SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA DE REATORES COM O MÉTODO EXPLÍCITO DE DIREÇÕES ALTERNADAS (ADE) por Rubens S. dos Santos

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA DE REATORES COM O MÉTODO EXPLÍCITO DE DIREÇÕES ALTERNADAS (ADE) por Rubens S. dos Santos"

Transcrição

1 IEN - 35 IEN - 35 COMISSÃO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEAR INSTITUTO DE ENGENHARIA NUCLEAR SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA DE REATORES COM O MÉTODO EXPLÍCITO DE DIREÇÕES ALTERNADAS (ADE) por Rubens S. dos Santos Caixa Postal Cidade Universitária - Ilha do Fundão CEP RIO DE JANEIRO BRASIL

2 G O V E R N O D O B R A S SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA DE REATORES COM O MÉTODO EXPLÍCITO DE DIREÇÕES ALTERNADAS (ADE) por Rubens S. dos Santos IEK - Caixa Postal Cidade Universitária - Ilha do Fundão CEP Rio de Janeiro RJ - Brasil

3 THE ALTERNATING DIRECTION EXPLICIT (ADE) METHOD FOR THE NUMERICAL SOLUTION OF THE REACTOR KINETICS EQUATIONS by Rubens S. dos Santos Instituto de Engenharia Nuclear ABSTRACT In the work the one - and two - dimensional reactor kinetics equations in the multigroup diffusion theory is spatially discretized. The Alternating Direction Explicit (ADE) method is used to solve the resulting system of discretized equations. This numerical scheme is used to investigate several transients in one - and two - dimensional geometries. The results shown good qualitative and quantitative agreements with the results generated in differents references. Keywords: Space Kinetics, ADE ( Alternating Direction Explicit ), Multigroup Diffusion. ii

4 INSTITUTO DE 1EN_ 35 Fevereiro 1992 ENGENHARIA NUCLEAR SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA DE REATORES COM O MÉTODO EXPLÍCITO DE DIREÇÕES ALTERNADAS (ADE) por Rubens S. dos Santos Instituto de Engenharia Nuclear RESUMO Neste trabalho as equações uni - e bidimensionais da cinética de reatores na teoria da difusão multigrupo são discretizadas no espaço. 0 Método Explícito de Direções Alternadas (ADE) é usado para resolver o resultante sistema de equações discretizadas. Este método é usado para investigar vários transientes em uma e duas dimensões. Os resultados mostram bom desempenho qualitativo e quantitativo quando comparados com os obtidos em diferentes referências. Palavras-chaves; Cinética Espacial, ADE ( Alternating Direction Explicit ), Difusão Multigrupo. iii

5 AGRADECIMENTOS Gostaria de agradecer a colaboração fornecida pelos vários setores e colegas do Instituto de Engenharia Nuclear, enriquecendo esse trabalho com apoio, críticas e sugestões. IV

6 SUMÁRIO pagino AGRADECIMENTOS 1. INTRODUÇÃO 2. FORMULAÇÃO DO MODELO DE CINÉTICA DE REATORES 3. DISCRETIZAÇAO ESPACIAL E TEMPORAL DAS EQUAÇÕES 4. O PROGRAMA CINESP 5. RESULTADOS 6. CONCLUSÕES 7. REFERÊNCIAS iv APÊNDICE A 29 RELAÇÃO DE TABELAS Tabela 5.1. Fluxo Térmico no Centro do Reator Tabela 5.2. convergência do Fluxo Térmico no Centro do Reator Tabela 5.3. Fluxo do Grupo 4 no Centro do Reator com h = 2xlO* 6 segundos Tabela 5.4. Fluxo Térmico com h = õxlo^so.gundos Tabela 5.5. Convergência do Fluxo Térmico no Ponto (10,10) Tabela 5.6. convergência do Fluxo Térmico no Ponto (5,5) Tabela 5.7. Reatividade e Função Amplitude Tabela 5.8. Constantes dos Precursores de Neutrons Atrasados Tabela 5.9. Tempos de Computação de CINESP e MITKIN RELAÇÃO DE FIGURAS Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Esquema de Espalhamento dos Neutrons 6 Malha Bidimensional 6 Discretização na Direção X 6 Discretização na Direção Y 6 Variação da Composição em Coordenadas Cartesianas para 4 Pontos de Fluxos 7 Variação da Composição em Coordenadas Cilíndricas para 4 Pontos de Fluxos 7 Representação típica da equação matricial (3.2) Malha Bidimensional com NX=4 e NY=3 Representação estrutural da matriz D Representação estrutural da matriz E 11

7 Figura 3 Figura 3 11 Representação estrutural da matriz D 12 Representação estrutural da matriz D, Figura 3.13 Representação estrutural da matriz E Figura 3.14 Representação estrutural da matriz E Figura 3.15 Representação estrutural da equação matricial 3.13 Figura 3.16 Representação estrutural da equação matricial 3.15 Figura 3.17 Representação da matriz solução na primeira fase do método ADE Figura 3.18 Representação da matriz solução na segunda fase do método ADE Figura 5.1. Erro em Função do Incremento de Tempo Figura 5.2. Solução CINESP Figura 5.3. RHYNE e LAPSLEY Figura 5.4. Solução CINESP Figura 5.5. RHYNE e LAPSLEY vi

8 1. INTRODUÇÃO A distribuição do fluxo de neutrons num reator, em diversas situações de criticalidade, não revela a forma pela qual o reator evoluirá no tempo a partir da alteração de parâmetros que definem o estado de criticalidade. Um dos processos que permitem conhecer o comportamento temporal aproximado, a partir dessa alteração, consiste em resolver as equações da cinótica de reator. Essas equações formam um sistema constituido por uma equação que descreve a variação espacial e temporal do fluxo de neutrons, e por um conjunto de equações que descrevem o comportamento espacial e temporal das concentrações dos precursores de neutrons atrasados. Adotando-se o modelo da Teoria da Difusão Multigrupo, a estratégia de resolução numérica dessas equações tem motivado o desenvolvimento de vários algoritmos computacionais, exibindo diferentes graus de aproximações. Como exemplos temos: WIGLE [1,2/3], um código computacional unidimensional, a dois grupos de energia para os neutrons e utilizando solução numérica das equações por diferenças finitas, tanto na parte espacial quanto na temporal; o código unidimensional GAKIN [4] multigrupo também é um código de diferenças finitas. 0 código TWIGL [5] é um programa semelhante ao WIGLE, no entanto, ele é dirigido para resolução numérica de problemas a duas dimensões. O código MITKIN [6,7] resolve numericamente as equações da cinética de reatores numa formulação multigrupo a duas dimensões e com solução numérica por diferenças finitas, utilizando um modelo de transformação de freqüência que aumenta a precisão da solução nos incrementos de tempos maiores. O código ADEP [8] é aplicável a problemas multigrupos uni e bidimensionais em coordenadas cartesianas e cilíndricas, com solução numérica temporal dada para um caso particular a partir de uma das soluções gerais contidas no MITKIN [8]. 0 código QX1 [9] utiliza um modelo multigrupo a uma dimensão e aproximação quasiestática, típica dos reatores rápidos. 0 código UNICIN [10] é aplicável a problemas multigrupo unidimensionais, utilizando diferenças finitas na dependência espacial e resíduos ponderados na integração temporal, com solução global iterativa. Neste trabalho é implementado um algoritmo numérico para as equações da cinética de reatores, com base no MITKIN [6], tendo por fim a construção de um módulo computacional para ser acoplado em

9 programas de cálculos de transientes em reatores. Para tanto buscamos construir um módulo computacional versátil e preciso, no sentido da aplicabilidade tanto para reator rápido quanto térmico, para as geometrías cartesianas ou cilíndicas a uma ou duas dimensões, com qualquer número de precursores de neutrons atrasados e de grupos de energia. 2. FORMULAÇÃO DO MODELO DE CINÉTICA DE REATORES Adotando o modelo da Teoria da Difusão Multigrupo, sem fonte externa de neutrons, as equações que descrevem o comportamento do fluxo neutrônico no núcleo de um reator durante um regime transiente são dadas por [11,12] 8<p è ã* 9 = V - D V P ~ % <p + V Z 0, + V ox. g g Rg g L. sg'g r g' 9 G I G 9'* 9 + r; í 1 "^ 1 V<g'V 1 x * \ c * ; g=1 ' 2 G t 2-1 * 6 g' = 1 k=1 I v^\ \ c ; K12! (2-2) onde: v= velocidade dos neutrons no grupo de energia g, em cm/s. <p = fluxo de neutrons no grupo de energia g, s em nêutrons/cm s. t = tempo em segundos. D = coeficiente de difusão do grupo g, em cm. 9 = seção de choque macroscópica de remoção Rg do grupo g, em cm". G = número de grupos de energia. ( = seção de choque macroscópica de espalhamento S9 ' 9 do grupo g' para o grupo g, em cm. X = espectro de neutrons prontos no grupo de energia g. /3 = fração total de neutrons atrasados. K = fator de multiplicação efetivo do reator, para ficar e consistente com a equação de criticalidade.

