UNIDADE I. José J. C. Hernández. March 29, 2017 DE - UFPE. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

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1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA UNIDADE I José J. C. Hernández DE - UFPE March 29, 2017 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

2 TEORIA DOS CONJUNTOS Definição [conjunto] Um conjunto é uma coleção de objetos bem definidos, denominados elementos ou membros do conjunto. As palavras conjunto e elementos são termos indefinidos da teoria dos conjuntos. CONJUNTOS são denotados por letras maiúsculas A, B, C,... ELEMENTOS são denotados por letras minúsculas a, b, c... Notação: Seja S um conjunto e a um elemento de S Nota: a S, a pertence a S a / S, a pertence a S José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

3 Relações entre conjuntos: Subconjuntos Definição: Se A e B são conjuntos, A é chamado subconjunto de B, escrito A B, se cada elemento de A também é um elemento de B. imbolicamente: A B se x A então x B. As frases A está contido em B e B contém A são formas alternativas de dizer que A é um subconjunto de B. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

4 Relações entre conjuntos: Subconjunto próprio Definição: Se A e B são conjuntos, A é chamado subconjunto próprio de B, escrito A B, se cada elemento de A também é um elemento de B mas existe pelo menos um elemento de B que não está em A. imbolicamente: A B se x A então x B e y B tal que y / A. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

5 Relações entre conjuntos: Igualdade de Conjuntos Definição: Dados os conjuntos A e B, A = B se cada elemento de A está em B e cada elemento de B está em A. Simbolicamente: A = B A B e B A. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

6 Conjunto Universo Definição: Conjunto Universo, denotado por Ω, U. É o conjunto que contém todos os elementos que queremos considerar. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

7 Operações sobre conjuntos Sejam A e B subconjuntos do conjunto universal U. União: A B = {x U : x A ou x B}. Para uma quantidade finita de conjuntos A 1, A 2,..., A n, usamos a notação n A 1 A 2 A n = i=1 Intersecção: A B = {x U : x A e x B}. Notação n A 1 A 2 A n = i=1 Diferença: A B = {x U : x A e x / B}. Complemento: A c (A ou A) = {x U : x A e x / B}. Diferença Simétrica: A B = (A B) (B A). A i A i José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

8 Propriedades de subconjuntos Inclusão da interseção: para todos conjuntos A e B A B A A B B Inclusão na união: para todos conjuntos A e B A A B B A B Propriedade transitiva dos subconjuntos: para todos conjuntos A, B e C Se A B e B C então A C. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

9 Identidades de conjuntos Sejam todos os conjuntos abaixo subconjuntos do conjunto universal U. Comutatividade: A B = B A, A B = B A Associatividade: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) Distributividade: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) Interseção e União com U: A U = A, A U = U José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

10 Identidades de conjuntos Sejam todos os conjuntos abaixo subconjuntos do conjunto universal U. Complemento duplo: (A c ) c = A Idempotência: A A = A, A A = A De Morgan: (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. Para uma quantidade finita de conjuntos A 1, A 2,..., A n, temos ( n ) c n A i = A c i, i=1 i=1 ( n ) c n A i = A c i. i=1 i=1 Representação alternativa para diferença de conjuntos: A B = A B c. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

11 Teorema sobre conjunto vazio Teorema Um conjunto com nenhum elemento é um subconjunto de cada conjunto. Em outras palavras, se é um conjunto com nenhum elemento e A é um conjunto qualquer, então A. Corolário Existe somente um conjunto com nenhum elemento. Definição O conjunto único com nenhum elemento é chamado de conjunto vazio e é denotado pelo símbolo. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

12 Propriedades de conjuntos que envolvem União com : A = A Intersecção e uniõ com o complemento: A A c =, A A c = U. Intersecção com : A = Complementos de U e : U c =, c = U. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

