Investigação Matemática: possibilidade para o ensino da álgebra no Ensino Fundamental

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1 Investigação Matemática: possibilidade para o ensino da álgebra no Ensino Fundamental Ludmila Maccali 1 GD2 Educação Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental Resumo do trabalho. Neste trabalho é relatada uma proposta que está sendo desenvolvida no Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas do Centro Universitário UNIVATES/RS, na qual objetiva-se analisar as conjecturas elaboradas por alunos do 7 ano e 9 ano do Ensino Fundamental ao realizarem atividades em grupo, utilizando a Investigação Matemática e envolvendo concepções algébricas. Pretende-se desenvolver as atividades em duas turmas de 7 ano e duas de 9 ano, de duas escolas públicas. O problema da referida pesquisa é quais conjecturas são elaboradas por grupos de alunos do 7 ano e 9 ano ao realizarem atividades de investigação matemática, envolvendo as concepções da álgebra?. Como referenciais são discutidas ideias de autores tais como Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), além de Lamonato e Passos (2011), que enfatizam em seus estudos a importância de utilizar Investigação Matemática em sala de aula. Em relação as concepções algébricas apresentam-se as ideias de Usiskin (1995). A pesquisa, de cunho qualitativo, caracteriza-se como estudo de caso. Como instrumentos de coleta de dados serão considerados a observação dos educandos durante a realização das atividades, bem como diário do aluno e do professor, além de gravações em áudio. Como resultados, espera-se que as atividades de Investigação Matemática auxiliem na potencialidade do trabalho em grupo, que os alunos encontrem diferentes estratégias para as resoluções das situações indiferente de seu nível de ensino, proporcionem melhoria na aprendizagem de conteúdos algébricos. Palavras-chave: investigação matemática; concepções algébricas; ensino fundamental. Introdução Ao longo dos anos, o ensino da Matemática vem se caracterizando por diferentes mudanças significativas, principalmente no que diz respeito às novas propostas metodológicas de ensino. É importante destacar que esta disciplina tem papel fundamental na formação integral do ser humano, buscando promover habilidades cognitivas nos educandos. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2002), na sociedade é necessário ter o conhecimento matemático, além do apoio de outras áreas do conhecimento, como na realização de situações cotidianas, ou ainda para desenvolver habilidades de pensamento. Neste contexto, apresenta-se neste trabalho, uma proposta de pesquisa alicerçada no campo da Investigação Matemática com o intuito de trabalhar conteúdos que envolvem as 1 Centro Universitário UNIVATES, ludmilamaccali@yahoo.com.br, orientadora: Dra. Marli Teresinha Quartieri, coorientadora: Dra. Ieda Maria Giongo.

2 concepções da álgebra. Está pesquisa está vinculada ao Observatório da Educação intitulado Estratégias Metodológicas visando à Inovação e Reorganização curricular no campo da Educação Matemática no Ensino Fundamental desenvolvida no Centro Universitário UNIVATES. O referido Observatório tem por objetivo problematizar e propor estratégias metodológicas com vistas à implementação de práticas pedagógicas inovadoras e reorganização curricular da disciplina Matemática em Escolas de Educação Básica que possuem considerável distância entre o IDEB relativo à 4ª série/5º ano e 8ª série/9º ano. Algumas tendências como a Modelagem Matemática, Etnomatemática e Investigação Matemática estão sendo estudadas e pesquisadas pelo projeto do Observatório da Educação. Neste trabalho, que faz parte do referido Observatório da Educação, o intuito é integrar atividades utilizando a Investigação Matemática. Percebe-se que a tendência de Investigação ainda é pouco utilizada pelos educadores em suas aulas e que esta possibilita ao educando desenvolver habilidades de pensamento, sendo responsável pelo seu próprio conhecimento. Nesta perspectiva, o tema norteador deste trabalho, é o uso da Investigação Matemática para a resolução de atividades envolvendo concepções da álgebra. Tem-se como problema de pesquisa: quais conjecturas são elaboradas por grupos de alunos do 7 ano e 9 ano do Ensino Fundamental ao realizarem atividades de investigação matemática, envolvendo as concepções da álgebra? Portanto, o objetivo geral será analisar as conjecturas elaboradas por alunos do 7 ano e 9 ano do Ensino Fundamental ao realizarem atividades em grupo, utilizando a Investigação Matemática e envolvendo concepções algébricas. Ainda com este trabalho, se objetiva proporcionar atividades envolvendo Investigação Matemática e concepções da álgebra. Pretende-se possibilitar aos educandos momentos de trabalho em grupo para a elaboração de conjecturas, as quais deverão ser escritas e socializadas. Além disso, tem-se o intuito de incentivar e desenvolver a escrita matemática por meio de atividades envolvendo a Investigação Matemática. Ademais, almeja-se identificar e analisar as conjecturas elaboradas por alunos do 7 ano e 9 ano ao se envolverem em atividades investigativas com foco em concepções algébricas.

