Death bonds: há mercado para este título?

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1 Deah bonds: há mercado para ese íulo? Resumo Um seguro de vida ípico é concebido sob a premissa de alruísmo do conraane. Seu valor esá relacionado à segurança financeira e ao conforo que o pagameno do benefício proporciona à família do segurado falecido. No enano, com a possibilidade de resgae e alos deságios imposos pela seguradora, emergiu a possibilidade de eisência de um mercado secundário, com a emissão de um íulo o deah bond lasreado em conraos de seguro de vida, cuja aa de reorno para o invesidor depende da more do anigo beneficiário. Ese rabalho em como objeivo analisar a viabilidade dese mercado, por meio de simulações da arifação primária e secundária de seguro de vida, incorporar possíveis falhas de mercado. Foram calculadas as aas de reorno esperadas pelo invesidor em dois cenários: o primeiro com a arifação baseada em uma ábua de moralidade padrão e ouro uilizando uma ábua agravada para doenes de câncer. Verificou-se que, apesar de no primeiro cenário se raar de um invesimeno de pouca araividade, os resulados obidos no segundo cenário aponam para a ala araividade do produo por pare dos invesidores, uma vez que o deah bond apresena aas de reorno basane alas e reduzidos desvios-padrão. Os resulados obidos fornecem evidências de eisência de seleção adversa nese mercado. 1. Inrodução O seguro de vida é um produo basane conhecido. É concebido sob a premissa de alruísmo do conraane. O capial segurado esá relacionado à segurança financeira e ao conforo que o pagameno do benefício pode proporcionar à família do segurado falecido. Tradicionalmene, os agenes econômicos êm raado o seguro de vida como um aivo ilíquido, por não eisir um mercado secundário em que seja possível a venda de apólices. or ese moivo, as únicas opções do segurado eram maner a apólice aé o fim da vida ou devolvê-la para a seguradora por um valor fiado. Nesa siuação, o objeivo não poderia não ser plenamene cumprido, uma vez que a enidade seguradora penalizaria de modo eagerado o porador, impondo-lhe elevado deságio pelo resgae anecipado dos recursos acumulados. No enano, devido a moivos diversos, como problemas de saúde, necessidade de recursos ou mudança nas preferências, poderia ser de ineresse do segurado ornar líquidos, ainda em vida, os recursos que só seriam liberados após a ocorrência de sua more. Caso esa alernaiva fosse viável, o segurado oferaria sua apólice no mercado financeiro, para que algum agene oferasse um valor mais elevado do que o proposo pela seguradora, obendo desa forma uma aa de reorno mais ala do que aquela obida na ransação com a seguradora. Nos úlimos anos, o enendimeno sobre as possibilidades financeiras de um seguro de vida em mudado de modo considerável. Em países como a lemanha e o Reino Unido, alguns segurados em negociado suas apólices no mercado secundário. Havendo a efeivação de conrao enre o segurado e a insiuição do mercado financeiro, o íulo recebe a denominação de deah bond. Embora seja, a parir dese insane, um íulo financeiro, o problema de precificação da apólice no mercado secundário em caracerísicas auariais, viso que o pagameno do benefício é cero, porém com o empo de eecução incero, sendo a ábua auarial o principal faor de decrescimeno para a aa de reorno do porador do íulo de vida. ara o segurado, o ganho nesa ransação esá relacionado ao recebimeno anecipado dos recursos, com deságio menor do que a seguradora lhe pagaria. or um lado ese novo mercado pode ser uma alernaiva à rigidez na relação conraual enre seguradora e segurado, aumenando o bem-esar dese úlimo. or ouro lado, nese novo mercado um conjuno disino de imperfeições pode eisir. Há possibilidade de seleção adversa, araindo para 1

2 negociar suas apólices os indivíduos menos desejados pelo demandane 1. ara o comprador da apólice, o ganho é inversamene proporcional ao empo de sobrevivência do vendedor. Esa caracerísica pode criar incenivos perversos pelo desejo da more precoce do anigo segurado, o que aumenaria o lucro das firmas adquirenes de íulos de vida. Eses incenivos são a razão principal pela qual o ema ornou-se polêmico 2. orano, dadas as falhas eisenes, para o bom funcionameno dese mercado, é necessário que haja a devida regulamenação e eisam mecanismos para reduzir o risco moral das pares envolvidas. Tendo com base o quadro descrio acima, o objeivo do presene rabalho consise em analisar a viabilidade dese mercado, por meio de simulações da arifação primária e secundária desses íulos, além de avaliar as possíveis falhas de mercado. O rabalho esá dividido em mais quaro seções, além desa inrodução. Na seção seguine é feia uma revisão da lieraura sobre o ema. Na erceira seção são apresenadas as caracerísicas de funcionameno do mercado secundário. Na quara seção são definidas as noações, erminologias e as meodologias empregadas. seção 5 raz os resulados obidos por meio das simulações. Finalizando, na seção 6 são feias as considerações finais. 2. Revisão da Lieraura Há diversas publicações jornalísicas, porém poucos arigos acadêmicos sobre os deah bonds. Um deses arigos acadêmicos é de Gazer (2009), que idenifica caracerísicas e implicações econômicas do mercado secundário para seguros de vida, comparando os mercados do Reino Unido, lemanha (em ambos, o mercado é raado como um íulo de renda fia) e EU (cuja predominância é por life selemens). O auor argumena que o principal faor para o sucesso do mercado secundário é o amanho do mercado primário: com muias apólices emiidas, haveria maiores possibilidades de negociação. Dohery e Singer (2002) avaliam que o desenvolvimeno do mercado secundário poderia provocar um aumeno na demanda por seguro de vida, razendo benefícios para os oferanes do mercado segurador primário à medida que al aumeno reduziria o risco de liquidez das seguradoras. or ouro lado, poderia haver aumeno significaivo no valor de prêmios para os segurados. O lado da demanda ambém é lembrado por Gazer (2009), pois, além do desenvolvimeno dese mercado por melhorias em méodos de precificação, os invesidores eigirão uma compensação adequada por invesirem nese mercado. Nese coneo, aas de juros mais baias levarão a uma diversificação de seus porfólios, gerando uma procura maior por íulos lasreados em seguros de vida. Focando sua aenção no segurado, Dohery e Singer (2002) demonsram que o surgimeno de um mercado secundário faz com que haja ganhos de bem-esar, em paricular para aqueles que necessiem de liquidez por qualquer razão. Eles aleram para o fao de que o segurado, por er um papel aivo na decisão de venda de seu íulo, precisa esar bem informado sobre odas as possibilidades de mudanças de regime da apólice original, como, por eemplo, a opção do seguro quiado (em caso de evenual fala de pagameno, como será abordado na seção 4.1), enre ouras opções, para que não enha prejuízos inesperados. s implicações jurídicas de um mercado secundário, discuidas por Gazer (2009), versam sobre a quesão do ineresse segurável enre segurado, segurador e beneficiário. O 1 Noe-se que nese caso, o cliene menos desejado pode ser aquele com maior epecaiva de vida. 2 Diversas publicações nacionais e inernacionais da imprensa dão aenção especial ao ema, enre ouras: a edição de 30/jul/2007 da revisa BusinessWee, a edição de 10/mar/2010 do diário The Wall Sree Journal e, no Brasil, um arigo na edição 271 da revisa Superineressane. Já na inerne, surgiram diversas manifesações repudiando a eisência dese mercado, sendo o mais epressivo o síio 2