13 Partições de conjuntos Definição: Dois conjuntos são chamados disjuntos se eles não têm nenhum elemento em comum. Simbolicamente: A e B são disjuntos A B =. Definição (conjuntos mutuamente disjuntos): Conjuntos A 1,..., A n são mutuamente disjuntos (ou disjuntos par-a-par ou sem sobreposição) se A i A j = para todos i, j {1,..., n} e i j. Definição (Partição): Uma coleção de conjuntos não vazios {A 1,..., A n } é uma partição do conjunto A se A = A 1 A 2 A n. A 1,..., A n são mutuamente disjuntos José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

14 Conjunto potência Definição (Conjunto potência): Dado um conjunto A, o conjunto potência de A, denotado por P(A), é o conjunto de todos os subconjuntos de A. Exemplo: Achar o conjunto potência do conjunto A = {x, y, z}. Teorema Para todo inteiro n 0, se um conjunto A tem n elementos então P(A) tem 2 n elementos. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

15 EXPERIMENTO ALEATÓRIO Entendemos por experimento aleatório os fenômenos que, quando repetidos inúmeras vezes em processos semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. Procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplo: O lançamento de um dado e de uma moeda são considerados exemplos de experimentos aleatórios, no caso dos dados podemos ter seis resultados diferentes {1, 2, 3, 4, 5, 6} e no lançamento da moeda, dois {cara, coroa}. Exemplo: Preço de alguma ação na bolsa de valores na próximo quinta. Condições climáticas no próximo domingo. Taxa de inflação do próximo mês. Tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

16 ESPAÇO AMOSTRAL A coleção de todos os possíveis resultados de um experimeto aleatório é denominada espaço amostral. Em todos os problemas estatísticos devemos inicialmente definir qual o espaço amostral ou a população alvo. Com ela, estarão relacionadas as quantidades de interesse. Exemplo: Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exame de sangue (tipo sanguíneo): Ω = {A, B, AB, O} Hábito de fumar: Ω = {fumante, não fumante} Tempo de duração de uma lâmpada: Ω = {t : t 0} José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

17 EVENTOS Subconjuntos do espaço amostral Ω. Notação: A, B, C,... (conjunto vazio): evento impossível Ω: evento certo Exemplo: Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: sair face par A = {2, 4, 6}. B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}. C: sair face 1 C = {1}. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

18 OPERAÇÕES COM EVENTOS Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A B: União dos eventos A e B: Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. A B: Intersecção dos eventos A e B: Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. Observações: A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A B = A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A B = e A B = Ω. O complementar de A é representado por A c. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

19 Exemplo: Lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} sair uma face par e maior que 3 sair uma face par e face 1 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} A C = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {1} = sair uma face par ou maior que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} não sair face par A c = {1, 3, 5} José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

20 FREQUÊNCIAS RELATIVAS Medida numérica associada a eventos que represente a probabilidade com que eles ocorrem. Considere uma coleção de experimentos aleatórios (não necessariamente numéricos). Fixando uma dada sequencia de resultados, se estamos interessados na ocorrência de um dado evento A, a frequência relativa de A nada mas é que uma média aritmética da função indicadora de A calculada em cada um dos termos da sequência. Exemplo: Lançamento de um dado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja o evento A: sair face par. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

21 Definição (função indicadora): Seja A um evento. A função indicadora do evento A é definido por { 0 se w / A 1 A (w) = 1 se w A Definição (frequência relativa): A frequência relativa de um evento A, determinada pelos resultados {w 1,..., w n } de n experimentos aleatórios, é definida por r n (A) = N n(a) = 1 n 1 A (w i ) n n i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

22 PROBABILIDADE Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento. Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas abordagens possíveis: Frequências de ocorrências Suposições teóricas. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

23 Atribuição da probabilidade: Através das frequências de ocorrências. O experimento aleatório é repetido n vezes Calcula-se a frequência relativa com que cada resultado ocorre. Obs: Para um número grande de realizações, a frequência relativa aproxima-se da probabilidade. Através de suposições teóricas. Exemplo: Lançamento de um dado. Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado P( face 1) = P( face 2) = = P( face 6) = 1 6 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