3 Este trabalho será desenvolvido em uma turma de 7 ano e com uma turma de 9 ano de duas escolas parceiras do Observatório da Educação. Referencial Teórico A Investigação Matemática é uma tendência vinculada a métodos diferenciados de ensinar e aprender possibilitando aos alunos descobrir e formular suas hipóteses, em relação a atividades propostas pelo educador. Segundo Lamonato e Passos (2011), investigar está associado à ideia de procurar, questionar, querer saber. Neste contexto, no campo da Investigação Matemática compete ao professor proporcionar atividades para que os alunos possam averiguar e descobrir soluções para determinadas situações. O professor ao utilizar atividades de Investigação não leva uma resposta pronta, ele deve planejar situações pensando em circunstâncias em que o aluno seja descobridor de seus próprios conceitos. Assim, o aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização das provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com seus colegas e professor (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 23). Uma investigação matemática é decorrente de quatro momentos principais, estes mediados pelo professor. O início de uma atividade de investigação está vinculado ao planejamento das atividades, posteriormente compete aos educandos formularem e testarem conjeturas referentes a essas atividades investigativas. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 20): Podemos dizer que a realização de uma investigação matemática envolve quatro momentos principais. O primeiro abrange o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. O terceiro inclui a realização de testes e o eventual refinamento das conjecturas. E, finalmente, o último diz respeito à argumentação, à demonstração e avaliação do trabalho realizado. Assim, é importante que as questões sejam abertas, isto é, as mesmas devem possibilitar que os discentes formulem várias conjecturas (hipóteses) para elaborarem suas respostas. Pode ser que todos os educandos cheguem às mesmas conjecturas, mas também, pode ocorrer de que os mesmos tenham conjecturas distintas. Corroboro com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 23) quando destacam que: Trata-se de situações abertas a questão não está bem definida no início, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua definição. E uma vez

