts sobr orgni z ção grl d licncitur m Mtmátic, scobrm-s li, sm dúvid, vários pontos discutívis j ms isso gor pouco intrss, msmo porqu, como dissémos, s stá m vé spr d rform m Itáli. Foqos nts lguns spctos intrssnts ss orgnizção. O p rimiro, o qu slt logo à vist, é o d sprção ntr cursos fundmntis cursos com plmntrs à opção j ms ss não é xclusivo d Itáli t n ssocir-s tl m o d o concpção morn nsino univrsitário, qu já não c rc titus nco mástic s. O qu j u lgo sr típico no nsino itlino é qul xistênci cursos bi ni s Anális G om tri, cd ls rgis por is profssors qu s ltrnm mnir qu to o luno m condiçõs normis poss tr o msmo p ro fssor nos is nos sucssivos. As v ntng ns qu dí rsultm pr o nsino p rc m- m pr ci ávis. As mtéris grl m n t trtds nos is primiros nos Anális como prt cultur grl qu s s tn os p rp r tó rios Engnhri, constitupm to indivisívl unid cintífic à qul convém, qu corrspon d unid orintção pdgógic. Nst ponto o rg im itlino distnci-s bstnt. outros pí ss, nomdmnt Alm nh, m ( ' ) o trblho sminário é mis snvolvi nos Colé gios Univrsitários qu flrmos dint. qu início fl'gmntção s cursos ncssári continuid pssol rgênci j or, s st último sistm é citávl - té o mis indic - u fs spcilizção, o msm o já não s po dizr qun s trt cons truir cultur básic, qu convém ssncilmnt o cráctr un itá r i o. A msm unid s impõ ind no stu d Gomtri (nlític, projctiv scritiv). Em prticulr, o fcto Gomtri nlític não str incluíd no curso Anális (o contrário qu contc ntr nós) p rmit fzr nsino mis cuid ficint qulqur sss mtéri s. D rsto, Anális Gomtri são rmos distintos d M t mátic, qu corrspon m msmo mntlid s bm divrss. s dá logo m s mst r s, sm Têm si publics m Itáli, m difr nts épocs, xclnts txtos Mtmátic pr o nsino suprior. Vários sss l i v ros, grlmnt notávis pl clrz, plo rigor lógico pl srid cin tífic, têm-s torn tl mo conhcis n grn mss s nossos studnts univrsitários qu nm vl pn citá-los qui. O êxito qu têm lcnç no nosso mio v tmbém tribuir -s, m g rn prt, àqul finid étnic qu já no comço fiz rfrênci, pontn- como ds rzõs pl s quis ofrc prticulr int r s s, pr nós, o conhcimnto ds condiç õ s m qu é fito. o nsino m Itáli. Nst snti são ind dignos not os sguin ts c omntári os F. ENRIQUES, mbor sts não s rfirm o pnorm ctul: "As Univrsids itlins, m qu s mtmá tics s ncontrm n lto nívl, ofrc m osjóvns cndidtos o nsino f vorávis c ondiçõ s stu, sob orintção mstrs qu são, m grl, vliosos cultors d ciênci. Além di s so, disposição s stu s primiro biénio tm vin orgnizr-s tl mo qu os cursos fundmntis dquirirm no. nosso pí s form prti cu lrmnt cuidd, dn ssim lugr trts qu são muits vzs molos l cb rigor. S fito s lhs po pontr, por vzs, ponto vist didá c tico, é só st: qu xposição prfit ix mnos o sfor ço lun o, ou qu o rigor lógico scon m prt géns ds iis. Msmo xct formulção ds rstriçõs xigids no nunci s torms.p o prtub r v isão d géns ds iis, té intligênci su vlor.» ENRIQUES pont m s guid qu, como corrctivo ou co mp l m n to st nsino p u r i s t, surgiu ncs sid prsntr por outro l os lunos vist grl s snvolvimntos qu prc r m

7 10 GAZ:ET A DE MATEMÁTICA o último gru prfição d tori. E crscnt: «A formção profssors mtmátic qu stjm à ltur ds sus funçõs didáctics rqur m grl qu ciênci sj por ls prcid não somnt no spcto stático, ms tmbém no su voluir. E portnto qu o studioso prnd pl históri rflctir sobr géns ds iis qu, por outro l, p rticip no intrss pl invstigção». «Dsprtr o intrss s futuros profssors ( nsino scundário) pl invstigção cintífic mntê-lo pois vivo nls, é trf licd, porqunto os problms lts mtmátics prcm, à primir vist, intirmnt sligs cmpo lmntr m qu víl"á