Aula 7 - Questões Comentadas e Resolvidas

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1 Aula 7 - Questões Comentadas e Resolvidas Análise Combinatória: combinações, arranjos e permutações. Probabilidades: conjuntos, eventos, axiomas, probabilidades conjunta e condicional, independência, regras de adição, regra da multiplicação, teoremas da probabilidade total e de Bayes. Julgue os itens a seguir. 1. As placas dos automóveis do Brasil são compostas por três letras e quatro números. O número máximo de veículos que podem ser licenciados pelo Detran, de acordo com esse padrão de confecção das placas, é menor que PRELIMINARES Fatorial: seja n um número inteiro não negativo. O fatorial de n, representado pelo símbolo n!, é definido conforme abaixo: n! = n.(n-1).(n-2).(n-3) Exemplos: I) 10! = = II) 9! = = III) 8! = = IV) 7! = = V) 6! = = 720 VI) 5! = =120 VII) 4! = = 24 VIII) 3! = = 6 IX) 2! = 2.1 = 2 X) 1! = 1 XI) 0! = 1 (por definição) É importante saber o conceito de fatorial para a prova, não porque cairá fatorial (na verdade, não vai cair uma questão específica sobre fatorial na prova), mas em virtude dos conceitos de Permutação, Arranjo e Combinação. Portanto, memorize o que foi exposto acima. Princípio Fundamental da Contagem (Regra do Produto): Caso um evento qualquer ocorra em n etapas consecutivas e independentes da seguinte maneira: Primeira etapa: existem k 1 maneiras diferentes de ocorrer o evento. 1

2 Segunda etapa: existem k2 maneiras diferentes de ocorrer o evento. Terceira etapa: existem k 3 maneiras diferentes de ocorrer o evento. (...) Enésima etapa: existem k n maneiras diferentes de ocorrer o evento. Número Total de Maneiras de Ocorrer o Evento = k 1.k 2.k 3.k 4...k n Voltemos à resolução do item. Nosso alfabeto possui 26 letras (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, W, Z). Nós utilizamos a base decimal, que possui 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). A placa é composta da seguinte maneira: Número Máximo de Placas = GABARITO: Certo 2. O número de arranjos das letras a, b e c, tomadas duas de cada vez, é igual a 6. (Letra) (Letra) (Letra) (Número) (Número) (Número) (Número) Exemplo: LAG 2134 Logo, para a primeira letra, temos 26 possibilidades, assim como para a segunda e para a terceira. Para o primeiro número temos 10 possibilidades, assim como para o segundo, para o terceiro e para o quarto. Portanto, o número máximo de placas (veículos licenciados) seria: (Letra) (Letra) (Letra) (Número) (Número) (Número) (Número) 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 26 3 x 10 4 PRELIMINARES Arranjos Simples Uma coleção (ou conjunto) de n elementos constitui uma população de tamanho n (a ordem dos n elementos não importa). Duas populações são diferentes se uma contém pelo menos um elemento não contido na outra (neste caso, diz-se que elas têm naturezas distintas). Uma subpopulação de tamanho r de uma população de tamanho n é um subconjunto de r elementos tomados da população original. De forma análoga, duas subpopulações são 2

3 diferentes, isto é, têm naturezas distintas, se uma tem pelo menos um elemento diferente da outra. Seja uma população de n elementos tamanho r. Qualquer arranjo ordenado é denominado uma amostra ordenada (arranjo ordenado) de Considere uma urna genérica contendo n bolas numeradas distintas. As bolas são removidas uma a uma. Quantas amostras ordenadas distintas de tamanho r podem ser formadas? Há dois casos: (i) Amostragem com reposição. Neste caso, temos n escolhas para a primeira bola, n escolhas para a segunda bola, e assim sucessivamente. Deste modo, há n r amostras ordenadas distintas de tamanho r. (ii) Amostragem sem reposição. Neste caso, temos n escolhas para a primeira bola, (n-1) escolhas para a segunda bola, e assim sucessivamente. Deste modo, há amostras ordenadas distintas de tamanho r. A equação define a fórmula do arranjo simples, pois fornece o número de agrupamentos (amostras) ordenados possíveis de n elementos um conjunto, tomados r a r, considerando r elementos distintos. Portanto, o número de arranjos das letras a, b e c, tomadas duas de cada vez. leva em consideração a ordem de sua disposição GABARITO: Certo 3. Suponha que o seu Internet Banking exija que você cadastre uma senha de seis dígitos, com as seguintes características: só é possível utilizar os algarismos de 0 a 9; e os dígitos devem ser distintos. São: ab, ba, ac, ca, bc, cb. Observe que um arranjo Então o número máximo de senhas que você pode criar é maior que Observe que a senha é diferente da senha , ou seja, a ordem dos dígitos gera possibilidades diferentes. Além disso, a senha é 3