24 PROBABILIDADE No caso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabiĺıstico especificado quando estabelecemos: O espaço amostral Ω = {w 1, w 2,... } A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que: 0 P(wi ) 1 P(Ω) = P({w1, w 2,... }) = P(w i ) = 1 Ainda no caso discreto Se A é um evento, então Se Ω = {w 1, w 2,..., w n } e i=1 P(A) = w i A P(w i ) P(w i ) = 1 n (pontos equiprováveis), então P(A) = no. de elementos de A no. de elementos de Ω José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

25 Exemplo: A tabela a seguir apresenta a distribuição de alunos diplomados em 2002, segundo nível de ensino e tipo de instituic cão, no município de São Paulo. Um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo ẽ selecionado, ao acaso. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

26 Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no município de São Paulo. Definimos os eventos M: aluno se formou no ensino médio; F : aluno se formou no ensino fundamental; S: aluno se formou no ensino superior; G: aluno se formou em instituição pública. Temos P(M) = = 0, , P(F ) = = 0, P(M) = = 0, , P(F ) = = 0, José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

27 Qual é a probabilidade do aluno escolhido ter se formado no ensino médio e numa instituição pública? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

28 Qual é a probabilidade do aluno escolhido ter se formado no ensino médio e numa instituição pública? Solução: M G: aluno formado no ensino médio e em inst.pública José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

29 Qual é a probabilidade do aluno escolhido ter se formado no ensino médio e numa instituição pública? Solução: M G: aluno formado no ensino médio e em inst.pública P(M G) = = 0, José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

30 Qual é a probabilidade do aluno escolhido ter se formado no ensino médio e numa instituição pública? Solução: M G: aluno formado no ensino médio e em inst.pública P(M G) = = 0, Qual é a probabilidade do aluno ter se formado no ensino médio ou numa instituição pública? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

31 Qual é a probabilidade do aluno escolhido ter se formado no ensino médio e numa instituição pública? Solução: M G: aluno formado no ensino médio e em inst.pública P(M G) = = 0, Qual é a probabilidade do aluno ter se formado no ensino médio ou numa instituição pública? Solução: M G: aluno formado no ensino médio ou em inst.pública José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

32 Qual é a probabilidade do aluno escolhido ter se formado no ensino médio e numa instituição pública? Solução: M G: aluno formado no ensino médio e em inst.pública P(M G) = = 0, Qual é a probabilidade do aluno ter se formado no ensino médio ou numa instituição pública? Solução: M G: aluno formado no ensino médio ou em inst.pública P(M G) = = = 0, José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

33 Regra da adição de probabilidades Sejam A e B eventos de Ω. Então, Casos particulares: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A B) = P(A) + P(B). Para qualquer evento A de Ω, então P(A c ) = 1 P(A). Uniões finitas disjuntas: Dados eventos A 1, A 2, A 3,..., A n todos disjuntos par-a-par, então: ( n ) P A i = i=1 n P(A i ). i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

34 Princípio da Inclusão-Exclusão Se os eventos A 1, A 2, A 3,..., A n não são disjuntos par-a-par, então como computamos ( n P A i )?. i=1 Teorema (H. Poincaré): Seja I um conjunto genérico de índices que é um subconjunto não-vazio qualquer de {1, 2,..., n}. Para eventos arbitrários {1, 2,..., n}, ( n ) ( ) P A i = ( 1) I +1 P A i, i=1 =I {1,2,...,n} em que o somatório é sobre todos os 2 n 1 conjuntos de índices excluíndo apenas o conjunto vazio. i I José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

35 Exemplo Para n = 3: P ( 3 i=1 A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) P(A 2 A 3 ) + P(A 1 A 2 A 3 ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

36 ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS O espaço amostral Ω = {1, 2,..., n} é chamado espaço amostral finito. A probabilidade P(w i ) para cada ponto amostral é denotado por p i = P(w i ), então n p i = 1. i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