3 auor cia um enendimeno da Core briânica em 1854 que deerminou que o ineresse segurável deve esar presene no momeno da emissão, mas não nos períodos subseqüenes. Já nos EU, o enendimeno de que os íulos provêm de pessoas desconhecidas dos invesidores é considerado problemáico por seguradores associações populares, devido ao fao de que os conraos são adquiridos sem ineresse segurável legíimo, iniciados e conrolados por invesidores, cuja única inenção é revendê-los em mercado secundário. Na mesma linha, Bozanic (2008) jusifica juridicamene as razões para a não eisência dese mercado. ara a auora, uma pessoa em ineresse segurável legíimo na sua própria vida e na vida de ouros com quem ela em uma relação pessoal. Ese princípio esaria sendo claramene violado ao se ober reorno com a more de alguém, cujo nome é desconhecido pelo invesidor. Já Kohli (2006) argumena que a legislação americana em proporcionado boa esruura inicial para proeger os segurados de uma ransação de deah bond, mesmo necessiando de maior regulamenação de preços, publicidade para o mercado e evenuais conflios de ineresse. O auor vai além: havendo a devida aenção da legislação, o mercado secundário de vida pode ornar-se uma grande fone de valor para os segurados. De forma diversa do que ocorre em mercados mais desenvolvidos, a culura do mercado segurador brasileiro é raar o seguro de vida como um seguro emporário, de curo prazo (em geral, com duração de um ano), raameno ese que não permie acumulação de capial. Nese senido, a criação do mercado secundário no Brasil é basane prejudicada. lém disso, a legislação brasileira, quando comparada à dos países supraciados, ambém é dúbia quano à possibilidade da eisência dese mercado. O r. 760 do Código Civil de 2002 (que normaiza os conraos de seguros no Brasil) em a seguine redação: r apólice ou o bilhee de seguro serão nominaivos, à ordem ou ao porador, e mencionarão os riscos assumidos, o início e o fim de sua validade, o limie da garania e o prêmio devido, e, quando for o caso, o nome do segurado e o do beneficiário. arágrafo único. No seguro de pessoas, a apólice ou o bilhee não podem ser ao porador. É possível concluir que a apólice não deve ser ao porador. No enano, o r. 791 do mesmo Código em a seguine redação: r Se o segurado não renunciar à faculdade, ou se o seguro não iver como causa declarada a garania de alguma obrigação, é lícia a subsiuição do beneficiário, por ao enre vivos ou de úlima vonade. arágrafo único. O segurador, que não for cienificado oporunamene da subsiuição, desobrigar-se-á pagando o capial segurado ao anigo beneficiário. O r. 791 permie a roca de beneficiários de seguro de vida em qualquer insane, inclusive após a more do segurado. or meio da leiura conjuna dos r. 760 e 791, pode-se inferir que a legislação brasileira admie a eisência dese mercado, desde que por meio de um acordo eplício enre o anigo segurado e o comprador da apólice e que, obrigaoriamene, a seguradora seja comunicada de al acordo. única barreira para a insiuição do novo mercado no Brasil parece ser a ausência de raameno do seguro de vida como consiuição de acúmulo de reserva financeira de longo prazo. Kohli (2006) argumena que ese mercado pode beneficiar os correores de seguros de cinco maneiras. primeira por meio do recebimeno de uma comissão para faciliar a negociação em mercado secundário. segunda, em caso de seguro do ipo não quiado, eles podem receber comissões por renovações de apólices que eriam enrado em inadimplência e enrado em siuações cujo valor do benefício eria sido reduzido. erceira é a possibilidade de reinvesimeno dos recursos advindos da operação, e, com isso, ganhar comissões. quara 3

4 é que o correor pode ganhar comissões por novos seguros de vida emiidos no mercado primário. Finalmene, o quino conflio é a paricipação dos correores na conversão de ermos da apólice. Dadas essas possibilidades, o mercado pode vir a ser araivo para os correores: com o incenivo financeiro para recomendar operações que podem não ser as mais adequadas à siuação de seus clienes, há necessidade de aenção adicional por pare dos legisladores. Sobre o apreçameno dos íulos de seguro de vida, Menoncin (2009) apresena uma forma fechada para arifação de um deah bond, quando adoada uma família de funções de sobrevivência, em empo conínuo, chamada Gomperz-Maeham uilizando cálculo esocásico. lém disso, o auor apresena a forma como o deah bond deveria enrar no porfólio do agene comprador do íulo de vida do anigo segurado, de modo a maimizar a uilidade esperada do seu consumo ineremporal e sua riqueza final, quando o horizone de empo coincide com o insane de recebimeno do benefício. Esa modelagem conribui para a arifação das aas de reorno para os agenes no mercado, uma vez que o auor enconra formas fechadas de arifação quando são válidas as premissas supraciadas. No enano, apesar da conribuição acadêmica, o enfoque do auor concenra-se nas demonsrações algébricas para a arifação do íulo, não concluindo sobre a viabilidade dese mercado. conribuição esperada dese rabalho é dar um raameno numérico e auarial para a precificação dos deah bonds, uilizando ábuas de moralidade amplamene uilizadas pelo mercado segurador. Com base nos resulados obidos, faz-se uma eensão por meio da qual se ena idenificar os perfis de segurados mais ineressanes do pono de visa do invesidor, bem como se apresena uma discussão do impaco das falhas de mercado eisenes. 3. O produo financeiro deah bond Nesa seção será dealhado o funcionameno do mercado do íulo, bem como sua definição. Um deah bond é um íulo lasreado em conraos de seguro de vida, no qual o recebimeno do benefício por pare do porador (em geral, alguma insiuição financeira) ocorre ao final do período de more do segurado. O segurado, por quaisquer moivos, decide vender o direio de seus beneficiários receberem um monane esipulado por conrao; assim, o novo deenor dese direio, após pagar ao segurado um valor acordado, passa a ser o novo beneficiário do seguro, de forma a receber o benefício após a more do segurado. Ese íulo corresponde, porano, a uma mudança de beneficiário do seguro por more mediane pagameno anecipado em vida ao segurado, configurando-se como um derivaivo de seguro de vida. naureza aleaória dese íulo advém do fao de que apesar de o recebimeno do benefício ser cero, uma vez que odos os segurados morrerão, há a incereza quano ao empo a ser decorrido aé a more dos segurados. Benefício final 1 rêmios Segurado 2 VL Figura 1 Fluograma da emissão de um deah bond Benefício final Seguradora 2 Comprador rêmios Correor de seguros de vida rovedor do seguro de vida Seguro 3 VL rêmios 3 Benefício final Fundo de Hedge Banco de Invesimenos Cupons 4 Deah Bond Invesidores Fone: adapado de Menoncin (2009). 4