10 v,= número médio de neutrons produzidos por fissão 9 no grupo g'. (= seção de choque macroscópica de fissão 8 do grupo g', em cm'. i = número total de grupos de precursores de neutrons atrasados. X = espectro de neutrons atrasados do k-ésiino grupo de 09 precursores para o grupo de energia g. A = constante de decaimento dos precursores do grupo k,em si 1 C = concentração dos precursores do grupo k ; em cm. A seção de choque macroscópica de remoção em (2.1) é dada pelo balanço ^-Í.. -*; ' (2-3) onde, é a seção de choque macroscópica total do grupo g, em cm". Aqui onde, Y. é a. seção de choque macroscópica de espalhamento total dada por G ou, equivalentemente por 9 ' = 1 G r = y + Y y (2.5) g ' * S e ^ é a seção de choque de absorção do grupo g. No nosso caso podemos ter: onde Y. é a seção de choque macroscópica de captura do grupo g, -1 C9 em cm.

11 Entendido os balanços acima, podemos substituir (2.4) em (2.3) para obtermos: Agora, utilizando (2.5) obtemos L = I + I ~ E (2.7) T?9 sg Hg '-sgg ' 8 '* S A solução do sistema ( ) requer conhecimento de f e C no tempo t=0 assim como das condições de contornos. As condições iniciais são estabelecidas, por exemplo, partindo da condição de equilíbrio, isto é, fazendo em (2.1) e (2.2) Dessa forma teremos r-i *. P9 r, V* r* g g Rg g Z< sg'g g' K Z-, g 1 fg' g' e g'* s g'= 1 ] k =1? ) V V tf*

12 Substituindo (2.10) em (2.9) tem-se V.D Vtp - Z tp + y Z, tp, +?P- (1-/3) y V,tp + g r g Rg r g L sg'g r v g' K t ' ' g' fg' r g' ef s ' * s o ' = 1 X /C ** i -- ^ k-1 9 ef ' k fl ' = 1 Após rearranjos e simplificações em (2.11) temos onde x. - V.DVtp + Z tp - y X V>, = t? 2 y ^ S, ( ) g a Hg g L, sg'g g' K > g' fg 1 g' g ' * g g ' = 1 k=1 3. DISCRETTZAÇÃO ESPACIAL E TEMPORAL DAS EQUAÇÕES 3.1 Considerações Preliminares Antes de partirmos para a resolução numérica das equações (2.1), (2.2), (2.12) e (2.10), estabeleceremos as possíveis configurações geométricas e composições, restrições e condições de contornos. No tocante à geometria, a discretização espacial deve se aplicar a problemas a uma e duas dimensões, em geometrias cilíndrica ou retangular. As condições de contorno nesses casos são: fluxos nulos nos contornos e reflexiva no centro, no caso de geometria cilíndrica. Os números de grupos de energia de neutrons e o número de precursores de neutrons atrasados se limitam à capacidade de armazenamento do computador em uso. Não haverá retroespalhamento, sendo os possíveis espalhamentos realizados entre vizinhos, conforme a figura seguinte

13 g-1 g+i Fig. 3.1: Esquema de espalharaentos dos neutrons. A grade espacial com os pontos de fluxos e regiões materiais são dadas nas figuras abaixo l + 1 P. gi - 1 l /2 g i l i - 1 i - 1 / 2 g i + 1 /2 1-1/2 P.,, g í Fig. 3.2: Malha bidimensional..._ôx : -1 <5x. i 1 i - 1/2 X. i * 1/ X Fig. 3.3: Discretizacão na direção x. t - i 1-1 i y 1-1 w-, ////. / / / / / / / / A 1-1/2 1+ 1/ Fig. 3.4: Discretizacão na direção y.

14 A variável P é uma grandeza física genérica tal como D ou, etc. Exemplificamos aqui as possíveis malhagens, apenas na a B direção x, devido à possibilidade de se terem coordenadas cartesianas ou cilíndricas em x. Em ambas as geometrias consideraremos o número de pontos de fluxos na direção x, NX, igual a 4. Coordenada cartesianas: <P., <P. <P. <P. EgO Sg1 g2 2g3 Zgt, x=o 6x0 6x1 6x2 5x3 Ôx4 Fig. 3.5: Variação da composição em coordenadas para 4 pontos de fluxos. x=h cartesianas Ressalte-se que os fluxos se anulam nos contornos. Coordenadas cilíndricas: Zg1 Eg2 Zg3 Sg4 x=o 5x1 I Ôx2 Fig. 3.6: Variação da composição em coordenadas cilíndricas para 4 pontos de fluxos. Em geral <p não se anula. Aqui a derivada -5- se anula em x = 0. g1 UJÍ Com as considerações feitas nessa seção, a equação (2.1) fica: 6x3 6xA X=R õtp "ãt 9 _ 8 dtp d v m ~dx XD n 9 + j. T 9~õx -F n y Sy~ u s dip -D B <p - I. <p + =7^ 9 g g Rg g K Y v (S f,<p,+ g ' = 1 k=1 k k g=i.2 G, (3.1)

15 onde, m=0 se aplica no caso de coordenada cartesiana em x, m=l no caso de coordenada cilíndrica. O fator f é nulo tratando-se de v 2 problemas a uma dimensão, e 1 para duas dimensões. A variável B é g o "Buckling" geométrico transversal do grupo g, dependente de x, B 2 = B 2 (x). 3.2 Discretização Espacial Para obtermos a discretização espacial da equação (3.1), integramos nas regiões hachuradas das malhas definidas pelas figuras 3.3 e 3.4, segundo uma expressão do tipo _ V l + 1/2 * i + 1 / 2 jdy x m dxt(x,y,t) V t -1/2 X i - 1/2 onde T(x,y,t) é um integrando genérico associado a cada termo da equação (3.1). As manipulações das integrais acima, na equação (3.1) e simplificações são demonstradas no apêndice A. Definindo um vetor $>, construído a partir das discretizações espaciais dos fluxos de neutrons das concentrações dos precursores de neutrons atrasados, podemos condensar o sistema de equações diferenciais ordinária geradas, na seguinte equação matricial = A *, (3.2) onde A ê uma matriz formada pelos coeficientes das equações da cinética de reator discretizadas espacialmente. Uma representação típica de (3.2), num problema bidimensional, é dada por

16 JJ It 1 ii: \ \ \ Jl tl It zr n.-] 3t * 4! 1? I J 33 4} d dt 9--2 k-'l \ Fig. 3.7: Representação típica da equação matricial 3.2, \ onde, NX = 4, NY = 3, G = 2, i = l e a malha é da forma: A Fig. 3.8: Malha bidimensional com NX = 4 e NY = Discretização Temporal Antes de procedermos a discretização temporal da equação (3.2) definimos um vetor \p dado pela transformação = exp(wt) ip, (3.3) onde w e exp(wt) são matrizes diagonais. A equação (3.3) é chamada de "Transformação de Freqüência". Substituindo (3.3) em (3.2) obtemos exp(wt) 5F + w exp(wt) 0 = A exp(wt) (3.4) ou, após rearranjos,

17 = exp(-wt) ( A - w ) exp(wt) (3.5) sendo \{i (0) = * (0), Devemos notar que, da equação (3.3), foi admitida uma forma exponencial no tempo para <p, o que geralmente acontece para a equação (3.2), com uma escolha adequada da matriz w. Com isso, é esperado uma variação temporal mais suave para 0, possibilitando o uso de incrementos de tempos maiores na resolução numérica de (3.5), quando comparado com (3.2), Reed [6]. Utilizaremos, na equação (3.5), o procedimento numérico contido no MITKIN [6], definido por Reed [6] como ADE - ALTERNATING DIRECTION EXPLICIT. Para isso definimos as matrizes D e E da seguinte forma: D = E = matriz contendo os termos associados com a difusão dos neutrons mais os Xs da equação dos precursores de neutrons atrasados. matriz contendo as seções de choques de remoção, de fissão e de espalhamento, mais os termos associados com a produção de neutrons atrasados. Considerando a estrutura matricial mostrada na figura 3.7, D e E são da forma D = Fig. 3.9: Representação estrutural da matriz D. \ 10

