Matemáticas Revisão de geometria plana. c) 50º d) 60º

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1 Matemáticas Revisão de geometria plana Professor Luiz Amaral R- 1. (Espm 011) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 0 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a: a) b) c) d) e) (G1 - ifce 011) Sabendo-se que a razão entre a diagonal d e o lado a de um pentágono regular, como o da figura a seguir, é igual a 5 1, a) 5 cos6º. b) cos7º 5 1. c) cos6º 5 1. d) cos7º 5 1. e) cos6º (G1 - cftrj 011) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia a semirreta BA no ponto A e tangencia o segmento BE no ponto C. Sabendo ainda que BA é paralela à reta OF, que o segmento EF é perpendicular a OF e que o menor arco da circunferência com extremidades em A e C mede º 60, podemos afirmar que o ângulo DÊF mede: c) 50º d) 60º. (Uece 010) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo de um vértice, é igual ao número total de diagonais de P então a medida de cada um dos ângulos internos de Q é a) 1 graus. b) 150 graus. c) 156 graus. d) 16 graus. 5. (Espm 016) Num mapa, uma estrada retilínea passa sucessivamente pelas cidades A, B e C e uma cidade D, distante 10 km de A, está localizada de tal forma que o ângulo DAB mede 6. Um viajante fez o trajeto AB, BD e DC, percorrendo em cada trecho a mesma distância. Se ele tivesse ido diretamente de A até C, teria percorrido uma distância de: a) 10 km b) 60 km c) (10 cos 6 ) km d) 10 km cos 6 e) 10 km 6. (Ufg 01) Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos misteriosos círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos congruentes, com centros nos vértices de um triângulo equilátero, tinham uma reta tangente comum. a) 0º b) 0º Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos três círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos menores.

2 7. (Uerj 01) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel. As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa. Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos ABC ˆ e ADC ˆ são retos. Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e cm, determine o comprimento total da linha, representada por AB BC CD DA. 8. (Enem PPL 01) Em uma das paredes de um depósito existem compartimentos de mesmo tamanho para armazenamento de caixas de dimensões frontais a e b. A terceira dimensão da caixa coincide com a profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente as caixas são arrumadas, em cada um deles, como representado na Figura 1. A fim de aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi idealizada e está indicada na Figura. Essa nova proposta possibilitaria o aumento do número de caixas armazenadas de 10 para 1 e a eliminação de folgas. É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta? a) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de cm na altura do compartimento, que é de 1 cm, o que permitiria colocar um número maior de caixas. b) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário praticamente dobrar a altura e reduzir à metade a largura do compartimento. c) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 0 cm de altura por 7 cm de largura. d) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o número de folgas para apenas uma de cm na largura do compartimento. e) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de cm de altura por 5 cm de largura. TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: Considere um losango ABCD em que M, N, P e Q são os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Um dos ângulos internos desse losango mede α, sendo 0 α (Insper 01) Se α 60, então a razão entre o perímetro do losango ABCD e o perímetro do quadrilátero MNPQ, nessa ordem, é igual a a) 1. b). c). d). e). 10. (Insper 01) Nessas condições, o quadrilátero convexo MNPQ a) é um quadrado. b) é um retângulo que não é losango. c) é um losango que não é retângulo. d) é um paralelogramo que não é retângulo nem losango. e) não possui lados paralelos. 11. (Upe-ssa 016) Qual é a medida da área do triângulo destacado na figura abaixo?

3 a) 1 b) 1 c) d) 5 e) 5 1. (G1 - cftrj 016) Na figura abaixo: 08) No triângulo ABC, retângulo em B, DE é perpendicular a AC. Se AC mede 6 cm e CE tem a mesma medida do cateto AB, cm, então AD mede cm. - Os pontos B, F e E são colineares; - Os pontos A, D e E são colineares; - ABCD é um quadrilátero equiângulo; - O segmento EB é bissetriz do ângulo CEA; - O ângulo ABE; mede 60 e o segmento BC mede 18 cm. 16) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 9 cm e o menor cateto mede 6 cm. Então, a altura relativa à hipotenusa mede 5 cm. 1. (G1 - epcar (Cpcar) 016) Na figura abaixo A, B, C, D, E e F são vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 1 metro e centro O. Com essas informações, calcule a medida da área, em cm do triângulo BCE. 1. (Ufsc 016) Em relação às proposições abaixo, é CORRETO afirmar que: 01) Se duas reta paralelas são cortadas por uma reta transversal, formando ângulos alternos externos cujas medidas, em graus, são representadas por (x ) e (x 7), então a soma desses ângulos é 5. 0) Na figura da circunferência de centro O, se o ângulo agudo A mede 7 e o arco AB mede 156, então a medida do ângulo indicado por x é igual a ) Se o quadrilátero abaixo representa a planta de um terreno plano, então sua área é igual a (1 )m. Se ACE e BDF são triângulos equiláteros, então, a área da parte sombreada, nessa figura, em m, é igual a a) b) π π π c) d) π 15. (Unicamp 016) A figura abaixo exibe um quadrilátero ABCD, onde AB AD e BC CD cm.

