adaptação óssea modelos matemáticos
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- Luiza Azeredo Benke
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1 adaptação óssea modelos matemáticos Em geral, um modelo de adaptação óssea estabelece que a alteração da estrutura do osso é função de alterações do estímulo mecânico bem como de mecanismos fisiológicos. Para as variáveis que definem a estrutura foram utilizados parâmetros como a superfície do osso (adaptação externa), a densidade ou a orientação do material (adaptação interna). Para estímulo mecânico foram utilizados parâmetros como a extensão, tensão ou energia de deformação.
2 adaptação óssea teoria da elasticidade adaptativa Em 1976 Cowin et al. propõe um dos primeiros modelos matemáticos, partindo de leis gerais da mecânica do contínuo, considera o osso como material poroelástico e estabelece a teoria da elasticidade adaptativa, modelo onde o estimulo é a extensão, e=e ij. Ao modelo original (genérico e não linear) foram introduzidas simplificações. De certa maneira o modelo comporta uma variante externa e outra variante interna. Variante externa a fronteira do osso sofrerá alterações até se atingir situação estacionária (υ representa a velocidade na direcção normal). 0 ( ) υ ( P) = C ( P, n) e ( P) e ( P) ij ij ij Variante interna a fracção volúmica do osso sofrerá alterações até se atingir situação estacionária (μ representa a fracção volúmica). d μ = a( μ ) + Aij ( μ) eij + Bijkl ( μ) eijekl, μ = μ μ0 dt Mais tarde Cowin introduz o fabric tensor, reescrevendo a lei de adaptação óssea. Este tensor de segunda ordem é uma medida quantitativa e estereológica do arranjo micro estrutural das trabéculas e dos poros e as suas direcções principais coincidem com as direcções das trabéculas, E=E(μ,H). A condição de equilíbrio de remodelação traduz a ausência de realinhamento das trabéculas e a sua orientação com as direcções principais de tensão. o que aparenta ser a primeira tradução matemática da lei de Wolff.
3 adaptação óssea modelo de Fyhrie e Carter Em 1986 surge o modelo de Fyhrie e Carter. O modelo define-se como de optimização (self optimization), e não como modelo evolutivo. Em posteriores simplificações do modelo original, o material é considerado como isotrópico mediante uma lei de potências, E = E0 ( ) p onde E é o modulo de Young do osso com densidade aparente, E 0 um parâmetro e p um expoente (E em MPa, em g/cm 3, foram utilizados os valores E 0 =3790 e p=3, de Carter and Hayes, 1977). É considerada uma situação de cargas múltiplas e a lei de evolução é escrita na forma, M = C np( σp) P 12M onde é a densidade aparente, n P o número de ciclos associado ao caso de carga P, σ P uma medida escalar de tensão e C e M são constantes.
4 adaptação óssea modelo de Huiskes Em 1987, Huiskes e mais 5 investigadores baseando-se nos anteriores modelos e em diversas observações desenvolvem um modelo evolutivo. O estímulo considerado é a densidade de energia elástica (valor escalar), densidade de energia elástica U=1/2.σ ij ε ij O osso foi considerado como material isotrópico O modelo contempla a adaptação óssea interna e externa (em trabalhos posteriores é a adaptação óssea interna a mais utilizada). O modelo considera (a possibilidade de) uma zona de patamar uma gama de valores de energia elástica onde o estímulo é nulo
5 adaptação óssea modelo de Huiskes Na variante de adaptação óssea interna a lei pode ser escrita na forma: U U B (1 s) k, se (1 s) k < d = 0, caso contrário dt U U B (1 + s) k, se > (1 + s) k onde: representa a densidade aparente t a variável tempo (d/dt representa a velocidade de adaptação da densidade) U a energia elástica de deformação (U=1/2.σ.ε) k um valor de referência B um parâmetro s um valor associado ao patamar (metade da dimensão do patamar).
