DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO: O QUE ESTAMOS FAZENDO EM NOSSAS SALAS DE AULA?

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1 DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO: O QUE ESTAMOS FAZENDO EM NOSSAS SALAS DE AULA? Marcelo Câmara dos Santos Colégio de Aplicação da UFPE Resumo: Nessa apresentação nos propomos a discutir o que é pensamento algébrico na ótica da resolução de problemas. Articulando com a ideia de registro de representação, questionamos em que medida o trabalho realizado atualmente com o ensino da álgebra escolar possibilita aos alunos atribuir significado às ideias algébricas. Palavras-chave: Resolução de problemas; Álgebra escolar; Pensamento algébrico. A álgebra escolar funciona, ainda hoje, como um elemento determinante para decidir se um aluno irá fracassar ou obter sucesso em sua escolarização matemática. Implicitamente, em nossas salas de aula, dividimos os alunos em dois grupos. O grupo dos alunos que têm facilidade em manipular expressões algébricas, em resolver equações e sistemas, etc., tem o caminho aberto para a continuação da escolaridade. Já o aluno que não consegue demonstrar habilidades nesse domínio está condenado ao fracasso. Para esse aluno, após dois ou três anos de reprovações, a evasão escolar é a única solução, como se ele fosse uma laranja estragada a contaminar o conjunto formado pelos bons alunos. Para os alunos que fracassam em álgebra, o diagnóstico é simples e direto, eles não desenvolveram o pensamento algébrico. Fala-se bastante, em educação matemática, em pensamento numérico, pensamento geométrico, pensamento probabilístico, etc. Mas o que seria pensar algebricamente? O que diferencia pensar algebricamente de representar algebricamente? No domínio da álgebra escolar, o que estamos fazendo em sala de aula? Que caminhos podemos tomar para desenvolver em nossos alunos o pensamento algébrico e eliminar a guilhotina algébrica que teima em fazer cada vez mais vítimas na segunda fase do ensino fundamental? Não me proponho a discutir a última questão, muito bem explorada pelos colegas dessa mesa, Cláudia Groenwald e Vanildo dos Santos Silva, mas levantar alguns questionamentos sobre pensamento algébrico e registros de representação, o que me obriga, sem dúvida, a colocar em questão o que estamos fazendo, em nossas salas de aula, em relação ao processo de ensino de álgebra. 1

2 Ao mesmo tempo, falar em pensamento algébrico implica em considerarmos o que é álgebra, ou, mais especificamente, o que é álgebra na escola de ensino básico. Usiskin (1995), tomando por base o papel das letras, fala em quatro concepções de álgebra, aritmética generalizada, estudo de relações, álgebra como estrutura e álgebra como meio de resolver certos problemas. Já os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), talvez na tentativa de incorporar tradicionais práticas das escolas brasileiras, adotam a mesma tipologia de Usiskin, mas substituindo a concepção meio de resolver problemas pela dimensão resolução de equações. Em nosso trabalho, até mesmo pelas limitações de espaço e tempo de apresentação, vamos nos situar no aspecto resolução de problemas, o que nos leva, necessariamente, à questão da resolução de equações. O trabalho com a resolução de problemas tem sido bastante destacado como elemento fundamental no processo de ensino aprendizagem de matemática. Apesar disso, a dimensão operatória ainda prevalece em todos os níveis de escolaridade. Nas séries iniciais, o trabalho com os algoritmos das operações toma um espaço considerável nesse processo. Assim, busca-se trabalhar de maneira exaustiva os algoritmos para, após, aplicálos em situações de resolução de problemas. Quando, na segunda fase do ensino fundamental, inicia-se o trabalho com álgebra, essa escolha se repete, como veremos posteriormente. A ênfase recai na exploração das expressões algébricas e na resolução de equações, como ferramentas de resolução de problemas. Isso implica em uma dupla dificuldade. De uma parte, os procedimentos aritméticos vão influenciar bastante o aluno no trabalho com problemas algébricos. De outra parte, a ênfase na manipulação simbólica termina por criar, no aluno, a compreensão que as técnicas de resolução de equações, por exemplo, são mais importantes que a resolução do problema, ele mesmo. Mas o que seria um problema algébrico? O que nos leva a diferenciá-lo de um problema aritmético? Para Bednarz e Janvier (1996), em um problema aritmético o aluno pode partir de valores conhecidos para determinar valores desconhecidos, como mostra o exemplo a seguir. 2