5 De acordo com a Figura 1, pode-se descrever o funcionameno do mercado de deah bonds, conforme feio por Menoncin (2009): 1. O segurado é o subscrior do seguro de vida. Quando ese agene não possui mais necessidade de seguro de vida, ele pode querer se desfazer de sua apólice; 2. O segurado conraa um correor de seguros de vida (figura obrigaória em negociações de seguros em diversos países do mundo) que deverá enconrar um comprador para sua apólice. O comprador paga o valor presene líquido da reserva acumulada pelos pagamenos do segurado e recebe a apólice de seguro. ssim, o comprador deverá realizar os pagamenos resanes à seguradora para maner o valor inicialmene conraado, ou ajusar o seu valor presene. O comprador receberá da seguradora o benefício quando o segurado morrer. O segurado paga ao correor de seguros uma comissão pré-esabelecida; 3. Ouro agene é o provedor do seguro de vida. or meio dele, um fundo de invesimenos ou um banco compra um conjuno de seguros de vida de uma ou mais seguradoras. Nesse caso, o fundo de hedge ou banco de invesimenos receberá os prêmios do comprador e pagará o benefício final, e; 4. Na úlima eapa, após uma quanidade suficiene de apólices serem coleadas, ais apólices podem lasrear a emissão de um deah bond. ssim, as apólices possuem o mesmo papel que os aivos em um íulo lasreado em aivos ou que as hipoecas em íulos hipoecários. O novo deah bond é chamado de aivo ransferido (pass hrough) se os prêmios recebidos pelo fundo de hedge são pagos direamene aos invesidores. pós a emissão de um íulo, é de ineresse da insiuição agrupar íulos de diversos indivíduos em uma careira para pulverizar o risco de queda de reorno financeiro. Os perfis mais ineressanes para a formação do porfólio serão idenificados mais adiane. 4. Meodologia Como discuido aneriormene, a aa de reorno de um íulo desa naureza dependerá, basicamene, do monane financeiro que um indivíduo conseguiu acumular juno à enidade seguradora em regime financeiro de capialização, cujo nome écnico é reserva de prêmios (R) ou provisão maemáica de benefícios a conceder (MBaC). Traa-se de uma obrigação da seguradora em prover benefícios fuuros ao segurado, mediane pagameno de um prêmio, seja ele fracionado ou único. O cálculo do prêmio é deerminado de modo a equivaler o monane a ser pago quando da conraação do produo ao valor presene esperado (VE) do fluo de pagamenos no fuuro. O VE depende de duas premissas fundamenais, que são a função de sobrevivência adoada, que fornece a probabilidade de um indivíduo sobreviver a um dado período de empo, e a aa de juros a incorrer no período de acumulação da MBaC, de modo a represenar a valorização financeira ao longo do empo. or se raar de um seguro de vida, faz-se a premissa de que o benefício será pago de uma só vez ao final do ano da more do segurado ao seu dependene. Jordan (1991) argumena que essa premissa é conveniene, uma vez que a probabilidade de more pode ser obida imediaamene a parir de uma ábua de moralidade, sem que seja necessário adoar premissas adicionais sobre a aa insanânea de moralidade. lém disso, para o presene rabalho, serão calculados somene seguros de vida ineira (iso é, com coberura por oda a vida do indivíduo, a parir da daa de conraação), para garanir que eisirá um pagameno cero ao beneficiário quando da more do segurado. 5

6 ara a modelagem da moralidade do segurado, será uilizada a ábua mais conservadora possível, a T (masculina e feminina), em se raando de sobrevivência 4. Ese ineresse na sobrevivência dá-se devido ao caráer indesejado, do pono de visa do porador do deah bond, de que o anigo segurado venha a falecer depois do que seria esperado para ele Noação e definições Esa seção em por objeivo principal apresenar o modelo a ser adoado para a realização das simulações. Também é apresenada de forma resumida a forma com que o mercado segurador, empregando os conceios de maemáica auarial, precifica um seguro de vida ineira. Mais dealhes sobre a eoria auarial podem ser obidas em Jordan (1991) e Bowers e al. (1997). Sejam l e d as quanidades de indivíduos vivos com idade (medida em anos) e de indivíduos falecidos anes de complearem 1 anos, respecivamene, dadas por uma ábua de moralidade qualquer. ode-se deerminar a probabilidade de um indivíduo morrer ou falecer na idade, cuja noação é p, a parir da inerpreação clássica de probabilidade, iso é, pela razão enre os vivos em e na idade,. or se raar de uma probabilidade, o complemenar q 1 - p será a probabilidade de um indivíduo com idade vir a falecer enre e. Define-se a aa de descono v como o faor reduor financeiro de fluos fuuros, dada a aa de juros (i) a incorrer no período enre a conraação do seguro e a more do segurado. O faor de descono financeiro ineremporal, em empo discreo, enre períodos é definido 1 como v. Todavia, o fluo de caia do recebimeno dos benefícios é probabilisa, (1 i) dada a incereza da sobrevivência do segurado, sendo preciso ponderar o fluo de pagamenos pela probabilidade de ocorrência do eveno de ineresse; nese caso, a more do segurado. Visando ober proeção financeira para si ou para sua família, é de ineresse de deerminado indivíduo adquirir seguro. Em se raando de uma auoproeção financeira, o segurado poderia conraar uma renda para o período em que não mais for capaz de rabalhar, para a qual se dá o nome de previdência complemenar. No caso de ele querer proeger financeiramene a sua família conra sua more premaura, a opção oferecida pelo mercado é o chamado seguro de vida, em que um monane é pago aos beneficiários quando o segurado vier a falecer. Ese seguro pode ser por um prazo deerminado (emporário) ou cobrir oda a vida do segurado, sendo denominado seguro de vida ineira. O enfoque do rabalho é na arifação secundária dos deah bonds, que depende da conraação primária do seguro de vida, cuja forma de cuseio dar-se-á sob o regime de capialização, usualmene uilizado no mercado segurador. Eisem diversas maneiras de um segurado pagar por ese produo: seja de modo único ou parcelado. Há ainda a possibilidade de pagameno irregular, mas por não ser comum e de difícil modelagem, será desconsiderado nese rabalho. 3 Uma nnuiy Table (T) auarial consise em um méodo esruurado para deerminar o valor presene de uma série de pagamenos fuuros, no valor de uma unidade moneária, composa por um faor de descono financeiro, ponderado pela probabilidade da ocorrência de more. 4 Chan, Silva e Marins (2006) apresenam um comparaivo enre diversas ábuas de moralidade e verificam que a T-2000 apresena, para quase odas as idades, probabilidades de more inferiores quando comparadas a ouras comumene uilizadas no mercado, evidenciando que a epecaiva de sobrevida da população é cada vez maior. or ese moivo, opou-se por empregar a ábua mais uilizada no mercado para a arifação e não fazer quaisquer simulações do impaco da aleração de ábuas por se raar de um resulado esperado. 6