4 que os pontos de partida podem não ser exatamente os mesmos, os pontos de chegada podem ser diferentes. Ao professor compete conduzir a atividade de investigação, assumindo uma postura mediadora, sempre instigando e desafiando o aluno na realização das atividades propostas. É incumbência de o educador orientar os alunos nos caminhos a serem seguidos. Segundo Lamonato e Passos (2011, p. 65): Com a intervenção do professor, a investigação na sala de aula pode ser desencadeada e assim permanecer. Porém, se os alunos não tiverem seu apoio e acompanhamento, a exploração iniciada não pode prosseguir para as demais etapas. Durante a realização das atividades de investigação matemática em sala de aula, pesquisas apontam a necessidade dos discentes interagirem com seus colegas, conseguindo desta forma, resolver as atividades propostas. O trabalho em grupo potencializa o envolvimento de todos, nesta perspectiva Ponte, Brocardo, Oliveira (2009, p. 30) preconizam: A situação de trabalho em grupo potencializa o surgimento de várias alternativas para a exploração da tarefa, o que numa fase inicial pode ser complicado em termos de autogestão do grupo. Muitas vezes, um ou dois alunos tomam a liderança e levam o grupo a centrar-se em certas ideias, facilitando, assim, o trabalho conjunto. Para contemplar o uso da Investigação Matemática e o trabalho em grupo, utilizarei atividades que contemplem as concepções algébricas. O campo da álgebra é amplo e importante para o ensino da matemática, pois este exige dos educandos análises e discussões de seus conceitos. Segundo Usiskin (1995, p. 21): Já não cabe classificar a álgebra apenas como aritmética generalizada, pois ela é muito mais que isso. A álgebra continua sendo um veículo para a resolução de problemas, mas também é mais, ela é mais que isso. Ela fornece meios para se desenvolverem e se analisarem relações. E é a chave para a caracterização e compreensão das estruturas matemáticas. Dados esses trunfos e a matematização crescente da sociedade, não é de surpreender que a álgebra seja hoje a área-chave de estudo da matemática da escola secundária e que essa posição de destaque provavelmente perdure por muito tempo. Para os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 115) o campo da Álgebra oportuniza: um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas. O estudo desse conteúdo é considerado muito complexo nos Anos Finais do Ensino Fundamental, conforme aponta Gómez- Granell (1998, p. 29) um dos problemas mais importantes que o ensino de Matemática

5 tem de enfrentar reside na enorme dificuldade que, para alunos e alunas, representa o domínio da linguagem matemática, especificamente da algébrica. Neste contexto, partindo dos estudos realizados, é relevante destacar a importância dos processos de ensinar e aprender álgebra na educação básica. Assim apresenta-se as quatro concepções da álgebra que irão sustentar as atividades que serão propostas durante a intervenção pedagógica nas duas turmas. Em relação à aritmética generalizada, Dentro dessa concepção de álgebra, as instruçõeschave para o aluno são traduzir e generalizar. Trata-se de técnicas importantes, não só para a álgebra, mas também para a aritmética. (USISKIN, 1995, p. 13, grifos do autor). Quanto à álgebra como um processo de resolução de problemas, segundo Usiskin (1995, p. 15, grifos do autor): Nesta concepção de álgebra, as variáveis são ou incógnitas ou constantes. Enquanto as instruções-chave no uso de uma variável como generalizadora de modelos são traduzir e generalizar, neste caso as instruções-chave são simplificar e resolver. Em relação à concepção da álgebra como estudo de relações entre grandezas, conforme Usiskin (1995, p. 15) [...] neste caso, as variáveis variam. Em efeito: Dentro dessa concepção, uma variável é um agrupamento (isto é, representa os valores do domínio de uma função) ou um parâmetro (isto é representa um número do qual dependem de outros números). Só no contexto dessa função existem as noções de variável independente e variável dependente. As funções surgem quase imediatamente, pois necessitamos de um nome para os valores que dependem de um argumento ou parâmetro x (Ibidem, 1995, p. 16). A álgebra como estudo das estruturas, segundo Usiskin (1995 p. 18) é importante, pois [...] reconhecemos a álgebra como o estudo das estruturas pelas propriedades que atribuímos as operações com números reais e polinômios. Levando em consideração os referenciais estudados que dão ênfase a Investigação Matemática, o trabalho em grupo e as concepções algébricas, é que foi planejadas a metodologia desta pesquisa, está será apresentada a seguir. Metodologia O trabalho será desenvolvido dando ênfase a procedimentos metodológicos que visam à pesquisa qualitativa e o estudo de caso. O estudo de caso norteia está pesquisa, pois