4 diferente da senha , ou seja, a natureza do elementos também gera possibilidades diferentes. Contudo, você poderia perguntar: mas professores, preciso saber a fórmula do arranjo para resolver esta questão? A resposta é não. Basta utilizar o que temos que melhor: o raciocínio, ou se preferir, o raciocínio lógico. A senha a ser criada será formada por seis números distintos. O "dígito 1" (D1), temos 10 possibilidades (de 0 a 9). Contudo, para o "dígito 2" (D2), como os números devem ser distintos, teríamos 9 possibilidades, pois devemos retirar o número utilizado no "dígito 1". Para o "dígito 3" (D3), teríamos 8 possibilidades, e assim por diante. Deste modo teríamos, 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x " 5 = senhas distintas. (D1) (D2) (D3) (D4) (D5) (D6) Viu como é fácil! E nem foi necessário usar a fórmula do arranjo. Mas, se você é fanático(a) por fórmulas e prefere memorizá-las, obtemos o mesmo resultado utilizando a fórmula do arranjo simples (sabendo que as possibilidades serão distintas em virtude da ordem e da natureza dos elementos): n = 10 algarismos r = 6 dígitos (senha) A10,6 = n!/(n - r)! = 10!/(10-6)! = 10!/4! = ( !)/4! = Nota: bizu de fatorial para a prova: 10! = 10.9! = ! = ! = ! = ! = = ! = ! = = ! = Generalizando: n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)! =... GABARITO: Errado 4. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de permutações possíveis de seus elementos é 24 PRELIMINARES 4

5 Permutações Simples Quando os arranjos são formados por todos os elementos do conjunto dado e, além disso, diferem entre si somente em função da ordem de seus elementos, temos uma permutação simples. Assim, a permutação de n elementos distintos, tomados n de cada vez, será dada por Ressaltamos que, na permutação, os agrupamentos ou possibilidades serão diferentes entre si pela ordem apenas. Deste modo, Permutações possíveis (somente para conferência): GABARITO: Certo 5. Cinco concurseiros(as) compraram cinco passagens aéreas para conhecer o país ESÁFIO. As passagens vieram com os seguintes assentos marcados: 1A, 1B, 1C, 1D e 1E. Podemos afirmar que o número de possibilidades distintas de ocupação dos cinco lugares reservados no avião é igual a 24 (considere que não seja preciso levar em conta o nome de cada pessoa nas passagens aéreas). Devemos calcular o número de possibilidades de cinco concurseiros(as) sentarem-se em cinco lugares diferentes. Não há como variar a natureza dos elementos, tendo em vista que 5 concurseiros(as) ocuparão 5 assentos distintos. As possibilidades serão diferentes entre si apenas em função da ordem. Logo, trata-se de permutação. É necessário guardar a fórmula da permutação para resolver a questão? A resposta é NÃO. Vejamos o raciocínio a seguir. Comecemos pelo assento 1A. Qualquer uma das cinco pessoas pode ocupar este assento. Temos então cinco possibilidades de ocupação para o lugar 1A. 5

6 Mas somente uma de quatro pessoas pode ocupar o assento 1B, pois uma delas assentou-se no lugar 1A. Logo, há quatro possibilidades de ocupação para o lugar 1B. Na sequência, somente três pessoas podem ocupar o assento 1C, haja vista que duas delas já estão sentadas nos lugares 1A e 1B, e assim sucessivamente. Deste modo, o esquema de possibilidades de ocupação é o seguinte: (Lugar 1A) (Lugar 1B) (Lugar 1C) (Lugar 1D) (Lugar 1E) = 120 possibilidades É claro que também podemos resolver este item através da aplicação da fórmula da permutação (as possibilidades são distintas em virtude da ordem dos elementos): Ps = 5! = = 120 GABARITO: Errado 6. O número de maneiras distintas em que cinco indivíduos (P1, P2, P3, P4 e P5) podem assentar-se ao redor de uma mesa circular é 120. Permutações Circulares: problemas que envolvem n pessoas em torno de uma mesa circular. Note que, como as pessoas são colocadas ao redor da mesa, as arrumações {P1,P5,P4,P3,P2} e {P3,P2,P1,P5,P4} são iguais, pois, para cada pessoa selecionada, os vizinhos à esquerda e à direita permanecem os mesmos. Deste modo, o giro de uma dada arrumação (como {P1,P5,P4,P3,P2}) ao redor da mesa não altera a disposição dos elementos, pois a mesa é circular. GABARITO: Errado 7. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de subconjuntos possíveis de seus elementos é igual a