7 O pagameno único de um seguro de vida ineira no valor de uma unidade moneária ( ), ambém chamado de prêmio único puro (U), é definido como o valor presene da probabilidade de more do indivíduo, e pode ser obido uilizando a seguine fórmula, simplificando com as funções de comuação 5 : v q v d 0 l 0. (1) Uilizando ouras funções de comuação, D v l, C v 1 d e M C, obémse o valor do seguro de vida ineira, uma unidade de capial paga ao beneficiário ao final do 0 ano da more do segurado razida a valor presene: v q v d D 0 v l 0 0 M C D Como já aponado, o indivíduo poderá parcelar o pagameno do seguro. Uma opção é pagar por oda a vida ou somene por um período pré-deerminado. No enano, o indivíduo pode vir a falecer durane o período de pagameno (caso rivial quando a opção for pagar durane oda a vida) e, porano, faz-se necessário, ponderar o fluo de pagamenos pelas probabilidades de more. ara a deerminação do valor de prêmio pago parcelado, é preciso anes deerminar a fórmula da anuidade vialícia conraada na idade (ä ). O rema denoa que o prêmio será pago de modo anecipado, iso é, no início de cada período, para garanir que há recursos para efeuar o pagameno do seguro, caso a more venha a ocorrer. Definindo-se a comuação N 0 D, obém-se: D 1 v p D D N ä D D Caso a opção de parcelameno seja de forma emporária, pode-se ober, a parir da Equação 3, a chamada anuidade emporária de anos, cuja noação é ä, fazendo a : subração enre ä e ä. orano, a quania a ser paga anualmene, caso o segurado queira parcelar o valor do seguro de vida ineira, deve ser deerminada pelo princípio da equivalência enre o valor presene esperado na idade da seqüência de pagamenos de uma renda anual vialícia e o valor esperado presene na idade do seguro conraado. Nese caso, o prêmio é chamado de prêmio puro nivelado anual (N), e, porano: M ä (2) (3). (4) ä N No enano, o segurado pode opar por quiar o seguro de forma parcelada, mas em um período emporário de anos, cujo ermo écnico é prêmio puro nivelado anual quiado em anos (N ), e cuja fórmula em comuação é dada por: 5 Nese rabalho será adoada a noação da Inernaional cuarial Noaion (IN) para as funções de comuação, cujo emprego de símbolos visa à simplificação do cálculo de prêmios de seguros. Mais dealhes em JI (1949). 7

8 8 ) ( : N N M ä ä. (5) O acúmulo de reservas depende do número de parcelas de pagameno de prêmios por pare do segurado à enidade seguradora. Nauralmene, a reserva de um indivíduo que pagou o U rende juros financeiros anualmene a parir da daa de conraação. ara os casos de N e N, eisem duas formas de se avaliar a MBaC: pelo méodo prospecivo e pelo rerospecivo 6. ara o presene esudo, foi feia a opção pelo méodo prospecivo. ara um seguro de vida ineira, parcelado conforme um N, conraado na idade, a reserva acumulada aé a idade, V, pode ser escria como: D N M ä V.. (6) ara o caso de seguro de vida ineira, cuja opção de parcelameno segue um N, a reserva acumulada aé a idade, cuja noação será V, pode ser escria como: D N N M ä V ) (. :. (7) Um produo oferecido pelas seguradoras é o chamado seguro quiado (paid-up insurance). Esa modalidade de seguro de vida permie que, para eviar uma evenual inadimplência por pare do segurado, seja possível renegociar o valor do benefício, a parir de uma reserva já acumulada. fórmula de reavaliação da reserva de um seguro, denoada por W, e cuja opção de pagameno foi N, é dada por: ä V W 1.. (8) nalogamene, pode-se ober a revisão do valor da coberura para o caso de se er a opção N de parcelameno do prêmio: V W 1. (9) 4.2. Renabilidade do deah bond fim de cumprir o objeivo de analisar a aa de reorno esperada por quem adquire o deah bond, é preciso avaliar o monane a ser pago pelo comprador. É razoável supor que o comprador enha o dispêndio de um monane proporcional à reserva acumulada pelo segurado e, em caso de more do segurado, o benefício seria pago ao porador do deah bond. Desa maneira, define-se a aa de reorno (TR,,n ) do deah bond, como em Fabozzi (2000), descria na Equação 10, a seguir: n n V V j W K TR ) (1.,,, em que: (10) denoa a idade em que o segurado conraou o seguro; 6 Jordan (1991) discue e apresena ambos os méodos, além de mosrar que os resulados serão sempre iguais, sob manuenção das premissas iniciais.