18 \ \ E = \1\ Fig. 3.10: Representação estrutural da matriz E. Com isso temos: A = D + E (3.6) Partiremos as matrizes D e E da seguinte maneira: D = E = (3.7) (3.8) sendo, D. = matriz triangular inferior, cuja diagonal principal é metade da diagonal principal de D. D = E. = matriz triangular superior cuja diagonal metade da diagonal principal de D. matriz triangular inferior cuja diagonal diagonal principal de E. principal é a principal é a matriz estritamente triangular superior,i.e.,sua diagonal principal é nula. Tomando por base as figuras 3.9 e 3.10 temos Fig. 3.11: Representação estrutural da matriz D 11

19 1 No Fig. 3.12: Representação estrutural da matriz Fig. 3.13: Representação estrutural da matriz E Fig. 3.14: Representação estrutural da matriz E Definidas D 1, D 2 E 1, e E 2, representando t por conjuntos discretos do tipo t Q, t i, t 2,..., t n,... de maneira que h ' n = ' 1 ' 2 '- ' (3.9) onde t Q =0 e h é o incremento uniforme de tempo. Além do mais, consideraremos as matrizes D 1, D 2, E^ E 2 com as seguintes 12

20 dependências temporais =D í Na aplicação do método ADE utlizaremos duas fases de aproximações. Para a primeira fase, aproximaremos a equação (3.4) por diferenças finitas avançadas, no intervalo 0 s t * h/2, da seguinte forma =expí-wt h/2 ""*[ n ml/2 onde foi feita a aproximação exp(w n t n ] - expfw^j. (3.11) Utilizando (3.3), e notando que = exp -w n t 13

21 após rearranjos em (3.10) teremos expí-wt 1 í^1/2 = e^í-wtlff" + expí-wt, J [D" +1/2 + ^ { n n+1/2j [ n nj 2 *[ n n+1/2j [ 2 - *. Multiplicando (3.12) por exp w t e considerando que t - t = mv2 n 2 ' a equação (3.12), após rearranjos e simplificações, assume a forma, n -* 1 / 2,, i i x " ~ ' / t _ i., n i r ^ M ^ ' i j j i i i n * * 1 o \ onde í, nesse contexto, é a matriz identidade. Na segunda fase, completando o intervalo h/2 < t s h, a equação (3.4) é aproximada como i i n + ^ _ i / i n + ^ / 2 / ^fi 1 -l / \ = exp -w t D n+ + E n+ -w exp w t ia r 14

22 Também em (3.14) foi utilizado uma aproximação do tipo exp w t 1 «expfw t Utlizando procedimentos análogos àqueles empregados em (3.10) podemos facilmente chegar à seguinte forma final para (3.14) (3.15) Utilizando nossa estrutura matricial exemplo, associada com a figura 3.8, a equação (3.13) assume a seguinte forma Fig. 3.15: Representação estrutural da equação matricial 3.13 enquanto (3.15) toma a seguinte forma m Ni \-» Fig. 3.16: Representação estrutural da equação matricial

23 A resolução das equações (3.13) e (3.15) é facilmente entendida observando as figuras 3.15 e Pela figura 3.15 resolvemos o lado direito com uma simples multiplicação matrical, gerando uma estrutura matricial dada pela figura seguinte \ c V, \ \ Fig. 3.17: Representação da matriz solução na primeira fase do método ADE. Conhecidos b, b e b, os blocos de vetores v, v e v ficam determinados efetuando a multiplicação matricial da figura 3.17, elemento a elemento, a partir das últimas componentes dos blocos para a primeira. Isso corresponde a varrer a malha do canto mais extremo para o início, isto é, de NY, e ou, NX até 1=1, e ou, i=i. Na determinação dos blocos subseqüentes o procedimento é mantido por rearranjo dos blocos já calculados, isto é, transpondo os blocos conhecidos para o lado direito. A solução da equação matricial (3.15) é obtida de uma estrutura dada pela figura >> - \ \ Fig. 3.18: Representação da matriz solução na segunda fase do método ADE. 16

24 sendo V = exp ~ w í"* 1. Conhecido v' teremos ^ wj V, (3.16) que é imediato. A determinação componente a componente dos vetores blocos é efetuada como anteriormente, invertendo a maneira de varrer a malha espacial, isto é, indo do extremo inicial para o final. Em nosso desenvolvimento do método ADE foram introduzidas as matrizes w e exp(wt). No trabalho do Reed [6] a matriz v é calculada a cada intervalo de tempo por w n = R ln I"" 1 ' (3 * 17) A matriz exp(wt) é construída tomando as componentes de w do tipo w e calculando e u com u = w. t. 0 núrcero e representa a base dos logaritmos neperianos. No trabalho do Reed [6] também foram analisadas a estabilidade e a consistência do método ADE. 4. O PROGRAMA CINESP Com a discretização das equações (3.1) e (2.2), foi gerado o programa computacional CINESP [13], em linguagem FORTRAN. O programa CINESP fornece a distribuição de fluxos espacial, assim como as concentrações de precursores de neutrons atrasados, a partir de uma distribuição de fluxos calculada tomando por base a pesquisa de criticalidade, ou com uma distribuição calculada a priori junto com um k. CINESP fornece também a reatividade p(t) do reator e uma função amplitude T(t), calculadas pelas equações 17

25 G Í * r i Pit) = 1 + dvy <p?. D 7o> -Z tp + V E tp \ G 0*1 * c - 0'* B G (4.1) g = 1 g'= 1 T(t) = (x,y,o)?) (x,y,o) (4.2) 5=1 *k "k sendo, em (4.1), <p = u (x,y,t) e tp - tp (x,y), o fluxo adjunto, que é solução de V * " í '" S ef 9' (4-3) construído a partir da transposta da estrutura matricial representada por (2.12). A integração em v é efetuada, numericamente, ao longo do volume da malha espacial. Quando CINESP efetua a pesquisa de criticalidade, para gerar a distribuição inicial de fluxos, o sistema de equações (2.12) é resolvido ora por decomposição matricial do tipo LU, no caso de problemas unidimensionais, ou utilizando o método iterativo SOR (Successive Over-Relaxation), em caso de problemas bidimensionais [14]. O fator de multiplicação efetivo, k, conforme a referência [12], é calculado pelo tradicional método de potência. Isto é, 18

26 ídv S <p> (x,y) (4.4) onde, numa dada iteração p, S (p) (x,y) =»Z f0 (x,y) ^p) (x,y). (4.5) a = 1 Dessa forma, CINESP resolve numericamente (2.12) junto com (4.5) para determinar <p (x,y) e k. Com isso podemos calcular <p (x,y) de (4.3). Para uma distribuição fornecida como dado de entrada, CINESP calcula da mesma forma o fluxo adjunto de (4.3). Desse ponto em diante CINESP também gera constantes para serem utilizadas em cálculos da cinética pontual, tais como /3, a fração de neutrons atrasados do k-ésimo grupo de precursores, e o tempo de geração de neutrons. Conhecidas as distribuições iniciais dos fluxos neutrônicos e dos precursores de neutrons atrasados, o programa CINESP fornece informações em tempos previamente lidos. 5. RESULTADOS O programa CINESP foi usado no cálculo de vários transientes. O primeiro foi um transiente causado pela variação na seção de choque de captura do grupo 2, num reator homogêneo bidimensional, a 2 grupos de energia. Esse caso é descrito nas referências [6,7], sendo considerado para S o valor corrigido de cm" 1. A tabela 5.1 mostra a variação do fluxo térmico com o tempo no centro do reator calculada por CINESP e por outros códigos. Nota-se ótima concordância dos resultados. Observando a tabela 5.2 constatamos a convergência de CINESP nesse transiente, a medida em que se diminui os incrementos de tempo. Nesse transiente, também é observado o 19

27 efeito do uso da transformação de freqüência para aumento da precisão. A figura 5.1 mostra o comportamento do erro percentual do resultado de CINESP, confrontado com a solução exata, do fluxo térmico no centro do reator, em t=.4 segundos, para os casos com e sem transformação de freqüência, em função do incremento de tempo. Tabela 5.1 : Fluxo Térmico no Centro do Reator. t(s) MITKIN h =.001S CINESP MITKIN h =.0005s CINESP EXATO Tabela 5.2 Convergência do Fluxo Térmico no Centro do Reator. t(s)\^

28 10 "3 W* s WfO IO' 1 i IO' 1 - l < ^ \ I I I 1 I I ' ' I B h(ms) Figura 5.1: Erros em função do incremento de tempo, Um segundo transiente é causado por um aumento em degrau no número de neutrons prontos por fissão,v, num reator homogêneo bidimensional, a 4 grupos de energia. Esse caso é descrito na referência [6]. A tabela 5.3 mostra os resultados calculados pelo programa CINESP junto com os resultados obtidos na referência [6], Observando esta tabela, notamos uma boa concordância de CINESP com a referência. Tabela 5.3 : Fluxo do Grupo 4 no Centro do Reator com h = 2x10" s. t(s) MITKIN CINESP EXATO