37 Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. Definamos os eventos A: 2 a bola sorteada é branca Calcular P(A). Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades. O experimento aleatório é: Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. Então Ω = {BB, BV, VB, VV } José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

38 Temos P(A) = = 2 5. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

39 Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1a. bola sorteada é reposta na urna antes da 2a. extração. O experimento aleatório é: Duas bolas são sorteadas sucessivamente, com reposição. Então Ω = {BB, BV, VB, VV } Nesta situação, temos Temos P(A) = = 2 5. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

40 MÉTODOS DE CONTAGEM Regra de adição: procedimento 1, possa ser realizado de n 1 maneiras. procedimento 2, possa ser realizado de n 2 maneiras. Suponha que não seja possível que ambos os procedimentos 1 e 2 sejam realizados em conjunto. O número de maneiras pelas quais poderemos realizar ou 1 ou 2 será n 1 + n 2. Exemplo. Suponha que estejamos planejando uma viagem e devamos escolher entre o transporte por ônibus ou por trem. Se existirem três rodovias e duas ferrovias, então existirão = 5 caminhos disponíveis para a viagem. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

41 Regra da Multiplicação [princípio fundamental da contagem]: procedimento 1, possa ser realizado de n 1 maneiras. procedimento 2, possa ser realizado de n 2 maneiras. Cada maneira de executar 1 pode seguir por qualquer maneira para executar 2. Então o procedimento formado por 1 seguido de 2 poderá ser executado de n 1 n 2 maneiras. Exemplo. Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos desses divisores são pares? Quantos são quadrados perfeitos? Solução: 360 = Os divisores inteiros e positivos de 360 são os número da forma: 2 a 3 b 5 c, em que a {0, 1, 2, 3}, b {0, 1, 2}, e c {0, 1}. Portanto, existem = 24 maneiras de escolher os expoentes a, b, c. Logo há 24 divisores. Para o divisor ser par, a não pode ser zero. Então, existem = 18 divisores pares. Para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes tem que ser pares. Logo, existem = 4 divisores quadrados perfeitos. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

42 Exemplo. Uma peça manufaturada deve passar por três passos e por três estações de controle. Em cada estação a peça é inspecionada com relação a uma determinada característica e marcada adequadamente. Na primeira estação, três classificações são poss veis (ok, excelente, retrabalho), enquanto que nas duas últimas, duas classificações são possíveis (ok, retrabalho). De quantas maneiras uma peça pode ser marcada? 1ª estação - 3 maneiras 2ª estação - 2 maneiras 3ª estação - 2 maneiras José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

43 Amostragem com Reposição (Arranjo simple) Dado um conjunto com n elementos distintos, o número de maneiras de selecionar uma sequência distinta de comprimento r escolhida desse conjunto com repetidas seleções do mesmo elemento sendo permitida é dada por n r já que estamos repetindo o mesmo procedimento r vezes, e cada procedimento tem n maneiras de ser executado. Exemplo. O conjunto A possui 4 elementos e, o conjunto B, 7 elementos. Quantas funções f : A B existem? Quantas delas são injetoras? Solução: Note que para cada elemento de A temos 7 opções de valores diferentes. Como A contém 4 elementos, existem = 7 4 = 2401 funções diferentes. Recorde que uma função é injetora se f (a) f (b) sempre que a b. Portanto, não podemos repetir o mesmo elemento de B como imagem de dois elementos de A, logo existem = 840 funções injetoras. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

44 Amostragem sem Reposição Dado um conjunto com n elementos distintos, o número de maneiras de selecionar uma sequência distinta de comprimento r escolhida desse conjunto com repetidas seleções do mesmo elemento não sendo permitida é dada por r 1 (n) r = n(n 1)(n 2) (n r + 1) = (n i). Denotando n! = n(n 1)(n 2) 1, segue-se (n) r = n! (n r)!. Exemplo. De quantos modos é possível colocar r rapazes e m moças em fila de modo que as moças permaneçam juntas? Solução: Primeiro temos r + 1 opções de escolher o lugar das moças. Em seguida, temos r! maneiras de escolher a posição dos rapazes entre si, e m! maneiras de escolher a posição das moças entre si. Portanto, temos (r + 1)r!m! modos diferentes de escolha. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78 i=0