snvolvr-s ctivid profssor d scol médi. Import por isso mostrr contribuição significtiv qu s mtmátics supriors prstm m vários sntis à intligênci s concitos à rsolução s problms lmntrs». E, nst snti, ENRIQIJES slint o ppl smpnh m Itáli pls «Qustioni rigurdnti l mtmtich lmntri" plo «Priodico di Mtmtich», qu já m rfri. Ensi no post-univrsitário São já trdicionis m Itáli os cursos l prf i çomnto ou xtnsão univrsitári, nuis ou binis. Muitos sts cursos têm cráctr spcilizção técnic, por isso q os sgu prtn sobrtu obtr título pr fins profissionis. Ms outrs vzs trt-s nts cursos com finlid spcultiv, dics o scol s jóvns licncis. Os profssors qu 08 rgm são m rgr cintists, cuj obr invstigção, consgrd ntro for próprio pís, tri studiosos vál'ios pontos mun civiliz. Q ssist sss cursos já não é movi plo simpls propósito s uprr os xms lcnçr diplom, ms sim plo mor d ciênci, no snti pltónico st xprssão; já não há vrdirmnt prlcçõs d profssor dirigids lunos, ms nts convrs mn ntr homm xprint núclo gnt ilist, qu o procur pr sr ncminhd n >;: plorção s novos trilhos co nhcimnto - tl como contci nos círculos filosóficos d ntig Gréci. Dst mo s crim, s sn vi vm s propgm s grns scols invstigção. Um ds qu nos últimos 70 nos mis têm florsci no solo itlino é scol Gomtri lgébric, qu foi ruto LUIGI CREMONA qu form principis construtors FEDERIGO ENRIQIJES, GUIDO CASTELNUOVO FRANcEsco SEVERI (flcis os três primiros). Sucssivs grçõs gómtrs vários píss têm bbi dqul font: prt d j uvntu pssrm-n m Itáli, j unto s grns mstrs. Ms tmbém scol itlin A n ális, mbor mnos gnuinmnt itlin, tm ti rprsntnts d mis lt ctgori: VITO VOLTERRA, o crir d Anális funcionl ; GREGORIO RICCI TULr,Io LEvr -CIVITA, os fundrs Cálculo bsoluto ; ind BETTI, PINCHERLE, DINI, ARzEr,l, GIULIO AscoLI, CESARO BUNCHI, TONELLI, tntos outros, tntos mis (1). Ds long dt s concu os studiosos lrgo poio concrtiz m bolss stu fcilids vári orm ; ms não hvi inicilmnt orgnizção fctiv trblho l invstigção sgund(} s concpçõs inorns. Fln com ENRIQUES sobr o ssunto, dizi-m st: «Os rpzs vinhm pr qui ssistim os nossos cursos visitvm-nos pr trocrm connosco imprssõs m longs convrss». Há contu prticulrids d orgânic nsin(} qu, pr d trdição cintífic xmplo vivo s mstrs, xp lic m m grn prt o lto nívl tingi pls invstigçõs mtmátics nqul pís. Citri m primiro lugr circunstânci qu rputo importntíssim: os ssistnts têm li pouco tmpo trblho lctivo, no máximo 4 h ors por smn;: somnt o srviço xms (os fim no qu outros. não há normlmnt) é pr ls tnto bsorvnt. To o tmpo rstnt pom-no m rgr dicr o trblho prfiçomnto invstigção. O prío qu vi s 18 os 25 nos é grlmnt cisivo pr vid d cintist. Ln s biogrfis d os grns mtmáticos, obsrv-s qu s prmisss ds sus obrs são lnçds qus smpr durnt quls nos. É pois ncssário não xtinguir ou nfrqucr com rgim trblho imprópri() ss chm sgrd qu romp é s ti no prío áuro d xistênci! (2) Já vimos qu não xist m Itáli cto corrsponnt o I10SSS0 utormnto : o utor é o licnci. Ali, o cto fundmntl n crrir dó nsino univrsitário (pós licncitur) é o d quisiçã o título «libro cnt» (profssor livr), qu crto mo p orímos ssimilr, qunto fitos lgis, o título «(profssor grg», ms qu não rqur provs públics como s qu s prstm ntr nós : tribuição d «libr cnz» é fit ssncilmnt com bs no «curricul vit,} cndidto, cujos trblhos são submtis à prcição d juri spciliz ; à prt isso, o cndidto trá fzr confrênci sobr ssunto su cmpo invstigção po, vntulmnt, (') A orm por qu são qui cits sts noms não prtn nnh mo sr " orm vlors. (') Nst snti, nunc é mis ncrcr cção bnéfic nosso Instituto Alt Cultur, principlmnt no 'lu s rfr à. concssão bolss stu for Pís.