29 O terceiro transiente é num reator heterogêneo, ainda bidimensional, a 2 grupos de energia, perturbado na seção de choque de captura do grupo térmico. Novamente, esse caso é descrito nas referências [6,7]. A tabela 5.4 mostra os resultados gerados por CINESP e por outros programas [6,7]. Também nesse caso, CINESP mostra boa concordância com outros códigos. Procuramos demonstrar a convergência de CINESP, utilizando vários incrementos de tempos. Observando as tabelas 5.5 e 5.6 verificamos a boa convergência de CINESP, também nesse transiente. Tabela 5.4 : Fluxo Térmico com h = 5.X10 t» t(s) FLUXO TÉRMICO - Ponto ( 10,10) MITKIN TWIGL CINESP FLUXO TÉRMICO - Ponto (5,5) MITKIN TWIGL CINESP Tabela 5.5: Convergência do Fluxo Térmico no Ponto (10,10) ^\h(s) t(s)\

30 Tabela 5.6 : Convergência do Fluxo Térmico no Ponto (5,5), h(s) t(s) Até aqui o programa CINESP só foi aplicado em problemas a duas dimensões. A eficiência de CINESP, no tocante à resolução numérica de problemas também a uma dimensão, é comprovada com os resultados gerados para os transientes descritos a seguir. 0 quarto caso é um transiente critico atrasado, descrito nas referências [10,15,16], num reator tipo "slab" de 240 cm, a 2 grupos de energia. A tabela 5.7 mostra a reatividade e a função amplitude calculadas por CINESP e por métodos descritos nas referências [10,15]. As figuras 5.2 e 5.3 mostram os fluxos térmicos calculados por CIliESP e pelo método descrito na referência [16]. Nota-se ótima concordância de CINESP com as referências. Tabela 5.7: Reatividade e Função Amplitude, MÉTODOS WIGLE CINESP UNICIN CAROÇO DE p(0.8s) 4.287x10" 4.280x10" 4.204X10" cm T( 0.8s)

31 0.0-4 o.oo J 0 60 U'O 180 2*0 X(crr,} Figura 5.2: Solução com CINESP Wltllt, fir. Figura 5.3: RHYNE e LAPSLEY [16]. O quinto transiente, também unidimensional, é uma típica retirada de uma barra de controle num reator. Esse transiente é descrito na referência [16], sendo consideradas aqui as constantes dos precursores dadas na tabela 5.8, típicas de um PWR. As figuras 5.4 e 5.5 mostram as variações do fluxo térmico calculadas por CINESP e pelo método descrito na referência [16], respectivamente. Pelas figuras notamos boa concordância dos resultados. A pequena diferença nas amplitudes devem ser creditadas aos valores das constantes de neutrons atrasados adotadas e à normalização da distribuição do fluxo inicial. Tabela 5.8 k Constantes dos Precursores de Neutrons Atrasados. * k 2.850xl0' A 1.597xlO~ xl0" xl0~ xlO~ xl0~ A v s " 1 >

32 10" _ - I _. If- m r I m", i f.'imt/m.,.^_ ' K\ ' t < ü.05o-';. - " t-i, - ~m a G B -r : - - :...: :.--] Figura 5.4: Solução com CINESP. : zu 40 tio Mesh Piia Figura 5.5: RHYNE e LAPSLEY [16] Na tabela 5.9 é mostrado, como ilustração, um quadro comparativo dos tempos de execuções de CINESP e MITKIN [6], para uma malha quadrada, com 100 "mesh points" (NX=NY=9), 2 grupos de energia de neutrons e um grupo de precursores de neutrons atrasados. O programa CINESP foi executado num microcomputador PC-XT-CE Turbo de 4 MB. Já o MITKIN utilizou um IBM 360/65. Da tabela observamos que CINESP é sempre mais rápido que MITKIN, nesses equipamentos, mesmo observando que CINESP traz em sua estrutura computacional, um desvio condicional do tipo "IF", que identifica, em várias rotinas do programa e a cada incremento de tempo do transiente, se o problema é a uma ou a duas dimensões. Isso não existe em MITKIN haja visto o mesmo ter sido desenvolvido para um reator com geometria retangular [6]. 25

33 Tabela 5.9: Tempos de Computação de CINESP e MITKIN. h(s) Incrementos de tempos Tempo de Cálculo de CINESP(s) Tempo de Cálculo de MITKIN(s) CONCLUSÕES Com os resultados apresentados, podemos concluir que a construção de um algoritmo computacional versátil e eficiente, conjugando precisão com rapidez, foi plenamente atingido. O programa CINESP constitui-se numa ferramenta que pode ser incorporada em programas de transientes em núcleos de reatores, onde a precisão dos resultados será tão próxima da solução analítica quanto se queira. Isto é possível pelo fato de CINESP exibir consistência e estabilidade, dentro dos testes realizados nesse trabalho. Como subproduto, CINESP constitui-se numa alternativa para pesquisa de criticalidade, gerando distribuição de fluxos de neutrons junto com o fator de multiplicação efetivo do reator e correção de parâmetros da cinética pontual. A incorporação de modelos da termoidráulica do núcleo do reator permitirá, no futuro, cálculos de transientes com efeitos de realimentação. 26

34 7. REFERÊNCIAS [l] W. R. cadwell, A. F. Henry and A. J. Vigilotti, "WIGLE - A Program for the Solution of the Two-group Space-Time Diffusion Equations in Slab Geometry, " WAPD-TM-416, January, [2] A. F. Henry and A. V. Vota, "WIGLE - A Program for the Solution of the On&-Diinevsional Two-group, Space-Time Diffusion Equations Accounting for Temperature, Xenon and Control Feedback, " WAPD-TM-53 2, Octuber, [3] A. V. Vota, N. J. Curlee Jr. and A. F. Henry, " WIGL3 - A Program for the Steady-State and Transient Solution of the One-Dimensional, Two-group, Space-Time Diffusion Equations Accounting for Temperature, Xenon and Control Feedback, " WAPD-TM-788, February, [4] K. F. Hansen and S. R. Johnson, "GAKIN - A One-Dimensional Multigroup Kinetics Code, " GA-7543, August (1967). [5] J. B. Yasinsky, M. Natelson, L. A. Hageman, " TWIGL - A Program to Solve the Two-Dimensional, Two-group, Space-Time Neutron Diffusion Equations with Temperature Feedback, " WAPD-TM-74 3, February, [6] Wm. H. Reed, "Finite Difference Techniques for the Solution of the Reactor Kinetics Equations, " ScD Thesis, Department of Nuclear Engineering, Massachusetts Institute of Technology, [7] Wm. H. Reed and K. F. Hansen, " Alternating Direction Methods for the Reactor Kinetics Equations, " Nucl. Sci Eng., 41, 431, [8] R. S. Denning, " ADEP, One and Two-Dimensional Few-group Kinetics Code, " Battelle Columbus Laboratories, Topical Report, Task 18, July [9] D. A. Meneley, K. 0. Ott and E. S. Winer, " Fast-Reactor Kinetics-the QX1 Code, " Argonne National Laboratory, ANL-7769, [10] H. G. Alcântara, A. Prati, M. A. P. Rosa e R. P. K. Nair, 11 Um código Unidimensional de solução de Equações de Cinética Multigrupo, " 5- ENFIR, 1, 164, Rio de Janeiro, [11] A. F. Henry, " Nuclear Reactor Analysis, " The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, [12] J. J. Duderstadt and L. J. Hamilton, " Nuclear Reactor Analysis " John Wiley and Sons, Inc., [13] R. S. dos Santos, " Manual de Utilização do Programa CINESP, " CNEN/IEN, Comunicação Técnica a publicar. [14] M. Clark Jr. and K. F. Hansen, 11 Numerical Methods of Reactor Analysis, " Academic Press Inc., New York,

35 [15] J. B. Yasinsky and A. F. Henry, " Some Numerical Experiments Concerning Space-Time Reactor Kinetics Behavior, " Nucl. Eng., 22, 171, [16] W. R. Rhyne and A. C. Lapsley, " Numerical Solution of the Time- and Space-Dependent Multigroup Neutron Diffusion Equations, " Nucl. Sci. Eng., 40,91,

