As Influências da Lua na Terra e o Fenômeno das Marés

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA As Influências da Lua na Terra e o Fenômeno das Marés Autor: Paulo Meira Bonfim Mantellatto Orientador: Prof. Dr. José Antonio Salvador Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Vera Lúcia Carbone Sadao Massago São Carlos, 12 de junho de 2012

2 As Influências da Lua na Terra e o Fenômeno das Marés Autor: Paulo Meira Bonfim Mantellatto Orientador: Prof. Dr. José Antonio Salvador Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Vera Lúcia Carbone Sadao Massago Instituição: Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática São Carlos, 12 de junho de 2012 Paulo Meira Bonfim Mantellatto Prof. Dr. José Antonio Salvador

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4 Os caminhos que conduzem o homem ao saber são tão maravilhosos quanto o próprio saber. Johannes Kepler

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6 Agradecimentos Agradeço primeiramente a meus pais e irmãs pelo apoio, confiança e incentivo nesta última etapa do meu curso de Licenciatura em Matemática. Agradeço também a meus amigos conquistados durante a graduação e, principalmente, ao meu orientador José Antonio Salvador, pois graças a seu empenho e dedicação pude desenvolver este trabalho e ainda aprender mais sobre Astronomia. Por fim, agradeço a minha cidade natal Santos-SP e ao verão 2012, que me influenciaram e me instigaram a realizar este trabalho.

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8 Resumo Este trabalho tem como finalidade o estudo da Lua e de suas principais influências na Terra. Para isto, será feito inicialmente um breve estudo da Lua destacando-se suas principais características, que serão de grande importância para a continuidade do trabalho. Dentre suas principais influências na Terra, serão abordados os fenômenos dos eclipses e das marés. Para o fenômeno dos eclipses, será estudada matematicamente a geometria das sombras produzidas pela Terra e pela Lua quando iluminadas pelo Sol. Já para o fenômeno das marés, estudaremos o conceito físico da força relacionada à gravitação universal e, posteriormente, um ajuste trigonométrico será feito para as alturas das marés na cidade de Santos/SP utilizando-se o Método dos Mínimos Quadrados a partir de dados de previsão coletados dos sites Porto de Santos e Climatempo. Por fim, estudaremos as três leis de Kepler relacionadas à mecânica celeste, uma vez que podem ser estendidas ao sistema Terra-Lua, que é o foco do presente trabalho.

9 viii Sumário Introdução xiv 1 A Lua A Lua Cônicas A Elipse Elementos principais da elipse A circunferência Excentricidade da órbita da Lua Plano orbital da Lua Massa da Lua Diâmetro e raio da Lua Período sideral e período sinódico da Lua Velocidade de translação da Lua em torno da Terra Dia lunar Fases da Lua Rotação da Lua Eclipses Eclipses Geometria da sombra Cálculo do tamanho da sombra Cálculo do raio da sombra Alguns cálculos e considerações Eclipses do Sol e da Lua Hiparco e a distância da Terra à Lua Marés Definição Causa Mais algumas definições... 23

10 Sumário ix 3.4 Lua e a altura das marés Força da Maré Gravitação universal Forças gravitacionais diferenciais Derivação da força diferencial Expressão da força de maré Comparação das marés produzidas pela Lua e pelo Sol na Terra Expressão do nível médio das águas do mar Expressão da altura do mar em função do tempo Ajuste trigonométrico das marés de Santos/SP O ajuste trigonométrico Tábua das marés em Santos Ajuste trigonométrico para o mês de fevereiro Cálculo do erro cometido Generalização Tentativa de uma melhor aproximação no ajuste trigonométrico Mecânica celeste Peso de um corpo Velocidade de escape Cálculo da velocidade de escape da Terra e da Lua Leis de Kepler A Matemática das leis de Kepler Lei das Órbitas Lei das Áreas Lei dos Períodos Considerações Finais 80

11 x Lista de Figuras 1.1 A elipse Elementos principais da elipse A circunferência Ideia da inclinação da órbita da Lua em relação à Terra Cálculo do diâmetro da Lua Translação da Lua em torno da Terra Lua Nova Lua Quarto-Crescente Lua Cheia Lua Quarto-Minguante Se não houvesse rotação da Lua Lua com rotação sincronizada com sua translação Umbra e penumbra Cálculo do tamanho da sombra Cálculo do raio da sombra Gráfico do raio de sombra formado pela Terra em função da distância Eclipse lunar Hiparco e a distância da Terra à Lua Triângulo retângulo para o cálculo da distância da Terra à Lua A maré alta segue a posição da Lua Força diferencial entre duas partículas Força da maré Maré durante a Lua Nova em combinação com o Sol Maré durante a Lua Cheia em combinação com o Sol Maré atenuada durante a Lua Quarto-Crescente Maré atenuada durante a Lua Quarto-Minguante Escala das marés Orla de Santos e o mar Matlab após a inserção dos dados "x", "y" e "A"... 47

12 Lista de Figuras xi 3.11 Matlab após a inserção dos dados "x", "y", "A" e "B" Matlab após a inserção dos dados "x", "y", "A", "B" e "P" Gráfico da função encontrada no ajuste trigonométrico Gráfico da função do ajuste trigonométrico encontrada e dos pontos dados na tábua das marés Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de março, de 696h a 1440h Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de abril, de 1440h a 2160h Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de maio, de 2160h a 2904h Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de junho, de 2904h a 3624h Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de julho, de 3624h a 4368h Equação da elipse em coordenadas polares Órbita de um planeta em torno do Sol, de a Bojos das marés terrestres... 80

13 xii Lista de Tabelas 3.1 Tábua das marés em Santos em fevereiro de Tábua das marés em Santos em março de Tábua das marés em Santos em abril de Tábua das marés em Santos em maio de Tábua das marés em Santos em junho de Tábua das marés em Santos em julho de Comparação do erro cometido entre e Comparação do erro cometido entre, e... 63

14 xiii Lista de Anexos 1 Comandos no Matlab para o ajuste trigonométrico com os dados do mês de fevereiro para encontrar a função com 3 coeficientes Comandos no Matlab para o ajuste trigonométrico com os dados do mês de fevereiro para encontrar a função com 5 coeficientes Comandos no Matlab para o ajuste trigonométrico com os dados do mês de fevereiro para encontrar a função com 7 coeficientes Comandos no Matlab para o cálculo do erro cometido ao aproximarmos as alturas das marés pela função com 3 coeficientes, obtida através do ajuste trigonométrico Comandos no Matlab para o cálculo do erro cometido ao aproximarmos as alturas das marés pela função com 5 coeficientes, obtida através do ajuste trigonométrico Comandos no Matlab para o cálculo do erro cometido ao aproximarmos as alturas das marés pela função com 7 coeficientes, obtida através do ajuste trigonométrico... 98

15 xiv Introdução A Lua é o satélite natural da Terra e o corpo celeste mais próximo de nós. Sua origem é incerta, porém sua presença quase constante no céu desperta a curiosidade no homem em estudá-la e compreendê-la, para que desta forma possamos cada vez mais conhecer o mundo em que vivemos. Além de servir como base de estudos para a Astronomia, Matemática, Física e algumas outras áreas do conhecimento, a Lua ainda serve como inspiração para músicas, poesias, sonhos, etc., além de ter servido também como objetivos militares no período da Guerra Fria entre União Soviética e Estados Unidos, que disputavam quem chegaria mais longe durante a chamada corrida armamentista. Sabe-se que a Lua é um dos corpos celestes mais influentes aqui em nosso planeta, seja com fenômenos de eclipses e marés a até mesmo alterações na mecânica da órbita da Terra. Assuntos estes que serão introduzidos neste trabalho. Lua Cheia vista do lago da UFSCar foto tirada em 06/04/12 por Paulo Meira

16 Introdução xv formas: O trabalho está distribuído em 4 capítulos dos quais se resumem das seguintes Capítulo 1: descrição da Lua e algumas de suas principais características, tais como excentricidade da órbita, diâmetro e raio, distância da Terra, período sideral e período sinódico, velocidade de translação em torno da Terra, fases, etc. Capítulo 2: eclipses do Sol e da Lua e o método de Hiparco para calcular a distância aproximada da Terra à Lua. Aqui serão feitos cálculos utilizando trigonometria, regra de três e semelhança de triângulos para se calcular o comprimento da sombra produzida pela Terra ao ser iluminada pelo Sol e o raio desta sombra a uma determinada distância, que será dada por uma função que também será analisada. Capítulo 3: fenômeno das marés provocado pela Lua (e também pelo Sol) na Terra. Para isto, serão estudadas gravitação universal e forças gravitacionais diferenciais, para que possamos encontrar a expressão matemática responsável pela força das marés. Também estudaremos como determinar a altura média do mar e sua altura em função do tempo. Por fim, será feito um ajuste trigonométrico da variação das marés na cidade de Santos/SP durante o primeiro semestre de Capítulo 4: finalizará o trabalho abordando inicialmente a velocidade de escape necessária para um corpo escapar da órbita da Terra e da Lua e, por fim, um breve estudo de mecânica celeste explorando matematicamente as três leis de Kepler para as órbitas entre planetas (entre a Terra e a Lua, no caso): lei das órbitas, lei das áreas e lei dos períodos.

17 1 Capítulo 1 A Lua 1.1 A Lua A Lua é o corpo celeste mais próximo da Terra e o que se move mais rapidamente em relação a nós, com exceção de corpos passageiros, como os meteoros. O valor atual de sua distância à Terra foi obtido por laser, utilizando um espelho colocado na Lua pelos astronautas americanos no ano de 1969 quando visitaram a Lua. Medindo o tempo de ida e vinda de um feixe de laser disparado da Terra na direção da Lua, se obtém que sua distância varia de km a km, com um valor médio de km, valor este que será utilizado neste trabalho. No Capítulo 2 será mostrado o método que Hiparco utilizou para calcular o valor aproximado desta distância no ano 120 a.c. 1.2 Cônicas Destacam-se neste trabalho as elipses e as circunferências pelo fato de estas cônicas terem um importante papel no estudo da Astronomia. A maioria das órbitas de corpos celestes é em forma de elipse, porém, quando a estamos estudando, percebemos que suas excentricidades são muito pequenas e então, para efeitos de cálculo e de praticidade, geralmente aproximamos a uma circunferência, cuja excentricidade é nula, como será visto a seguir A elipse Dados dois pontos distintos e pertencentes a um plano α, chamados de focos, seja a distância entre eles ( ). Denomina-se elipse o conjunto de pontos de α cuja soma das distâncias aos focos e é igual a uma constante ( ). Elipse =.

18 1. A Lua 2 Figura A elipse Assim, considerando os pontos,,,,,,,, e, temos: Notemos que, pois.

19 1. A Lua Elementos principais da elipse Figura Elementos principais da elipse e focos centro eixo maior eixo menor distância focal medida do eixo maior, semi eixo maior medida do eixo menor, b semi eixo menor excentricidade relação notável: através da Figura 1.2, nota-se que o triângulo é retângulo em. Assim, podemos utilizar o teorema de Pitágoras e comprovarmos a veracidade desta relação notável. Quanto maior a distância entre os dois focos da elipse, maior será sua excentricidade, ou seja, quanto maior a distância entre os dois focos, mais oval será a elipse.