8 GAZETA DE M AT E M ÁT I C A 11 á sr o b ri g d o prov d id ctic, d qul porém A pr ds rvists sp ciliz d s m qu s pub li c m srá dispns s qu tnh r vl comptênci trblhos rltivos os difrnts rmos invsti no smpnho funçõs cnts. E, ind d p o i s disso, n o s concursos l ugrs drático, é p r o fs s or c t sobr obr cintific c u m u l d p l os cndidtos té o inst nt concurso ( ch gm g çã o, o «C onsigli o Nzionl ll Ricrch,) p u b li c. rvist própri, "L R ic rc Sci n tific», qu, m fs cículos mnsis 150 pá gi ns, rs cti vi d g r l s C n tr os E s t u d o pnnts dqul prsntr-s pro vs t i p o gr á fi c s trb lhos) qu or gnis m o ; lém s bsi subs tncilmnt ci sã o d o j úri. só d r vi s t s, como ind m u it s obrs cin Há por outl o l i n s tit ui ç ã o q u, p O l' si só, tm subsidi p u bli cç ã o não; tífics. fito p l Mtmátic, m grl, p l cultur itlin, m i s qu váris u nivrsid s j un t s : rfiro-m à d i sso, D rsto, nm t o d c tividd in v s ti g ção i n clui nd o q ul s ti p ndid p l o E s t - d p n d E s col N o r m l Sup rio r P i s, d q u l têm sí d o «Consiglio N z i o n l lj Ricrch». E, p r dr muitos d o s miors vl ors q u Itáli s or g ulh u m ii p ro xi m d d o qu é ss ctivid, sri. uo cmp o ds ciêncis ds ltrs. A m io r p rt ncssário l o n g o rti go ou nts séri d s mtmáticos trás cits pssrm p or qu l rtigos s critos xprssmnt c o m s s fim. Limi E s col ou fo r m li pr o fsso rs (BETTI t r-m- i por isso fl r s d ois Instituto s qu DINI form msm o dir c t o r s d E s c o l, x rc n d o U li! i nflu ê n c o n hç o dirctmnt - o "Istituto di Alt JJltmtic'}' ci profu nd íss i m m vári s gr çõ s nlists). o <dstituto pr l Appliczioni l Clcolo», mbos A E scol Norml Suprior R o m. Pis é Colég/:o. Univl'sitário qu rcb, m dint c o nc urso nc io n l, O Istituto di Alt Mtmtic, fund m 1940,. studnts inscritos n s Fculds L t r s g r ç s o g rn d p rs tí gi o d inmis m o FRANCESCo. Ci ên ci s Pis, bm como l ic n cid o s p o r s c o l s SEVERI, su pri m i r o ctul P rsi n t, funcion m co n g én rs m s m o to d Itáli o u strn d ifíci o com o d Sc çã o M tmá ti c d U n i gir o. Além loj mn t o lim n t çã o, fornc-lhs vrsid Rom. Embor s t rt c n tro grt u i t m nt nsi n o, co mp l m n t o d qu l uni s t u s p o s t-univrsitários, q u não i m p l ic xm s. v r s i t ári o, sob form cursos, s minários conf nm c o ncss ã o qulqur título ou diplom, con- rêncis ; p r os li c nci s há c urs o s prfiço s r v ind n su s t rut ur cráctr univrsitário. mnto. A o ntrr p r E s c o l, os lunos s sm no qu diz r sp i to p sso l cnt r l izçã o, o brig ç ã o forml d s dicrm mis tr o cursos : - tm qudro c o ns ti t u í d o por p rof l'> nsino ou à crrir cintífic. A Escol p ub lic s o r s c t d r á ti c o s, s s i s t n t s, tc. ; no comço c d i m po r t n t rvist, os «AnnU ll Scuol Norml no l ctivo public progrm circunstnci d os. Suprior di Pis». curs os Há in d,n Itáli vári os outros C o l é gi o s Univrsi tári o s Cs lto Stunt, com fu nçõ s m is ou mnos smlh nts às n t ri o r - ms n n h u m com tr dição, o n í vl, o