36 APÊNDICE A_ Discretização Espacial das Equações da Cinética A discretização espacial das equações (3.1) e (2.2) são efetuadas integrando as nas regiões hachuradas das malhagens definidas nas figuras 3.3 e 3.4. Para isso façamos, primeiramente r I +1/2 Idy x m dx 1-1/2 i - 1/2 T1 _ l ^ g v g at ' 1*1/2 "i + 1/2 = dy x m dx Z o. + J V., J I -1/2 " i - 1/2 T2 sg-1g^g-1 + dy 1+1/2 s*>. 1+1/2 i + 1/2 x m dx f y 3y dtp n! g dy "" y t -1/2 i - 1/2 T3 1-1/2 X i-1/2 T4 y 1+1/2 - X i + 1/2 dy x m dx D B 2 <p - g g g y i -1/2 T5 x i -1/2 y 1+1/2 *i + 1/2 dy jx m dx V 1-1/2 " i - 1 / 2 T6 r y 1+1/2 dy y t - 1/2 i - 1 /2 T7 ef g ' = 1. t +1/2 dy y I - 1/2 1/2 I x m dx I T8 : g=l,2 G (A.2) Aqui definimos 71/ T2 até T8/ como os diversos termos da equação (A.2). Na equação (A.2), tanto <p = <p (x,y,t) quanto C, = C, (x,y,t) 9 9 k k 29

37 são assumidos constantes na região de integração e definidos como (P. e C,. Com isso temos 0il ki l T1 =~ v B dt l+1/2 r 1+1/2 dy x m dx. y,. 1/2 1-1/2 (A.3) As integrais em (A.3) são desenvolvidas como - 1+1/2 dy x m dx = (y 1+1/2 v ) y i-v2 ; 1+m i+1/2 x ) i-1/2' (A.4) y 1-1/2 i - 1/2 Desde que «y l+ _, Xj+1/2- X,+ 5X. X.. = X.- i-1/2 i 2, a equação (A.4) assume a forma d y V X Y 1-1/2 i-1/2 Definindo Py i =»,. (x, +f^i)" 1 - (x, -ÍÍ1-' e substituindo estas definições em (A.5) temos 30

38 dy x m dx = 1-1/2 "i-1/2 p (A.6) Definindo as variáveis fe=m+l e DG, onde DG=1 significa o caso unidimensional e DG=2 significa o caso bidimensional, é fácil perceber que o número 2 no denominador de (A.6) está associado com o fato de considerarmos a integração em X-Y. Se fosse somente em X teríamos o número 1 no lugar do número 2. Dessa forma uma representação mais geral para (A.6) seria '!..«l -1/2 «i.t/2 X i-1/2 (A.7) Dessa forma (A.3) assume a forma DG fa (A.8) O segundo termo de (A.2) é desenvolvido da seguinte forma / 1 + 1/2 / f + 1/2 T2 = <P dy x m d>: t - 1 / 2 -s g - 1 g (A.9) Desde que as propriedades variam nos pontos ii, devemos fazer uma integração por partes JO XC - = m * g a - 1 i l dy E. B -1 B I -, h m d X +^sg-1gi t -1/2 i-1/2 r 5+1/2 x m dx. (A.10) As integrais em x de (A.10) são expandidas como 31

39 fa (A.11) 1 n 1/2. i+ 1/2 x m dx = fa fa i+1/2 (A.12) 5X. 5X. > fa - [( x, + -r )'-*; ] Substituindo F. e G. definidos em (A.11) e (A.12) respectivamente, em (A.10), tem-se I + 1 /2 l^sg- 1g i - 1 _j fa I - 1/2 Agora a equação (A.13) pode ser escrita como T2 = fa 1+1/2 1-1/2 1+1/2 1-1/2 (A.14) As integrais em y de (A. 14) são desenvolvidas da seguinte forma 32

40 1+1/2 1+1/2 t-1/z I -1/2 «y, y + i. r ^sg-1gi *-sg-1g i -11. Ou ainda / t+1/2 dy 1 y 1-1/2 I (Ôy i-1 5,) (A.15) Por analogia, 1+1/2 1-1/2 (A.16) Substituindo (A.15) e (A.16) em (A.14) temos = ~h ViH ["IT i 5y r + ôy T 2 ( ^1-1 ^sg-igu-1 J t ^sg- (A.17) Rearranjando (A.17), simplificando e substituindo o denominador 2 por DG, temos 33

41 DG.ft. lit (A.18) O desenvolvimento do terceiro termo de (A.2) aparece como / 2 T3 = dy íx m D 1-1/2 g dtp g 0X i + 1 / 2 i - 1 / 2 (A.19) O termo entre parênteses de (A.19) é dado por (D (D õcp / ôx. %m rgi+1 gi+1 gi gi i - 1 / 2 X. + \ D { > 2 J g, SX ( ÕX. ^-V 1 \ m Vi OX. i - 1 Vi) Com a aproximação acima, (A.19) assume a forma r' l 1 / 2 5x. A m T3 = dy l - 1 / 2 i "Vi (A.20) - 34

42 Devido à forma de variação dos fluxos e propriedades físicas,(a.20) pode ser escrita como TO = r ( 4 êx vm y l + 1 /2 "2 ( a - <p ) dy D 2 r r Vt+1/2 J < *., - Vi > j d y V, < A - 21 > Y l - 1/2 As integrais em y na equação acima são dadas por y i 1 / 2 dy D gj = ( ôy i. 1 D gjm + fiy, D gu ) (A.22) V l - 1/2 r V l + 1 /2 l - 1 / 2 è ( ô^.i D.,.u.i + 5^t D,«.u > (A - 23) Substituindo (A.22) e (A.23) em (A.21), e utilizando a variável DG no lugar do denominador 2, temos / ÔX. DG. (A - 24) O termo J4 é dado por 35

43 T4 = f. t - 1 /2 r x m dx i 1 / 2 dtp ) - ' a ay (A.25) O desenvolvimento da integral em x de (A.25) é dado por p i + 1/2 x m dx D 3y.0 ^ _ 9 ' x<" dx D. = ay (A.26) 1-1/2 f - 1 /2 Por analogia com a equação (A.9), e observando (A.13), (A.26) assume a forma r 1 + 1/2 x m dx i - 1 /2 dtp D 9 ay _19 = f ay [ F G. K ap D gi-1.. s' fa + D gi. -fa 1 I ^- 3y (A.27) Substituindo (A.27) em (A.25) tem-se T4 = f] 1 /2 1-1/2 a ay ' ay (A.28) A integral em (A.28) é imediata, isto é, T4 f r dtp. -, = T Y ( D.. F. + D. G.) -g- 9 '' fa [_ 91-1 i 91 )' ay J (A.29) Com o desenvolvimento dos termos entre colchetes em (A.29) temos 36

44 D Bil V'W V Os desenvolvimentos das integrais J5, J6 e T7 de (A. 2) são análogos ao desenvolvimento de J2 Dessa forma temos T6 - x G 9'= 1 + &y.(v X..... F. + v x.,., G.]1 p. (A.33) 1 ^ 9 ' f g' 1-11 i g' fg'h ijj ^g'il Já que a integral J8 em (A.2) é idêntica à integral T1/ temos 37

45 Py Px T8» > * osk \ c kll -ÜTJJ- (A.34) As discretizações (A.8), (A.18), (A.24), (A.30), (A.31), (A.32), (A.33) e (A.34) são válidas para todo y ( i = 1,2 NY ) e para qualquer x,no caso m nulo. Para m igual a 1, o integrando cie T3 Êi» (A. 2) não é válido para i = 1, pois nesse ponto x = 0 gera uma indeterminação nesse termo. Isso ocorre para geometria cilíndrica,i.e., m = 1. Então vejamos õ dip dip d dip X 3X X U g 3X X U g 0X + SX U g ÔX (A.3b) Tomando o limite quando x tende a zero tem-se: L.!_ x D Ü» - li» JL D Ü. + D X SX X g SX " X-H>0 X j3x X»0 "ãx U g ~8X ' Na equação (A. 36) o termo -^- D -7 a não depende explicitamente de x. Logo, : 9 = - S (A 17\ D = D 3X g 5X 3X ü g 6x * (A.37) Desenvolvendo o primeiro limite do lado direito de (A.36) temos: x li» D *Ju g5x "" _ D Ü. Ü - (A 38) D,3x lim (A. 38) x»0 dip Desde que D - s ox se anula para x = 0, (A.38) fica: 38

46 Essa indeterminação é levantada aplicando-se a regra de L'Hopital: P(X) = D B Sx ' Q(X) = X então, X^J f(x) = Ç-[ >, sendo : dx * a a<p No nosso caso, P' (x) = QZ D -QÇ 9 e Q' ( x ) =! CoTn isso temos: Q' (0) = 1, DB e daí, J^ f(x) = 9X 1 5X. Logo: d( P d a <P i_ n = D - n 9 = D - 9 (A 4C» X g SX 3X U fl fl 5X IA.4UJ Substituindo (A.37) e (A.40) em (A.36) temos a = 2 1 Tendo em vista (A.41), a equação (A.2), com os limites de integração em x definidos para 0 x (6xi)/2, para o caso m=l toma a seguinte forma 39