6 durante a realização das atividades serão utilizados os seguintes procedimentos de coleta de dados: observação direta durante o desenvolvimento das situações propostas, utilização de gravador de voz, recolhimento das tarefas realizadas pelos alunos, diário de anotações do professor e dos alunos. Segundo (YIN, 2010, p. 136), Como o estudo de caso deve ocorrer no ambiente natural do caso, você está criando a oportunidade para observações diretas. Enquanto os alunos manipularem as questões, serão observados, principalmente, como os mesmos operam quando realizam trabalhos em grupo, anotando tudo em um diário de bordo. O processo de coleta de dados para o estudo de caso é mais complexo do que os usados nos outros métodos de pesquisa (Ibidem, 2010, p. 152). Além disso, serão proporcionados aos educandos momentos de discussões, assim acredita-se que muitos de seus pensamentos irão emergir durante as conversas em grande grupo. Um investigador de estudo de caso deve ter uma versatilidade metodológica não exigida, necessariamente, para o uso de outros métodos e seguir determinados procedimentos formais para assegurar o controle de qualidade, durante o processo de coleta de dados (YIN, 2010, p. 152, grifos do autor). Em consonância com a pesquisa de estudo de caso, os dados qualitativos podem dar suporte a análise dos resultados obtidos. Eles não incluem contagens e medidas, mas sim praticamente qualquer forma de comunicação humana escrita, auditiva ou visual; por comportamento, simbolismos ou artefatos culturais (GIBBS, 2009, p. 17). Está pesquisa está alicerçada nas concepções da álgebra e será desenvolvida com alunos do 7 ano e 9 ano do Ensino Fundamental de duas escolas públicas do Vale do Taquari RS. O objetivo é averiguar as conjeturas decorrentes de atividades fundamentadas na Investigação Matemática com foco nos conteúdos da álgebra, em diferentes níveis de escolaridade. Todas as atividades serão realizadas em grupos de até quatro integrantes, desta forma possibilitando que os mesmos possam socializar e discutir as atividades, além de formular as conjecturas acerca da Investigação Matemática. A seguir apresentam-se algumas atividades a serem efetivadas durante o desenvolvimento da intervenção pedagógica, com foco nas quatro concepções de Usiskin (1995): 1) Em relação a concepção da álgebra a aritmética generalizada: o objetivo da atividade será observar as diferentes formações de sequências e descobrir estratégias para encontrar a quantidade de palitos e de quadrados para cada figura.

7 Observar a sequência abaixo: a) Existe alguma relação com o número de palitos utilizados ao longo da sequência? b) Sem construir a próxima figura, o grupo conseguiria dizer quantos palitos serão utilizados? Por quê? c) Existe alguma relação com o número de quadrados formados ao longo da sequência? Justificar. d) Quantos quadrados serão formados na próxima figura? Explicar por que. e) Pensando nesta atividade, o que significa sequência? f) E na figura 20 quantos palitos serão necessários? Quantos quadrados serão formados? Que estratégia foi utilizada para responder esta questão? 2) Na atividade a seguir, que se relaciona com a concepção algébrica que explicita sobre o estudo das estruturas, pretende-se investigar como os alunos operam quando manipulam com material concreto, verificando quais as conjeturas que os mesmos formulam sobre o conteúdo de produtos notáveis. Para essa atividade serão necessárias peças de forma quadrada (grandes e pequenas) e peças de forma retangular. Considerar o lado do quadrado maior x e o lado do quadrado menor 1. Utilizando o material dado, construir retângulos com as medidas 2 definidas no quadro que segue e anotar o valor da área resultante de cada figura construída. Medida da base Medida da altura Área 2 Somente algumas medidas estão representadas neste quadro em virtude do espaço. Mais medidas serão colocadas no projeto final da pesquisa.