6 adaptação óssea modelo de Huiskes graficamente o modelo é interpretado na seguinte forma: ganho rapidez de adaptação perda 2s k U/ U U B (1 s) k, se (1 s) k < d = 0, caso contrário dt U U B (1 + s) k, se > (1 + s) k a zona de patamar representa uma gama de valores de energia elástica onde o estímulo é nulo
7 adaptação óssea modelo de Huiskes U U B (1 s) k, se (1 s) k < d = 0, caso contrário dt U U B (1 + s) k, se > (1 + s) k rapidez de adaptação ganho perda 2s k U / no artigo pioneiro (1987) foram utilizados os valores s = 0%, 5%, 15%, 30%. nalguns trabalhos foi utilizado o valor de k = J/g (no artigo pioneiro de 1987, num processo de adaptação externa, foi utilizado para a superfície do periósteo o valor U 0 = MPa). o módulo de elasticidade pode ser definido pela lei de potências: E = onde a unidade de E é o MPa e a unidade de éo g/cm 3, para = g/cm 3
8 adaptação óssea modelo de Huiskes U U B (1 s) k, se (1 s) k < d = 0, caso contrário dt U U B (1 + s) k, se > (1 + s) k a implementação computacional pode ser efectuada com um método de Euler progressivo, t+δ t = t K = K = t+δt +Δ t t K t Δt rapidez de adaptação ganho perda 2s k U / resultando U U t + Δ t B (1 s) k, se (1 s) k < =, caso contrário U U t + Δ t B (1 + s) k, se > (1 + s) k t+δt t valor t B, representa o passo e é ajustado convenientemente.
9 adaptação óssea modelo de Huiskes Para o caso de n cargas múltiplas a lei escreve-se ganho Ua Ua B (1 s) k, se (1 s) k < d = 0, caso contrário dt Ua Ua B (1 + s) k, se > (1 + s) k rapidez de adaptação perda 2s k U / onde U a representa uma energia elástica média, Ua 1 n = Ui n i= 1 onde p = 1, 2, 3,..., n, e onde n representa o número de casos de carga.
10 adaptação óssea modelo de Huiskes a lei de evolução foi ainda modelada de outros modos: ganho 2s rapidez de adaptação k U a / perda p Ua Ua B (1 s) k, se (1 s) k < d = 0, caso contrário dt p Ua Ua B (1 + s) k, se > (1 + s) k
11 modelo de Huiskes - exemplo p=200 N/mm Lei de adaptação: n=6 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 20 mm d U = B k dt U k+ 1 = k + passo k 20 mm parâmetros utilizados: s = 0%, k = J/g = 2.5 N.mm/g modelo material: E= , E em MPa, = g/cm 3 densidades iniciais: n=1,2 = 0.8 g/cm 3 ; n=3,4 = 1.2 g/cm 3 ; n=5,6 = 1.6 g/cm 3
12 modelo de Huiskes exemplo (iteração 1) Problema de elasticidade (ABAQUS) U n=1 =6.426 N/mm 2 ; U n=2 = N/mm 2 U n=3 =2.887 N/mm 2 ; U n=4 = N/mm 2 U n=5 =1.048 N/mm 2 ; U n=6 = N/mm 2 Adaptação ( k+1 = k +passo (U/ k)): nó 1: U/ k = 6.426/ = 5.533; nó 2: U/ k = 6.366/ = 5.458; nó 3: U/ k = 2.887/ = 0.094; nó 4: U/ k = 2.973/ = 0.023; nó 5: U/ k = 1.048/ = 1.845; nó 6: U/ k = 1.077/ = 1.827; escolhendo um passo = 0.1 resulta: nó 1: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=1 =1.353 g/cm 3 nó 2: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=2 =1.346 g/cm 3 nó 3: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=3 =1.191 g/cm 3 nó 4: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=4 =1.198 g/cm 3 nó 5: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=5 =1.416 g/cm 3 nó 6: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=6 =1.417 g/cm 3
13 modelo de Huiskes - exemplo p=200 N/mm n=6 n=4 n=2 n=1,2 = 0.8 g/cm 3 20 mm n=3,4 = 1.2 g/cm 3 n=5 n=3 n=1 n=5,6 = 1.6 g/cm 3 20 mm n=4 p=200 N/mm n=6 n=1 =1.353 g/cm 3 n=5 n=3 20 mm n=2 n=1 20 mm n=2 =1.346 g/cm 3 n=3 =1.191 g/cm 3 n=4 =1.198 g/cm 3 n=5 =1.416 g/cm 3 n=6 =1.417 g/cm 3
