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1 Universidade do Algarve Campeonato de Matemática SUB /2006 Problema 2 O troco do João O João comprou um sumo, no bar da escola, que lhe custou 1,08 euros. Pagou com 2 euros e recebeu de volta 8 moedas. Uma das moedas que veio no troco era de 50 cêntimos. Que outras moedas recebeu e quantas?

2 RESOLUÇÃO No bar da escola do João não há falta de trocos! O sumo custou 1,08 euros e o João pagou com uma moeda de 2 euros, recebendo de troco a diferença, ou seja, 0,92 euros ou 92 cêntimos. Relativamente ao troco recebido, sabemos que era composto por 8 moedas e que uma delas era de 50 cêntimos. Ora, isto significa que, além da moeda de 50 cêntimos, o João recebeu mais 7 moedas no valor de 42 cêntimos. O nosso problema é o de saber como se pode encontrar um conjunto de 7 moedas que tenham o valor total de 42 cêntimos. Antes de mais, precisamos de recordar que tipos de moedas existem em circulação. Uma vez que o conjunto tem de totalizar 42 cêntimos, não interessam as moedas de valor superior ou igual a 50 cêntimos. Restam, então, as moedas de 20, 10, 5, 2 e 1 cêntimos, ou seja, temos 5 tipos de moedas para combinar. São bastantes Podemos começar por tentar resolver o problema, fazendo experiências. Talvez, até, se possa ir ao porta-moedas para descobrir como arranjar 7 moedas que totalizem 42 cêntimos. Não será muito difícil chegar a uma forma de escolher as 7 moedas. Por exemplo, 10c + 10c + 10c + 5c + 5c + 1c + 1c. Este caso apenas utiliza moedas de 10, 5 e 1 cêntimos. Mas há mais tipos de moedas. Isso leva-nos a perguntar: O problema estará resolvido? Poderá ter sido outro o conjunto de moedas que o João recebeu? Foi a pensar desta forma que vários alunos chegaram à conclusão de que não chega dar um exemplo que satisfaça as condições do problema. O Bruno Domingos e o João Salvador, da EBI de Salir, bem como a Patrícia Reis, da EB 2,3 Padre João Cabanita (Loulé), responderam que há 4 opções; o João Farias, o Rúben Arruda e o Vítor Oliveira, da EBI de Capelas (Ponta Delgada), afirmaram que existem 4 possibilidades; a Maryna Bondar, da EB 2,3 Dr. Horácio Bento Gouveia (Funchal), explicou que há 4 casos; a Joana Carneiro, da EB 2,3 Mário Beirão (Beja), tal como a Joana Martins e o André Rafael, da EB 2,3 Dr. Francisco Cabrita (Albufeira) disseram que há 4 hipóteses. Estas e outras formas de descrever a situação mostram que o troco do João poderá ser feito de várias maneiras e que é preciso descobrir todas para que o problema esteja resolvido. Como diz o Filipe Marreiros, da EB 2,3 Padre João Cabanita, o que é preciso é descobrir as combinações possíveis de 7 moedas de valores menores do que 50, de tal forma que o total seja 42 cêntimos. E para isso, basta saber somar! É claro que, para chegarmos a todas as combinações possíveis, sem deixar escapar alguma, temos de encontrar um método, uma forma organizada, ou seja, usar um processo sistemático.

3 Há muitas formas de o fazer. Uma delas será criar uma tabela, como fizeram vários alunos. Nesta tabela, o que interessa considerar? São três coisas: tipos de moedas, número total de moedas e o valor total das moedas. Veja-se o exemplo da tabela construída pela Ana Filipa Silva e pela Andreia Castelo, da EB 2,3 de Vila Nova de S. Bento: 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,50 Total de Moeda 1 Moeda Moeda 8 1 Moeda 3 1 Moeda 1 Moeda 1 Moeda 1 Moeda 8 1 Moeda Moeda 8 Quantia Também o Bruno Pedrosa, da EB 2,3 D. Dinis (Quarteira), optou por fazer uma tabela como a seguinte: Número de moedas TOTAL Se repararmos nas tabelas anteriores, percebemos que há uma organização dos dados, pois as moedas vão sendo arrumadas e agrupadas por tipos.