45 Permutações e combinação Permutação: Suponha que tenhamos uma coleção Ω = {w 1, w 2,..., w n } de n objetos. De quantas maneiras podemos dispor (permutar) estes elementos? O número de maneiras que podemos fazer isto é denominado permutação. Exemplo. Se tivermos os objetos a, b e c, podemos considerar as permutaçẽs: abc, acb, bac, bca, cab e cba. Aplicando a regra da multiplicação, temos que o número de maneiras de permutar n elementos é: P n = n(n 1)(n 2) 21 = n! José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

46 Permutações com elementos repetidos: Seja A um conjunto com n elementos, dos quais k elementos repetem-se. A fórmula para o cálculo das permutações de A é: P k n = n! k! Exemplo. Calcule o número de anagramas da palavra AMOR. Se um conjunto A, com n elementos, possui k 1 repetições de um elemento, k 2 repetições de outro,..., k l repetições de outro, a fórmula assume a seguinte forma: P k n = n! k 1!k 2! k l! Exemplo. Calcule o número de anagramas da palavra ANTONIA. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

47 Combinação: Suponha que tenhamos uma coleção Ω = {w 1, w 2,..., w n } composta por n objetos. Agora, trataremos da contagem do número de maneiras de escolher r( n) objetos dentre os n objetos sem considerarmos a ordem. Exemplo. Na coleção de objetos Ω = {a, b, c, d}, quantos grupos podemos formar com dois objetos? Podemos formar os seguintes grupos com dois elementos: {ab, ac, ad, bc, bd, cd}. Note que aqui não contamos ab e ba pois formam dois grupos iguais. Em geral, o número de maneiras de alocarmos os n objetos em r compartimentos é C n,r = ( ) n = r n! r!(n r)! José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

48 Exemplo. Um grupo de 1000 pessoas contém 2 pessoas com diabetes e 998 pessoas saudáveis. Dez pessoas são escolhidas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa com diabetes? Espaço amostral: Ω = {(w 1,..., w 10 ) : w i = pessoa, ew i w j } 1000 pessoas; 2 pessoas com diabetes; 10 pessoas selecionadas ao acaso e sem reposição. De quantas maneiras podemos selecionar 10 pessoas sem reposição? C 1000,10 = 1000! 10!990! Qual a probabilidade de encontrarmos 1 pessoa com diabetes entre as 10 escolhidas? ( 2 )( 998 ) 1 9) ( José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

49 Binômio de Newton: Dados x, y R temos que (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k. k José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

50 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Probabilidade condicional Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A B) e definida por P(A B) P(A B) =, P(B) > 0. P(B) Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades P(A B) = P(B)P(A B). Analogamente, se P(A) > 0 P(A B) = P(A)P(B A). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

51 Exemplo: A tabela a seguir apresenta a distribuição de alunos diplomados em 2002, segundo nível de ensino e tipo de instituic cão, no município de São Paulo. Um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo ẽ selecionado, ao acaso. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

52 Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no município de São Paulo. Definimos os eventos M: aluno se formou no ensino médio; F : aluno se formou no ensino fundamental; S: aluno se formou no ensino superior; G: aluno se formou em instituição pública. Qual é a probabilidade do aluno escolhido ser formado no ensino médio sabendo-se que é de instituição pública? Olhando diretamente a tabela P(M G) = P(M G) G = = 0, José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

53 Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. Definamos os eventos A: 2 a bola sorteada é branca C: 1 a bola sorteada é branca Calcular P(A C). P(A) = = 2 5. P(A C) = P(A C) P(C) = 1 4 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