47 , t dy y I - 1/2 6x1 4 dy y I -1/2 dx 2, <p 6g-1g 9 T2, + dy a 2 7T. dx = D ay a 5y I -1/2 T3, I - 1/2, V t +1/2 dy 5X1 dx D B 2 w - g 9 9 dy dx E <p + Rg 9 V t -1/2 T5, T6, dy I -1/2 r 2 dx _ T7, g ' = 1 + dy..v.. Sfl. y t -1/2 dx 0 k =1 T8, sgk (A.42) Devemos salientar que as integrais na variável y de (A.42) segue os moldes daquelas realizadas na equação (A.2), enquanto que na equação (A.42) a diferença se encontra na integração em x. Feito isto, desenvolveremos as integrações em x em alguns termos representativos, adaptando a forma final nos termos semelhantes, por analogia. Tendo essas considerações em mente, o desenvolvimento de J1 em (A.42) fornece t +1/2 I -1/2 _1 ^g1 5ja v dt 2 ' ou ainda 40

48 V dt 2DG e (A.43) onde Px = 5x1. O termo J2. assume a forma levando a T2, - U t + 1 / 2 1-1/ (A.44) Desenvolvendo J3 : obtemos T3, = - r I + 1 / 2 2 dy dip D g dx 5X1 (A.45) y I - 1 / 2 Desde que D = 0 e, utilizando a aproximação ô<p jxi 2 (A.46) a equação (A.45) pode ser escrita na seguinte forma Íy i+1/2 dy "_, 1 ^ ÔX1, l - 1/2 ou ainda 41

49 T3, = < A ' 47 > O termo JA de (A.42) é dado por T4, -.1*1/2 dy V I - 1 /2 a W 2 Sy ou equivalentemente T4, - ÔX D.u-i (A.48) Os demais termos de (A.42) são desenvolvidos por analogia. Desde que os termos J5, r T6 1 e T7, são semelhantes ao termo J2, obtemos 255 (A ' 50) T7, (A.51) g' Já o termo J8 1 é semelhante ao termo J1. Dessa forma obtemos 42

50 Reafirmamos neste ponto que os termos JN ( N = 1/2/ /8 )/ descrevem a discretização da equação dos fluxos de neutrons, para o caso da coordenada x estar associada à geometria cilíndrica, m = 1. É fácil mostrar,a partir dos termos ff\j que ao tratarmos de geometria cartesiana em x, caso m = 0, os termos JN nos pontos (i=i,i=n da malha são dados por I11 O = v dt zr" ' (A.53) 1 O v dt g onde Px = 5xo + ôxi, 2SG ôxo DC- ÔXO I ujr l-i " B ôy, D_ oi-1 ' w * l gol n, ].íp g0(, (A.55) D 9 oi 5XO + D 9u D B 1M 43

51 '^0 ~ 2DG I ^1-1 I g0l-1 go X fl1l-1 g1 + Ôy, ÍD nl B 2 n ÔXO + D,, B 2, ôxill <p.. (A.57) u I (_ gol go g1l g1 J J all (A - 58) Desde que a integral J8 e^ (A.2) é idêntica à integral T1 / temos k = 1 \ c k1l Observando as equações TN 0 e TN, é fácil construir um sistema de equações mais geral, TN / <Z ue engloba tanto o caso m=0 quanto in ia=l, i.é, geometria cartesiana ou cilíndrica respectivamente. Para isso definimos fs = 1 - m, PX 1 = fs ôxo + «5x1. 44

52 Feito isto, obtemos 2DG ' (A.61) 255 5XO (A.62) DG ÔX1 91l DG 5x0 (A.63) - ( fs D.OM ôxo 6X1 (A - 64) fsd B 2 ÒXO + D,,, B 2 5X1 gol-1 go g1t-1 g1 + Ôy,lfsD ni B 2 5X0 + D B 2, 5X11 I y>,, J ' ' gol go gil g1 IJ r g1l' (A.65) 45

53 ffsz nl óxo + Z 5X11 \ tp. t^ RflOt Rg1l JJ r g1t' (A. 66) ei 8' = 5xo + ^zf B 'u 6x1 )] ^.,1 (A - 67) I k = \ C Ml -iõê- 1 (A-68) Coin as equações (A.8), (A.18), (A.24), (A.30-A.34) e mais as equações (A.61-A.68), construímos a discretização espacial da equação (A.2) tendo em mente as considerações preliminares já estabelecidadas. A configuração que descreve o balanço dos fluxos de neutrons é dada por [A.8] = [A.18] + [A.24] + [A.30] - [A.31] - [A.32] + + [A.33] + [A.34] (A.69) [A.61] = [A.62] + [A.63] + [A.64] - [A.65] - [A.66] + + [A.67] + [A.68]. (A.70) Após manipulações e simplificações, o sistema de equações (A.69) e (A.70) pode ser escrito como _1_ ^.u v dt g = J Px M H + ôy, ífs, m Sxo + 6x111 <p J \.\ *-sg-1gol ^sg-1g1l JJ y g- 46

54 + =-- 2fs ÔX0 A J ipyi \ DG ^ f. D g 0 M ÔXO + D g l M 6X1 I + iir DG ífs D { «5X0 + D. 5X y., ffcd ni, B 2 Sxo + D,., B 2, 5X11 + 5y, ÍifsD J 1-1 [ g0t-1 go g1l-1 g1 ) ni B 2 ft 6X0 + J l I ^ gol go + D B ^i [ f ' ef õxo ]}' 2fa Px Py 5xi 8H 5X0 + D,, ÔX '* g 47

55 1 v 9 Y gu dt 1 Ã v l V F + V G I PX Py [ 1-1 [ L 8g-1sf-1l-1 i ^sg-1gil-1 ij fli-1l i L sg-1s«l ijj ^g DG Px.Py ( g i-11-1 F i + s i X i -, ^ i I i - 1 V,, '». +.ÍW' ÔX. + fa ix + O" f v Í 1 ^ i_j( fiy M D^j^ + ôy ( D gu ) + DG ^ [ D g.. 9n 48

56 »»/ ( Sy D + ôy D DG ' ' - ', V«, e f»«k = 1 Sendo (A.71) e (A.72) a forma discretizada no espaço de (3.1), é fácil mostrar que a discretização de (2.2) assume a forma g'= (A ' 73) dt Px.PyK t i l ef 49

57 Podemos compactar o sistema de equações (A.71-A.74) de tal forma que a estrutura matricial do sistema seja ressaltada. Para isso utilizaremos um termo genérico (M) r da grade. Dessa forma definimos V gm = Px,Py l /V B, (A.75) Z yl, = DG f í D..., F. + D.., G. I/I V., 6y,), (A.76) 2 V,.oX. gil i J( «YL, D 9Í. 1M + «y, D gml )' (A.77) g i t i su ' 1 Z yu, -- DG f í D.,, F. + D., G. /[ V., Sy, 1, (A. 79) T flil + ôy, íü.,, B 2. F. + D B 2. G.l 1 / V.,, (A.80) l ^ gi-11 gi-1 i gil gi íj J / gil N ' 50

58 ef Q g - ^ g'gil 1-1 [_ [ sg'gi-11-1 g'g-1 g g' fg'i-1l-1j i + IS ô + Q v E G + <5y [fz ô + [ sg'gil-1 g'g-1 g g 1 ig'il-ij ij L Ll sg'gi-11 g'g Q v Z F+[Z 8 +QvZ \G I I /V, (A. 82) V g g' fg'i-1lj i [ sg'gil g'g-1 *g g' fg'itj i j / / gil' k ' onde 6 g'g-1 é o delta de Kronecker, definido como ô = 1 se g' = g-1 ; g'g-1 S, = 0 se g' * g-1. g'g-1 51

59 S = v x. \., gk g ogk k (A.83) R g'kil + 5y, Í i;.,.f. + i> Z /[ v V.,K.1 (A.84) J {[ g' fg'i-1l i g' fg'u ijj/ ^ 0 9 i I efj Z., = Z YL, + Z XL, + T., + a., + Z XU, + Z V U, (A. 85) g i l g i l g i l g i t g i l g i l g i l Com as definições anteriores, num ponto genérico (i,o, as equações (A.72) e (A.74) podem ser escritas como 9-1 dt _ ^g'gil^g'il gil^gil-1 git^gi-il ~ gil^gil g' = 1,YU, x _.., x r. c (A. 86) 3k ki I g'= g + 1 k = 1 dc... g'= 1 g'h Vi g'il Definindo um vetor $ como: 52

60 ft =..., (P,..., V>... ;(p, C,..., C, C... Gil G N XI GnXNY N X 1 lie * * * / C 1 N X 2 ' * ' * ' C 1 N X N Y / C ' ' * * / C 2 H X 1 ' " ' ; C 2 H X N Y ' ' * ' ' C 1 H X H Y / ' ( A ) podemos condensar nossas equações da cinética de reator na seguinte equação matricial ií = A *, (A.89) onde A é uma matriz formada pelos coeficientes das equações da cinética de reator discretizadas espacialmente. 53

61 LEITORES INTERESSADOS NESTA PUBLICAÇÃO FAVOR ENCAMINHAR SEUS PEDIDOS PARA IEN - BIBLIOTECA INSTITUTO DE ENGENHARIA NUCLEAR CAIXA POSTAL CEP RIO DE JANEIRO RJ, BRASIL 54

1 Descrição do Trabalho

1 Descrição do Trabalho Departamento de Informática - UFES 1 o Trabalho Computacional de Algoritmos Numéricos - 13/2 Métodos de Runge-Kutta e Diferenças Finitas Prof. Andréa Maria Pedrosa Valli Data de entrega: Dia 23 de janeiro

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Carlos Alexandre Mello 1 Modelagem no Domínio da Frequência A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona

Leia mais

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 69 Roteiro 1 Modelo Não-Linear Modelo

Leia mais

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D 6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a

Leia mais

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios.