14 modelo de Huiskes exemplo (iteração 2) Problema de elasticidade (ABAQUS) U n=1 =2.618 N/mm 2 ; U n=2 = N/mm 2 U n=3 =2.459 N/mm 2 ; U n=4 = N/mm 2 U n=5 =2.307 N/mm 2 ; U n=6 = N/mm 2 Adaptação ( k+1 = k +passo (U/ k)): nó 1: U/ k = 2.618/ = 0.565; nó 2: U/ k = 2.618/ = nó 3: U/ k = 2.459/ = 0.435; nó 4: U/ k = 2.459/ = nó 5: U/ k = 2.307/ = 0.871; nó 6: U/ k = 2.307/ = escolhendo um passo = 0.1 resulta: nó 1: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=1 =1.297 g/cm 3 nó 2: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=2 =1.291 g/cm 3 nó 3: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=3 =1.148 g/cm 3 nó 4: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=4 =1.155 g/cm 3 nó 5: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=5 =1.329 g/cm 3 nó 6: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=6 =1.330 g/cm 3
15 modelo de Huiskes exemplo (iteração 3) Problema de elasticidade (ABAQUS) U n=1 =2.919 N/mm 2 ; U n=2 = N/mm 2 U n=3 =2.813 N/mm 2 ; U n=4 = N/mm 2 U n=5 =2.709 N/mm 2 ; U n=6 = N/mm 2 Adaptação ( k+1 = k +passo (U/ k)): nó 1: U/ k = 2.919/ = 0.249; nó 2: U/ k = 2.919/ = nó 3: U/ k = 2.813/ = 0.050; nó 4: U/ k = 2.813/ = nó 5: U/ k = 2.709/ = 0.462; nó 6: U/ k = 2.709/ = escolhendo um passo = 0.1 resulta: nó 1: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=1 =1.272 g/cm 3 nó 2: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=2 =1.267 g/cm 3 nó 3: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=3 =1.143 g/cm 3 nó 4: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=4 =1.149 g/cm 3 nó 5: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=5 =1.283 g/cm 3 nó 6: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=6 =1.284 g/cm 3
16 modelo de Huiskes exemplo (iteração 4) Problema de elasticidade (ABAQUS) U n=1 =3.009 N/mm 2 ; U n=2 = N/mm 2 U n=3 =2.963 N/mm 2 ; U n=4 = N/mm 2 U n=5 =2.918 N/mm 2 ; U n=6 = N/mm 2 Adaptação ( k+1 = k +passo (U/ k)): nó 1: U/ k = 3.009/ = 0.134; nó 2: U/ k = 3.009/ = nó 3: U/ k = 2.963/ = 0.092; nó 4: U/ k = 2.963/ = nó 5: U/ k = 2.918/ = 0.226; nó 6: U/ k = 2.918/ = escolhendo um passo = 0.1 resulta: nó 1: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=1 =1.259 g/cm 3 nó 2: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=2 =1.255 g/cm 3 nó 3: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=3 =1.152 g/cm 3 nó 4: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=4 =1.157 g/cm 3 nó 5: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=5 =1.260 g/cm 3 nó 6: k+1 = k +passo (U/ k)= => n=6 =1.261 g/cm 3
17 modelo de Huiskes - exemplo p=200 N/mm n=6 n=4 n=2 20 mm n=5 n=3 n=1 20 mm A solução estacionária, d/dt = 0 ocorre para: n 1.2 g/cm 3
18 adaptação óssea modelo de Huiskes O modelo (de adaptação interna) foi amplamente aplicado (ao longo do tempo) por Huiskes e associados, na adaptação de osso intacto (e análise do processo) e na adaptação em torno de implantes, permitindo reproduzir efeitos conhecidos e retirar diversas ilações.
19 adaptação óssea modelo de Beaupré et al. Em 1990, Beaupré, Orr e Carter, apresentam uma teoria de adaptação evolutiva baseada nos modelos anteriores e que tem em conta a área da superfície do osso trabecular. Considera material isotrópico mediante lei de potências, troços (patamar), estimulo de tensão (análogo ao modelo de Fyhrie e Carter) e cargas múltiplas. A consideração da área da superfície do osso trabecular representa, de certa forma, que a morfologia interna é alterada na superfície de cada trabécula. d 2 M = A( Ψ μ Ψ0 ) Sv( ), Ψ = np( σp) dt P onde representa a densidade óssea aparente, t o tempo, μ a fracção volúmica, Ψ 0 um valor de referência, S v a densidade de área da superfície, n P o número de ciclos associado ao caso de carga P, σ P uma medida escalar de tensão e A, M constantes. 1 M densidade de área da superfície (mm 2 /mm 3 ) densidade aparente (g/cm 3 ) 1.8
20 Outros métodos: de optimização baseados na mecânica da fractura adaptação óssea
21 adaptação óssea problemas de checkerboard por vezes surgem instabilidades numéricas originando soluções tipo xadrez. estas instabilidades surgem numa fase já adiantada do processo iterativo e em zonas onde existiam densidades intermédias.