54 Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1a. bola sorteada é reposta na urna antes da 2a. extração. Nesta situação, temos P(A) = = 2 5. P(A C) = P(A C) P(C) = 2 5 = P(A), ou seja, o resultado na 2a. extração independe do que ocorre na 1a. extração. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

55 Independência de eventos Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, Temos a seguinte forma equivalente: P(A B) = P(A), P(B) > 0. P(A B) = P(A)P(B). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

56 Exemplo: A probabilidade de Julia ser aprovada no vestibular é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambas serem aprovadas? A: Julia é aprovado B: Madalena é aprovada Qual foi a suposição feita? P(A B) = P(A) P(B) = = 2 9. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

57 Probabilidade Total (lei das probabilidades totais) Seja {B j } n j=1 uma partição do espaço amostral Ω, i.e., Então P(A) = Se P(B j ) > 0 para todo j, então n P(A B j ). j=1 n P(A) = P(B j )P(A B j ). j=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

58 REGRA DE BAYES Seja {B j } n j=1 uma partição do espaço amostral Ω, P(B j) > 0, j, A Ω, P(A) > 0. Então P(B j A) = P(B j)p(a B j ). n P(B k )P(A B k ) k=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

59 Exemplo: Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômem, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que ele tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame de ultra-som o detectará com probabilidade 0, 9. Entretanto, se ele nõ tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade 0, 1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato? Solução: Seja o evento T : tem tumor Então, P(T ) = 0, 7 e P(T c ) = 0, 3. Os dados do problema são, P(detectar Tumor T ) = 0, 9 P(detectar Tumor T c ) = 0, 1 Deseja-se calcular P(T detectar Tumor). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

60 P(T detect Tumor) = = = = P(T, detect Tumor) P(detect Tumor) P(T )P(detect Tumor T ) P(T, detect Tumor) + P(T c, detect Tumor) P(T )P(detect T T ) P(T )P(detect T T ) + P(T c )P( detect T T c ) , 63 = = 0, 95 = 95%. 0, 7 0, 9 + 0, 3 0, 1 0, 66 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

61 Exemplo: Suponha que os dígitos 1, 2,..., n sejam escritos em ordem aletória. Qual a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio? Examine a resposta quando n for grande. Solução: Seja o evento A i = { x 1 x i 1 i x i+1 x n : x i {1,..., n} \ {i} }. Note que A i = (n 1)!, A i1 A i2 = (n 2)!, i 1 i 2 A i1 A ik = (n k)!. Lembre-se que Portanto A 1 A n = =I {1,...,n}( 1) I +1 j I P(ao menos um dígito próprio) = A 1 A n n! A j. = 1 n ( 1) k k=0 k! José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

62 Exemplo: Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as duas outras moedas são normais e não viciadas. Uma moeda é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em sequência. Se sair cara toda vez, qual será a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? Se sair cara pelo menos uma vez, qual será a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? Solução: Pedem calcular P(moeda de 2 caras CCCC) = José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

63 Exemplo: Em um teste de múltipla escolha, assuma que a probabilidade do aluno saber a resposta da questão é p. Havendo m escolhas, se ele sabe a resposta ele responde corretamente (com probabilidade 1); se não sabe ele responde corretamente com probabilidade 1/m. Qual a probabilidade de uma pergunta ser respondida corretamente? Qual a probabilidade que o aluno sabia a resposta, dado que a pergunta foi respondida corretamente? Solução: Seja o evento A: uma pergunta ser respondida corretamente. B: o aluno sabe a resposta (a) P(A) = P(A B)P(B) + P(A B c )P(B c ) = p + 1 m (b) P(B A) = P(B)P(A B) P(A B)P(B) + P(A B c )P(B c ) = (1 p) p p + 1 m (1 p) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

64 Regra do Produto Dados os eventos A 1,..., A n de um espaço amostral Ω, P(A 1 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1, A 2 ) P(A n 1 A 1,..., A n 1 ) Esta formula é chamada a regra do produto, e é particularmente útil para experimentos. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