9 é o período decorrido enre a conraação do seguro aé a negociação com a insiuição que o adquire, iso é, o número de parcelas do N pagos pelo segurado à seguradora; n é o período decorrido enre a aquisição do seguro pela insiuição aé o recebimeno do benefício, quando da more do segurado, com a resrição n; V é a reserva acumulada pelo segurado (monane pago pelo íulo) enre as idades e ; j é a aa de juros, denoando o cuso de oporunidade da insiuição que adquiriu o seguro; K. W é o valor do benefício a ser recebido pela insiuição, quando da more do segurado. ara avaliar a epecaiva de reorno na ransação do deah bond por pare do comprador da apólice, é preciso avaliar uma aa de reorno esperada (TRE,,n ) no insane da negociação. Esa aa de reorno deve ser ponderada pelas probabilidades de pagameno do benefício, que depende única e eclusivamene da probabilidade do segurado morrer, como evidencia a Equação 11, a seguir. TRE,, n q n n n1 i ( p ) q ( ) n p i n i K. W V n (1 j) V n1 denoa a idade em que o segurado conraou o seguro; i, em que: (11) é o período decorrido enre a conraação do seguro aé a negociação com a insiuição que o adquire, iso é, o número de parcelas do N pagos pelo segurado à seguradora; n é o período decorrido enre a aquisição do seguro pela insiuição aé o recebimeno do benefício, quando da more do segurado, com a resrição n; V é a reserva acumulada pelo segurado (monane pago pelo íulo) enre as idades e ; j é a aa de juros, denoando o cuso de oporunidade da insiuição que adquiriu o seguro; K. W é o valor do benefício a ser recebido pela insiuição, quando da more do segurado; q n é a probabilidade de o indivíduo morrer enre as idades n e n1, e; p i é a probabilidade de o indivíduo sobreviver às idades i e i1. Quando n, a epressão n 1 i ( p ) não será calculada, uma vez que o segurado esá vivo quando a ransação do deah i bond é efeuada. Os cálculos serão apresenados na próima seção com o inuio de ilusrar a magniude dos reornos que podem ser obidos pelo invesidor na negociação de um deah bond. 5. Simulações Nas subseções a seguir são apresenados os cálculos que servirão de subsídio para verificar a viabilidade de uma evenual negociação enre o segurado e o invesidor. O cálculo inicial é feio para um deerminado perfil de segurado. Em seguida, será realizada uma análise de sensibilidade, com o inuio de idenificar quais perfis de segurados podem ser mais ineressanes do pono de visa do invesidor do deah bond. Finalmene, é analisado como uma falha de mercado a seleção adversa pode afear as aas de reorno do invesidor. 9

10 5.1. Cálculo da Taa de Reorno para o invesidor O cálculo da aa de reorno TR,,n para o invesidor é feia por meio da Equação 10. Supõe-se que a pessoa segurada enha as seguines caracerísicas: seja um homem que conraou na idade igual a 35 anos um seguro de vida ineira com valor de face K igual a R$ 100 mil, cuja opção de pagameno foi por um N e esava adimplene aé os 50 anos (porano, 15), quando decidiu negociar o seu seguro com alguma insiuição. O benefício considerado é o monane correspondene ao seguro quiado. Os valores supraciados foram uilizados para calcular a reserva acumulada ( 15 V 35 ) aé a daa de negociação, a parir da Equação 6 e da revisão do monane a ser pago como benefício (K 15 W 35 ) advindo de um seguro quiado (calculado com o emprego da Equação 8), supondo que o porador não mais irá coninuar o pagameno das anuidades do seguro de vida. Os resulados são apresenados na Tabela 1, a seguir. Tabela 1 Tarifação do seguro de vida para um indivíduo simulado Gênero (M/F) M Idade de conraação (, em anos) 35 arcelas anuais quiadas (, em anos) 15 Idade ual (, em anos) 50 Reserva cumulada ( V ) R$ ,58 Coberura (K) R$ ,00 Seguro quiado (K. W ) R$ ,28 Taa de Descono Financeiro (ao ano) 2% Fone: cálculos dos auores. parir dos monanes apresenados na Tabela 1, percebe-se que o invesidor esaria disposo a pagar R$ ,58 (valor da reserva acumulada aé a idade 50 anos), por um seguro que pagará um benefício R$ ,28 quando o anigo segurado vier a falecer. Em caso de more do segurado no primeiro ano após a negociação do seu seguro de vida (n 1, enre as idades 50 e 51 anos), calcula-se, por meio da Equação 10, uma TR 35,15,1 de 82,69%. Ou seja, esa é a renabilidade obida pelo invesidor se o segurado falecer no primeiro ano após a venda do seguro. Uma vez compuada a aa de reorno do invesidor para o primeiro ano, calculou-se a aa de reorno (TR 35,15,n ) do invesidor para cada idade ( n, com n > 1) possível de more do segurado. Iso é, calcular as aas de reorno, por meio da Equação 10, para odos os possíveis valores de n, aé que o indivíduo segurado ainja a idade limie da ábua T-2000 adoada, que é de 115 anos. Os resulados esão evidenciados no Gráfico 1. Como é possível observar, a função de reorno da enidade, nova poradora do íulo, é monoonicamene decrescene, de al forma que o insane de empo em que o lucro esaria maimizado seria aquele imediaamene poserior à celebração do conrao. Ese fao pode evidenciar o ineresse dos compradores em adquirir os íulos de indivíduos com maior probabilidade de vir a falecer de modo precoce, indicando a possibilidade de haver seleção adversa nese mercado. Também é possível perceber que há aleração no sinal do reorno do porador do íulo eaamene na idade em que é esperado o falecimeno do anigo segurado. De acordo com a ábua T-2000 Masculina, a epecaiva de sobrevida de um homem de 50 anos de idade esá enre 35 e 36 anos. Ese eveno demonsra uma caracerísica inrínseca do íulo: dada a idade do segurado no insane da negociação, os reornos passam a ser negaivos eaamene quando a idade esperada de sobrevida da pessoa é aingida. 10