splêndi ful gor d E scol Pis. Ms i n vsti gç ã o cintífic m Itáli stá hoj s ub o r dind pl no gr l o r g n iz ç ã o, mon t m gr n d scl. Pl s u p rt, o «Consiglio Nzionl ll Ricr ch,) - orgão Estd o qu p r o m o v, c oo rd n dis ciplin s i n v s t i gç õ s tn nt s cintífico t é c ni c o d Nção mu ito - o p r o grs s o mntém núml'o lv Cntros E stu (com qudros p r m nnts p s s ol ricmnt p trc h s com m tri l d o m is m o rno ) c o n c d nulmnt nross bo ls s s t u d o p r p rincipints (' ) Ms nunci-s movid plo ds sttísticos orgniz ç ão d o C. N. R. Não disponho nst momnto compltos s obr vstíssim Cultur, últimos qul p r (1). trint nos, orgnizçã o. ntão s tr ii c o m trs ss m s guir crrir nsino univrsi-. tár i o ou d p ur inv stig ç ão os quis. s ã o conc lids bolss stu. O s pr o fs s o r s Instituto, qu, m p ri ncí p i o, vm sr in v s tig d or s c o n h ci s pl su obl. nos mios cintíficos to o mun ( são-n o r l m n t), or g n i z m os p r o g r m s s sus curs o s pr cismnt sobr ssuntos rl tivos trblh os ps sois. As li ç õ s são fits m s t il o m no, m is c o n vrs. qu xp osição d corpo d outrin. pro i n vstig ç õ s, indicn pon tos prcisr, lvntn, tcnlco-clntific d Itáli n o s po durá ) p n h d o s r sp c tivc s h orári os (m r gr, 3 hors. s m ni s pr cd cu rso ). Os lunos I n sti t u t o Alt M t m áti c, ch md o s «dis c p oli ricrc t o ri», são m gr l j ó vns. lic n ci d o s, itlinos ou s tr n g ir o s, qu s t ã o in p rfitmnt o r g niz s t b ili z d o, tn m br v m Portu gl nm xposição ctivid c o nf r ê n cis rlizr d u r nt ss no. ctuis C. N. R., com colb orção I nsti tu t o Itlino sobr ( xcpto lg u m s qu não s t j m p r vi s t s qll sj rv l r s di fi c u ld s ncontrds n o d c u r s o d s. novos problms s ugrin iis. A lição é grl.. mnt s gui d d u m troc i mprss õ s n tr o s. circunstnts, por vzs, nimd discus s ã o.

9 GAZETA 12 Aos discípulos invstigrs são propostos tms qu pom msmo surgir s p o ntânmnt no curso sss runiõs. Os rsults qu porvntur form <lhtn são comunis. prof gsors col gs, DE M A TE M Á T I C A 16) fi n n çs ; 17) dinâmic co 1 1 ó mic j 18) blístic técnic tiro ; 19) tbulção funçõs clássics. Muits sts psquiss têm rquri prévis in vstigçõs purmnt mtmátics, lgs d s 'dirctmnt ou m confrêncis,, vz contro quis ls sistmtizs, srão xpostos m nots ou tntti v s stus. D st mo o Insti tuto pr s s concluirm só o fim vários nos m móris qu pom sr publicds nos «Rn diconti Aplicçõs d o Cálculo stb lc contcto vi vo, di Mtmtic ll su Appliczioni» ou m qul fcundíssimo: ntr Mtmátic s Ciêncis pli qur outr ds muits rvists xistnts no pís. cds. E o rsult po vr-s n mss imponnt No su curto prío xistênci, psr ds profunds prturbçõs cusds pl Gurr gn à com p lt prliz ção m 1 944), (ch o Institu to A l t Mtmátic tm consguid o culr <lbr vul to, r.oncrtizd m nross p ublicçõs n intnso intrcâmbio com divrsos p íss. o Inst ituto pr s 1927 ciêncis concrts rfr à n ális mtmátic técnic, utilitári s plic o qu já m si é xclnt promss fcundid. Ess influênci comç por vzs bstnt cd o, porqunto muits