3 Alan tem 20 figurinhas, Bruno tem o dobro de figurinhas de Alan e Carlos tem o triplo de figurinhas de Alan. Quantas figurinhas os três têm, ao todo? Esse problema poderia ser representado pela estrutura abaixo, em que, a partir de duas operações de multiplicação e uma de adição, o aluno chega à resposta do problema, na medida em que o valor conhecido refere-se a um dos elementos da situação, no caso, ao número de figurinhas de Alan. X? Alan=20 Bruno Carlos x 2 A representação simbólica seria x Já em um problema do tipo algébrico, parte-se não de um valor conhecido, mas de relações para se chegar ao valor desconhecido, em um processo inverso ao problema do tipo aritmético, como mostra o exemplo a seguir. x 3 Alan, Bruno e Carlos têm, juntos, 120 figurinhas. Bruno tem o dobro de figurinhas de Alan e Carlos tem o triplo de figurinhas de Alan. Quantas figurinhas têm cada um? Nesse caso, o aluno deve partir não de um valor conhecido, mas será preciso estabelecer relações entre os elementos do problema, que teria a seguinte estrutura. 120? Alan Bruno Carlos x 2 x 3 Os valores desconhecidos (incógnitas) não mais poderiam (ou deveriam) ser obtidos por uma sequência de operações aritméticas, sendo necessário estabelecer uma equação que expresse as relações, como, por exemplo, A A2 A

4 Quando falamos que o aluno deveria estabelecer uma equação para resolver o problema acima, estamos considerando que ele, em seu processo de escolarização, foi levado a efetuar a tão falada ruptura epistemológica da passagem da aritmética para a álgebra. Entretanto, em um trabalho recente (CÂMARA e OLIVEIRA, 2009), verificamos que mesmo os alunos em seu oitavo ano de escolaridade recorrem a processos aritméticos para resolver esse tipo de problema, também chamado de problema de partilha (MARCHAND e BEDNARZ, 1999). Nesse estudo, identificamos cerca de 30% dos alunos recorrendo à divisão por três para obter os valores desconhecidos. Por outro lado, encontramos cerca de 10% de alunos no sexto ano de escolaridade, e que, portanto, ainda não foram introduzidos à álgebra escolar, se servindo de um raciocínio algébrico na resolução desse problema, como mostra a reprodução abaixo, extraída da produção de um aluno. Alan = 20 Alan Bruno = Alan x 2 Carlos = Alan x 3 Bruno = 20 x 2 = : 6 = 20 Carlos = 20 x 3 = 60 Por esse protocolo podemos observar que, mesmo se esse aluno não representa formalmente a equação, ele mostra ser capaz de reconhecer as relações envolvidas no problema e elaborar uma representação mental da equação. Nesse caso, dizemos que esse aluno está pensando algebricamente, ao contrário do aluno que simplesmente divide o total de figurinhas por três, que estaria trabalhando em um pensamento aritmético. Isso nos leva a outras questões sobre o trabalho com a álgebra escolar. Uma delas diz respeito aos registros de representação semiótica (DUVAL, 2003) privilegiados em nossas salas de aula de matemática. De fato, no trabalho algébrico, o ensino tem sua ênfase totalmente baseada na exploração da manipulação simbólica padronizada, criando, no aluno, a concepção que álgebra é brincar com letras, seguindo regras bem definidas e imutáveis; para cada parte da álgebra (produtos notáveis, fatoração, equações de primeiro e segundo graus, etc.) temos um conjunto de manipulações estabelecidas. Além disso, como dissemos anteriormente, o trabalho com a resolução de problemas aparece posteriormente à exploração da manipulação de registros simbólicos. Com isso, surgem as enormes dificuldades dos alunos em realizar a conversão de um 4