11 Gráfico 1 Taa de Reorno para o invesidor, por idade de more do segurado Taa de Reorno da operação (%) Idade da More (anos) Fone: cálculos dos auores nálise de sensibilidade da Taa de Reorno para o invesidor Uma vez eecuado o cálculo da Taa de Reorno TR,,n para um indivíduo com deerminadas caracerísicas, são feias algumas simulações adicionais 7, incorporando mudanças no gênero do segurado (de Masculino para Feminino), na idade de conraação do seguro de vida ( 0, 20, 40, 60 e 80 anos de idade), endo pago um N durane 20 anos 8, consane, e mudanças na idade de negociação secundária ( 20, 40, 60, 80 e 100 anos de idade, respecivamene). Os resulados são apresenados no Gráfico 2, a seguir. Como eemplo, a curva de reornos do porador de um íulo oriundo de uma segurada mulher que vendeu seu seguro aos 40 anos de idade, cuja conraação deu-se aos 20 anos, é dada pela cor verde escura. nalogamene, a curva de reornos para um segurado homem com as mesmas caracerísicas é dada pela cor verde clara. s curvas em quesão mosram odas as aas de reorno para cada uma das possíveis idades de more do segurado, a parir do momeno da negociação do seguro. Observando o Gráfico 2, pode-se erair o primeiro resulado: há diferenças de reornos enre os gêneros, de forma que os reornos obidos por uma apólice de uma segurada mulher são sempre mais alos, quando comparados aos reornos de um segurado homem em iguais condições de idades de conraação e negociação. Ese fenômeno é eplicado pela diferença enre os padrões de moralidade, uma vez que mulheres êm epecaiva de sobrevida maior e iso se reflee em probabilidades de more mais baias, fazendo com que os prêmios e, porano, as reservas e monanes pagos pelo comprador do deah bond, sejam menores. pesar de o valor do benefício, quando da reavaliação, ambém ser menor, a redução relaiva no monane do benefício é menos inensa que a redução da quania a ser paga pela reserva, ambém devido à maior epecaiva de sobrevida de uma mulher. 7 Opou-se por não simular variações na aa de juros e nas ábuas de moralidade devido a dois corolários derivados do Teorema de Lidsone, mosrando que aumenos na aa de juros (ou na probabilidade de more) produzem diminuição nas reservas acumuladas (e vice-versa) e, porano, no monane pago pelo comprador do íulo. Esses aumenos aleram a magniude dos reornos, mas não o formao geral da curva. Ese eorema pode ser enconrado em Jordan (1991), cap.5. 8 Todas as simulações foram feias com a reavaliação das reservas na daa de negociação secundária, de al forma que, independenemene de quanas foram as parcelas do N pagas, o reorno fuuro do invesidor maném-se consane, dada a idade de negociação. 11

12 275 Gráfico 2 Taa de Reorno da insiuição por idade de more do segurado Reorno (em %) Sobrevida (em anos) Seo M; Idade de Conraação 0; Idade de Negociação 20 Seo F; Idade de Conraação 0; Idade de Negociação 20 Seo M; Idade de Conraação 20; Idade de Negociação 40 Seo F; Idade de Conraação 20; Idade de Negociação 40 Seo M; Idade de Conraação 40; Idade de Negociação 60 Seo F; Idade de Conraação 40; Idade de Negociação 60 Seo M; Idade de Conraação 60; Idade de Negociação 80 Seo F; Idade de Conraação 60; Idade de Negociação 80 Seo M; Idade de Conraação 80; Idade de Negociação 100 Seo F; Idade de Conraação 80; Idade de Negociação 100 Fone: cálculos dos auores. mesma eplicação deve ser usada para analisar a mudança de paamar das demais alerações: à medida que são obidos íulos de pessoas cada vez mais idosas, o reorno por idade vai diminuindo devido ao fao de que o monane a ser desembolsado pelo invesidor ficará muio próimo ao valor a ser recebido, uma vez que a arifação primária onera mais os segurados idosos pela iminência de sua more. ara o invesidor poder fazer uma avaliação mais precisa da lucraividade dese íulo é necessário er uma esimaiva da aa de reorno esperada, ponderando cada aa de reorno de cada uma das curvas apresenadas no Gráfico 2 pela respeciva probabilidade da ocorrência de more do segurado, de acordo com a Equação 11. Os resulados, bem como os respecivos desvios-padrão são apresenados na Tabela 2, a seguir. Tabela 2 TRE,20,n do deah bond para os indivíduos simulados de diferenes idades de negociação ( 20). Idade de Negociação Gênero M F 20 0,000009% 0,000032% (32,99%) (30,46%) 40 0,000009% 0,000033% (27,11%) (25,63%) 60 0,000010% 0,000035% (20,21%) (20,01%) 80 0,000018% 0,000051% (11,76%) (12,04%) 100 0,000381% 0,000803% (4,47%) (4,71%) Desvio-adrão enre parêneses Fone: cálculos dos auores. Tabela 2 apresena as aas de reorno esperadas pelo invesidor do deah bond para indivíduos de diversas idades, para ambos os gêneros. primeira conclusão que pode ser eraída é que se raa de um invesimeno que apresena sempre aas posiivas, apesar de quase nulas, indicando pouca araividade nese produo, uma vez que boa pare dos íulos de renda fia pode apresenar reornos basane superiores aos enconrados para esa siuação. Oura informação relevane é que, para ambos os gêneros, quano mais idoso for o segurado, mais araiva é a aa de reorno para o invesidor. Finalmene, quando se analisam as aas de reorno de uma deerminada idade de negociação para íulos oriundos de vidas femininas, 12