20 1. A Lua A circunferência Dado um ponto de um plano (centro) e uma distância não nula (raio), chama-se circunferência o conjunto dos pontos do plano que distam do ponto. Seu comprimento é calculado através da seguinte fórmula:. Seu diâmetro é dado por e sua excentricidade é igual a zero. É fácil visualizar que seu diâmetro é igual a duas vezes o raio. Já a fórmula para o cálculo de seu comprimento justifica-se pelo fato de que como todas as circunferências com centro em um mesmo ponto são semelhantes entre si, então a razão entre os comprimentos de qualquer uma destas circunferências pelo seu respectivo diâmetro será sempre uma mesma constante. O matemático Arquimedes encontrou que o valor desta constante era de aproximadamente, e então foi convencionado que este valor não exato fosse representado pela letra do alfabeto grego, o que facilitaria os cálculos. Daí surgiu a fórmula para o cálculo do comprimento: Figura 1.3 A circunferência 1.3 Excentricidade da órbita da Lua A órbita da Lua ao redor da Terra é uma elipse com excentricidade igual a, que é um valor bem próximo de zero, indicando que os focos de sua órbita estão muito próximos. Portanto, para efeitos de cálculos, consideraremos que a órbita da

21 1. A Lua 5 Lua em torno da Terra é uma circunferência, ou seja, que sua órbita em torno da Terra é circular. 1.4 Plano orbital da Lua O plano orbital da Lua tem inclinação de em relação à eclíptica. Isso quer dizer que a órbita da Lua não está alinhada com a órbita da Terra. Apesar de esse ângulo permanecer aproximadamente constante, o plano orbital da Lua não é fixo. Ele apresenta certa variação que volta a se repetir num período de aproximadamente 18,6 anos, de acordo como foi observado pelo astrônomo grego Meton em 460 a.c. Em relação ao equador da Terra, a órbita da Lua tem uma inclinação que varia de a. No Capítulo 2, voltaremos a comentar sobre a inclinação do plano orbital da Lua. Figura Ideia da inclinação da órbita da Lua em relação à Terra 1.5 Massa da Lua A massa da Lua é de aproximadamente kg, o que equivale a da massa da Terra. 1.6 Diâmetro e raio da Lua Sabendo-se que o diâmetro aparente médio da Lua é ( ), podemos aproximar o tamanho de seu diâmetro e, consequentemente, o seu raio. A medida de seu

22 1. A Lua 6 ângulo aparente é feita medindo-se de um ponto da Terra o ângulo formado entre dois pontos diametralmente opostos e da Lua. A partir disto, podemos calcular seu diâmetro. Figura Cálculo do diâmetro da Lua Do ponto mede-se o ângulo e percebe-se que a distância da Lua à Terra é praticamente a mesma que km devido ao ângulo ser muito pequeno. Conforme a Figura 1.5, consideremos que o ângulo é reto. Então, usando trigonometria, o diâmetro d da Lua é obtido da seguinte forma: Então, Resulta Sabendo-se que o diâmetro é igual a duas vezes o raio da Lua, temos que:

23 1. A Lua 7 Observação: O diâmetro da Lua é pouca coisa menor que a distância dos extremos de nosso país. A distância em linha reta do extremo norte do Amapá até o extremo sul do Rio Grande do Sul equivale a km de distância. 1.7 Período sideral e período sinódico da Lua O período sideral de um corpo celeste é o tempo que ele necessita para fazer uma volta completa de º em sua órbita. O período sideral da Lua é o tempo necessário para ela completar uma volta em torno da Terra, em relação a uma estrela. Sua duração é de 27 dias, 7 horas, 43 minutos e 11 segundos. Já o período sinódico é o tempo em que se vê um corpo celeste completar sua órbita, porém visto aqui da Terra. Neste caso, a órbita será diferente de devido ao movimento contínuo da Terra em volta do Sol. O período sinódico da Lua é de 29 dias, 12 horas, 44 minutos e 2,9 segundos. Com isto, podemos concluir que o período sideral da Lua é aproximadamente dias mais curto que o período sinódico. De fato, fazendo a conversão para horas : Período sideral = Período sinódico = horas horas horas dias 1.8 Velocidade de translação da Lua em torno da Terra Já sabemos que a distância da Terra à Lua é de km e que seu período sideral é de 27 dias, 7 horas, 43 minutos e 11 segundos. A partir disto, podemos calcular sua velocidade de translação em torno da Terra utilizando a fórmula para o cálculo do comprimento de sua órbita (considerada circular) em torno da Terra e, em seguida, calcular sua velocidade média.

24 1. A Lua 8 Figura Translação da Lua em torno da Terra De 1.7, temos que seu período sideral equivale a aproximadamente horas, que será denotado pela variação do tempo de uma volta completa em torno da Terra. O comprimento da órbita da Lua encontrado igual a km será indicado por, que é a variação do espaço percorrido por ela. Com isto, calculamos a sua velocidade média em torno da Terra: Podemos obter também a velocidade de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo e compararmos com a velocidade de translação da Lua. A Terra tem um raio de aproximadamente km e dá uma volta completa em torno de seu próprio eixo em horas. Então, o comprimento de sua esfericidade na linha do Equador é dado por: Agora, calculando a sua velocidade média de rotação, onde e :

25 1. A Lua Dia Lunar A Lua se move para leste, por dia, em relação às estrelas. Temos que o período sideral da Lua equivale a horas. Então, utilizando regra de 3, obtemos essa quantidade de horas em dias: O movimento do Sol também é de quase por dia para leste, refletindo a translação da Terra em torno do mesmo, completada em dias (ano sideral). Portanto, a Lua se move por dia para leste em relação ao Sol ( ). Devido a isto, a cada dia a Lua cruza o meridiano local 50 minutos mais tarde que no dia anterior. O dia lunar, portanto, tem aproximadamente 24 horas e 50 minutos Fases da Lua O fenômeno das fases da Lua é bem compreendido desde a antiguidade. Acredita-se que o grego Anaxágoras ( 430 a.c.) já conhecia sua causa e Aristóteles ( a.c.) registrou a explicação correta do fenômeno: as fases da Lua resultam do fato de que ela não é um corpo luminoso e sim um corpo iluminado pela luz do Sol. As fases da Lua representam o quanto de sua face iluminada está voltada para a Terra. As quatro fases principais do ciclo são: Lua Nova: a face iluminada não pode ser vista da Terra. a Lua está na mesma direção do Sol e, portanto, está no céu durante o dia; a Lua nasce 6 horas e se põe 18 horas.

26 1. A Lua 10 Figura Lua Nova Lua Quarto-Crescente: metade do disco iluminado pode ser visto da Terra. Vista do hemisfério sul, a forma da Lua lembra a letra C e vista do hemisfério norte lembra a letra D. Lua e Sol vistos da Terra estão separados por ; a Lua está a leste do Sol, portanto, ele ilumina seu lado oeste; a Lua nasce meio dia e se põe meia noite. Figura Lua Quarto - Crescente Lua Cheia: Toda face iluminada da Lua está voltada para a Terra. A Lua está no céu a noite toda, com a forma de um disco. Lua e Sol, vistos da Terra, estão em direções opostas, separados de ; A Lua nasce 18 horas e se põe 6 horas do dia seguinte.

27 1. A Lua 11 Figura Lua Cheia Lua Quarto-Minguante: metade do disco iluminado pode ser visto da Terra, como em Quarto-Crescente. Vista do hemisfério sul, a forma da Lua lembra a letra D e vista do hemisfério norte lembra a letra C. a Lua está a oeste do Sol, que ilumina seu lado leste; a Lua nasce meia noite e se põe meio dia. Figura Lua Quarto- Minguante Observação: Na fase crescente o lado iluminado da Lua é o seu lado oeste, e na fase minguante o lado iluminado é o lado leste. Isso independe de o observador estar no hemisfério norte ou sul da Terra. O que muda é a orientação da Lua em relação ao observador, pois na maioria dos lugares do hemisfério sul da Terra, a Lua passa o meridiano local ao norte do zênite, ao passo que na maioria dos lugares do hemisfério norte terrestre, a Lua passa o meridiano ao sul do zênite. Se a Lua está ao norte do zênite, o observador, para vê-la, se volta para a direção norte. Nesse caso, o hemisfério oeste da Lua estará à sua esquerda, e o hemisfério leste à sua direita. Consequentemente, a Lua terá a forma de C na fase crescente e forma de D na forma minguante. Para um observador que vê a Lua estando voltado para o sul, as formas da Lua nas fases crescentes e minguantes ficam invertidas.

28 1. A Lua Rotação da Lua À medida que a Lua orbita em torno da Terra, completando seu ciclo de fases, ela mantém sempre a mesma face voltada para a Terra. Isto indica que o seu período de translação é igual ao período de rotação em torno de seu próprio eixo. Portanto, a Lua tem rotação sincronizada com a translação. Acredita-se que esta sincronização tenha acontecido como resultado das grandes forças de maré exercidas pela Terra na Lua, no tempo em que a Lua era mais jovem e mais elástica. As deformações causadas na superfície da Lua teriam freado sua rotação até ela ficar com a mesma face sempre voltada para a Terra e, portanto, com o período de rotação igual ao de translação. Essa perda de rotação teria em consequência provocado o afastamento maior entre Lua e Terra. Atualmente a Lua continua se afastando da Terra a uma taxa de cm/ano. A face da Lua que não podemos ver chama-se face oculta. Figura Se não houvesse rotação da Lua Figura 1.12 Lua com rotação sincronizada com sua translação Com isto, terminamos o primeiro capítulo deste trabalho, tendo conhecimento das características e informações principais da Lua que serão fundamentais na continuidade deste estudo.

29 13 Capítulo 2 - Eclipses Abordaremos agora os eclipses, seguido do método desenvolvido por Hiparco para calcular e aproximar a distância da Terra à Lua durante e após observar um eclipse. 2.1 Eclipses O fenômeno chamado eclipse acontece quando um corpo celeste entra na sombra de outro. Assim, define-se eclipse lunar quando a Lua entra na sombra da Terra e eclipse solar quando a Terra entra na sombra da Lua. Antigamente, este fenômeno era mal visto pelos povos, que o consideravam como uma ameaça à vida na Terra, acreditando que trazia pestes e doenças à população e que era até mesmo o início do fim dos tempos Geometria da sombra Quando um corpo extenso é iluminado por outro corpo extenso, definem-se duas regiões de sombra, conforme mostra a Figura 2.1. Figura Umbra e penumbra Umbra: região da sombra que não recebe luz de nenhum ponto da fonte; Penumbra: região da sombra que recebe luz de alguns pontos da fonte.