4 pontos E e F pertencem ao segmento BD de modo que BE FD. A área do quadrado MNPQ é igual a k vezes a área da superfície destacada em cinza. A área do quadrilátero ABCD é igual a a) cm. b) cm. c) cm. d) cm. 16. (Ita 016) Sejam uma circunferência de raio cm e PQ uma corda em de comprimento cm. As tangentes a em P e em Q interceptam-se no ponto R exterior a. Então, a área do triângulo em PQR, em cm, é igual a a). b). c) 6. d). 5 Assim sendo, o valor de k é a). b). c) 6. d) 8. e) (Uefs 016) e). 17. (G1 - ifba 016) Um triângulo retângulo de perímetro 1 cm está 5π cm. inscrito numa circunferência cuja área mede Deste modo, a medida da área desse triângulo em cm, é igual a: a) b) 6 c) 8 d) 10 e) (Ufpr 016) Um triângulo possui lados de comprimento cm e 6 cm e área de 6 cm. Qual é a medida do terceiro lado desse triângulo? a) 6 cm. b) 10 cm. c) 5 cm. d) 5 cm. e) 7 cm. 19. (Fatec 016) Na figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado MNPQ de lado de medida. Os Na figura, tem-se uma circunferência inscrita em um quadrado, que, por sua vez, está inscrito em outra circunferência. Considerando-se π,1, a área escura compreendida entre o quadrado e a circunferência menor representa, em relação à área interna à circunferência maior, um percentual de, aproximadamente, a) 11,8% b) 1,7% c) 16,% d) 18,% e) 1,5% 1. (Udesc 016) Os pontos A, B, C, D, E e F dividem uma circunferência em seis partes iguais, de tal modo que AD é um diâmetro dessa circunferência com medida de 1 cm, conforme mostra a figura.

5 5. (G1 - cp 016) O Tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças com as quais podemos formar várias figuras, utilizando todas as peças e sem sobrepô-las. Com base na figura, a área da região sombreada, em cm, é de: a) 0 b) 7 c) 6 d) 5 e) 8. (Udesc 016) No trapézio ABCD, representado na figura abaixo, temos que AE 60 cm, DC 0 cm, e que CE é igual à altura do trapézio ABCD. Legenda: Fig. 1 Triângulo retângulo isósceles médio Fig. Paralelogramo Fig. e 5 Triângulos retângulos isósceles congruentes Fig. Quadrado Fig. 6 e 7 Triângulos retângulos isósceles congruentes O retângulo a seguir foi formado por seis dessas sete peças. Com base nas informações, pode-se concluir que a área da região hachurada é igual a: a) 100 b) 00 c) 00 d) 150 e) 50. (Ita 016) Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferência de raios R H e R T, respectivamente. Sabendo-se que H e T têm mesma área, determine R H a razão. R T. (G1 - ifce 016) Um trapézio isósceles tem bases medindo e 8. Se o perímetro desse trapézio é 0, então sua área mede a) 1. b) 1. c) 1. d) 6. e) 6. A razão entre a área desse retângulo e a área do quadrado inicial é de a) 0,5. b) 0,. c) 0,56. d) 0, (Eear 016) Assinale a alternativa que representa, corretamente, a área do triângulo esboçado na figura abaixo. a) 15 m b) 0 m c) 15 m d) 0 m