8 x + 2 X X 3 + x 2x x + 4 x + 5 2x x + 3 x + 3 x + 2 x + 4 Analisando os resultados obtidos o que se pode concluir sobre: a) x(x + b) b) (x + a) (x + a) c) (x + a) (x + b) Explicar como foi pensado para chegar às conclusões. Fonte - adaptado de: QUARTIERI, Marli Teresinha ; GIONGO, Ieda Maria ; REHFELDT, Márcia Jussara Hepp. Problematizando a Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental - Módulo II (Curso de curta duração ministrado/extensão). 3) Na sequência pretende-se observar como os alunos operam e formulam conjecturas acerca da área de diferentes figuras. Está atividade está associada a concepção estudo de relações entre grandezas. Utilizando quadradinhos de 1cm x 1cm, descrever estratégias para calcular a área das figuras abaixo: a) b) c) d) e) f)

9 i) Para cada figura, o grupo deve relatar como foram encontrados os valores da área. ii) Existe alguma fórmula ou algum método mais simples para encontrar os valores obtidos? Explicar. 4) Como atividade que contempla concepção da álgebra como resolução de problemas, a proposta é que os educandos encontrem estratégias, para encontrar o volume de uma caixa, levando-se em consideração algumas medidas pré-definidas. Cada grupo de alunos receberá uma folha retangular de 20 cm x 16 cm. Construir uma caixa aberta, retirando de cada canto desta folha um quadrado de lado x. Responder: a) Qual é o volume da caixa que o grupo montou? Explicar o procedimento utilizado para encontrar o volume da caixa. b) Agora construir novos retângulos com a mesma medida. Variar o tamanho dos quadrados dispostos nos cantos e recortá-los montando novas caixas. Preencher a tabela abaixo com os resultados obtidos. Lado do quadrado Comprimento da Altura da Largura da Volume recortado caixa caixa caixa c) Se o lado do quadrado recortado fosse x. Quais seriam as medidas da caixa? E o volume? d) Existem valores inteiros para x que não possibilitem a construção da caixa? Explicar a resposta. A análise dos dados emergentes será efetivada a partir da categorização de acordo com Laurence Bardin (2011, p. 147), tal metodologia de análise está associada a ideia da operação de classificação de elementos constitutivos de um conjunto por diferenciação e, em seguida por reagrupamento segundo o gênero (analogia), com critérios previamente

10 definidos. Neste contexto, o material obtido durante a realização das tarefas será categorizado de acordo com as diferenças e semelhanças apresentadas nas conjecturas dos diferentes níveis de Ensino. Como resultados, espera-se que as atividades de Investigação Matemática auxiliem na potencialidade do trabalho em grupo, que os alunos encontrem diferentes estratégias para as situações problematizadas indiferente de seu nível de ensino. Ademais, tem-se o intuito de proporcionar melhoria nos processos de ensino e de aprendizagem de alguns conceitos algébricos. REFERÊNCIAS BARDIN, L. Análise de conteúdo. São Paulo: Edições 70, BRASIL. PCN+ Ensino Médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, SEMTEC, Disponível em: Acesso em 25 set BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília, p. GIBBS, G. Análise de dados qualitativos. Porto Alegre: Artmed, GÓMEZ-GRANELL, C. Rumo à epistemologia do conhecimento escolar: o caso da educação matemática. In: ARNAY, M.J.R. (Ed.). Domínios do conhecimento, prática educativa e formação de professores: a construção do conhecimento escolar. São Paulo: Ática, v. 2, p LOMONATO, M.; PASSOS, C. L. B.; Discutindo resolução de problemas e exploração-investigação matemática: reflexões para o ensino de matemática. Zetetiké, FE/Unicamp v. 19, n. 36 jul/dez PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemática na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, QUARTIERI, Marli Teresinha ; GIONGO, Ieda Maria ; REHFELDT, Márcia Jussara Hepp. Problematizando a Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental - Módulo II (Curso de curta duração ministrado/extensão). USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola media e utilizações das variáveis. In: COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. (Org.) As ideias da álgebra. Trad. DOMINGUES, H. H. São Paulo: Atual, YIN, R. K. Estudo de caso: planejamento e métodos. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2010.