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios. Conteúdo programático: Elementos armazenadores de energia: capacitores e indutores. Revisão de características técnicas e relações V x I. Caracterização de regime permanente. Caracterização temporal de

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

a 1 x 1 +... + a n x n = b,

a 1 x 1 +... + a n x n = b, Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição

Leia mais

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente: Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas

Leia mais

REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS

REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS Neste capítulo será apresentada uma prática ferramenta gráfica e matemática que permitirá e facilitará as operações algébricas necessárias à aplicação dos métodos

Leia mais

Exp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2

Exp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 Funções contínuas, equações diferenciais ordinárias, Exp e Log Roberto Imbuzeiro Oliveira 21 de Fevereiro de 214 Conteúdo 1 O que vamos ver 1 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 3 Existência

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação). 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por

Leia mais

Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Departamento de Matemática balsa@ipb.pt Mestrados em Engenharia da Construção Métodos de Aproximação em Engenharia 1 o

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Cálculo Numérico Aula : Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Computação Numérica - O que é Cálculo Numérico? Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos

Leia mais

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa

Leia mais

XI Encontro de Iniciação à Docência

XI Encontro de Iniciação à Docência 4CCENDFMT01 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE UMA METODOLOGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FÍSICA E MATEMÁTICA Erielson Nonato (1) e Pedro Luiz Christiano (3) Centro de Ciências Exatas e da Natureza/Departamento

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser:

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª

Leia mais

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS A RTIGO PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS Fábio Marson Ferreira e Walter Spinelli Professores do Colégio Móbile, São Paulo Recentemente nos desafiamos

Leia mais

A equação da posição em função do tempo t do MRUV - movimento retilíneo uniformemente variado é:

A equação da posição em função do tempo t do MRUV - movimento retilíneo uniformemente variado é: Modellus Atividade 3 Queda livre. Do alto de duas torres, uma na Terra e outra na Lua, deixaram-se cair duas pedras, sem velocidade inicial. Considerando que cada uma das pedras leva 3,0s atingir o solo

Leia mais

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E Ondas Eletromagnéticas. (a) Ondas Planas: - Tendo introduzido dinâmica no sistema, podemos nos perguntar se isto converte o campo eletromagnético de Maxwell em uma entidade com existência própria. Em outras

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções

Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções 1. INTRODUÇÃO Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados em um gráfico apresentam comportamento

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3 Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Não Linear Aula 25: Programação Não-Linear - Funções de Uma única variável Mínimo; Mínimo Global; Mínimo Local; Optimização Irrestrita; Condições Óptimas; Método da Bissecção; Método de Newton.

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

² Servomecanismo: Sistema de controle realimentado para controle automático de posição, velocidade ou aceleração. Muito empregado na indústria.

² Servomecanismo: Sistema de controle realimentado para controle automático de posição, velocidade ou aceleração. Muito empregado na indústria. 1. Introdução 1.1. De nições Básicas ² Sistema: Interconexão de dispositivos e elementos para cumprir um objetivo desejado. ² Processo: Um sistema ou dispositivo a ser controlado. ² Sistema de controle:

Leia mais

Modelos Variáveis de Estado

Modelos Variáveis de Estado Modelos Variáveis de Estado Introdução; Variáveis de Estados de Sistemas Dinâmicos; Equação Diferencial de Estado; Função de Transferência a partir das Equações de Estados; Resposta no Domínio do Tempo

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

Introdução ao Método dos Elementos Finitos Conceitos Iniciais Divisão do Domínio e Funções de Base Aplicação do Método dos Resíduos Ponderados ao

Introdução ao Método dos Elementos Finitos Conceitos Iniciais Divisão do Domínio e Funções de Base Aplicação do Método dos Resíduos Ponderados ao Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Educação Tutorial Autor: Bruno Pinho Meneses Orientadores: Janailson Rodrigues Lima Prof. Dr. Ricardo

Leia mais

PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS DE FLORESTAS TROPICAIS-PG-CFT INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS DA AMAZÔNIA-INPA. 09/abril de 2014

PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS DE FLORESTAS TROPICAIS-PG-CFT INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS DA AMAZÔNIA-INPA. 09/abril de 2014 PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS DE FLORESTAS TROPICAIS-PG-CFT INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS DA AMAZÔNIA-INPA 09/abril de 2014 Considerações Estatísticas para Planejamento e Publicação 1 Circularidade do Método

Leia mais

A equação do 2º grau

A equação do 2º grau A UA UL LA A equação do 2º grau Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo 8 Equações Diferenciais Ordinárias Vários modelos utilizados nas ciências naturais e exatas envolvem equações diferenciais. Essas equações descrevem a relação entre uma função, o seu argumento

Leia mais

3 Método de Monte Carlo

3 Método de Monte Carlo 25 3 Método de Monte Carlo 3.1 Definição Em 1946 o matemático Stanislaw Ulam durante um jogo de paciência tentou calcular as probabilidades de sucesso de uma determinada jogada utilizando a tradicional

Leia mais

Texto 07 - Sistemas de Partículas. A figura ao lado mostra uma bola lançada por um malabarista, descrevendo uma trajetória parabólica.

Texto 07 - Sistemas de Partículas. A figura ao lado mostra uma bola lançada por um malabarista, descrevendo uma trajetória parabólica. Texto 07 - Sistemas de Partículas Um ponto especial A figura ao lado mostra uma bola lançada por um malabarista, descrevendo uma trajetória parabólica. Porém objetos que apresentam uma geometria, diferenciada,

Leia mais

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. Exercícios A U L A 10 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. objetivo aplicar os conhecimentos adquiridos nas Aulas 4 a 9 por meio da

Leia mais

Consequências Interessantes da Continuidade

Consequências Interessantes da Continuidade Consequências Interessantes da Continuidade Frederico Reis Marques de Brito Resumo Trataremos aqui de um dos conceitos basilares da Matemática, o da continuidade no âmbito de funções f : R R, mostrando

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

2. Representação Numérica

2. Representação Numérica 2. Representação Numérica 2.1 Introdução A fim se realizarmos de maneira prática qualquer operação com números, nós precisamos representa-los em uma determinada base numérica. O que isso significa? Vamos

Leia mais

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO Dizemos que uma equação é linear, ou de primeiro grau, em certa incógnita, se o maior expoente desta variável for igual a um. Ela será quadrática, ou

Leia mais

Aula 8 Circuitos Integrados

Aula 8 Circuitos Integrados INTRODUÇÃO À ENGENHRI DE COMPUTÇÃO PONTIFÍCI UNIVERSIDDE CTÓLIC DO RIO GRNDE DO SUL FCULDDE DE ENGENHRI ula Circuitos Integrados Introdução Portas Lógicas em Circuitos Integrados Implementação de Funções

Leia mais

Resolução de sistemas lineares

Resolução de sistemas lineares Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)

Leia mais

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).