6 7. (G1 - ifal 016) Um terreno triangular possui dois lados com medidas 16 m e 1 m que formam entre si um ângulo de 60. Qual a área desse terreno? a) 8 m. b) 96 m. c) 1 m. d) m. e) 8 m. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere a área de uma folha de papel A, com 97 mm de Determine o comprimento do segmento DE. comprimento e 10 mm de largura. Dobrando ao meio a folha de papel por sucessivas vezes, são formados retângulos cada vez 0. (G1 - cftmg 008) Um homem, ao passar pelo prédio A de altura menores. A tabela a seguir relaciona as medidas e a área dos h observa que sua sombra corresponde a 10% se comparada com a retângulos obtidos a cada dobragem. desse prédio. Algum tempo depois, passando pelo edifício B de de altura, verifica que a projeção de sua sombra é de e a do prédio B é Nº de dobragens 1 de 0 metros. Nessa situação, a altura h de A, em metros, vale Largura (mm) 18, ,5 a) 5,5 15 Comprimento (mm) 10 18,5 b) 105 7,5 18 c) 1 Área (mm ) ,5 7796,5 898,15 d) 8. (Upf 016) A folha de papel A foi dobrada como mostra a figura a seguir. Se o comprimento do segmento AE é 177 mm, a medida do segmento CE e a área do polígono ABCDE são, respectivamente: a) 0 65 mm e mm. b) 0 65 mm e mm. c) 1 mm e mm. d) 0 10 mm e mm. e) 10 mm e mm. 9. (Ufrj 009) O triângulo ABC da figura a seguir tem ângulo reto em B. O segmento BD é a altura relativa a AC. Os segmentos AD e DC medem 1 cm e cm, respectivamente. O ponto E pertence ao lado BC e BC = EC. 1. (Uel 008) Para medir a altura de um edifício, um engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prédio obtendo 10,0 metros. Em seguida, mediu sua própria sombra que resultou em 0,5 metros. Sabendo que sua altura é de 1,8 metros, ele pôde calcular a altura do prédio, obtendo: a),5 metros. b) 10,0 metros. c) 18,0 metros. d) 6,0 metros. e) 5,0 metros.. (Fuvest 016) Os pontos A, B e C são colineares, AB 5, BC e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP BP vale a) b) 5 c) 6 d) 7 e) 8. (Ufg 00) A figura abaixo representa um pentágono regular ABCDE com cm de lado e os pontos de interseção das retas determinadas pelos lados AB e DC e das retas determinadas por BC e ED.

7 Gabarito: Com base na figura, julgue os itens abaixo: ( ) O raio da circunferência que circunscreve o pentágono é maior que. 1. [B]. Sabendo que o número de diagonais (d) de um polígono regular em função do número de lados (n) é dado por d, temos que n (n ) n (n ) 0 n n 0 0 n 8. Logo, A, B, C e D são vértices consecutivos de um octógono regular, cujo ângulo interno mede 180 (n ) 180 (8 ) 15. n 8 De posse desses dados, considere a figura abaixo. ( ) Os triângulos ADC e FBC são congruentes. ( ) DC. DF = (CF), onde DC, DF e CF, representam as medidas dos respectivos segmentos. ( ) cos á = ( 1 5). 5. (G1 - ifal 017) Determine a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 6 cm e 8 cm. a),6 cm. b),8 cm. c) 6,0 cm. d) 6, cm. e) 8,0 cm. 5. (G1 - ifal 017) Ao soltar pipa, um garoto libera 90 m de linha, supondo que a linha fique esticada e forme um ângulo de 0 com a horizontal. A que altura a pipa se encontra do solo? a) 5 m. b) 5 m. c) 0 m. d) 5 m. e) 0 m. Como os triângulos AB'B e CC'D são congruentes, basta calcularmos AB', pois BB'C'C é retângulo. Assim, AB 1 AB'. Por conseguinte, AD AB' B' C' [D]. O ângulo interno de um pentágono regular é dado por 180 (5 ) Considere a figura abaixo. 6. (Ita 017) Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e N é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em cm, é a),6. b),60. c),0. d),8. e) 6,7. Seja M o ponto médio de AB. Logo, como ABC é isósceles, segue que CM é mediana, bissetriz e altura. Desse modo,