7 Devemos determinar o número de subconjuntos possíveis. Portanto, pouco importa a ordem, tendo que vista que o conjunto {1, 2, 3}, por exemplo, é igual ao conjunto {2, 1, 3}. Contudo, a natureza influencia nas possibilidades, pois o conjunto {1, 2, 3}, por exemplo, é diferente do conjunto {1, 2, 4}. Logo, deve ser utilizada a combinação. Neste caso, é mais fácil determinar todos os subconjuntos por número de elementos, ou seja, o subconjunto vazio, os subconjuntos com 1 elemento, os subconjuntos com 2 elementos, os subconjuntos com 3 elementos e os subconjuntos com 4 elementos. Subconjunto vazio: apenas 1 grupo. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 0 a 0: Subconjuntos com 1 elemento: grupos. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 1 a 1. Subconjuntos de 2 elementos: 6 grupos. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 2 a 2: Observe que aqui não importa a ordem, tendo em vista que, por exemplo, o subconjunto {1,2} é igual ao subconjunto {2,1}: Subconjuntos de 3 elementos: grupos. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 3 a 3: Subconjuntos de 4 elementos: apenas 1 grupo. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 4 a

8 Logo, o número total de subconjuntos é: = 16. Nota: Generalizando: ( ) REVISÃO DA NOÇÃO DE COMBINAÇÕES SIMPLES Suponha que desejemos saber o seguinte: quantas subpopulações (grupos) de tamanho r podem ser formadas a partir de uma população de tamanho n? Por exemplo, considere 6 bolas numeradas de 1 a 6. Quantos grupos de tamanho 2 podem ser formados? A tabela abaixo mostra que 15 grupos de tamanho 2 podem ser formados: Note que isto é diferente do número de amostras ordenadas que podem ser formadas sem reposição (arranjos simples). A tabela a seguir mostra que = 6 x 5 = 30 arranjos podem ser obtidos: A tabela acima, por sua vez, é diferente do número de amostras que podem ser formadas com reposição (6 2 = 36): 8

9 Note que os grupos da primeira tabela (aquela com 15 grupos) diferem entre si somente em função da natureza de seus elementos e que a ordem não importa. Neste caso, diz-se que a primeira tabela relaciona as 15 combinações (simples) possíveis de n = 6 elementos tomados 2 a 2. Adotaremos no restante desta aula a notação para a combinação de n elementos tomados r a r. Uma fórmula geral para o número de combinações de tamanho r em uma população de tamanho n pode ser deduzida como a seguir. Considere uma urna com n bolas distintas. Nós já sabemos que o número de arranjos de n elementos, tomados r de cada vez, é Agora considere uma subpopulação específica de tamanho r. Para esta subpopulação, há r! arranjos distintos. Desta forma, para combinações (subpopulações) devem existir diferentes amostras ordenadas de tamanho r. Portanto, ou A fórmula acima define o coeficiente binomial. GABARITO: Certo 8. O número de grupos distintos de 3 pessoas que podem se formados com João, Maria, José, Mário e Joana é maior que 10. Quando formamos grupos de pessoas, a ordem não importa, pois o grupo Maria, José e Mário, por exemplo, é igual ao grupo José, Maria e Mário. Contudo, a natureza dos elementos é relevante, tendo em vista que o grupo João, Maria e José, por exemplo, é diferente do grupo João, Maria e Joana (os elementos José e Joana não pertencem aos dois grupos). 9