ds tss plo Prof. MAURO PICONE, su xprimntis O scol d morn grção mtmáticos itli vid st Instituto, s Aplicçõs Oálct!lo tm stru ctul dirctor, tm por obj ctivo ssncil subsi <lir tics té às m i s çõs. nos tm si m grn prt influnci pl cti tur finlid muito divrss ds pri miro. F und m publicçõs Instituto, qu vão s s mis bstrcts sintrssds spculçõs m tmá no licnci tur são li prprds. No Instituto pr s Aplicçõs Cálculo r so lução s problms é g rlmnt conduzid té quntitti v fs finl - o rsult nérico xprsso m lg d o s sus problms ; pr tnto compt-l h, por u m ' l, prstr colborção ssistê nci ci n tífic rismos. Pr isso, o Instituto é ricmnt t 'Cnts oficiis ou prticulrs qu s lh dirijm, pr i' s ol ução problms qu s põm nos divrsos rico. Nst mom nto stá-s li m vi dquirir u m máqui n clculr lctrónic Frrnti, con s mínios plictivos, truíd m Mnchs r, Ingltrr. Tm st m áqu in q u s, por outro l, snvolvr instrntos gráficos m cânicos cálculo né psquiss tnnts o prfiçomnto à crição u m mmóri métos d Anális mtmátic, qu lh p r mitm lgrismos b i nários, sobr tmbor mgnético, str á ltur d s mpn h o tão complx di fícil missão. 2\. mmóri «rápid», céluls pr n ú m ros tubos rios 40 u m ctódicos Willims, 384 céluls, igulmnt pr númros frnt st Instituto ncontr-s conslho dirctivo composto por Prsid nt, plo Dirctor <lo Insti tuto plos rprsntnts nrosos o rgn i smos oficiis prticulrs, incluin os Mi 40 lgrismos binários. Prvê-s qu com o m prgo st m áquin sj possívl invrtr mtrizs qu drds orm 1 00, n prío 20 hors, o qu é vrdirmnt ssombroso, s tnrmos nistérios d Aronáutic, ds O brs Públics, ds qu tl invrsão implic o cálculo Comunicçõs, coficints, cd s quis rqur, por si só, ds Corporçõs, d Instrução, d númro smdi oprçõ s. G urr d Mrinh. O pssol invstigção xcução Insti tuto comprn Codjutors, Dirctor, Consulnts o r d i n ários, E não s pns qu máquin lctrónic substitui o mtmático. Vi c-dirctor, D nnh mo! O p pl d máquin é x c ut r Clculrs, trmins p ln os, pr lborr sss plnos, xig-s o concurso m tmáticos vários tipos, Assis tnts Clc ulrs. Dsnhrs. Pr dr i d i ds invstigçõs snvol i n clusivmnt spcilists Lógic mtmátic. vids nst Instituto, comçri por indicr lguns Há poucos nos foi libcr, pó s lon go stu, d os rmos d Ciênci d Técnic, sobr os quis fixr m Rom o Cntro Intrncionl Cálculo tori d Mcânico d U. N. E. S. C. O., sob dircção profi têm i ncidid o : ticid ; 1) c iê nci ds con s tnu;õs dinâmic ds 2) státic cons truçõs <lronáutics ; 3) f n ó m n os vibr tó1"ios cm vários t i pos co n s tr uç õs ; 4) hidráulic ; 5) c o n str u çõs ponts ; 6) construçõs máquin s ; 7) c m inhos frro ; 8) lctrotécnic, lctromgntismo r di o técnic ; 9) tl"momtri trmologi ; 10) rodi nc mlc ; 1 1 ) gofísic ; 12) óptic ; 13) co no mi industril ; 14) ttís Uc ; 15) càlcl!lo c ttt r i l j ls cintíssim d o PI of. PICONE. E stá m curso orgni zção ds i n stlçõs, crgo Prof. A LDO GHIZZETTI Vic-Dirctor Instituto pr s Aplicçõs C álculo. Dst. mo s u j ust consgrção cti vid vários nos, à qul s ncontrm ligs ltos in trsss c ul tu ris Nção. co n ó mic o s d grn