8 ACB ˆ ACM ˆ 5 e, portanto, Do triângulo ACM vem que 180 ACB ˆ CAB ˆ 6. d cos6 cos6. a Por conseguinte, sabendo que cosa cos a 1, cos7 cos obtemos Logo: ADC ACD 7 AC AD 10 km 6. Na figura abaixo, H 1, H e H são os pontos em que os círculos de centros A,B e C tangenciam a reta.. [B] Seja O o centro do círculo circunscrito ao triângulo ABC. É fácil ver que BH1 AH BH1 AM, com M sendo o ponto médio do lado BC. Logo, pela propriedade da mediana, obtemos OA AM BH 1, y + 60 o = 90 o ; Logo, y = 0 o e z = 60 o. Portanto, x + z = 90 o = x = 0 o. [B]. 6.(6 ) Diagonais de P: 9 Lados de Q: n = 9 n = 1 Ângulo interno de Q: 5. [A]. Teremos: 180(1 ) 1 = 150 graus ou seja, o raio do círculo maior é igual a menores. do raio dos círculos 7. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 60 e que os ângulos ABC e ADC são retos, temos que o quadrilátero ABCD é inscritível. Além disso, como AC BD, segue que DE EB e, portanto, DE EB AE EC DE 18 DE 9 DE 8 DE cm. Desse modo, como AE 18 6 e DE 6, vem que AD Por outro lado, como EC 8 e DE 8, obtemos CD Portanto, como os triângulos ABE e ADE são congruentes, bem como os triângulos BCE e CDE, vem AB BC CD DA cm. BA BD DAB ADB BDC 6 6 ABD 180 ABD 108 DBC BCD 7 8. [E]. Para que a troca seja possível, deve-se ter a b e b 5a 5. Logo, se a cm, ou seja, a 8cm, então b 5cm e, portanto, a troca será possível. Resposta da questão 9:

9 [E] Considere a figura. Seja a medida do lado do losango ABCD. Assim, como AQ AM e supondo QAM 60, temos que o triângulo AQM é equilátero e, portanto, MQ. Analogamente, segue que PN. Por outro lado, temos que QDP 10. Daí, se S é o pé da perpendicular baixada de D sobre PQ, concluímos que QDS 60, pois DP DQ. Logo, do triângulo DQS, vem PQ QS senqds sen60 DQ PQ. Por conseguinte, a razão pedida é igual a pabcd pmnpq Sabendo que M e Q são os pontos médios de AB e AD, temos que MQ é base média do triângulo ABD. Desse modo, MQ BD. Analogamente, concluímos que NP BD e PQ AC MN. Além disso, como as diagonais AC e BD do losango são perpendiculares, segue que MNPQ é retângulo. Por outro lado, dado que MAQ NCP α, com 0 α 90, é imediato que PDQ MBN 180 α. Mas AQ AM DQ DP e, portanto, MQ PQ, ou seja, MNPQ é um retângulo que não é losango. 11. [E]. Calculando os pontos dos vértices do triângulo hachurado, temse: Reta crescente: y1 x 1 Reta decrescente: y x 6 Ponto de encontro entre as duas retas: x 1 x x e y 6 Quanto y 1, x será: 18 y 1 x x,5 6 Com as coordenadas dos vértices do triângulo, pode-se escrever: S triângulo (,5 ) ( 1),5 S 5 triângulo 1. Para os triângulos retângulos com ângulos 0, 60 e 90, temse: 10. [B]. Considere a figura. Analisando o triângulo ECB percebe-se que o ângulo em B é igual ao ângulo em E, logo os lados BC e EC são iguais e medem 18 cm cada.

10 Analisando o triângulo ECD e a figura acima pode-se escrever: a 18 a 9 CD a 9 Logo, a medida da área, em cm do triângulo BCE será: 18 9 SΔ SΔ 81 Resposta da questão 1: =. [01] CORRETA. Ângulos alternos externos são iguais, logo, pode-se escrever: x x 7 x soma 5 [0] CORRETA. Se o arco AB mede 156, então o ângulo inscrito a este mede 78. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, pode-se concluir que o ângulo complementar a x que pertencente ao triângulo formado pelas retas com vértice em A vale 75. Logo, x 105. [0] CORRETA. Dividindo a figura em dois triângulos retângulos, podese escrever: A altura h de cada um dos triângulos equiláteros é dada por: r h r 1 R h 1 r r r A área de cada um dos triângulos equiláteros menores será igual a: b h r SΔ r SΔ 1 A área que é delimitada por um setor circular abaixo de cada um dos triângulos equiláteros pode ser escrita com sendo: S setor 60π 18π 1 π Por fim, a área hachurada pode ser calculada como sendo: S 6 S S S S 6 S S hachurada Δ setor Δ hachurada Δ setor π π π π Shachurada π Shachurada 15. [B]. Considere a figura. Área Área 1 m [08] INCORRETA. Por semelhança de triângulos, pode-se escrever: AC AB AC AB 6 AD cm AD AE AD AC CE AD [16] CORRETA. Por Pitágoras, pode-se escrever: 9 6 c c h Área h h [A]. Considere cada um dos triângulos equiláteros parcialmente hachurados com lado r, que é igual ao raio da circunferência menor da figura. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BCD, temos BD BC CD BC CD cosbcd BD BD cm. Como AC é bissetriz de BAD e BCD, segue que os triângulos retângulos ABE e ADE são congruentes. Logo, podemos concluir que AE cm.