30 2. Eclipses Cálculo do tamanho da sombra Consideremos um corpo luminoso de raio R a uma distância d de uma esfera opaca de raio R. Atrás do corpo opaco se formará um cone de sombra cujo comprimento de sua altura queremos determinar. Esta altura será o comprimento desejado L da sombra, conforme mostra a Figura 2.2. Figura Cálculo do tamanho da sombra Sendo: = comprimento da sombra; = distância da fonte à esfera opaca; = raio da fonte luminosa; = raio da esfera opaca. Usando a semelhança dos dois triângulos e da Figura 2.2, temos: Daí, segue que a altura do cone da sombra é dada por:

31 2. Eclipses Cálculo do raio da sombra Podemos também determinar o tamanho da sombra a certa distância da esfera opaca. Como a sombra gerada por um corpo esférico é cônica, sua forma em qualquer ponto de uma região atingida é circular. Figura Cálculo do raio da sombra Sendo: = raio da sombra à distância l da esfera opaca; = comprimento da sombra; = raio da esfera opaca; = distância entre as duas esferas opacas. Então, por semelhança entre os triângulos e da Figura 2.3, temos: E o raio da sombra à distância da esfera opaca é:

32 2. Eclipses Alguns cálculos e considerações Com os resultados anteriores, é possível calcularmos qual o raio da umbra na Lua produzida pelo planeta Terra. Para isto, consideraremos os seguintes dados: = raio da esfera opaca (Terra, neste caso) km; = distância da fonte à esfera opaca (distância do Sol à Terra) km; = raio da fonte luminosa (raio do Sol) km; = distância da Terra à Lua (conforme Figura 2.3) km. Para calcular, devemos primeiramente obter : Obtemos que o comprimento da sombra produzida pela Terra, quando iluminada pelo Sol, é de aproximadamente = ,6 km! Agora, utilizando este valor, podemos calcular o raio da umbra na Lua produzido pela Terra: Temos que o raio da umbra na Lua produzida pela Terra é de km. E ainda, sabendo que o diâmetro da circunferência é igual a duas vezes o raio, teremos um diâmetro de km, o que cobre a Lua inteira! Considerações: é o raio da sombra que é dado em função da distância da Terra à algum ponto do cone de sombra formado. No caso Sol-Terra, ao substituir os valores conhecidos, obteremos a seguinte função:

33 2. Eclipses 17 Assim, temos que r(l) é uma função afim de primeiro grau e decrescente, uma vez que está acompanhado de um sinal negativo. Isto quer dizer que quanto maior a distância que tomarmos da Terra, menor será o raio da sombra. Segue seu gráfico: Figura Gráfico do raio de sombra formado pela Terra em função da distância l Temos os pontos,,,, e com coordenadas cartesianas da forma (l, r(l)). O ponto nos diz que a uma distância da Terra, o raio de sombra formado é igual a km. De fato, a uma distância nula da Terra, o raio de sombra formado será o segmento da Figura 2.3, que é o próprio raio da Terra com km. O ponto é a distância, que é a distância da Terra à Lua, ou seja, a uma distância de km o raio de sombra formado será de km, que está bem próximo do que acabamos de calcular anteriormente. Os pontos, e foram tomados ao acaso e, com eles, podemos perceber a linearidade da função: quanto maior a distância tomada da Terra, menor torna-se o raio da sombra produzida, o que comprova ainda mais a veracidade da Figura 2.3 e dos cálculos que fizemos até aqui. Já o ponto seria o ponto da Figura 2.3. É nele onde o cone de sombra assume seu comprimento máximo e, por se tratar de um cone, não há raio de

34 2. Eclipses 18 sombra neste ponto. Portanto, neste caso, em km, conforme obtivemos Eclipses do Sol e da Lua Durante um eclipse solar, a umbra da Lua na Terra tem no máximo km de largura. Portanto, um eclipse solar total só é visível em uma estreita faixa sobre a Terra de no máximo km de largura, chamada de caminho do eclipse. Em uma região de aproximadamente km de cada lado do caminho do eclipse, ocorre um eclipse parcial. Como foi visto em 1.8, a velocidade da Lua em relação à Terra é de, o que equivale a aproximadamente, e a velocidade de rotação da Terra é de aproximadamente. Como a velocidade da Lua no céu é maior que a velocidade de rotação da Terra, a velocidade da sombra da Lua na Terra tem o mesmo sentido do movimento da Lua, ou seja, para leste. O valor da velocidade da sombra pode ser calculado por. Porém, cálculos mais precisos indicam que esta velocidade é de pelo menos. A duração da totalidade do eclipse, em certo ponto da Terra, será o tempo desde o instante em que a borda leste da umbra da Lua toca este ponto até o instante em que a borda oeste da umbra da Lua o toca (. Esse tempo é igual ao tamanho da umbra ( ) dividido pela velocidade média com que ela anda: Na realidade, a totalidade de um eclipse solar dura no máximo minutos. Um eclipse lunar acontece quando a Lua entra na sombra da Terra. Existem 3 tipos de eclipse lunares: eclipse total: a Lua está inteiramente imersa na umbra da Terra; eclipse parcial: parte da Lua passa pela umbra e o resto pela penumbra;

35 2. Eclipses 19 eclipse penumbral: a Lua passa somente pela penumbra. Figura Eclipse lunar À distância da Lua, km, a umbra da Terra tem um diâmetro médio de km (calculado em 2.1.4), cobrindo diâmetros da Lua. Estes valores variam um pouco porque dependem das distâncias relativas entre Sol, Terra e Lua em cada eclipse. Como a velocidade orbital da Lua é de aproximadamente km/h, a Lua pode levar até minutos para atravessar a umbra, mas a fase de totalidade do eclipse nunca dura mais do que minutos. A duração máxima de um eclipse lunar, incluindo as fases de parcialidade, é de horas. Como foi visto em 1.4, temos que a órbita da Lua não está alinhada com a órbita da Terra. Caso suas órbitas fossem alinhadas, então teríamos um eclipse solar a cada Lua Nova e um eclipse lunar a cada Lua Cheia, acontecendo assim um eclipse de em dias, aproximadamente. Os pontos de intersecções entre a órbita da Terra e a órbita da Lua se chamam nodos e a linha que une os dois nodos se chama linha dos nodos. Para ocorrer um eclipse, a Lua além de estar na fase Nova ou Cheia, precisa estar no plano da eclíptica, ou seja, precisa estar em um dos nodos ou próxima a eles. Tais fatos são separados por aproximadamente 3 dias, sendo que em um ano acontece no mínimo dois eclipses (sendo os dois solares) e no máximo sete eclipses (cinco solares e dois lunares ou quatro solares e três lunares).

36 2. Eclipses Hiparco e a distância da Terra à Lua Hiparco ( a.c.) foi astrônomo, construtor, cartógrafo e matemático grego da escola de Alexandria que, dentre outras coisas, utilizou seus conhecimentos para calcular a distância da Terra à Lua. Através de uma observação durante um eclipse lunar, e aplicando trigonometria e regra de três simples, Hiparco pôde calcular a distância Terra-Lua aproximada, como será descrito a seguir: Figura Hiparco e a distância da Terra à Lua Quando a Lua se move do ponto até o ponto, ela passa pela umbra da Terra e, por isso, um eclipse lunar acontece. O ângulo é o ângulo que um observador no Sol veria o raio da Terra, assim como o ângulo é o ângulo que um observador na Lua veria o raio da Terra. Pode-se notar que e são internos a um triângulo e, por isso, eles somam. Nota-se também que e formam juntos um ângulo raso de. Assim:

37 2. Eclipses 21 Portanto, Mas como ; e, segue que Com isto, temos que o ângulo é a soma do semi diâmetro angular do Sol (, visto do centro da Terra) com o semi diâmetro angular da sombra da Terra (, também visto do centro da Terra) à distância da Lua. O diâmetro angular do Sol já era conhecido na época e valia aproximadamente. Portanto, seu semi diâmetro angular (que é a metade do diâmetro angular) será aproximadamente. pode ser obtido através da medida do intervalo de tempo. Durante este intervalo, a Lua percorre uma distância angular de no céu. Sabendo que o período sideral da Lua é de horas, então, por regra de três simples, temos: Vale lembrar que equivale a, que é a órbita circular completa da Lua em torno da Terra, e vale aproximadamente horas, como foi visto em Aproximando o valor de para, podemos obter uma aproximação de : Conhecendo os valores do ângulo e do ângulo, então conhecemos também o valor do ângulo.

38 2. Eclipses 22 Resta-nos agora considerar o seguinte triângulo retângulo da Figura 2.7, em que é o raio da Terra (que já era conhecido na época, registrado pelo experimento de Eratóstenes) e é a distância da Terra à Lua: Figura Triângulo retângulo para o cálculo da distância da Terra à Lua Com isto, Hiparco concluiu o cálculo da distância da Terra à Lua, utilizando uma razão trigonométrica para o seno de : A distância da Terra à Lua encontrada por Hiparco através deste método foi aproximadamente de a raios terrestres. Atualmente, sabe-se que a distância da Terra à Lua varia entre e raios terrestres. Deste modo, encerramos este capítulo, tendo agora conhecimento sobre o fenômeno das eclipses, tanto em sua forma astronômica quanto matemática.

39 23 Capítulo 3 - Marés 3.1 Definição Ao longo do litoral terrestre banhado pelos grandes oceanos, as águas do mar periodicamente oscilam acima e abaixo de uma altura média, e este grande movimento das massas líquidas designa-se pelo nome de marés. 3.2 Causa As marés constituem um fenômeno resultante da atração gravitacional exercida pela Lua na Terra e, em menor escala, da atração gravitacional exercida pelo Sol na Terra. 3.3 Mais algumas definições Ainda em relação às marés, definimos: Fluxo: movimento ascensional das águas do mar no intervalo da menor à maior maré; Refluxo: o movimento inverso ao fluxo; Preamar: ou maré alta, é a maior altura atingida pelas águas do mar num período de 24 horas; Baixa-mar: ou maré baixa, é a mínima altura alcançada pela massa líquida também num período de 24 horas; Amplitude: é a diferença entre as alturas da maior à menor maré diária; Maré total: como em duas preamares consecutivas as alturas das marés não são as mesmas, a maré total é a média da elevação das águas de duas preamares consecutivas. Observações confirmam que as marés mais fortes realizam-se quando a Lua está no perigeu (mais próxima da Terra) e as mais fracas quando ela se encontra no apogeu (menos próxima da Terra).

40 3. Marés 24 As marés menos intensas acontecem nas épocas das quadraturas (conforme indicarão as Figuras 3.6 e 3.7, lembrando que as quadraturas ocorrem quando a Lua forma um ângulo de com a Terra em relação ao Sol). 3.4 Lua e a altura das marés A ideia de maré provocada pela Lua é que a atração gravitacional sentida por cada ponto da Terra devido à Lua depende da distância deste ponto a ela. Portanto, a atração gravitacional sentida no lado da Terra que está mais próximo da Lua é maior do que a sentida no centro da Terra, e a atração gravitacional sentida no lado da Terra que está mais distante da Lua é menor do que a sentida no centro da Terra. Portanto, em relação ao centro da Terra, um lado está sendo puxado na direção da Lua e o outro está sendo puxado na direção contrária. Como a água flui muito facilmente, ela se acumula nestes dois lados da Terra, deixando-a com um bojo de água na direção da Lua e outro na direção contrária. Enquanto a Terra gira no seu movimento diário, o bojo de água continua sempre apontando aproximadamente na direção da Lua, como mostra a Figura 3.1. Figura A maré alta segue a posição da Lua Então um ponto da Terra que esteja na direção da Lua terá maré alta. Cerca de seis horas mais tarde, a rotação da Terra terá levado este ponto a da Lua e ele terá maré baixa. Depois de mais seis horas, o mesmo ponto estará a da Lua e terá maré alta novamente. Com isto, concluímos que as marés (altas e baixas) acontecem duas vezes a cada 24 horas e 50 minutos, que é a duração do dia lunar visto em 1.9. Vários aspectos resultantes da distribuição das massas continentais contribuem para que a altura e a hora das marés variem de um lugar ao outro. Na cidade de Santos/SP, a maré alta tem em média m.