65 VARIAVEL ALEATÓRIA Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral Ω um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1 dado duas vezes e observar o resultado (P = par e I= impar) A cada ponto do espaço amostral, atribui-se um número na reta real. Isto corresponde a transformar o objeto de estudo de um plano abstrato (espaço amostral) em valores numéricos. Agora saberemos fazer contas. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

66 Exemplo: Observa-se o sexo (característica) das crianças em famílias com três filhos (M: masculino e F: feminino). Espaço amostral: Defina X: no de crianças do sexo masculino (M). Então X assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

67 Exemplo: No mesmo experimento... Espaço amostral: Podemos definir agora Y: no de crianças do sexo feminino (M). Então Y também assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}, porém, para outros valores de Ω. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

68 Variável aleatória Seja X : Ω R uma função real de Ω e considere A = (, a]. A função X será uma variável aleatória se P(X 1 (A)) está bem definida para todo a R. Aqui: X 1 (A) = {w Ω : X (w) A}. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

69 Função de distribuição acumulada Seja X uma variável aleatória. A função de distribuição acumulada de X é definida por F X (x) = P(X x) A função de distribuição acumulada F X satisfaz as seguintes propriedades: Monotonicidade. Se x y, então F X (x) F X (y). Continuidade à direita. Se x n x, então F X (x n ) F X (x). Se x n, então F X (x n ) 0. Se x n, então F X (x n ) 1. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

70 Tipos de Variável aleatória Podemos trabalhar apenas com as variáveis aleatórias e sua medida de probabilidade. Seja X uma variável aleatória e P sua medida de probabilidade. Variáveis aleatórias discretas: Uma variável aleatória X cujo suporte S X é um conjunto enumerável é dita ser discreta (ex: S X = {0, 1}, S X = {1, 2, 3}). Variáveis aleatórias contínuas: Uma variável aleatória X cujo suporte S X é um conjunto não-enumera vel é dita ser contínua (ex: S X = (0, 1), S X = (3, 5), S X = (0, ),S X = R). Observa-se o tempo de vida, em horas, de lâmpadas produzidas por uma fábrica. Defina T : tempo de vida, em horas, da lâmpada escolhida, ao acaso, da fábrica. Então, T é uma variável aleatória contínua que assume qualquer valor real não negativo. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

71 Variável Aleatória Discreta Caracterização Função de probabilidade ou distribuição de probabilidades: É a função que atribui a cada valor x i da v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser representada pela tabela Uma função de probabilidade deve satisfazer: José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

72 Exemplo: O Departamento de Estatística da UFPE é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituida para uma banca de um TCC, sorteando ao acaso e sem reposição três membros do departamento. Descreva o espaço amostral. Defina a v.a. Y : n o de mulheres na comissão, e calcule a função de probabilidade de Y. Solução: Calcular a probabilidade que a comissão tenha pelo menos 1 mulher. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

73 Seja a v.a. X com função de probabilidades Então a função de distribuição acumulada de X é F X (x) = p(x i ). i:x i x José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

74 Exemplo: Assuma que X é uma variável aleatória discreta que assume os valores 2, 3, e 5 com probabilidades 1/2, 1/4, e 1/4, então sua função de distribuição acumulada é: José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

75 Variáveis aleatórias contínuas Uma variável aleatória X é contínua se existe uma função real f X : R R + tal que onde f X satisfaz F X (x) = f (x) 0 para todo x R f é continua em S X f (x)dx = 1 x f X (t)dt A função f X é chamada de função densidade de probabilidade de X. A função de distribuição acumulada satisfaz F X dx (x) = f X (x). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

76 Seja B R, então definimos P(X B) = B f X (x)dx. Em particular P(X [a, b]) = P(a X b) = b a f (x)dx. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