11 A resposta é dada por 1 1 (ABD) (BCD) BD AE BC CD senbcd 1 cm. 16. [E]. Logo, x () (6) x 10 cm 19. [B]. Calculando: ADF CDF CBE ABE 1 ADF ADF 8 16 MNPQ Acinza Acinza 16 A A MNPQ AMNPQ cinza Acinza A 0. [B]. Sejam,r e R, respectivamente, o lado do quadrado, o raio do círculo menor e o raio do círculo maior. Logo, como r e R r, tem-se que a área escura é dada por πr (r),1r 0,86r. OPR ˆ No triângulo PMR, temos: h h tg0 h cm Portanto, como a área do círculo maior é πr 6,8r, vem 0,86r 100% 1,7%. 6,8r 1. [E]. Considere a figura, em que O é o centro da circunferência e G é o ponto de interseção de AE e DF. Logo, a área do triângulo PQR será dada por: 1 A A 17. [B] 5π 5 πr R diâmetro hipotenusa 5 cm triângulo retângulo do tipo,,5 Striângulo Striângulo 6 cm 18. [B]. Considere a figura: É imediato que AFD, DEA, DCA e ABD são triângulos retângulos congruentes. Assim, como GO é perpendicular a AD, podemos afirmar que a região sombreada é formada por oito triângulos retângulos congruentes de catetos 6cm e cm. Portanto, a resposta é cm. Temos: 1 1 SΔ ab senα 6 ()(6) senα senα 1 α 90. [D]. Para tornar mais fácil a análise, acrescentou-se na figura os pontos E, F e G e os segmentos DG e CE, perpendiculares a AB, conforme indicado na figura abaixo: Portanto, trata-se de um triângulo retângulo.

12 .[A]. Admitindo que x é a medida dos lados não paralelos do trapézio isósceles e h a medida de sua altura, podemos escrever: Nota-se por construção que: 1. GE DC 0 cm,. AG AE GE cm.. ADG , e como AGD 90, então GAD 5, e o triângulo AGD é isósceles, o que implica que h DG AG 0 cm, sendo h a altura do trapézio.. FCE e CEF o que implica que CFE e, por consequência, BFE 90. Logo, a área do triângulo BFE desejada é igual a EF FB. 5. do triângulo EFC, EF CE cos0 h cos cm. 6. BEF , o que implica que FB EF tg cm. Calculando a medida x através do perímetro. x 8 0 x Calculando, agora, a medida da altura, temos: h h 1 h E, finalmente, a área do trapézio. 8 A 1 5.[D]. Notamos que para formar o retângulo não utilizamos o triângulo 7, que representa 1 da área do quadrado. Considerando que a área do quadrado seja A, podemos encontrar a razão pedida do seguinte modo: A área desejada é calculada da seguinte forma: EF FB 10 0 Área 150 cm A alternativa correta é a [D].. Considerando que x é a medida do lodo do hexágono regular e y a medida do lado do triângulo equilátero, temos: A A Área do retângulo 0,75 Área do quadrado A Considerando que a área do hexágono é igual a área do triângulo, podemos escrever que: x y x 1 6 y 6 Portanto, RH x RT 6 y 6.[A]. A área A do triângulo ABC será dada por: 1 1 A 10 6 sen m sen [E]. A 8 m 8. [A]. Aplicando o teorema de Pitágoras

13 hip cat cat hip 8 6 hip Analisando a altura relativa (h), temos: x x x 0 65 mm Calculo da área do polígono ABCDE Spol SRe t STriang Spol Spol 670 (500) Spol 7170 mm [B] 1.[D].[D] Considere a figura, em que M é o ponto médio de BD. Segundo as propriedades referentes a altura relativa a hipotenusa podemos afirmar que: 6 m m m,6 E que: 8 n 10 10n 6 n 6, Por fim, basta aplicar a relação h m n sobre o triangulo. Logo: h m n h,6 6, h,0,8 5. [A]. Considere a situação Os triângulos BPM e DPM são congruentes por LAL, pois MB MD, MP é lado comum e BMP DMP. Daí, temos BP. F V V F.[B] DP e, portanto, AP BP AC 5 7. Observe primeiramente que: Obtendo a hipotenusa temos: Aplicando o seno de 0 temos: h 1 h sen(0 ) h 5 m. 6.[A] Calculando: 6, 8, 10 Pitagórico 10 h 6 8 h AMB 6 h 5 MN MN MN MN 1, 5 1, MN h S 5 AMN SAMN,6

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