10 Portanto, teremos uma combinação de 5 pessoas (João - J1, Maria - M1, José - J2; Mário - M2 e Joana - J3), tomadas 3 a 3 (o exemplo pede grupos distintos de 3 pessoas): Combinações possíveis (somente para conferência): Note que o grupo {J1,M1,J2} é equivalente ao grupo {M1,J2,J1}, pois a ordem não importa neste caso. GABARITO: Errado 9. Você está se preparando para realizar a prova de Raciocínio Lógico- Quantitativo do próximo concurso público e estabeleceu como objetivo resolver (e acertar) 16 das 20 questões possíveis. Então o número de grupos de 16 questões que podem ser selecionadas é menor que A ordem das questões não importa. Contudo, a natureza das questões importa, pois você pode, por exemplo, em uma possibilidade, acertar as questões de 1 a 16 e, em outra possibilidade, acertar as questões de 1 a 15 e 17. Logo, não podemos utilizar o conceito da permutação, mas sim o da combinação das 20 questões da prova, tomadas 16 a 16: GABARITO: Certo 10. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher? A) 15 B) 45 C)

11 D) 18 E) 25 As equipes podem ter 1 mulher e 1 homem (M, H) ou 2 mulheres (M, M). O número de equipes do tipo (M, H) é dado por 3 x em que o fator 3 representa o número de mulheres e corresponde ao número de equipes distintas formadas por homens. O número de equipes do tipo (M, M) é dado por número de equipes distintas formadas por mulheres. denota o O número n de equipes de vendas distintas que podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher é então dado por GABARITO: D 11. (AFRFB/2009/ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a: A) 16 B) 28 C) 15 D) 24 E) 32 I - Total de Retas Possíveis (considerando pontos não colineares) A ordem não importa, pois a reta AB, por exemplo, seria igual a reta BA. Contudo, a natureza importa, pois a reta AB é diferente da reta AC. Devemos calcular a combinação de 7 pontos, tomados 2 a

12 II - Total de Retas formadas por 4 pontos não colineares III - Total de Retas formadas por 4 pontos colineares Se os pontos são colineares, já estão na mesma reta = 1 reta. Número N de Retas determinadas pelos 7 pontos: GABARITO: A 12. (APO/2010/ESAF) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a: A) B) C) D) E) Será adotada a notação Total de Possibilidades = 210 x 20 x 1 = GABARITO: C 13. (APO/2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela 12

13 decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendose que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a: A) 30 % B) 80 % C) 62 % D) 25 % E) 75 % A probabilidade de Carlão pertencer à comissão é dada pela razão (vide item 15.1 da aula passada) P = (n o de resultados favoráveis)/(n o de resultados possíveis). Sabe-se que foi formada uma comissão de 3 pessoas entre 5, com a restrição de que Denilson não pertence à comissão. Então o "n o de resultados possíveis" (= número de elementos do espaço amostral do experimento aleatório) é igual ao número de comissões de 3 pessoas que podem ser formadas sem o Denilson (neste caso temos uma população de n=4 pessoas): O "n o de resultados favoráveis" é igual ao número de comissões de 3 pessoas que poderiam ser formadas com a presença do Carlão: Logo, P = 3/4 = 75%. GABARITO: E 14. (APO/2010/ESAF) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se a aposta máxima. Como ganha na Mega-sena quem acerta todos os seis números sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de: A) B) C) D)

14 E) A probabilidade de uma pessoa que fez a aposta máxima acertar na Mega- Sena é dada por P = (n o de resultados favoráveis)/(n o de resultados possíveis). Como a gente determina o "n o de resultados possíveis"? Basta pensar no experimento aleatório "sorteio da Mega-Sena". Sabemos que são escolhidos, por ocasião do sorteio, 6 números de forma aleatória. Assim, o "n o de resultados possíveis" (= número de elementos do espaço amostral) é dado por C60,6, que representa o número de enuplas (ou vetores) com 6 elementos que podem ser obtidas a partir de 60 números. E o "n o de resultados favoráveis"? Se você parar para pensar um pouco a respeito, chegará a conclusão que o "n o de resultados favoráveis" é igual ao número de enuplas com 6 elementos que podem ser obtidas a partir de uma aposta com 15 números, ou seja, Nota: você acabou de aprender como é calculada a tabela abaixo, que pode ser encontrada no site da Caixa Econômica Federal: PROBABILIDADE DE ACERTO NA MEGA-SENA Quantidade de Valor da Probabilidade de acerto números jogados Aposta (R$) (1 em...) 6 2, , , , , , , ,