41 3. Marés Força da Maré Vamos agora encontrar a expressão para a força da maré, porém antes precisaremos conhecer a gravitação universal e forças gravitacionais diferenciais Gravitação universal A Terra exerce uma atração sobre os objetos que estão sobre a superfície e, segundo o físico Isaac Newton, esta força se estende até a Lua, produzindo a aceleração centrípeta necessária para manter a Lua em órbita. A partir disto, Newton levantou a hipótese da existência de uma força de atração universal entre os corpos em qualquer parte do universo. A força centrípeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa que se move com velocidade a uma distância do Sol é dada por: Assumindo que a órbita é circular, o período demora para dar uma volta completa em torno do Sol) é dado por: do planeta (tempo em que Agora utilizaremos a terceira Lei de Kepler (que será detalhada no Capítulo 4) que diz que o quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol, ou seja,, em que é o período orbital, é distância do planeta ao Sol e é uma constante de proporcionalidade que depende das unidades de e. Teremos então que:

42 3. Marés 26 Seja a massa do planeta e a massa do Sol. A expressão da força centrípeta exercida pelo Sol no planeta pode, então, ser escrita como e, de acordo com a 3ª lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contrária sobre o Sol. A força centrípeta exercida pelo planeta sobre o Sol é dada por. Com isto, Newton deduziu então que: Aqui, é uma constante gravitacional de proporcionalidade Forças gravitacionais diferenciais Corpos vizinhos exercem um no outro as chamadas forças gravitacionais diferenciais. No caso da Lua e da Terra, essas forças diferenciais acabam resultando o fenômeno das marés. Vamos calcular a força total exercida sobre uma partícula e então estender para o sistema Terra-Lua. A força total exercida sobre uma partícula será: A força gravitacional diferencial é a diferença entre as forças gravitacionais exercidas em duas partículas vizinhas por um terceiro corpo mais distante. A Figura 3.2 ilustra a força diferencial entre as partículas e devido a atração gravitacional do corpo. Figura Força diferencial entre duas partículas

43 3. Marés 27 A força diferencial tende a separar as duas partículas e pois, em relação ao centro de massa, as duas se afastam. Se as duas partículas são parte do mesmo corpo, a força diferencial tende a alongá-lo ou mesmo rompê-lo Derivação da força diferencial Consideremos as duas partículas da figura anterior. Chamaremos de a distância entre as duas partículas e de a distância de à partícula. Desta forma, o valor de será: Sendo Temos que Fazendo : Para, e. Portanto, a expressão da força diferencial fica:

44 3. Marés 28 De outro modo, poderíamos ter chegado a este mesmo resultado derivando a lei da força da gravitação universal: Então Esta é a expressão da força diferencial df na direção de. É basicamente a mesma expressão derivada anteriormente, com a diferença de que aqui temos ao invés de. Isto nos diz, portanto, que é a separação entre os pontos para os quais se calcula a força diferencial Expressão da força de maré Considere a atração gravitacional sentida por um ponto na superfície da Terra, situado a uma distância da Lua. Seja a distância centro a centro entre Terra e Lua e o raio da Terra. Figura Força da maré

45 3. Marés 29 A força diferencial no ponto em relação ao centro da Terra é. Como é muito maior que, o ângulo é muito pequeno e a direção da força é quase paralela à direção da força. Portanto, podemos dizer que. Sabemos, de 3.5.3, que. Nesta expressão, é a massa do corpo que provoca a maré (a Lua no caso), é a massa de uma partícula na Terra, é a distância entre os pontos onde se está medindo a maré (a distância Terra-Lua, representada por na Figura 3.3) e é a componente da distância entre os pontos na direção de ( na Figura 3.3). Portanto, a força de maré em um corpo de raio provocada por um corpo de massa, localizado a uma distância é: 3.6 Comparação das marés produzidas pela Lua e pelo Sol na Terra De acordo com a equação, temos que a força da maré é diretamente proporcional à massa do corpo que provoca a maré e inversamente proporcional ao cubo da distância entre o corpo que provoca a maré e o que sofre a maré. Embora a massa do Sol seja muito maior que a massa da Lua, o fato de ele estar muito mais distante da Terra do que a Lua faz com que a maré provocada por ele tenha menos da metade do efeito da maré provocada pela Lua. Porém, os efeitos das marés se combinam vetorialmente, de forma que a intensidade da maré resultante depende da posição da Lua. Na Lua Nova (Figura 3.4) ou Lua Cheia (Figura 3.5), as duas forças se somam e produzem as marés cheias mais altas e as marés baixas mais baixas. Na Lua em quadratura, Quarto-Crescente (Figura 3.6) ou Lua Quarto-Minguante (Figura 3.7), os efeitos da maré são atenuados.

46 3. Marés 30 Figura Maré durante a Lua Nova em combinação com o Sol Figura Maré durante a Lua Cheia em combinação com o Sol Figura Maré atenuada durante a Lua Quarto-Crescente Figura Maré atenuada durante a Lua Quarto-Minguante

47 3. Marés 31 Vamos agora comparar as marés produzidas pelo Sol e pela Lua em uma partícula de massa na superfície da Terra. Para isto, consideremos as seguintes informações: = força de maré produzida pelo Sol; = força de maré produzida pela Lua; = raio da Lua = km; = raio da Terra = km; = raio do Sol = km; = distância Terra-Lua = km; = distância Sol-Terra = km; = massa do Sol = kg; = massa da Terra = kg; = massa da Lua = kg. Pelo resultado : Portanto, fica comprovado a partir desta comparação que a força da maré provocada pela Lua na Terra é mais da metade que a força da maré provocada pelo Sol. 3.7 Expressão do nível médio das águas do mar O nível médio das águas do mar se obtém utilizando escalas da maré da seguinte forma: considere a Figura 3.8 em que e são as alturas de duas altas marés consecutivas; é a altura da baixa maré intermediária; é o meio entre e e representa a maré total. Sendo o zero da escala, tem-se:

48 3. Marés 32 Figura Escala das marés Como Então, substituindo em, temos: Consideremos agora as medidas dos segmentos na escala: ; ; ;. Então:

49 3. Marés 33 Portanto: É o nível médio das águas do mar quando temos a altura de duas altas marés consecutivas ( e ) e a altura da baixa maré intermediária ( ). 3.8 Expressão da altura do mar em função do tempo Sendo o nível médio do mar, consideremos agora que seja a altura do mar em uma dada hora sideral. A altura do mar compreende a altura mais e provenientes das ações da Lua e do Sol, respectivamente. Então: Vamos agora determinar e. Como é dado em função da posição da Lua no céu, consideraremos seu valor máximo e o ângulo da Lua no céu, obtendo-se: Consideremos ângulo horário de um corpo celeste um sistema de coordenadas astronômicas que indica quanto tempo sideral passou desde que um astro cruzou o meridiano local. Ele expressa a distância angular entre o meridiano e o astro, medido em horas ( hora = ) que variam de h a h. É calculado como a diferença entre o tempo sideral local ( ) e a ascensão reta do astro ( ângulo medido sobre o Equador, com origem no meridiano que passa pelo ponto Áries e fim no meridiano do astro, variando entre e h). Portanto, o ângulo horário de um corpo celeste é calculado pela equação. Se no tempo sideral, é o ângulo horário da Lua e fazendo-se, tem-se:, a altura é máxima e ;, a altura é mínima e ;

50 3. Marés 34, a altura é máxima e ;, a altura é mínima e. Admitindo que os valores intermediários para fórmula, então podemos escrever: sejam obtidos pela mesma obteremos: Já que é o ângulo horário da Lua, então substituiremos por e Nesta equação, exprime o maior valor de suposto proporcional à força (encontrada em 3.5.4, onde é a massa da Lua e a distância Terra-Lua), e assim tem-se para : Aqui, como sendo: é uma constante de proporcionalidade. Então, podemos reescrever Obtemos encontraremos: (dado em função da posição do Sol) da mesma forma e dada por: Portanto, a expressão da altura do mar em função do tempo sideral será

51 3. Marés 35 Em cada localidade, a hora da maré sofre variação e um retardo proveniente de circunstâncias locais como, por exemplo, a configuração da costa litorânea, desigualdades no fundo do mar, ventos, correntes marinhas, etc. 3.9 Ajuste trigonométrico das marés de Santos/SP Como visto anteriormente em 1.9, o dia lunar tem duração de 24 horas e 50 minutos. Durante o movimento de rotação da Terra, certa localidade em seu litoral apresentará maré alta e maré baixa duas vezes ao dia, com intervalos de tempo de aproximadamente 12h 25min, ou seja, se a localidade apresentar maré alta numa dada hora, depois de aproximdamente 6 horas terá maré baixa e depois de aproximadamente mais 6 horas terá maré alta novamente (como já comentado em 3.4). Com isto, nota-se que as marés altas e baixas estão sempre oscilando em função do tempo, e voltam a repetir seu ciclo de 12h 25min em 12h 25min, aproximadamente. Trata-se de um fenômeno periódico, que pode ser representado matematicamente por funções trigonométricas periódicas como senos e cossenos. Nesta sessão será feito o ajuste trigonométrico da altura das marés em função da hora do dia nos mares da cidade de Santos, referentes aos meses de fevereiro, março, abril, maio, junho e julho de Para isto, será utilizado como ferramenta o software Matlab, que nos auxiliará nos vários cálculos que deverão ser feitos e na visualização dos gráficos das funções encontradas. Os comandos utilizados e o passo a passo encontram-se em Anexos. Uma vez encontrada a função do ajuste trigonométrico para os dados do mês de fevereiro, poderemos utilizá-la e estendê-la para o resto do ano, uma vez que as marés repetem seu ciclo mês após mês O ajuste trigonométrico Definição: Dizemos que uma função real é periódica em, se existe um número real positivo, tal que para todo,

52 3. Marés 36 Podem existir muitos números reais com esta propriedade, mas o menor número positivo que satisfaz esta condição é chamado de período fundamental. Sabemos que as funções e possuem período, onde é a frequência angular da oscilação que indica quão frequênte os ciclos ocorrem. A frequência ângular (radianos/tempo) é relacionada com a frequência (ciclos/tempo) pela relação: Uma distribuição de pontos,, dispostos graficamente com periodicidade pode ser ajustada por uma função trigonométrica do tipo com, e. Recordemos que o Método dos Mínimos Quadrados consiste em: conhecidos os valores de nos pontos, determinar uma função que melhor se aproxime de. Nele, o erro cometido é igual a soma dos quadrados dos erros em cada um dos pontos. No caso do ajuste trigonométrico, é mínimo e, neste caso, queremos o mínimo da função erro Então,

53 3. Marés 37 Assim, obtemos o sistema de equações normais, utilizando, e, para o cálculo dos coeficientes, e correspondentes a este ajuste trigonométrico:

54 3. Marés 38 Chamaremos este sistema de. Resolvendo o sistema e encontrando-se os valores dos coeficientes, e, podemos então montar nossa função de ajuste trigonométrico de um conjunto de dados: Tábua das marés em Santos Os seguintes dados foram retirados dos sites e. Estas tabelas estão organizadas por cada dia de cada mês. Primeiro temos o horário do dia ( h em horas) e, logo abaixo, temos a altura da maré correspondente ( m em metros). No geral, os dados informam as duas marés altas e as duas marés baixas diárias. Figura Orla de Santos e o mar foto tirada em 30/01/12 por Paulo Meira (1) Porto de Santos: (2) Climatempo:

55 3. Marés 39 Fevereiro de 2012: 07 Lua Cheia 14 Lua Quarto-Minguante 22 Lua Nova 29 Lua Quarto-Crescente Qua 01 Qui 02 Sex 03 Sáb 04 03:36h 04:49h 00:45h 01:24h 0,6m 0,6m 1,2m 1,3m 07:49h 11:26h 05:49h 06:39h 0,9m 0,9m 0,5m 0,5m 17:04h 17:58h 12:38h 13:13h 0,6m 0,5m 1m 1,1m 23:58h 18:34h 19:09h 1,1m 0,4m 0,,2m Dom 05 Seg 06 Ter 07 Qua 08 Qui 09 Sex 10 Sáb 11 02:04h 02:43h 03:17h 03:49h 04:17h 04:38h 05:00h 1,4m 1,5m 1,5m 1,5m 1,4m 1,3m 1,2m 07:26h 08:11h 08:56h 09:38h 10:15h 10:56h 11:34h 0,4m 0,3m 0,2m 0,2m 0,2m 0,2m 0,3m 13:45h 14:13h 14:43h 15:09h 15:41h 16:11h 16:49h 1,3m 1,4m 1,4m 1,5m 1,5m 1,5m 1,4m 19:49h 20:28h 21:11h 21:53h 22:30h 23:08h 23:47h 0,1m 0m 0m 0m 0,1m 0,2m 0,3m Dom 12 Seg 13 Ter 14 Qua 15 Qui 16 Sex 17 Sáb 18 05:15h 00:23h 01:09h 02:23h 00:28h 01:11h 01:49h 1,1m 0,5m 0,7m 0,8m 1,1m 1,2m 1,3m 12:11h 05:28h 08:53h 04:19h 08:15h 08:23h 08:36h 0,4m 1m 0,7m 0,8m 0,6m 0,6m 0,6m 17:26h 13:02h 14:08h 08:30h 12:41h 13:13h 13:47h 1,3m 0,5m 0,5m 0,7m 1m 1,1m 1,2m 18:11h 23:04h 11:53h 17:17h 18:19h 19:02h 1,1m 0,9m 0,9m 0,4m 0,3m 0,2m Dom 19 Seg 20 Ter 21 Qua 22 Qui 23 Sex 24 Sáb 25 02:09h 02:23h 02:34h 02:51h 03:09h 03:38h 04:02h 1,3m 1,4m 1,4m 1,4m 1,4m 1,4m 1,4m 08:28h 08:23h 08:39h 09:06h 09:36h 10:04h 10:26h 0,5m 0,5m 0,4m 0,3m 0,3m 0,3m 0,3m 14:08h 14:24h 14:43h 15:02h 15:26h 15:54h 16:21h 1,3m 1,3m 1,4m 1,5m 1,5m 1,4m 1,4m 19:41h 20:19h 20:58h 21:36h 22:11h 22:52h 23:26h 0,1m 0m 0m 0m 0,1m 0,2m 0,3m Dom 26 Seg 27 Ter 28 Qua 29 04:30h 00:00h 00:39h 01:36h 1,3m 0,4m 0,6m 0,7m 10:34h 04:56h 05:24h 05:58h 0,4m 1,2m 1,1m 1m 16:53h 10:32h 10:49h 11:26h 1,3m 0,4m 0,5m 0,6m 17:23h 18:02h 22:36h 1,1m 1m 0,9m Tabela Tábua das marés em Santos em fevereiro de 2012

56 3. Marés 40 Março de 2012: 08 Lua Cheia 14 Lua Quarto-Minguante 23 Lua Nova 31 Lua Quarto-Crescente Qui 01 Sex 02 Sáb 03 03:00h 04:43h 00:32h 0,7m 0,7m 1,2m 06:51h 11:34h 05:53h 0,9m 0,9m 0,6m 15:34h 17:38h 12:23h 0,7m 0,5m 1m 23:47h 18:21h 1,1m 0,4m Dom 04 Seg 05 Ter 06 Qua 07 Qui 08 Sex 09 Sáb 10 01:09h 01:53h 02:26h 03:00h 03:32h 03:54h 04:09h 1,3m 1,4m 1,5m 1,5m 1,5m 1,4m 1,3m 06:39h 07:19h 08:00h 08:39h 09:19h 10:00h 10:39h 0,5m 0,3m 0,2m 0,2m 0,1m 0,1m 0,1m 13:00h 13:34h 14:04h 14:34h 15:02h 15:30h 16:02h 1,2m 1,3m 1,4m 1,5m 1,6m 1,6m 1,5m 18:58h 19:36h 20:15h 20:56h 21:34h 22:11h 22:51h 0,2m 0,1m 0m 0m 0m 0,1m 0,2m Dom 11 Seg 12 Ter 13 Qua 14 Qui 15 Sex 16 Sáb 17 04:21h 04:38h 00:00h 00:51h 02:08h 00:34h 01:02h 1,2m 1,1m 0,6m 0,8m 0,9m 1,1m 1,2m 11:17h 12:02h 04:36h 03:58h 08:00h 07:51h 07:56h 0,2m 0,3m 1m 0,9m 0,7m 0,6m 0,6m 16:36h 17:09h 12:54h 13:54h 11:19h 12:04h 12:43h 1,4m 1,3m 0,4m 0,5m 0,8m 1m 1,1m 23:23h 17:56h 23:43h 15:08h 16:36h 17:45h 0,4m 1,1m 1m 0,5m 0,4m 0,3m Dom 18 Seg 19 Ter 20 Qua 21 Qui 22 Sex 23 Sáb 24 01:26h 01:38h 01:47h 02:00h 02:19h 02:45h 03:08h 1,2m 1,3m 1,3m 1,4m 1,4m 1,4m 1,4m 07:58h 07:43h 07:41h 08:04h 08:36h 09:09h 09:43h 0,6m 0,5m 0,4m 0,3m 0,2m 0,2m 0,2m 13:08h 13:34h 13:56h 14:21h 14:51h 15:17h 15:49h 1,2m 1,3m 1,4m 1,5m 1,5m 1,5m 1,5m 18:32h 19:11h 19:53h 20:30h 21:08h 21:47h 22:21h 0,2m 0,1m 0,1m 0m 0,1m 0,1m 0,2m Dom 25 Seg 26 Ter 27 Qua 28 Qui 29 Sex 30 Sáb 31 03:36h 04:00h 04:23h 04:49h 00:39h 02:06h 04:58h 1,4m 1,3m 1,2m 1,1m 0,7m 0,8m 0,7m 10:11h 10:28h 10:38h 11:13h 05:13h 06:02h 10:51h 0,3m 0,4m 0,4m 0,5m 1m 0,9m 0,9m 16:15h 16:49h 17:19h 18:04h 12:34h 14:23h 16:19h 1,4m 1,3m 1,2m 1m 0,6m 0,6m 0,5m 22:54h 23:23h 23:53h 20:47h 23:11h 0,3m 0,5m 0,6m 0,9m 1,1m Tabela Tábua das marés em Santos em março de 2012

57 3. Marés 41 Abril de 2012: 06 Lua Cheia 13 Lua Quarto-Minguante 21 Lua Nova 29 Lua Quarto-Crescente Dom 01 Seg 02 Ter 03 Qua 04 Qui 05 Sex 06 Sáb 07 05:03h 05:47h 00:30h 01:10h 01:49h 2:28h 03:06h 0,55m 0,5m 1,43m 1,47m 1,45m 1,38m 1,27m 10:10h 11:07h 06:30h 07:12h 07:53h 08:36h 09:19h 1,17m 1,31m 0,45m 0,4m 0,35m 0,31m 0,29m 17:21h 18:08h 11:58h 12:45h 13:32h 14:19h 15:07h 0,36m 0,3m 1,43m 1,5m 1,52m 1,49m 1,42m 23:49h 18:53h 19:39h 20:25h 21:13h 22:04h 1,35m 0,26m 0,26m 0,29m 0,35m 0,44m Dom 08 Seg 09 Ter 10 Qua 11 Qui 12 Sex 13 Sáb 14 03:44h 04:22h 00:15h 01:43h 03:09h 04:09h 04:48h 1,14m 1,01m 0,62m 0,68m 0,7m 0,7m 0,69m 10:05h 10:54h 05:03h 05:54h 07:07h 08:35h 09:45h 0,28m 0,29m 0,91m 0,83m 0,81m 0,86m 0,95m 15:57h 16:52h 11:50h 12:54h 14:02h 15:07h 16:03h 1,31m 1,19m 0,31m 0,33m 0,35m 0,36m 0,36m 23:03h 17:54h 19:10h 20:52h 22:12h 22:37h 0,53m 1,09m 1,02m 1m 1,03m 1,08m Dom 15 Seg 16 Ter 17 Qua 18 Qui 19 Sex 20 Sáb 21 05:18h 05:46h 06:15h 00:00h 00:34h 01:09h 01:45h 0,67m 0,64m 0,59m 1,27m 1,31m 1,33m 1,3m 10:36h 11:20h 12:01h 06:45h 07:17h 07:49h 08:21h 1,06m 1,17m 1,27m 0,54m 0,49m 0,44m 0,39m 16:52h 17:37h 18:18h 12:40h 13:20h 13:59h 14:40h 0,37m 0,37m 0,38m 1,34m 1,38m 1,38m 1,36m 23:01h 23:29h 18:59h 19:40h 20:22h 21:04h 1,14m 1,21m 0,38m 0,39m 0,39m 0,41m Dom 22 Seg 23 Ter 24 Qua 25 Qui 26 Sex 27 Sáb 28 02:22h 03:00h 03:39h 04:21h 00:13h 01:12h 02:15h 1,26h 1,19m 1,13m 1,07m 0,54m 0,57m 0,6m 08:53h 09:25h 09:58h 10:37h 05:08h 06:00h 07:00h 0,36m 0,34m 0,34m 0,34m 1,04m 1,02m 1,03m 15:21h 16:04h 16:50h 17:42h 11:26h 12:33h 13:58h 1,31m 1,25m 1,19m 1,13m 0,36m 0,39m 0,42m 21:47h 22:32h 23:20h 18:42h 19:51h 21:03h 0,43m 0,46m 0,5m 1,1m 1,09m 1,12m Dom 29 Seg 30 03:17h 04:16h 0,6m 0,59m 08:07h 09:16h 1,07m 1,14m 15:23h 16:35h 0,42m 0,42m 22:10h 23:09h 1,17m 1,23m Tabela Tábua das marés em Santos em abril de 2012