5 registro em linguagem natural (o enunciado de um problema) para o registro em linguagem simbólica (a equação correspondente). Entretanto, quando observamos o desenvolvimento do saber matemático ao longo da história, podemos verificar que esse saber foi construído a partir de problemas do cotidiano da sociedade na busca pelo desenvolvimento do ser humano. Particularmente, os processos algébricos de resolução de problemas apareciam ligados ao contexto cotidiano, tais como problemas de partilha de heranças, de estruturas de telhados, etc. Nesse momento, a simbologia estava totalmente ausente, sendo as relações representadas unicamente em linguagem natural (fase da álgebra retórica). Nesse processo de desenvolvimento, esses saberes foram sendo paulatinamente sistematizados, com novas construções realizadas, construções essas dando origem a novos problemas, e assim sucessivamente. Porém, me parece importante destacar que esses saberes produzidos se caracterizam essencialmente pela descontextualização, processo necessário até mesmo para permitir a universalização desses saberes. Por outro lado, nossos alunos estão imersos em uma sociedade na qual a matemática aparece intimamente ligada ao cotidiano de cada um de nós. Nós fazemos matemática em cada um dos atos de nossas vidas. Mesmo o sujeito que nunca freqüentou a escola utiliza a matemática em sua sobrevivência, seja realizando operações, fazendo medições e estimativas, trabalhando com grandezas, etc. Nesse caso, é preciso destacar que se trata de uma matemática fortemente contextualizada, quase que uma matemática pessoal, de cada cidadão. Surge então um dos grandes dilemas da matemática escolar: em que medida a matemática que estamos ensinando aos nossos alunos está contribuindo para a melhoria da qualidade de vidas deles? Em que medida a matemática pessoal de nossos alunos encontra eco em nossas salas de aula. Ou, nos termos de Gelsa Knijnick (2006), como os saberes impuros convivem (ou não) com os saberes puros em nossas salas de aula. Isso me faz lembrar de uma entrevista de Yves Chevallard que dizia que a sociedade iria parar se não houvesse energia elétrica, mas não sofreria o mínimo dano se a matemática fosse retirada de nossas escolas. Eu faria um pequeno adendo a essa frase, a sociedade não sentiria a mínima falta dessa matemática que estamos fazendo em nossas escolas (CÂMARA, 2006). 5

6 Para ilustrar, e ao mesmo tempo dar sentido ao título desse texto, vou trazer um problema tipicamente escolar, no trabalho com sistemas de equações do primeiro grau com duas variáveis, objeto de ensino tão presente em nossas salas de aula de sexta série, atualmente promovido ao sétimo ano do ensino fundamental: Em um sítio existem vacas e galinhas, num total de 10 cabeças e 26 patas. Quantos animais de cada tipo existem nesse sítio? Ora, como todos bem sabemos, trata-se de um problema que exige a aplicação do conteúdo sistema de equações. Entretanto, para resolver uma equação eu preciso antes saber o que é uma expressão algébrica. Então vamos aprender o que são polinômios. Mas um polinômio é uma soma algébrica de monômios, logo eu preciso primeiro aprender o que são monômios. Essa é fácil! Monômios são produtos envolvendo letras e números. Portanto são formados por uma parte numérica, chamada de coeficiente, e uma parte litera l. Evidentemente os monômios têm grau. Bem, o grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes da parte literal. Legal! Agora vamos definir monômios semelhantes : são aqueles que têm a mesma parte literal. Bom, com isso eu já posso aprender a somar monômios, evidentemente apenas monômios que são semelhantes: somamos os coeficientes e mantemos a parte literal. Mas já que estamos somando monômios, por que não estudar também as outras operações? Vamos lá, para multiplicar ou dividir monômios (mas atenção, agora eles não precisam mais ser semelhantes), multiplicamos ou dividimos normalmente os coeficientes e, para a parte literal, aplicamos as propriedades das potências de mesma base. Você não sabe essas propriedades? Mas isso já foi estudado na quinta série, vá fazer uma revisão! A mesma coisa podemos fazer em relação à potenciação e à radiciação de monômios. Agora podemos aplicar tudo isso que aprendemos em expressões. Determine o valor de: x y z 2x y z 5x y z 625x y z 17x y z 4 0, ,

7 SOCORRO!!! Agora que já sabemos tudo sobre monômios, podemos voltar. Vamos aos polinômios, que se classificam em binômios, trinômios e os polinômios propriamente ditos. Vamos ver então, como fizemos com os monômios, como identificar o grau de um polinômio. Em seguida vemos as operações com polinômios, adição algébrica, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Mas para isso precisamos estudar também os produtos notáveis. Já sabemos tudo sobre polinômios? Vamos estudar as equações, de todos os tipos e formatos, incluindo equações com frações, heim! Agora é só aprendermos os diferentes métodos de resolução de um sistema, adição, substituição, comparação e método gráfico, e, finalmente, seremos capazes de resolver o problema das singelas vaquinhas! Temos então o trabalho com esse objeto de ensino em sua manifestação pura, obedecendo estritamente às regras de manipulação simbólica. Mas como seria esse mesmo objeto em sua versão impura? Vou apresentar agora como crianças, que ainda não aprenderam tudo aquilo colocado antes, tratam dessa questão de vaquinhas, utilizando, em particular, registros de representação pictóricos. 7