Leia mais

Vetores Aleatórios, correlação e conjuntas

Vetores Aleatórios, correlação e conjuntas Vetores Aleatórios, correlação e conjuntas Cláudio Tadeu Cristino 1 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, Brasil Segundo Semestre, 2013 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Vetores Aleatórios 2013.2

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG04037 Sistemas de Controle Digitais

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG04037 Sistemas de Controle Digitais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG437 Sistemas de Controle Digitais Introdução Controladores PID Prof. Walter Fetter Lages 2 de maio

Leia mais

Oscilador Harmônico Simples

Oscilador Harmônico Simples Motivação Oscilador Harmônico Simples a) espectroscopia molecular, b) cristais e outras estruturas no estado sólido, c) estrutura nuclear, d) teoria de campo, e) ótica, f) mecânica estatística, g) aproximante

Leia mais

Histogramas. 12 de Fevereiro de 2015

Histogramas. 12 de Fevereiro de 2015 Apêndice B Histogramas Uma situação comum no laboratório e na vida real é a de se ter uma grande quantidade de dados e deles termos que extrair uma série de informações. Encontramos essa situação em pesquisas

Leia mais

4.10 Solução das Equações de Estado através da Transformada de Laplace Considere a equação de estado (4.92)

4.10 Solução das Equações de Estado através da Transformada de Laplace Considere a equação de estado (4.92) ADL22 4.10 Solução das Equações de Estado através da Transformada de Laplace Considere a equação de estado (4.92) A transformada de Laplace fornece: (4.93) (4.94) A fim de separar X(s), substitua sx(s)

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

O caso estacionário em uma dimensão

O caso estacionário em uma dimensão O caso estacionário em uma dimensão A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo. objetivos verificar que, no caso de o potencial ser independente

Leia mais

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/

Leia mais

O tornado de projeto é admitido, para fins quantitativos, com as seguintes características [15]:

O tornado de projeto é admitido, para fins quantitativos, com as seguintes características [15]: 4 Tornado de Projeto O tornado de projeto é admitido, para fins quantitativos, com as seguintes características [15]: Tornado do tipo F3-médio; Velocidade máxima de 233km/h = 64,72m/s; Velocidade translacional

Leia mais

6 Construção de Cenários

6 Construção de Cenários 6 Construção de Cenários Neste capítulo será mostrada a metodologia utilizada para mensuração dos parâmetros estocásticos (ou incertos) e construção dos cenários com respectivas probabilidades de ocorrência.

Leia mais

Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.

Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho. Métodos Numéricos A. Ismael F. Vaz Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Ano lectivo 2007/2008 A.

Leia mais

Conceitos Fundamentais

Conceitos Fundamentais Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan;

Leia mais

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/

Leia mais

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais

Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados Eng. Química

Leia mais

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r 94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,

Leia mais

Análise Dimensional Notas de Aula

Análise Dimensional Notas de Aula Primeira Edição Análise Dimensional Notas de Aula Prof. Ubirajara Neves Fórmulas dimensionais 1 As fórmulas dimensionais são formas usadas para expressar as diferentes grandezas físicas em função das grandezas

Leia mais

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C Questão TIPO DE PROVA: A Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 00%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% d) 00% b) 400% e) 00% c) 50% Aumentando o comprimento

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

Notas de Cálculo Numérico

Notas de Cálculo Numérico Notas de Cálculo Numérico Túlio Carvalho 6 de novembro de 2002 2 Cálculo Numérico Capítulo 1 Elementos sobre erros numéricos Neste primeiro capítulo, vamos falar de uma limitação importante do cálculo

Leia mais

Arquitetura de Rede de Computadores

Arquitetura de Rede de Computadores TCP/IP Roteamento Arquitetura de Rede de Prof. Pedro Neto Aracaju Sergipe - 2011 Ementa da Disciplina 4. Roteamento i. Máscara de Rede ii. Sub-Redes iii. Números Binários e Máscara de Sub-Rede iv. O Roteador

Leia mais

Ajuste dos Parâmetros de um Controlador PI em uma Coluna de Destilação Binária

Ajuste dos Parâmetros de um Controlador PI em uma Coluna de Destilação Binária Ajuste dos Parâmetros de um Controlador PI em uma Coluna de Destilação Binária Marina Roberto Martins 1*, Fernando Palú 1 (1) Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Curso de Engenharia Química. e-mail:

Leia mais

AS LEIS DE NEWTON PROFESSOR ANDERSON VIEIRA

AS LEIS DE NEWTON PROFESSOR ANDERSON VIEIRA CAPÍTULO 1 AS LEIS DE NEWTON PROFESSOR ANDERSON VIEIRA Talvez o conceito físico mais intuitivo que carregamos conosco, seja a noção do que é uma força. Muito embora, formalmente, seja algo bastante complicado

Leia mais

MODELAMENTO SÍSMICO: A EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA

MODELAMENTO SÍSMICO: A EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA Universidade Estadual de Campinas Instituto de Matemática, Estatística, e Computação Científica RELATÓRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA MODELAMENTO SÍSMICO: A EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA Prof. Dr. Lúcio Tunes dos

Leia mais

Seqüências, Limite e Continuidade

Seqüências, Limite e Continuidade Módulo Seqüências, Limite e Continuidade A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, ites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque indicadas e também junto

Leia mais

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 1. (alternativa C) Os números 0,01 e 0,119 são menores que 0,12. Por outro lado, 0,1 e 0,7 são maiores que 0,. Finalmente, 0,29 é maior que 0,12 e menor

Leia mais

ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I (1108030) - Capítulo 04

ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I (1108030) - Capítulo 04 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I (1108030) - Capítulo 04 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil 2012.2 1 / 15 Sumário Trabalho e EP Energia potencial Forças conservativas Calculando

Leia mais

1 Propriedades das Funções Contínuas 2

1 Propriedades das Funções Contínuas 2 Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES

Leia mais

Capítulo 7 Medidas de dispersão

Capítulo 7 Medidas de dispersão Capítulo 7 Medidas de dispersão Introdução Para a compreensão deste capítulo, é necessário que você tenha entendido os conceitos apresentados nos capítulos 4 (ponto médio, classes e frequência) e 6 (média).

Leia mais

Movimentos Periódicos: representação vetorial

Movimentos Periódicos: representação vetorial Aula 5 00 Movimentos Periódicos: representação vetorial A experiência mostra que uma das maneiras mais úteis de descrever o movimento harmônico simples é representando-o como uma projeção perpendicular

Leia mais

A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO NODAL NA SIMULAÇÃO DE PROCESSOS TÉRMICOS

A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO NODAL NA SIMULAÇÃO DE PROCESSOS TÉRMICOS A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO NODAL NA SIMULAÇÃO DE PROCESSOS TÉRMICOS C. R. RODRIGUES VELOSO 1, R. GEDRAITE 2 1 Bolsista PIBIC FAPEMIG/UFU, discente do curso de Engenharia Química 2 Professor da Faculdade de

Leia mais

Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2

Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2 Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2 O Método de Separação de Variáveis A ideia central desse método é supor que a solução

Leia mais

Transformada z. ADL 25 Cap 13. A Transformada z Inversa

Transformada z. ADL 25 Cap 13. A Transformada z Inversa ADL 25 Cap 13 Transformada z A Transformada z Inversa Qualquer que seja o método utilizado a transformada z inversa produzirá somente os valores da função do tempo nos instantes de amostragem. Portanto,

Leia mais

6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto

6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto Capítulo 6. Autômatos com Pilha 6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto Nos exemplos da seção anterior, vimos que os autômatos com pilha existem para

Leia mais

Figura 7.20 - Vista frontal dos vórtices da Figura 7.18. Vedovoto et al. (2006).

Figura 7.20 - Vista frontal dos vórtices da Figura 7.18. Vedovoto et al. (2006). 87 Figura 7.20 - Vista frontal dos vórtices da Figura 7.18. Vedovoto et al. (2006). Figura 7.21 - Resultado qualitativo de vórtices de ponta de asa obtidos por Craft et al. (2006). 88 A visualização do

Leia mais

OBJETIVOS: CARGA HORÁRIA MÍNIMA CRONOGRAMA:

OBJETIVOS: CARGA HORÁRIA MÍNIMA CRONOGRAMA: ESTUDO DIRIGIDO COMPONENTE CURRICULAR: Controle de Processos e Instrumentação PROFESSOR: Dorival Rosa Brito ESTUDO DIRIGIDO: Métodos de Determinação de Parâmetros de Processos APRESENTAÇÃO: O rápido desenvolvimento

Leia mais

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15 Ondas (continuação) Ondas propagando-se em uma dimensão Vamos agora estudar propagação de ondas. Vamos considerar o caso simples de ondas transversais propagando-se ao longo da direção x, como o caso de

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

Universidade Federal do Paraná

Universidade Federal do Paraná Universidade Federal do Paraná Programa de pós-graduação em engenharia de recursos hídricos e ambiental TH705 Mecânica dos fluidos ambiental II Prof. Fernando Oliveira de Andrade Problema do fechamento

Leia mais

Matemática Discreta - 03

Matemática Discreta - 03 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta - 03 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav

Leia mais

Estudo Comparativo de Cálculo de Lajes Analogia de grelha x Tabela de Czerny

Estudo Comparativo de Cálculo de Lajes Analogia de grelha x Tabela de Czerny Estudo Comparativo de Cálculo de Lajes Analogia de grelha x Tabela de Czerny Junior, Byl F.R.C. (1), Lima, Eder C. (1), Oliveira,Janes C.A.O. (2), 1 Acadêmicos de Engenharia Civil, Universidade Católica

Leia mais