22 adaptação óssea problemas de checkerboard uma das soluções é considerar o estimulo mecânico (energia elástica) como uma média ponderada com os elementos adjacentes
23 adaptação óssea comparação com soluções de optimização estrutural
24 implantes ortopédicos deficiências das articulações quando um paciente se queixa de dor na articulação (da anca ou joelho) a causa mais usual é a artrite. a substituição da articulação natural por uma artificial é muitas vezes a solução para articulações deficientes. a solução para a articulação da anca ou do joelho é frequentemente a substituição total da articulação.
25 implantes ortopédicos são realizadas por ano, no mundo inteiro, entre 0.5 e 1 milhão de artroplastias da anca. as principais causas para a realizam de uma artroplastia são a osteoartrite, a artrite reumatóide, a osteonecrose ou uma fractura. a maior causa é a osteoartrite.
26 implantes ortopédicos substituição total da articulação
27 artroplastia total da anca processo cirúrgico remoção da cabeça do fémur componente acetabular inclui uma parte que interagirá com a esfera da componente femoral, possibilitando o movimente da articulação, parte essa muitas vezes em polietileno inserida numa cúpula metálica (p.ex., em titânio)
28 artroplastia total da anca processo cirúrgico componente femoral em geral, a haste é constituída numa liga de Co-Cr, de titânio ou de aço, enquanto a esfera é de Co-Cr ou cerâmica. montagem final
29 artroplastia total da anca modo de fixação fixação por cimento fixação biológica
30 artroplastia total da anca fixação por cimento o processo de polimerização do cimento ósseo (PMMA) liberta calor e origina temperaturas que provocam a necrose óssea
31 artroplastia total da anca fixação biológica imediatamente após a introdução do implante não existe osseointegração para que exista osseointegração é fundamental a estabilidade inicial do implante (pequenos deslocamentos interfacias)
32 implantes ortopédicos taxas de revisão para pacientes com uma actividade moderada, um bom implante da anca pode durar entre 15 a 20 anos e para os pacientes mais activos (novos)? a maior parte dos pacientes com implantes da anca e com actividades moderadas, não tem dores nos primeiros anos após a implantação.
33 implantes ortopédicos revisão os maiores problemas dos implantes tem origem no desgaste da junta e no laxar do implante. outro aspecto problemático resulta da absorção óssea existente em torno do implante, que tem implicações directas na performance do implante e origina dificuldades nas cirurgias de revisão.
34 implantes ortopédicos transferência de carga modelo de Voigt E eq = (A 1 /A). E 1 + (A 2 /A). E 2 F 1 = [(A 1.E 1 )/(A 1.E 1 + A 2.E 2 )], F 2 = [(A 2.E 2 )/(A 1.E 1 + A 2.E 2 )] o suporte de carga é efectuado preferencialmente pelo componente mais rígido. antes de se atingir uma situação estacionária (descrita pelo modelo de Voigt) é necessário transferir a carga de um componente para o outro. a transferência de carga dá-se por tensões de corte na interface dos dois componentes.
35 implantes ortopédicos transferência de carga 1 N 0 2 M 0 a transferência de carga em esforço axial ou em flexão tem analogias. a transferência de carga entre dois componentes é realizada nas extremidades da interface.
36 implantes ortopédicos transferência de carga para que existam tensões de corte a haste terá estar fixa ao osso (bonded), ou então existir atrito se não existirem tensões de corte a subsidiência originará forças capazes de suster a haste o modelo de haste fixa ao osso será um modelo idealizado, admissível numa ligação cimentada ou biológica idealizada. a alteração de um modelo de haste fixa para um modelo de contacto com atrito é susceptível de alterar substancialmente as tensões na interface.
37 implantes ortopédicos influência do material da haste a haste é de material mais rígido que o osso, originando o fenómeno de stress shielding e consequentemente à reabsorção do osso. hastes mais rígidas originam maior stress shielding, logo maior reabsorção óssea. o cimento ósseo possui rigidez inferior à das hastes e do osso cortical. na haste cimentada é possível analisar o conjunto haste/cimento como um todo de rigidez intermédia.
38 implantes ortopédicos influência do material da haste um dos aspectos mais relevantes num implante são os deslocamentos que ocorrem na interface com a haste. implantes mais flexíveis são susceptíveis de originar maiores valores de deslocamentos tangenciais na sua interface. uma tendência para maiores deslocamentos na interface origina uma maior tendência para o laxar. deverá assim ser encontrado um compromisso para a rigidez do material da haste, devendo-se ter em conta diversos aspectos.
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