15 Observe que uma aposta na Mega-Sena com 15 números custa R$ ,00. 0 preço é justificado pela probabilidade de acerto, que é de aproximadamente 1 em , como calculado nesta questão. GABARITO: E 15. (ICMS-RJ/2008/FGV) Os jogadores A e B se encontram para jogar uma partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será vencedor aquele que primeiro ganhar três sets. Por exemplo, partidas terminadas poderão ter como resultado: AAA, AABA, BABAB, etc. Então, o número de possíveis resultados para uma partida terminada é: A) 4. B) 10. C) 6. D) 20. E) 8. A partida termina em 3 sets se os resultados são: AAA ou BBB resultados. A partida termina em 4 sets se os resultados são: AABA, BBAB, ABAA, BABB, BAAA ou ABBB A partida termina em 5 sets se os resultados são: AABBA, BBAAB, ABBAA, BAABB, BBAAA, AABBB, ABABA, BABAB, BAABA, ABBAB, BABAA ou ABABB 12 resultados. Portanto, há ( ) = 20 resultados possíveis. GABARITO: D 16. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? A) 3003 B)

16 C) 2800 D) 3006 E) 3005 A ordem das questões não importa neste caso. Logo, não utilizaremos uma permutação e sim uma combinação das 15 questões da prova, tomadas 10 a 10. GABARITO: A 17. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a: A) 56 B) 5760 C) 6720 D) 3600 E) 4320 Ágata possui 8 cores disponíveis para utilizar em 5 listras: GABARITO: C 18. (AFTN/1998/ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é: A) 5400 B) 165 C)

17 D) 5830 E) 5600 Comissões de 5 pessoas, sendo 3 homens e 2 mulheres: 1) Como 3 das pessoas do grupo serão homens, temos um total de 10 homens (a ordem não importa); logo, teremos uma combinação de 10, tomados 3 a 3: 2) Como 2 das pessoas do grupo serão mulheres, temos um total de 10 mulheres e a ordem não importa, teremos uma combinação de 10, tomados 2 a 2: Total de Comissões = 120 x 45 = GABARITO: A 19. (AFT/2010/ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? A) 192. B) 36. C) 96. D) 48. E) 60. Hipótese 1: 1 homem e 2 mulheres: Hipótese 2: 2 homens e 1 mulher: 17

18 Total = = 96 GABARITO: C 20. (AFT/2010/ESAF/Adaptada) Em um grupo de 100 pessoas, 15 das 40 mulheres do grupo são fumantes e 15 dos 60 homens do grupo também são fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas do grupo, sem reposição, a probabilidade de exatamente quatro delas serem homens fumantes é dada por: I - Total de possibilidades de 4 homens fumantes em um grupo de 5 pessoas: II - Total de possibilidades de grupos de 5 pessoas: Probabilidade GABARITO: B 21. (AFRFB/2009/ESAF/Adaptada) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? A) 72 B) 12 C) 216 D) 720 E)

19 Pela questão, homens (H) e mulheres (M) devem sentar à mesa redonda de forma intercalada, conforme a figura abaixo: Posição 1 (Homens) = 3 Posição 2 (Mulheres) = 3 Posição 3 (Homens) = 2 Posição 4 (Mulheres) = 2 Posição 5 (Homens) = 1 Posição 6 (Mulheres) = 1 Total = 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 36 Como a questão fala em mesa redonda sem cabeceira, não deve haver uma referência. Deste modo, as possibilidades acima e a abaixo seriam iguais: Teríamos as seguintes opções: Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 1 H1 M1 H2 M2 H3 M3 2 H1 M1 H2 M3 H3 M2 3 H1 M2 H2 M1 H3 M3 4 H1 M2 H2 M3 H3 M1 5 H1 M3 H2 M1 H3 M2 6 H1 M3 H2 M2 H3 M1 7 H1 M1 H3 M2 H2 M3 8 H1 M1 H3 M3 H2 M2 9 H1 M2 H3 M1 H2 M3 19