4 Vejamos, então, como chegar às várias possibilidades. Vamos admitir que o troco tem moedas de 20 cêntimos. Poderá haver uma moeda? E mais do que uma? Com duas moedas de 20 cêntimos, a quantia já soma 40 cêntimos. Faltam 2 cêntimos e, no máximo, poderíamos juntar duas moedas (de 1 cêntimo). Desta forma, não ficaríamos com sete moedas! A) Vamos fixar, então, uma moeda de 20. Restam 22 cêntimos para totalizar o troco. Passemos às moedas de 10 cêntimos. No máximo poderá haver duas. Mas se houver duas, resta lugar para mais três moedas e como só faltam 2 cêntimos, não se consegue. Logo, só pode haver uma moeda de 10. Fica a faltar 12 cêntimos e cinco moedas. Passemos às de 5 cêntimos. No máximo, poderemos colocar duas destas e faltarão 2 cêntimos e três moedas, o que não é possível. Vejamos o que acontece com uma única moeda de 5 cêntimos. A quantia que falta é, agora, 7 cêntimos e temos lugar para quatro moedas. No máximo, podemos acrescentar três moedas de 2 cêntimos. E, por fim, com uma moeda de 1 cêntimo, temos o troco feito. B) Continuando a fixar uma moeda de 20, teremos outras possibilidades? Poderemos pensar em usar apenas as moedas de 5, 2 e 1. O número de moedas de 5 poderá ser, no máximo quatro. Ficam a faltar 2 cêntimos e duas moedas. Assim, basta juntar duas moedas de 1 cêntimo. Poderia o número de moedas de 5 ser menor? Se considerássemos três moedas de 5, ficariam a faltar 7 cêntimos e 3 moedas. Ora, não se consegue reunir 7 cêntimos em três moedas. C) Falta pensar no caso de não haver nenhuma moeda de 20. Passamos logo às moedas de 10 cêntimos. No máximo, poderíamos ter quatro. Mas faltariam 2 cêntimos e teríamos de acrescentar três moedas, o que é impossível. Portanto, vamos ao caso de três moedas de 10 cêntimos. Ficam a faltar 12 cêntimos e quatro moedas. Podemos colocar duas moedas de 5 cêntimos e duas moedas de 1 cêntimo. E é a única hipótese. D) E se fossem menos moedas de 10 cêntimos? Com duas moedas deste tipo, faltam ainda 22 cêntimos e cinco moedas. Passando às de 5 cêntimos, poderemos ter, no máximo, quatro. Se forem quatro, falta só uma moeda que terá de ser de 2 cêntimos. E poderiam ser ainda menos as moedas de 5 cêntimos? Pensando em três moedas de 5 cêntimos, para além das duas de 10, faltariam 7 cêntimos e 2 moedas. Ora não é possível apenas com as moedas de 2 cêntimos e de 1 cêntimo. E se fosse apenas uma moeda de 10 cêntimos? Faltaria ainda 32 cêntimos e 6 moedas. Ora, a maior das restantes moedas é a de 5 cêntimos e 6 moedas destas não chegam para totalizar os 32 cêntimos.

5 Deste modo, concluímos que não é possível efectuar outros trocos, para além das quatro hipóteses apresentadas. COMENTÁRIOS O problema do troco do João é um exemplo de que nem sempre os problemas têm uma única solução. Neste caso, o fundamental é perceber que existe mais do que uma forma de fazer o troco com as moedas que temos disponíveis. Repara que quatro pessoas diferentes poderiam fazer quatro trocos diferentes, o que significa que a resposta ao problema só estará correcta quando se apresentam as várias possibilidades. Também é importante perceber que estão esgotadas as soluções, ou seja, que existem aquelas e só aquelas quatro hipóteses. Uma vez mais, aconteceu recebermos respostas que não atenderam às condições do problema. Não bastava arranjar um troco de 42 cêntimos (para além da moeda de 50 cêntimos), mas era necessário que esta quantia fosse distribuída por 7 moedas. Haveria muitas outras maneiras de fazer um troco de 42 cêntimos mas nenhuma outra com as 7 moedas, como era referido.

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