Value at Risk (VaR) Introdução. Introdução. Prf. José Fajardo FGV-EBAPE

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1 Value at Risk (VaR) Prf. José Fajardo FGV-EBAPE Introdução Quando estamos usando VaR, o administrador de uma carteira de instrumentos financeiros esta interessado em fazer uma afirmação da seguinte forma: Estamos α nível de certeza que não vamos perder mas do que V reais nos próximos N días A variável V é o VaR da carteira, isto é função de dois parâmetros: N o horizonte de tempo e α o nível de confianza. Introdução Na pratica analistas escolhem N=1, devido a que não existem suficientes dados para fazer uma boa estimativa para períodos maiores. A hipótese usual é: VaR para N dias = VaR de 1 día* (N)^1/2 Isto é verdadeiro quando as mudanças consecutivas na carteira são independentes e identicamente Normais.

2 Simulação Histórica Crie uma base de dados diária de todas as variáveis de mercado que afetam a carteira. O primer cenário suponhe que as mudanças em todas a varíaveis de mercado para amanha serão como aconteceu no primeiro día da base de dados O segundo cenário suponhe que as mudanças em todas a varíaveis de mercado para amanha serão como aconteceu no segundo día da base de dados E assim sucessivamente.. Simulação Histórica Suponha que temos m dias na base de dados Seja v i o valor da varíavel de mercado no día i Existirão m-1 possíveis cenários O i-esimo cenário suponhe que o valor da variável de mercado amanha (i.e., no día m+1) é : v v i m vi 1 Simulação Histórica 1 Em cada possível cenário calculamos a variação do valor da carteira. Agora rankeamos esta variações é a que esteja no 0.01m pior lugar será o VaR de 1 día a 99% de certeza. Exemplo: se m=500, o VaR de 1día a 99% será o pior 5to lugar. Das possíveis variações. A partir daqui a gente a cada día faz uma janela móvil de 500 días é faz o recalculo do VaR. Ver Var xls. Ver também hsvar.m

3 Simulação Histórica 2 Agora podemos melhorar nossa estimativa levando em consideração o Histograma Carteiras? Suponha que temos uma carteira formada por 20% de Telemar, 30% de petro e 50% de num fundo que paga 40% do IBOVESPA, se temos 100m investidos nesta carteira hoje. Quanto é o VaR de 1 dia ao 99%. Bootstraping com carteiras Para calcular VaR temos que: Encontrar o valor da carteira hoje Fazer uma amostragem usando um sorteio aleatorio dos proximos δx i. Reavaliar a carteira no fim

4 Bootstraping com carteiras Calcular a variação da carteira δp Fazer esta amsotragem varias vezes ate construir uma distribuição de probabilidade para δp E o VaR será determinado da seguinte forma: Se por exemplo fazemos 1,000 simulações Usar RAND( ) ver BootsvaR.xls Bootstraping com carteiras Fazer nomatlab >>bootstrapvar(cret,1000,0.99) Repetir com outros ativos Método Variância-Covariância Ver VaRNormal.xls

5 VaR com Caudas Pesadas T-Student Vamos supor que os retornos no lugar de serem Normais, estejam distribuidos como uma t-student com v graus de liberdade. Student é um pseudônimo de William Sealy Gosset, que não podia publicar artigos usando seu próprio nome. O artigo sobre Gosset explica melhor essa história T-Student Esta distribuição tem função d e probabilidade dada por: Onde Г é a função Gamma dada por:

6 Possíveis densidades da T-Student >>x=linspace(-4,4,1000); >>plot(tpdf(x,1)) VaR com T-Student >>y=std(ativos(:,1))*trnd(10,493,1)+mean(ativos(:,1)) >> qqplot(ativos(:,1),y) Vemos que ainda a cauda não é o suficiente. Porém melhor que a normal. Derivemos a formula do VaR com t-student. Depois ver tvar.xls(var) e VaR xls(resumo) Stress Testing Esto requer testar quão bom seria o comportamento de uma carteira baixo os movimento mas extremos observados no mercado durante os ultimos 10 a 20 anos

7 Back Testing Este processo é muito importante, ele envolve testar quão boa foi a performance do VaR no passado. Suponha que estamos calculando o VaR de 1dia ao 99%. O BackTesting resulta em observar quantas vezes uma perda num día excedeu o VaR de 99% calculado para esse dia. Se isto acontece cerca de 1% dos dias, podemos sentirmos seguros com a metodologia usada para calcular VaR. E se acontece por exemplo 7% devemos ficar muito desconfiados se a metodologia usada é adequada. Backtesting >>VaR=(VaRSH1,VaRSH2,VaRNorm, VaRT-student) >>kupiecbacktest(retpetro,var,0.99)

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