20 10 H1 M2 H3 M3 H2 M1 11 H1 M3 H3 M1 H2 M2 12 H1 M3 H3 M2 H2 M1 13 H2 M1 H1 M2 H3 M3 14 H2 M1 H1 M3 H3 M2 15 H2 M2 H1 M1 H3 M3 16 H2 M2 H1 M3 H3 M1 17 H2 M3 H1 M1 H3 M2 18 H2 M3 H1 M2 H3 M1 19 H2 M1 H3 M2 H1 M3 20 H2 M1 H3 M3 H1 M2 21 H2 M2 H3 M1 H1 M3 22 H2 M2 H3 M3 H1 M1 23 H2 M3 H3 M1 H1 M2 24 H2 M3 H3 M2 H1 M1 25 H3 M1 H1 M2 H2 M3 26 H3 M1 H1 M3 H2 M2 27 H3 M2 H1 M1 H2 M3 28 H3 M2 H1 M3 H2 M1 29 H3 M3 H1 M1 H2 M2 30 H3 M3 H1 M2 H2 M1 31 H3 M1 H2 M2 H1 M3 32 H3 M1 H2 M3 H1 M2 33 H3 M2 H2 M1 H1 M3 34 H3 M2 H2 M3 H1 M1 35 H3 M3 H2 M1 H1 M2 36 H2 M3 H2 M2 H1 M1 Por ser uma mesa circular sem cabeceira, temos que as seguintes possibilidades são iguais, pois estão apenas deslocadas de posição: 20

21 Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 1 H1 M1 H2 M2 H3 M3 22 H2 M2 H3 M3 H1 M1 29 H3 M3 H1 M1 H2 M2 Observe as seqüências: H1-M1-H2-M2-H3-M3 H2-M2-H3-M3-H1-M1 = H1-M1-H2-M2-H3-M3 H3-M3-H1-M1-H2-M2 = H1-M1-H2-M2-H3-M3 Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 2 H1 M1 H2 M3 H3 M2 24 H2 M3 H3 M2 H1 M1 27 H3 M2 H1 M1 H2 M3 Sejam as seqüências: H1-M1-H2-M3-H3-M2 H2-M3-H3-M2-H1-M1 = H1-M1-H2-M3-H3-M2 H3-M2-H1-M1-H2-M3 = H1-M1-H2-M3-H3-M2 Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 3 H1 M2 H2 M1 H3 M3 20 H2 M1 H3 M3 H1 M2 35 H3 M3 H2 M1 H1 M2 Considere as seqüências: H1-M2-H2-M1-H3-M3 H2-M1-H3-M3-H1-M2 = H1-M2-H2-M1-H3-M3 H3-M3-H1-M2-H2-M1 = H1-M2-H2-M1-H3-M3 E assim sucessivamente. Portanto, teríamos: Número de Possibilidades = 36/3 = 12 possibilidades GABARITO: B 22. (AFRFB/2009/ESAF) Considere um retângulo formado por pequenos quadrados iguais, conforme a figura abaixo. Ao todo, quantos quadrados de quaisquer tamanhos podem ser contados nessa figura? A) 128 B) 100 C)

22 D) 32 E) 18 Para o retângulo do enunciado, somente é possível formar quadrados com "1 quadrado", com "4 quadrados" e com "9 quadrados". Quadrados formados por "1 quadrado" = 3 x 6 = 18 Quadrados formados por "4 quadrados" = 5 (duas primeiras linhas) + 5 (duas últimas linhas) =

23 Quadrados formados por "9 quadrados" = 4 Total = = 32 quadrados GABARITO: D 23. (APO-MPOG/2OO8/ESAF) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a: A) 30 B) 40 C) 246 D) 124 E) 5 A gaveta guarda 24 meias de cores diferentes, a saber, 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. As meias são de 4 cores diferentes (este dado é essencial para a solução da questão). 23

24 Suponha que Mário retire quatro meias da gaveta, só que uma de cada cor (preta, branca, azul e amarela). É certo que a 5 a meia será de uma cor que já foi retirada na gaveta e neste caso garante-se que Mário terá em mãos um par de mesma cor. Portanto, o número mínimo de meias que deverão ser retiradas da gaveta é 5. GABARITO: E 24. (Analista de Finanças e Controle-STN/2008/ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: A) B) C) D) E) pares de sapatos ^ acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: Retiradas ^ total de quatro caixas de sapatos Primeira Caixa = 89 (total de caixas menos a caixa 20, que será a terceira caixa a ser retirada) Segunda Caixa = 88 (total de caixas, menos a primeira retirada e menos a caixa 20, que será a terceira caixa a ser retirada) Terceira Caixa = 1 (tem que ser a caixa 20) Quarta Caixa = 87 (total de caixas, menos a primeira retirada, menos a segunda retirada e menos a caixa 20) Número de Retiradas Possíveis = 89 x 88 x 1 x 87 =