58 3. Marés 42 Maio de 2012: 06 Lua Cheia 12 Lua Quarto-Minguante 20 Lua Nova 28 Lua Quarto-Crescente Ter 01 Qua 02 Qui 03 Sex 04 Sáb 05 05:11h 00:00h 00:48h 01:32h 02:15h 0,55m 1,28m 1,31m 1,31m 1,28m 10:25h 06:03h 06:52h 07:39h 08:26h 1,22m 0,49m 0,42m 0,34m 0,27m 17:39h 11:30h 12:32h 13:29h 14:24h 0,4m 1,3m 1,38m 1,43m 1,44m 18:37h 19:33h 20:27h 21:20h 0,4m 0,41h 0,43m 0,46m Dom 06 Seg 07 Ter 08 Qua 09 Qui 10 Sex 11 Sáb 12 02:56h 03:35h 04:14h 04:52h 00:42h 01:32h 02:22h 1,23m 1,16m 1,09m 1,04m 0,65m 0,69m 0,72m 09:12h 09:58h 10:45h 11:32h 05:31h 06:14h 07:05h 0,21m 0,17m 0,16m 0,17m 0,99m 0,96m 0,96m 15:17h 16:08h 16:57h 17:43h 12:21h 13:12h 14:05h 1,42m 1,37m 1,29m 1,2m 0,21m 0,27m 0,34m 22:11h 23:03h 23:53h 18:28h 19:12h 19:56h 0,5m 0,55m 0,6m 1,12m 1,06m 1,03m Dom 13 Seg 14 Ter 15 Qua 16 Qui 17 Sex 18 Sáb 19 03:14h 04:05h 04:54h 05:40h 06:23h 00:00h 00:46h 0,72m 0,71m 0,68m 0,63m 0,57m 1,2m 1,23m 08:06h 09:17h 10:29h 11:33h 12:28h 07:04h 07:43h 0,97m 1m 1,06m 1,13m 1,21m 0,5m 0,43m 15:02h 15:59h 16:55h 17:49h 18:40h 13:17h 14:02h 0,41m 0,46m 0,5m 0,51m 0,51m 1,29m 1,34m 20:42h 21:31h 22:22h 23:11h 19:28h 20:14h 1,03m 1,05m 1,1m 1,15m 0,5m 0,47m Dom 20 Seg 21 Ter 22 Qua 23 Qui 24 Sex 25 Sáb 26 01:29h 02:11h 02:51h 03:30h 04:10h 04:50h 00:29h 1,26m 1,26m 1,25m 1,23m 1,21m 1,18m 0,53m 08:21h 08:58h 09:33h 10:09h 10:44h 11:22h 05:33h 0,37m 0,32m 0,27m 0,25m 0,24m 0,26m 1,15m 14:44h 15:25h 16:05h 16:46h 17:28h 18:13h 12:04h 1,37m 1,38m 1,35m 1,31m 1,25m 1,19m 0,3m 20:58h 21:40h 22:22h 23:02h 23:44h 19:04h 0,45m 0,44m 0,44m 0,46m 0,49m 1,13m Dom 27 Seg 28 Ter 29 Qua 30 Qui 31 01:20h 02:22h 03:33h 04:43h 05:46h 0,58m 0,62m 0,62m 0,59m 0,51m 06:21h 07:18h 08:28h 09:52h 11:22h 1,12m 1,09m 1,08m 1,1m 1,17m 12:57h 14:13h 15:58h 17:30h 18:43h 0,36m 0,45m 0,51m 0,54m 0,53m 20:04h 21:15h 22:34h 23:43h 1,09m 1,07m 1,08m 1,12m Tabela Tábua das marés em Santos em maio de 2012

59 3. Marés 43 Junho de 2012: 04 Lua Cheia 11 Lua Quarto-Minguante 19 Lua Nova 27 Lua Quarto-Crescente Sex 01 Sáb 02 00:38h 01:25h 1,17m 1,21m 06:41h 07:31h 0,41m 0.3m 12:41h 13:43h 1,28m 1,39m 19:41h 20:31h 0,52m 0,51m Dom 03 Seg 04 Ter 05 Qua 06 Qui 07 Sex 08 Sáb 09 02:06h 02:43h 03:19h 03:53h 04:25h 04:57h 00:06h 1,25m 1,26m 1,26m 1,24m 1,21m 1,16m 0,64m 08:16h 09:00h 09:42h 10:23h 11:03h 11:42h 05:29h 0,2m 0,12m 0,07m 0,06m 0,09m 0,15m 1,11m 14:34h 15:19h 15:59h 16:35h 17:08h 17:40h 12:22h 1,46m 1,48m 1,45m 1,39m 1,3m 1,21m 0,24m 21:16h 21:58h 22:35h 23:09h 23:40h 18:11h 0,51m 0,53m 0,55m 0,58m 0,61m 1,12m Dom 10 Seg 11 Ter 12 Qua 13 Qui 14 Sex 15 Sáb 16 00:25h 00:41h 01:15h 03:50h 05:19h 06:14h 06:58h 0,67m 0,68m 0,7m 0,7m 0,65m 0,57m 0,49m 06:05h 06:50h 07:56h 09:39h 11:28h 12:35h 13:21h 1,05m 0,99m 0,95m 0,95m 1,02m 1,14m 1,27m 13:05h 13:56h 15:02h 16:20h 17:31h 18:30h 19:20h 0,34m 0,45m 0,54m 0,6m 0,61m 0,58m 0,54m 18:46h 19:26h 20:16h 21:20h 22:31h 23:38h 1,06m 1,01m 0,99m 1m 1,04m 1,11m Dom 17 Seg 18 Ter 19 Qua 20 Qui 21 Sex 22 Sáb 23 00:32h 01:18h 01:59h 02:37h 03:14h 03:49h 04:25h 1,19m 1,28m 1,34m 1,37m 1,38m 1,35m 1,30m 07:37h 08:14h 0849h 09:23h 09:56h 10:28h 11:00h 0,4m 0,31m 0,24m 0,18m 0,15m 0,15m 0,19m 14:01h 14:38h 15:14h 15:50h 16:26h 17:02h 17:40h 1,37m 1,44m 1,47m 1,46m 1,41m 1,33m 1,22m 20:03h 20:43h 21:21h 21:57h 22:33h 23:09h 23:48h 0,49m 0,45m 0,42m 0,41m 0,42m 0,46m 0,5m Dom 24 Seg 25 Ter 26 Qua 27 Qui 28 Sex 29 Sáb 30 05:03h 00:32h 01:32h 03:00h 04:30h 05:40h 00:39h 1,23m 0,56m 0,61m 0,63m 0,58m 0,48m 1,08m 11:32h 05:46h 06:38h 07:51h 09:45h 12:09h 06,33h 0,26m 1,15m 1,05m 0,98m 0,98m 1,1m 0,35m 18:21h 12:07h 12:59h 16:07h 17:57h 18:59h 13:13h 1,11m 0,37m 0,51m 0,62m 0,61m 0,58m 1,27m 19:11h 20:24h 22:24h 23:51h 19:44h 1,01m 0,93m 0,92m 0,99m 0,55m Tabela Tábua das marés em Santos em junho de 2012

60 3. Marés 44 Julho de 2012: 03 Lua Cheia 10 Lua Quarto-Minguante 19 Lua Nova 26 Lua Quarto-Crescente Dom 01 Seg 02 Ter 03 Qua 04 Qui 05 Sex 06 Sáb 07 01:16h 01:49h 02:21h 02:52h 03:22h 03:51h 04:20h 1,18m 1,27m 1,34m 1,38m 1,38m 1,35m 1,28m 07:19h 08:00h 08:40h 09:17h 09:54h 10:29h 11:03h 0,23m 0,12m 0,05m 0,01m 0,01m 0,06m 0,13m 13:54h 14:28h 15:00h 15:30h 15:58h 16:25h 16:52h 1,4m 1,49m 1,52m 1,5m 1,44m 1,34m 1,24m 20:21h 20:55h 21:26h 21:54h 22:20h 22:42h 22:57h 0,53m 0,52m 0,52m 0,53m 0,53m 0,54m 0,55m Dom 08 Seg 09 Ter 10 Qua 11 Qui 12 Sex 13 Sáb 14 04:49h 05:19h 05:56h 06:52h 00:06h 05:11h 06:05h 1,18m 1,08m 0,98m 0,89m 0,64m 0,63m 0,53m 11:35h 12:10h 12:52h 14:10h 09:08h 11:48h 12:36h 0,23m 0,35m 0,47m 0,59m 0,85h 0,97m 1,13m 17:20h 17:50h 18:27h 19:17h 16:00h 17:22h 18:18h 1,14m 1,05m 0,98m 0,92m 0,65m 0,63m 0,57m 23:04h 23:10h 23:38h 20:31h 22:05h 23:24h 0,56m 0,57m 0,59m 0,9m 0,94m 1,06m Dom 15 Seg 16 Ter 17 Qua 18 Qui 19 Sex 20 Sáb 21 06:44h 00:18h 01:00h 01:39h 02:15h 02:50h 03:25h 0,43m 1,2m 1,33m 1,43m 1,48m 1,48m 1,44m 13:11h 07:20h 07:54h 08:28h 09:01h 09:34h 10:05h 1,28m 0,32m 0,22m 0,15m 0,1m 0,08m 0,11m 19:02h 13:44h 14:17h 14:50h 15:24h 15:58h 16:32h 0,51m 1,41m 1,49m 1,53m 1,51m 1,43m 1,32m 19:40h 20:17h 20:52h 21:27h 22:01h 22:36h 0,45m 0,41m 0,38m 0,36m 0,38m 0,41m Dom 22 Seg 23 Ter 24 Qua 25 Qui 26 Sex 27 Sáb 28 04:00h 04:37h 05:19h 00:57h 02:46h 04:24h 05:29h 1,35m 1,23m 1,1m 0,56m 0,57m 0,5m 0,38m 10:36h 11:03h 11:28h 06:13h 11:29h 12:45h 13:00h 0,18m 0,28m 0,42m 0,96m 0,76m 0,94m 1,11m 17:06h 17:42h 18:25h 11:45h 17:12h 18:20h 18:58h 1,17m 1,02m 0,89m 0,59m 0,63m 0,59m 0,56m 23:12h 23:54h 19:41h 23:01h 23:55h 0,45m 0,5m 0,78m 0,8m 0,9m Dom 29 Seg 30 Ter 31 00:27h 00:55h 01:23h 1,03m 1,17m 1,29m 06:17h 06:59h 07:36h 0,26m 0,15m 0,06m 13:18h 13:39h 14:02h 1,26m 1,38m 1,45m 19:27h 19:54h 20:21h 0,53m 0,52m 0,5m Tabela Tábua das marés em Santos em julho de 2012

61 3. Marés Ajuste trigonométrico para o mês de fevereiro Vamos agora fazer o ajuste trigonométrico para os dados referentes a fevereiro. O primeiro passo é transformar o tempo apenas em horas. Para isto, basta dividirmos a quantidade de minutos por e assim obter o número de horas no formato decimal. Por exemplo: para o primeiro dia de fevereiro temos os horários: A partir do segundo dia, somaremos as 24 horas passadas dos dias anteriores (onde 01/02 é o primeiro dos dias), e assim sucessivamente até encontrarmos horas passadas desde o dia até as 22h 36min do dia 29. Ou seja: do dia 02: do dia 03: do dia 04: do dia 29: Isto foi feito para que possamos utilizar um valor com uma única unidade de tempo (horas, no caso) para calcularmos a função que aproximará a altura das marés em função do tempo, facilitando nossos cálculos e permitindo uma aproximação de forma mais fácil utilizando a função de ajuste. Após fazer a conversão de todos os horários informados nos dados de fevereiro, teremos os seguintes valores:

62 3. Marés Agora, utilizando o software Matlab, podemos organizar estes valores como uma matriz que chamaremos de, com uma linha e 113 colunas (já que temos 113 horários diferentes). Para isto, digitamos: > x = [ ]; Em seguida, digitaremos a matriz, cujos dados referem-se à altura da maré em seus respectivos horários correspondentes na matriz. Como os dados já estão em metros, não precisaremos fazer alterações. Esta matriz também terá 1 linha com 113 colunas: > y = [ ]; Depois de fornecer estes dados ao software, teremos que criar o sistema (encontrado em 3.9.1) para posteriormente encontrarmos os coeficientes, e de nossa função aproximada. Antes disso, vamos encontrar o valor de (em radianos). Sabendo que e que o ciclo das marés tem um período de duração de aproximadamente 12h 25min (metade do da duração do dia lunar), teremos: Agora, escreveremos o sistema reescrevendo-o da seguinte forma: em sua forma matricial no Matlab, porém

63 3. Marés 47 Chamemos a primeira matriz de, a segunda de e a terceira (depois da igualdade) de. Vamos agora inserir a matriz no software utilizando comandos de forma que os valores numéricos já sejam apresentados para nós. Vale lembrar que, neste caso, é igual a 113, ou seja, são 113 dados que estamos ajustando, e ; separa as linhas de uma matriz no software. O comando a ser digitado será: > A = [113 sum(cos(0.5059*x)) sum(sin(0.5059*x)); sum(cos(0.5059*x)) sum(cos(0.5059*x).^2) sum(cos(0.5059*x).*sin(0.5059*x)); sum(sin(0.5059*x)) sum(cos(0.5059*x).*sin(0.5059*x)) sum(sin(0.5059*x).^2)] Feito isto, o software retornará a matriz do sistema com os valores calculados e a janela do programa estará parecida com a Figura 3.10: Figura Matlab após a inserção dos dados "x", "y" e "A"

64 3. Marés 48 Em seguida, devemos inserir a matriz, digitando os comandos abaixo, e o software nos retornará os valores numéricos correspondentes, conforme a Figura > B = [sum(y); sum(y.*cos(0.5059*x)); sum(y.*sin(0.5059*x))] Figura Matlab após a inserção dos dados "x", "y", "A" e "B" Como nosso objetivo é encontrar os coeficientes, e (que é a matriz ) e já temos as matrizes e, então para encontrarmos basta dividirmos por : Para fazermos esta divisão no Matlab, utilizaremos o seguinte comando: > P = A\B Feito isto, o software nos retornará os valores da matriz, ou seja, a matriz dos coeficientes do nosso ajuste trigonométrico da função.