8 Forma pura Galinhas: x Vacas: y x y 10 2x 4y 22 Forma impura Temos os 10 animais x y 10 x y 10( 2) 2x 4y 26 2x 2y 20 2x 4y 26 Damos duas patas para cada animal: 2x 2y 26 2y 6 Subtraindo, sobram 6 patas 2y 26 y 3 logo, x 7 Dividindo as patas que sobraram. Portanto, temos 3 vacas e 7 galinhas. 6 y 2 Temos 3 vacas e 7 galinhas 8

9 Essa estratégia de resolução, bastante presente em alunos de quarto ano de escolaridade, mostra como eles são capazes de se servir do pensamento algébrico, mesmo que ainda não tenham a competência de se servir do registro simbólico estabelecida. Isso parece mostrar que o movimento histórico de construção dos saberes matemáticos parece ter sido completamente evacuado das escolas. Em outras palavras, partimos de toda uma construção sistemática do saber matemático para, então, pedirmos aos alunos que resolvam problemas (que na verdade se caracterizam como exercícios de fixação dos conhecimentos recebidos). As conseqüências de tais escolhas têm se refletido de forma bastante marcante nos resultados de nossos alunos, além de contribuir para o grande índice de evasão em nossas escolas, na medida em que não conseguimos dar significado à matemática que estamos ensinando. Isso parece explicar o motivo de precisarmos, atualmente, subornar nossos alunos com bolsas, vales e merendas para que ele, pelo menos, se apresente na escola. Evidentemente isso não garante que esse sujeito vá ser capaz de, um dia, mobilizar os saberes escolares para resolver problemas de sua vida cotidiana. De fato, o que freqüentemente encontramos é uma espécie de conduta adaptativa e de sobrevivência, em que os alunos seriam meros estrategistas de um jogo em que cada uma das partes executa seu papel: os professores pensam que ensinam e os alunos fingem que aprendem ou apenas se conformam (SPÓSITO, 2004). Torna-se, portanto, necessário e urgente repensarmos o trabalho que desenvolvemos atualmente com álgebra em nossas salas de aula, buscando fazer com que o aluno consiga elaborar significado a esse domínio e desenvolver o pensamento algébrico. REFERÊNCIAS. BEDNARZ, N. & JANVIER, B. Emergence and developement of algebra as a problemsolving tool: continuities and discontinuities with arithmetic. In BEDNARZ, N.; KIERAN, C.; LEE, L. (Eds.) Approaches to algebra: perspectives for research and teaching. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática (5 a a 8 a séries). Brasília: MEC / SEF,

10 CÂMARA, M. Professor, afinal quem inventou essa tal de matemática? In: Anais do XIII Encontro Nacional de Didática e Prática Pedagógica ENDIPE. Recife: Ed. Bagaço, CÂMARA, M. & OLIVEIRA, I. Les stratégies utilisées par les élèves de secondaire I pour résoudre des problèmes de structure algébrique au Brésil, une étude préliminaire. In Seminaire en Didactique des Mathématiques. Montréal: UQAM, DUVAL, R. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Sílvia Dias Alcântara (Org.), Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, KNIJNICK, G. Educação Matemática e diferença cultural: o desafio de virar ao avesso saberes matemáticos e pedagógicos. In Anais do XIII Encontro Nacional de Didática e Prática Pedagógica ENDIPE. Recife: Ed. Bagaço, MARCHAND, P. & BEDNARZ, N. L enseignement de l algèbre au secondaire: une analyse des problèmes présentés aux élèves. In Bulletin AMQ, Vol. 34, N 4. Québec: Association Mathématique du Québec, SPÓSITO, M. (Des)encontros entre os jovens e a escola. In FRIGOTTO, G.; CIAVATTA, M. Ensino Médio: ciência, cultura e trabalho. Brasília: MEC, USISKIN, Z. O que é álgebra da escola média? In Coxford, A. F & Shulte, A. P. (Org.) As ideias da Álgebra. Tradução de Domingues, H. H. São Paulo: Atual,

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