25 Nota: os algarismos das unidades (últimos algarismos) das respostas são diferentes. Portanto, basta multiplicar os algarismos das unidades dos valores acima para achar a alternativa correta resposta é a alternativa "a"). Difícil é ver isso na correria da prova. E por isso que preferimos as soluções tradicionais, pois, você certamente, perderia mais tempo tentando descobrir algum "macete" do que resolvendo a questão por meio dos conceitos. GABARITO: A 25. (Analista Administrativo-ANEEL/2006/ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: A) B) C) 960 D) 540 E) 860 Grupo: 3 meninos e 6 meninas. Fila de Cinema:há nove lugares localizados lado a lado. Deve-se cumprir os seguintes requisitos: 1. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. 2. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. 3. Todas as meninas querem sentar-se juntas. 4. Todos os meninos querem sentar-se juntos. Poderemos ter duas situações: Situação 1: meninos nos primeiros lugares Exemplo: Lugar 1: Caio 25

26 Lugar 2: Beto Lugar 3: Menino Lugar 4: Menina 1 Lugar 5: Menina 2 Lugar 6: Ana Lugar 7: Beatriz Lugar 8: Menina 3 Lugar 9: Menina 4 Situação 2: meninas nos primeiros lugares Exemplo: Lugar 1: Menina 1 Lugar 2: Menina 2 Lugar 3: Ana Lugar 4: Beatriz Lugar 5: Menina 3 Lugar 6: Menina 4 Lugar 7: Caio Lugar 8: Beto Lugar 9: Menino Passemos à análise do número total de possibilidades. Como as meninas são segregadas dos meninos, podemos calcular, de forma separada, o número de permutações associados às meninas (N1) e o número de permutações associados aos meninos (N2). Após, multiplicaremos N1 por N2 (aplicação do princípio fundamental da contagem) e em seguida multiplicaremos o resultado anterior por 2 (para obter 2N1N2), pois deve-se levar em conta que as meninas ou os meninos podem estar nos primeiros lugares (daí o fator 2). No caso das meninas, podemos considerar Ana e Beatriz como se fossem uma única pessoa, pois elas sempre sentarão juntas. Além disso, há duas possibilidades de sentarem juntas (Ana-Beatriz ou Beatriz-Ana). Logo, teríamos uma permutação de n = 5. Número de maneiras diferentes das meninas se sentarem: (*) o fator 2 surge das possibilidades Ana-Beatriz ou Beatriz-Ana Raciocínio análogo pode ser aplicado ao caso dos meninos, ou seja, podemos considerar Caio e Beto como se fossem uma única pessoa, pois eles sempre sentarão juntos. Além disso, há duas possibilidades de sentarem juntos (Caio- Beto ou Beto-Caio). Assim, teríamos uma permutação de n = 2. Número de maneiras distintas dos meninos se sentarem: N2 = 2 x P2 = 2 x 2! = 2 x 2 x 1 = 4 N o total de diferentes maneiras (meninos e meninas) 26

27 GABARITO: A 26. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1 a Região/2001/FCC). Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160, assinam o jornal A, 35 assinam os 2 jornais A e B, 201 não assinam B e 155 assinam apenas 1 jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma família selecionada ao acaso, dentre as n, assinar A dado que assina B, são dados, respectivamente, por A) 180 e 160/266 B) 250 e 35/75 C) 266 e 7/13 D) 266 e 35/76 E) 266 e 35/266 Se 35 das 160 famílias que assinam o jornal A também assinam o jornal B, então o número das famílias que só assinam A é igual a ) = 125. Se 155 famílias assinam apenas um jornal, então ( = 30 corresponde ao números de famílias que somente assinam B. Se 201 famílias não assinam B, e, dado que 125 famílias assinam somente A, então temos ( ) = 76 famílias que não assinam nenhum dos dois jornais. O diagrama de Venn abaixo ilustra o nosso raciocínio. O número de famílias no espaço amostral