13 relaivamene à de vidas masculinas, pode-se consaar que elas são sempre superiores a 2, apesar de diminuírem à medida que a idade aumena. Ese fao é uma evidência que o invesidor deverá er maior ineresse em seguradas mulheres do que em segurados homens. nalisando a dispersão média associada a cada um dos reornos esperados apresenados, em-se que a incereza do reorno diminui conforme o aumeno da idade da vida que deu origem ao íulo, independene do gênero. Quando se faz a comparação enre os gêneros, percebe-se que os íulos vinculados a vidas de mulheres são menos voláeis que aqueles vinculados a vidas masculinas aé deerminada idade (enre 60 e 80 anos), quando a siuação se invere. Tais resulados conradizem o que Gazer (2009) e Dohery e Singer (2002) sugerem para íulos de vida de idosos: um deah bond, arifado segundo uma ábua padrão de mercado, não é um invesimeno que possui uma baia medida de risco, uma vez que, apesar de os invesidores ceramene receberem o benefício, não se sabe quando iso irá ocorrer. Iso implica que, além de os invesidores poderem incorrer em alos cusos de oporunidade e erem reornos efeivos foremene negaivos, o reorno esperado pode ser considerado nulo, de al forma que sua araividade seja basane reduzida. orano, diane de uma população cuja moralidade pode ser modelada com uma ábua conhecida, pode-se inferir que no caso de o invesidor de um deah bond querer maimizar o reorno esperado, ele eria maior araividade por íulo vinculado a mulheres e com a maior idade possível. No enano, caso procure reornos individuais maiores, deverá adquirir íulos de indivíduos do seo feminino e jovens. Desaca-se, porém, que as aas esperadas podem ser consideradas nulas a quase qualquer nível de confiança, indicando que não se raa de um produo financeiro de invesimeno ineressane, uma vez que a arifação secundária reflee quase a mesma incereza já mensurada pela arifação primária, diferindo apenas pelas probabilidades de more aé o período decorrido aé a negociação do íulo. Diane dese cenário, é necessário analisar quais as condições mais propícias para que haja ineresse de ambas as pares na ransação do deah bond. Isso será feio na seção Seleção adversa: idenificando o segurado mais lucraivo Na seção anerior foram idenificados os perfis mais ineressanes aos invesidores, quando a probabilidade de more é previsível segundo alguma ábua de moralidade padrão. No enano, devido à assimeria de informações sobre o real esado de saúde (e, porano, da probabilidade de more) do segurado, o invesidor que adquire o deah bond pode esimar de forma incorrea a aa de reorno esperada. erlof (1970) demonsrou de forma pioneira que se odos os seguradores êm informação imperfeia sobre o risco individual, o mercado de seguros poderia não eisir e, no caso da eisência, poderia não ser eficiene. Ese fao jusificaria, por eemplo, seguros de pessoas com idade mais avançadas erem os preços aumenados na medida em que suas probabilidades de more aumenam e, porano, acabam sendo mais ineressanes para o invesidor do deah bond. Desa maneira, os invesidores êm ineresse em conhecer mais caracerísicas do indivíduo do que apenas a sua idade. De acordo com Varian (1992), a seleção adversa é uma falha de mercado em que o principal (insiuição) possui menos informações que o agene (segurado), que pode causar a não eisência de um equilíbrio, com uma mudança unilaeral de comporameno. Como o invesidor não é capaz de esimar precisamene a real probabilidade de o eveno se maerializar (nese caso, a more do indivíduo), o íulo deverá ser arifado com um preço médio para odos os íulos. No enano, segurados com maior propensão a morrer seriam aqueles que invesidores esariam mais ineressados em adquirir seus íulos, uma vez que poderiam receber maior reorno financeiro devido à more premaura do segurado. 13

14 Considerando que pessoas com algumas doenças severas, como o câncer e a IDS, por eemplo, êm probabilidade mais ala de vir a falecer, o invesidor gosaria de separá-las de indivíduos sadios, oferecendo preços disinos de modo a induzi-los a se disinguir dos demais por cona própria. Ese mecanismo de seleção por pare de invesidores poderia fazer com que os indivíduos revelassem suas reais condições de saúde. Uma maneira hipoéica de selecionar os segurados seria enconrá-los com suas doenças já diagnosicadas. Não foram enconradas ábuas de moralidade para doenes, embora seja possível uma consrução empírica desde que haja disponibilidade de informações a respeio do empo decorrido enre o diagnósico de uma doença específica e o seu falecimeno em decorrência desa doença. Face à dificuldade de ober bases de dados com ese propósio, recorreu-se à lieraura médica a fim de se ober uma esimaiva da epecaiva de sobrevida de uma pessoa com uma doença grave. ara ano, foram uilizadas as informações do projeo EUROCRE, que esudou a sobrevivência por câncer em países da Europa. Nese rabalho de Coleman e al. (2003) é feia uma análise dealhada de um esudo longiudinal com duração de 5 anos, avaliando 1,8 milhão de adulos e crianças diagnosicados com câncer dos mais diversos ipos enre 1990 e 1994 e acompanhadas aé esimaiva da probabilidade de more que será uilizada para ponderar as aas de reorno foi obida em Coleman e al. (2003) com os dados do projeo EUROCRE-3 e é apresenada na Tabela 3, a seguir. Tabela 3 Disribuição caegorizada de probabilidades de sobrevivência de ipos de câncer em homens e mulheres na Europa, diagnosicados enre e acompanhados aé Caegorias de ono médio da Homens Mulheres Toal probabilidade caegoria 80% 90% 2% 5% 4% 60 79% 70% 31% 45% 38% 40 59% 50% 25% 23% 24% 20 39% 30% 10% 12% 11% <20% 10% 32% 14% 23% Toal 100% 100% 100% robabilidade Média de 42,2% 52,5% 47,8% sobrevivência em 5 anos Fone: adapado de Coleman e al. (2003). Tabela 3 apresena os ipos de câncer em homens e mulheres por caegorias de probabilidade de sobrevivência em 5 anos, empo de acompanhameno do esudo. Como eemplo, em-se que 32% dos ipos de câncer que ocorreram em homens no período considerado iveram probabilidade de sobrevivência dos indivíduos analisados inferior a 20%. ara esa faia de probabilidade de sobrevivência, 14% dos ipos de câncer ocorreram em mulheres. Ese fao sugere que esa doença é menos faal em mulheres do que em homens. Baseado nas informações da Tabela 3, chega-se a um resumo da probabilidade de sobrevivência em 5 anos por gênero, ponderando ais probabilidades pelas frequências observadas nos gêneros. É possível inferir que, em geral, 42,2% dos homens e 52,5% das mulheres com câncer sobrevivem aé 5 anos após o diagnósico da doença. Com base nesa informação, foi efeuada uma inerpolação linear para avaliar as probabilidades anuais de more aé o 5º ano da negociação e, efeuando uma erapolação linear, aé o período máimo de sobrevivência após o 5º ano da negociação. Supôs-se que, nesas condições, um homem com câncer viveria no máimo mais 9 anos e uma mulher com câncer, 12 anos, a parir do diagnósico. Com a premissa de que a pessoa negocia o seguro de vida assim que descobre a doença (supondo que a finalidade da negociação do íulo é conseguir recursos para o raameno), repee-se o procedimeno da seção 5.2, uilizando as esimaivas inerpoladas e erapoladas das probabilidades de more. Os resulados são apresenados na Tabela 4. 14