65 3. Marés 49 Figura Matlab após a inserção dos dados "x", "y", "A", "B" e "P" Teremos então a seguinte equivalência: Ora, se a função do ajuste trigonométrico é da forma: então, substituindo os valores dos coeficientes, e encontrados, temos a função aproximada para o ajuste trigonométrico referente a altura das marés em Santos para o mês de fevereiro: onde representa o tempo (em horas) e a altura da maré (em metros). Os comandos utilizados estão em Anexo 1, em Anexos. Podemos gerar o gráfico desta função utilizando o comando: > ezplot(' *cos(0.5059*t) *sin(0.5059*t)',[0,695])

66 3. Marés 50 Figura Gráfico da função encontrada no ajuste trigonométrico Podemos representar neste mesmo gráfico as alturas reais das marés num dado horário (de acordo com a tábua fornecida em 3.9.1) por pontos: > hold on > plot(x, y, *r ) Figura Gráfico da função do ajuste trigonométrico encontrada e dos pontos dados na tábua das marés

67 3. Marés 51 Note que para alguns pontos, a função é uma boa aproximação, pois passa exatamente por eles. Porém, para vários outros, a função torna-se muito distante, o que acaba influenciando bastante no erro da aproximação (que será calculado em 3.9.4). Repare, através dos pontos, que aproximadamente entre 300 horas e 400 horas (que equivalem ao período entre os dias 12/02 a 17/02), a variação da altura da maré é baixa, e é o período em que a Lua está em sua fase Quarto-Minguante. O mesmo acontece nos primeiros e nos últimos dias do mês, quando a Lua está na fase Quarto-Crescente. Entre 100 a 300 horas e entre 400 e 600 horas aproximadamente, a altura das marés tem uma maior variação, e é justamente quando a Lua está nas fases Cheia e Nova, respectivamente Cálculo do erro cometido Para calcularmos o erro de nossa aproximação no ajuste trigonométrico, procedemos de forma análoga ao Método dos Mínimos Quadrados. O erro é dado por onde são os valores reais que estamos utilizando para aproximar uma função e são os valores obtidos pela função aproximada. No nosso caso, são os dados reais fornecidos nas tábuas das marés (3.9.2) e são os valores das alturas das marés obtidos através da função do ajuste trigonométrico encontrada ao substituirmos por cada um dos horários (que pode ser feito rapidamente com o Matlab). Para calcularmos o erro cometido na função encontrada, primeiramente calcularemos o valor da altura da maré em cada um dos horários, substituindo-os no lugar de. Utilizando o Matlab, entraremos novamente com a matriz e, em seguida, entraremos com a encontrada (que será chamada de ), e então o software calculará automaticamente o valor da função para cada um dos horários fornecidos, nos retornando uma matriz com os valores calculados. > x = [ ];

68 3. Marés 52 > f = *cos( *x) *sin( *x) Agora entraremos com as alturas das tábuas das marés coletadas do site, e chamaremos estes dados de : > y = [ ]; por Feito isto, basta agora calcular o erro, que chamaremos de. Como ele é dado então, no nosso caso, ele será: Chamando o erro de e, digitamos o comando: > e = (y f).^2 O software irá retornar a matriz e com os valores já calculados. Como queremos a somatória destes valores, então digitamos: > sum(e) e o software nos retornará o valor. O valor para o erro está relativamente alto, porém isto é natural, uma vez que estamos procurando uma função para um intervalo de tempo grande e com vários pontos, sem falar que apesar de os dados estarem quase igualmente espaçados (seguindo de aproximadamente 6h 20min de uma maré alta para uma maré baixa), seus valores

69 3. Marés 53 sofrem muitas variações dia após dia devido a vários fenômenos que influenciam na altura das marés como, por exemplo, o vento, as correntes marinhas, estações do ano e as próprias fases da Lua, como já foi discutido nos itens acima Generalização Como a altura das marés é um fenômeno periódico, podemos estender a função encontrada para os outros meses do ano e, desta forma, prever a altura da maré em um dado horário de certo dia de algum mês. Calcularemos a seguir com a ajuda do Matlab qual o erro da aproximação de obtida do mês de fevereiro para os meses de março, abril, maio, junho e julho de Os comandos utilizados encontram-se em Anexo 4, em Anexos. Começamos a marcar o horário desde as 0 horas de 01/02 e fomos acumulando dia após dia, mês a mês, de forma que às 0 horas do dia 01/03 equivale a 696h, 0h do dia 01/04 equivale a 1440h, 0h do dia 01/05 equivale a 2160h, 0h do dia 01/06 equivale a 2904h e 0h do dia 01/07 equivale a 3624h passadas. Março: Horários convertidos (em horas): Respectivas alturas das marés (em metros):

70 3. Marés Erro cometido: Figura Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de março, de 696h a 1440h Abril: Horários convertidos (em horas): Respectivas alturas das marés (em metros):

71 3. Marés Erro cometido: Figura Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de abril, de 1440h a 2160h Maio: Horários convertidos (em horas):

72 3. Marés Respectivas alturas das marés (em metros): Erro cometido: Figura Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de maio, de 2160h a 2904h Junho: Horários convertidos (em horas):

73 3. Marés Respectivas alturas das marés (em metros): Erro cometido: Figura Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de junho, de 2904h a 3624h

74 3. Marés 58 Julho: Horários convertidos (em horas): Respectivas alturas das marés (em metros): Erro cometido:

75 3. Marés 59 Figura Gráfico de f(x) aplicada aos dados do mês de julho, de 3624h a 4368h Se quisermos ter uma previsão da altura da maré em Santos em uma dada hora de um dado dia de 2012 utilizando, devemos converter esta hora do dia desejado na hora cumulativa desde o dia 01/02, conforme foi feito para os outros meses acima, e assim obteremos o de que, ao ser substituído nela, nos retornará a altura aproximada da maré. Para a conversão destes horários, podemos utilizar as seguintes funções (onde é o dia do mês, é a hora desejada e são os minutos): Fevereiro: Março: Abril: Maio: Junho: Julho: Agosto: Setembro: Outubro: Novembro:

76 3. Marés 60 Dezembro: Por exemplo, se quisermos saber qual a altura da maré no dia 28 de abril às 15h 30min, faremos o seguinte: metros. Portanto, a altura da maré neste dia e neste horário deverá ser próxima de Tentativa de uma melhor aproximação no ajuste trigonométrico A fim de tentarmos reduzir o erro cometido para o ajuste trigonométrico encontrado, acrescentamos mais dois termos na nossa função, deixando-a com a seguinte forma: Feito isto, montamos seu sistema equivalente conforme foi feito em 3.9.1, porém agora obtendo um sistema com 5 equações e 5 incógnitas. Digitando este sistema encontrado no Matlab, ele ficará: > A = [113 sum(cos(0.5059*x)) sum(sin(0.5059*x)) sum(cos(1.0118*x)) sum(sin (1.0118*x)); sum(cos(0.5059*x)) sum(cos(0.5059*x).^2) sum(cos(0.5059*x).*sin (0.5059*x)) sum(cos(0.5059*x).*cos(1.0118*x)) sum(cos(0.5059*x).*sin (1.0118*x)); sum(sin(0.5059*x)) sum(cos(0.5059*x).*sin(0.5059*x)) sum(sin (0.5059*x).^2) sum(sin(0.5059*x).*cos(1.0118*x)) sum(sin(0.5059*x).*sin

77 3. Marés 61 (1.0118*x)); sum(cos(1.0118*x)) sum(cos(0.5059*x).*cos(1.0118*x)) sum(sin (0.5059*x).*cos(1.0118*x)) sum(cos(1.0118*x).^2) sum(sin(1.0118*x).*cos (1.0118*x)); sum(sin(1.0118*x)) sum(cos(0.5059*x).*sin(1.0118*x)) sum(sin (0.5059*x).*sin(1.0118*x)) sum(cos(1.0118*x).*sin(1.0118*x)) sum(sin (1.0118*x).^2)]; > B = [sum(y); sum(y.*cos(0.5059*x)); sum(y.*sin(0.5059*x)); sum(y.*cos (1.0118*x)); sum(y.*sin(1.0118*x))]; Fazendo de forma análoga a 3.9.3, para o mês de fevereiro encontramos a seguinte função (comandos utilizados em Anexo 2, em Anexos): Utilizando os comandos de Anexo 5, em Anexos, estendemos esta função para os outros meses do ano e os erros serão os seguintes (onde é a função encontrada em e é a que acabamos de encontrar): Erro cometido f(x) h(x) Fevereiro 4,8235 4,8126 Março 6,0052 6,0138 Abril 3,6539 3,7438 Maio 4,4852 4,8007 Junho 4,2735 4,4502 Julho 4,7478 4,8334 Tabela Comparação do erro cometido entre f(x) e h(x) Como última tentativa de melhorarmos ainda mais nosso ajuste trigonométrico, acrescentaremos mais dois termos ao nosso ajuste, e este ficará da seguinte forma:

78 3. Marés 62 Feito isto, montamos seu sistema equivalente conforme foi feito em 3.9.1, porém agora obtendo um sistema com 7 equações e 7 incógnitas. Digitando este sistema encontrado no Matlab, ele ficará: > A = [113 sum(cos(0.5059*x)) sum(sin(0.5059*x)) sum(cos(1.0118*x)) sum(sin(1.0118*x)) sum(cos(1.5177*x)) sum(sin(1.5177*x)); sum(cos(0.5059*x)) sum(cos(0.5059*x).^2) sum(cos(0.5059*x).*sin(0.5059*x)) sum(cos(0.5059*x).*cos(1.0118*x)) sum(cos(0.5059*x).*sin(1.0118*x)) sum(cos(1.5177*x).*cos(0.5059*x)) sum(sin(1.5177*x).*cos(0.5059*x)); sum(sin(0.5059*x)) sum(cos(0.5059*x).*sin(0.5059*x)) sum(sin(0.5059*x).^2) sum(sin(0.5059*x).*cos(1.0118*x)) sum(sin(0.5059*x).*sin(1.0118*x)) sum(cos(1.5177*x).*sin(0.5059*x)) sum(sin(1.5177*x).*sin(0.5059)); sum(cos(1.0118*x)) sum(cos(0.5059*x).*cos(1.0118*x)) sum(sin(0.5059*x).*cos(1.0118*x)) sum(cos(1.0118*x).^2) sum(sin(1.0118*x).*cos(1.0118*x)) sum(cos(1.5177*x).*cos(1.0118*x)) sum(sin(1.5177*x).*cos(1.0118*x)); sum(sin(1.0118*x)) sum(cos(0.5059*x).*sin(1.0118*x)) sum(sin(0.5059*x).*sin(1.0118*x)) sum(cos(1.0118*x).*sin(1.0118*x)) sum(sin(1.0118*x).^2) sum(cos(1.5177*x).*sin(1.0118*x)) sum(sin(1.5177*x).*sin(1.0118*x)); sum(cos(1.5177*x)) sum(cos(0.5059*x).*cos(1.5177*x)) sum(sin(0.5059*x).*cos(1.5177*x)) sum(cos(1.0118*x).*cos(1.5177*x)) sum(sin(1.0118*x).*cos(1.5177*x)) sum(cos(1.5177).^2) sum(sin(1.5177*x).*cos(1.5177*x)); sum(sin(1.5177*x)) sum(cos(0.5059*x).*sin(1.5177*x)) sum(sin(0.5059*x).*sin(1.5177*x)) sum(cos(1.0118*x).*sin(1.5177*x)) sum(sin(1.0118*x).*sin(1.5177*x)) sum(cos(1.5177*x).*sin(1.5177*x)) sum(sin(1.5177*x).^2)] > B = [sum(y); sum(y.*cos(0.5059*x)); sum(y.*sin(0.5059*x)); sum(y.*cos(1.0118*x)); sum(y.*sin(1.0118*x)); sum(y.*cos(1.5177*x)); sum(y.*sin(1.5177*x))] Fazendo de forma análoga a 3.9.3, para o mês de fevereiro encontramos a seguinte função (comandos em Anexo 3, em Anexos):

79 3. Marés 63 Utilizando os comandos de Anexo 6, em Anexos e estendendo esta função para os outros meses do ano, os erros serão os seguintes (onde é a função encontrada em 3.0.3, é a função com 2 termos a mais e é a função que acabamos de encontrar): Erro cometido f(x) h(x) h'(x) Fevereiro 4,8235 4,8126 4,7684 Março 6,0052 6,0138 5,9063 Abril 3,6539 3,7438 3,7027 Maio 4,4852 4,8007 5,1797 Junho 4,2735 4,4502 4,7067 Julho 4,7478 4,8334 5,0122 Tabela Comparação do erro cometido entre f(x), h(x) e h'(x) Portanto, concluímos que o melhor ajuste para os dados fornecidos é a função pois os erros cometidos são relativamente mais baixos que os erros de e. Assim, concluímos mais este capítulo do trabalho, conhecendo mais sobre o fenômeno das marés e ajustes trigonométricos. A função encontrada é a função da altura das marés em Santos em certo horário do dia que nos permite aproximar a altura da maré para qualquer outro dia do ano com um erro não muito alto.

80 64 Capítulo 4 Mecânica Celeste Neste capítulo será feito um breve estudo da mecânica celeste, estudando matematicamente as três leis de Kepler. Inicialmente, falaremos sobre a velocidade de escape de um corpo. 4.1 Peso de um corpo Nesta seção, calcularemos a velocidade necessária para um corpo sair da órbita de um planeta, ou seja, calcularemos a velocidade de escape. Antes, precisamos calcular o peso de corpos em função da força gravitacional de um astro. Consideraremos que estes corpos obedecem a lei de movimento de Newton dada por em que é a força externa, é a massa do objeto e é a aceleração na direção de. Vamos agora considerar um corpo caindo livremente no vácuo e próximo da Terra, de modo que a única força significativa que atua sobre o corpo é o seu peso, provocado pelo campo gravitacional terrestre. A equação então ficará: em que é o peso do corpo e é a aceleração da gravidade. Porém, esta equação é válida somente ao nível do mar, uma vez que a aceleração da gravidade se altera conforme varia a distância ao centro do campo gravitacional da Terra, mesmo a massa do corpo permanecendo constante. A expressão geral do peso de um corpo de massa se obtém pela lei da atração gravitacional vista em Se for o raio da Terra e for a altura acima do nível do mar, então

81 4. Mecânica Celeste 65 em que é uma constante. Em (nível do mar),, e então e, portanto, 4.2 Velocidade de escape A velocidade de escape é aquela que um corpo deve ter para poder fugir de um corpo celeste, vencendo a força de gravitação dele. Isto tem aplicação quando queremos lançar satélites artificiais da Terra para a Lua e da Lua para Terra, por exemplo. Neste caso, a velocidade na partida da Terra deve ser suficiente para vencer a atração exercida por ela e, na volta, deve ser dado ao satélite a velocidade suficiente que o possibilite a vencer a atração exercida pela Lua. Consideraremos um corpo de massa constante é projetado para cima, na superfície da Terra, com uma velocidade inicial. Admitindo que não haja resistência do ar, mas levando em conta a variação do campo gravitacional da Terra com a altura, queremos encontrar a expressão que nos retorne a velocidade necessária para que este corpo saia da órbita terrestre, ou seja, sua velocidade de escape. A Figura 4.1 está desenhada horizontalmente para lembrar que a gravidade está direcionada para o centro da Terra e não necessariamente para baixo se observada de uma posição longe da Terra. Terra Figura Corpo no campo gravitacional da Terra

82 4. Mecânica Celeste 66 O peso do corpo é dado por em que o sinal negativo indica que está dirigida na direção dos negativos. Uma vez que não existem outras forças atuando sobre o corpo, a equação do movimento é lembrando que utilizamos e é a derivada da velocidade, ou seja, a aceleração. Como o segundo membro da equação só depende de, é conveniente pensar em como a variável independente e não em. Precisamos então representar em termos de. Então, pela regra da cadeia, Então, a equação ficará: Agora, podemos integrar ambos os lados da equação : Encontraremos a expressão

83 4. Mecânica Celeste 67 Uma vez que quando, a condição inicial em pode ser substituída pela condição quando. Com isso, encontraremos que e, ao substituirmos o valor de na equação, encontraremos: A equação nos fornece a velocidade do corpo em função da altitude. O sinal positivo deve ser usado se o corpo estiver subindo e o sinal negativo se o corpo estiver caindo para a superfície da Terra. A altura máxima que este corpo atingirá será quando e, consequentemente,. Fazendo estas substituições na equação (9), encontramos: Esta equação (10) escrita em função de será Finalizando, a velocidade de escape é encontrada fazendo-se. Desta forma, calculamos o limite utilizando L Hopital e obteremos: Portanto, para calcularmos a velocidade que devemos lançar um objeto de forma que este escape da órbita terrestre, devemos substituir em pela aceleração da gravidade na Terra e pelo raio da Terra, como será feito em Da mesma forma, podemos utilizar esta mesma equação para saber qual a velocidade de escape de um corpo em qualquer outro astro como, por exemplo, na Lua.

84 4. Mecânica Celeste Cálculo da velocidade de escape da Terra e da Lua Com a equação podemos calcular a velocidade de escape de um corpo na superfície da Terra e na Lua. Consideraremos os seguintes dados: Raio da Terra = km Raio da Lua = km Aceleração da gravidade na Terra = m/s² Aceleração da gravidade na Lua = m/s² A velocidade de escape de um corpo na Terra será: Já a velocidade de escape de um corpo na Lua será:

85 4. Mecânica Celeste Leis de Kepler Durante seus estudos ao planeta Marte, o astrônomo Johannes Kepler pode definir 3 leis das quais receberam seu nome: as três leis de Kepler. Fazendo referência aos planetas e suas órbitas em torno do Sol, são elas: 1) Lei das Órbitas: a órbita de cada planeta ao redor do Sol é uma elipse, em que o Sol ocupa um de seus focos. Como consequência da órbita ser elíptica, a distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita. 2) Lei das Áreas: o raio vetor que liga o Sol a qualquer um dos planetas varre áreas iguais em tempos iguais. O significado físico dessa lei é que a velocidade orbital não é uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta está do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, essa lei estabelece que a velocidade areal é constante. 3) Lei dos Períodos: o quadrado do período de um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol, sendo que a constante de proporcionalidade é a mesma para todos os planetas. Essa lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol. 4.4 A Matemática das leis de Kepler Lei das Órbitas Primeiramente, obteremos a equação geral da elipse em. (1): O sistema de coordenadas polares foi desenvolvido por Newton. Escolhemos um ponto no plano conhecido como polo (ou origem) e o denominamos. Então desenhamos um raio (semi-reta) começando em, chamado eixo polar. Este eixo é geralmente desenhado para a direita e corresponde ao eixo positivo nas coordenadas cartesianas. Se for qualquer outro ponto do plano, seja a distância de até e seja o ângulo (geralmente medido em radianos) entre o eixo polar e a reta. Daí, o ponto é representado pelo par ordenado e e denominados coordenadas polares de. [STEWART]

86 4. Mecânica Celeste 70 Uma elipse é por definição um conjunto de pontos equidistantes de dois focos separados por, onde é o semi-eixo maior e a excentricidade. Figura Equação da elipse em coordenadas polares Seja um ponto ou sobre a elipse. Pela lei dos cossenos, temos: Por definição da elipse, Então,

87 4. Mecânica Celeste 71 é dada por: Que é a equação geral da elipse. Porém, neste trabalho, utilizaremos a equação geral de uma cônica qualquer, que definida por [SALVADOR], em que é a excentricidade da órbita, é a distância da reta diretriz à origem, é o ângulo de com um dos focos e é a direção percorrida por. Concluímos então que a Lei das Órbitas pode ser descrita matematicamente pela equação em coordenadas polares Lei das Áreas A Lei das Áreas nos diz que a velocidade areal de um planeta é constante. Expressando a função área em função do ângulo, isto é, sendo a área varrida pelo raio vetor do ângulo ao ângulo em coordenadas polares pela integral Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos: Empregando a regra da cadeia:

88 4. Mecânica Celeste 72 Assim, podemos expressar a Lei das Áreas dizendo que se é uma parametrização do movimento de um planeta em coordenadas polares, a área varrida pelo raio vetor que liga o Sol ao planeta satisfaz a equação Chamando a constante de, teremos: em que o primeiro termo indica a velocidade e o segundo termo indica a constante, ou seja, a velocidade é constante Lei dos Períodos Já a Lei dos Períodos nos diz que um planeta mais próximo do Sol desloca-se com velocidade maior que um planeta mais distante, isto é, se é o período de revolução e é o semi-eixo maior da órbita de um planeta, então existe uma constante tal que O período de revolução de um planeta pode ser calculado em função da área da elipse descrita pelo mesmo. Sendo a área total da elipse e a função área definida pela figura abaixo, então:

89 4. Mecânica Celeste 73 Figura Órbita de um planeta em torno do Sol, de a T Então, de segue que De acordo com [SEELEY] e [SALVADOR], a área de uma elipse é dada por: lembrando que De fato, é a distância da reta diretriz à origem.