77 Função de uma Variáveis aleatórias Seja X uma v.a. e definamos Y = g(x ), onde g : R R, então P(Y A) = P(g(X ) A) = P(X g 1 (A)). Exemplo: Seja X uma v.a. discreta. Admita-se que X tenha os valores possíveis 1, 2, 3,... e que P(X = n) = (1/2) n. Seja Y = 1 se X for par e Y = 1 se X for ímpar. Determinar a distribuição de Y. Exemplo: Seja X uma v.a. continua com densidade f X (x) = 2x se 0 < x < 1 e defina Y por Y = 0 se X < 1/3, Y = 1 se 1/3 X < 2/3 e Y = 2 se X 2/3. Determine a distribuição de Y. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

78 Independência entre Variáveis Aleatórias Duas variáveis aleatórias. X e Y são independentes se, e somente se, para quaisquer subconjuntos A, B R P(X A, Y B) = P(X A)P(Y B). No caso discreto ficaria da forma: Seja X {x 1,..., x k } e Y {y 1,..., y n }. As v.a. X e Y são independentes se P(X = X i, Y = y j ) = P(X = X i )P(Y = y j ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

79 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Seja X e Y duas v.a. discretas definidas no mesmo espaço amostral Ω, com distribuições de probabilidades dadas por and x x 1 x n P(X = x) P(X = x 1 ) = p(x 1 ) P(X = x n ) = p(x n ) x y 1 y m P(Y = y) P(Y = y 1 ) = p(y 1 ) P(Y = y m ) = p(y m ) A função X : Ω R 2, definida por X (w) = (X (w), Y (w)), é chamada de variável aleatória bidimensional discreta (vetor aleatório). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

80 Distribuição Acumulada Conjunta Seja X e Y duas v.a. discretas definidas no mesmo espaço amostral Ω. A função de distribuição acumulada conjunta do vetor X (w) = (X (w), Y (w)), representada por F X, é definida por F X (x, y) = P(X x, Y y). Como X, Y são v.a. discretas, podemos definir a função de probabilidade conjunta ou sua distribuição de probabilidade conjunta p, P(X = x i, Y = y j ) = p(x i, y j ). Note que se X e Y fossem v.a. independentes teriamos P(X = x i, Y = y j ) = p(x i )p(y j ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

81 Distribuições Marginais Seja X e Y duas v.a. discretas definidas no mesmo espaço amostral Ω, e o vetor aleatório bidimensional X (w) = (X (w), Y (w)). A função de probabilidade de massa marginal ou a distribuição de probabilidade marginal de X é p X (x i ) = m p(x i, y j ). j=1 A função de probabilidade de massa marginal ou a distribuição de probabilidade marginal de Y é p Y (y j ) = m p(x i, y j ). i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

82 Distribuição condicional Seja X e Y duas v.a. discretas definidas no mesmo espaço amostral Ω,com distribuição condicional conjunta P(X = x i, Y = y j ) = p(x i, x j ). Então a distribuição condicional de X dado Y = y j é P(X = x i Y = y j ) = P(X = x i, Y = y j ) P(Y = y j ) = p(x i, y j ) p Y (y j ) = p X Y (x i y j ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78

83 Exemplo: Certa empresa vende um produto formado pelo encaixe de duas peças, cada uma proveniente de uma indústria. Uma peça fabricada na indústria A tem 93% de chance de não apresentar defeito, 5% de ter um defeito recuperável de 2% de chance de ter um defeito grave. As peças da insdústria B podem ser perfeitas ou apresentar um defeito recuperável. Uma peça fabricada na indústria B tem 95% de chance de não apresentar defeito. Um produto tem 88.35% de chance de não apresentar defeito e 0.25% de chance de apresentar defeito recuperável em ambas peças. Seja X a variável aletória que assume os valores 0(perfeitas), 1(defeito recuperável) ou 2(defeito grave), na indústria A. Seja Y a variável aletória que assume os valores 0(perfeitas), 1(defeito recuperável), na indústria B. Apresente a tabela da distribuição conjunta de (X, Y ). As variáveis aleatórias são independentes? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I March 29, / 78