15 Tabela 4 TRE,20,n do deah bond para os indivíduos simulados de diferenes idades de negociação ( 20), uilizando probabilidades de more para doenes de câncer. Idade de Negociação Gênero M F ,57% 203,25% (12,64%) (16,35%) 40 96,91% 107,39% (8,71%) (11,18%) 60 39,67% 44,29% (6,18%) (7,78%) 80 7,00% 6,66% (4,73%) (5,75%) 100-5,65% -7,77% (4,17%) (4,97%) Desvio-adrão enre parêneses Fone: cálculos dos auores. nalisando a Tabela 4, é possível perceber o efeio da seleção adversa, de modo que os reornos mais alos esão associados aos jovens doenes, o perfil mais araene, nesa siuação, para os invesidores. Traa-se de um resulado esperado, viso que as probabilidades de more agravadas são jusamene as associadas aos maiores reornos possíveis, dado que os reornos são monoonicamene decrescenes. lém disso, novamene as mulheres provêem reornos mais alos do que os homens. Coleman e al. (2003) jusificam a maior probabilidade de epecaiva de sobrevida da mulher devido ao fao de que os ipos de câncer mais comuns em homens (pulmão e esômago) êm alas aas de more e os mais comuns em mulheres (seios e úero) êm aas mais elevadas de recuperação e sobrevivência. s novas aas de reornos esperadas apresenadas na Tabela 4 são mais alas e os respecivos desvios-padrão são sensivelmene inferiores em relação aos resulados obidos na Tabela 2. À medida que se negocia com indivíduos que descobrem a doença mais arde, ano os reornos esperados quano as variâncias associadas diminuem, porque já é esperado que esses indivíduos venham a falecer quando forem mais velhos. Ese é o resulado que garane a araividade desse mercado por pare dos invesidores. O que se desaca de modo surpreendene é a inversão do perfil de ineresse enre 60 e 70 anos: embora já seja possível aceiar a hipóese (com 95% de confiança e supondo normalidade) de que o reorno esperado pode ser considerado nulo, o reorno esperado para um homem idoso é mais alo do que para uma mulher idosa e ambém com menor incereza associada. Esa siuação esá relacionada ao fao de as mulheres com câncer possuírem uma epecaiva de sobrevida mais ala que o do homem, o que significa que o agravameno é aplicado por mais empo e em reornos já menores, o que jusifica ano a diminuição da aa de reorno esperada quano o aumeno da incereza associada a ese índice. 6. Considerações Finais Nese rabalho buscou-se analisar a viabilidade dese mercado do mercado secundário de negociação de seguros de vida, por meio de simulações da arifação primária e secundária de seguro de vida, além de avaliar as possíveis falhas de mercado. or meio de uma ábua de uma moralidade padrão, avaliaram-se aas de reorno esperadas pelo invesidor e, considerando que se raa de um recebimeno cero, porém com horizone emporal incero, os desvios-padrão associadas às aas. s primeiras comparações enre os principais faores para a arifação, gênero e idade, evidenciam inicialmene que se raa de um invesimeno de pouca araividade uma vez que apresena aas posiivas, mas basane reduzidas. Oura informação relevane é que, independene do gênero, quano mais idoso for o segurado, maior é a aa, bem como há maior ineresse em vidas femininas do que masculinas. valiando uma siuação em que é razoável avaliar um aumeno da probabilidade de more premaura, foi criado um cenário baseado na lieraura médica. Os resulados aponam 15

16 para a ala araividade do produo por pare dos invesidores, uma vez que o deah bond raz aas de reorno significaivamene posiivas e basane alas, se comparadas com os resulado obido por meio da ábua padrão do mercado uilizada no primeiro cenário. orano, há evidências de fore seleção adversa nese mercado. Deve-se er cauela ao se fazer inferências quano à validade deses resulados para diferenes eságios da doença. O câncer é uma doença que quando diagnosicada em eságios ardios, pode apresenar menores probabilidades de cura. ara esudos fuuros, pode-se pensar na análise para ouros ipos de doença ou na modelagem mais refinada da curva de probabilidade de more, além de ouras possibilidades de seleção adversa. 7. Referências KERLOF, G.. (1970). The Mare for 'Lemons': Qualiy Uncerainy and he Mare Mechanism. Quarerly Journal of Economics (The MIT ress) 84 (3): BELTH, J. M. (2002). Viaical and Life Selemen Transacions. Coningencies March/pril: BOZNIC, K. J. (2008). n Invesmen o Die for: From Life Insurance o Deah Bonds, he Evoluion and Legaliy of he Life Selemen Indusry. enn Sae Law Review, Vol. 113, No. 1. BRSIL. Lei nº , de 10 de janeiro de Novo Código Civil Brasileiro. Legislação Federal. Disponível em: hp:// cessado em seembro de BOWERS, N. L.; GERBER, H. U; HICKMN, J. C.; JONES, D..; NESBITT, C. J. (1997). CTURIL MTHEMTICS. The Sociey of cuaries, 2. ed. 753 p. CHN, B. L.; SILV, F. L.; MRTINS, G.. (2006). Tendência de umeno da Epecaiva de Vida e a Solvência das Enidades beras de revidência Complemenar. In: 6º Congresso US de Conroladoria e Conabilidade, 2006, São aulo. COLEMN, M..; GTT, G.; VERDECCHI,.; ESTÈVE, J.; SNT, M.; STORM, H.; LLEMNI, C.; CICCOLLLO, L.; SNTQUILNI, M.; BERRINO, F.; and he EUROCRE Woring Group (2003). EUROCRE-3 summary: cancer survival in Europe a he end of he 20h cenury. nnals of Oncology 14 (Supplemen 5), DOHERTY, N..; SINGER, H. J. (2002). The Benefis of a Secondary Mare for Life Insurance olicies. Woring aper. Wharon Financial Insiuions Cener. KOHLI, S. (2006). ricing Deah: nalyzing he Secondary Mare for Life Insurance olicies and is Regulaory Environmen. Buffalo Law Review 54, FBOZZI, F. J. (2000). Mercados, nálise e Esraégias de Bônus (Tíulos de Renda Fia). Trad. da 3. ed. mericana. QualiyMar. 793 p. GTZERT, N. (2009). The Secondary Mare for Life Insurance in he U.K., Germany, and he U.S.: Comparison and Overview. Ris Managemen & Insurance Review, 20. Inernaional acuarial noaion. Journal of he Ins. of cuaries [JI] (1949). 75: JORDN, C. W. (1991). Sociey of cuaries Teboo on Life Coningencies. The Sociey of cuaries, 2. ed. 349 p. MENONCIN, F. (2009). Deah bonds wih sochasic force of moraliy. cuarial and Financial Mahemaics Conference roceedings. Brussels: Ghen Universiy. 108 p. VRIN, H. R. (1992). Microeconomic nalysis. 3. Ed. Noron, New Yor, NY. 563 p. 16