28 A questão pede que seja calculada a probabilidade condicional P(A B) = P(AB)/P(B). Logo, P(A B) = 35/65 = 7/13. GABARITO: C 27. (Analista Técnico/SUSEP/2006/ESAF) Os eventos E 1 e E2 são os conjuntos de pontos que podem estar tanto em E1, quanto em E2, como em ambos simultaneamente. Então, a probabilidade de uma ocorrência ser do evento E1 ou E2 é dada por: A probabilidade do evento A = Logo, a resposta é a alternativa B. GABARITO: B 28. (ICMS-RJ/2010/FGV) Se A e B são eventos independentes com A) 0,2. B) 0,4. C) 0,5. D) 0,7. E) 0,

29 independentes. Assim, pois A e B são eventos GABARITO: D 29. (ICMS-RJ/2009/FGV) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para A) 0,13 B) 0,22 C) 0,31 D) 0,49 E) 0,54 (Regra da Adição de Probabilidades) Como não foi dado o valor de testaremos os valores de dados em cada uma das alternativas, levando em conta a restrição deve ser, no mínimo, igual a probabilidade. probabilidade. NÃO é uma medida de NÃO é uma medida de satisfaz a restrição NÃO satisfaz a restrição NÃO satisfaz a restrição GABARITO: C 29

30 30. (Analista Legislativo/Contador da Câmara dos Deputados/2007/FCC) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y apresentam erro, a possibilidade do sistema apresentar erro é A) 5% B) 4,1% C) 3,5% D) 3% E) 1,3% Trata-se de uma aplicação direta do teorema da probabilidade total. Devemos determinar a probabilidade do sistema apresentar erro, seja o pedido de processamento originado pelo cliente Z ou pelo cliente Y. Assim, P(erro) = P(erro Z).P(Z) + P(erro Y).P(Y), em que P(erro Z) = 2% = 0,02, P(Z) = 30% = 0,30, P(erro Y) =1% =0,01 e P(Y) = 70% = 0,70. Substituindo esses valores obtemos, P(erro) = (0,02 x 0,30) + (0,01 x 0,70) = 0,013 = 1,3% GABARITO: E 31. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) Do total de títulos em poder de um investidor, 1/8 é do tipo T1, 1/4 é do tipo T2, e o restante do tipo T3. Sabe-se que as probabilidades de se obter uma taxa real de juros positiva com estas aplicações são 0,60 com T 1, 0,70 com T 2 e 0,80 com T 3. Se for escolhido um título aleatoriamente entre estes em poder do investidor e verificar-se que apresentou uma taxa real de juros não positiva, a probabilidade dele ser do tipo T 3 é A) 50% B) 40% C) 30% D) 20% E) 10% 30

31 Pede-se que seja calculada a probabilidade do título aleatoriamente escolhido ser do tipo T3 sabendo-se que o mesmo apresentou uma taxa real de juros não positiva ou seja, trata-se do cálculo da probabilidade condicional em que positiva" e não positiva. Porque denota o evento "título escolhido apresenta taxa real de juros não é a probabilidade total de se obter uma taxa real de juros é a probabilidade total de se obter Observe que os eventos exaustivos, pois são mutuamente exclusivos e Logo, A equação acima nos dá a probabilidade total (não condicional) do evento como uma soma das probabilidades condicionais ponderadas, respectivamente, pelas probabilidades dos eventos exaustivos 3. O enunciado forneceu Portanto, Além disso, Agora, podemos construir a seguinte tabela: 31

32 Desejamos calcular em que o numerador é a probabilidade de um título ser do tipo T3 e ter taxa real não positiva, ou seja, Finalmente, obtemos GABARITO: A 32. (Analista Técnico/SUSEP/2010/ESAF). Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo? A) 30% B) 7,5% C) 25% D) 15% E) 12,5% A questão cobra a aplicação do Teorema de Bayes. Devemos calcular a probabilidade de que a pessoa tenha doença (= causa) dado que o resultado do exame foi negativo (= efeito observado): 32

33 em que "S" denota a parcela saudável da população (isto é, que não possui a doença), "D" representa a parcela da população que tem a doença, "-" e "+" denotam "resultado negativo" e "resultado positivo", respectivamente. O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori: - P(D) = 30% = 0,3 - P(S) = 1-0,3 = 0,7 - P(+ S) = 0,1 (falso positivo) - P(- D) = 0,3 (falso negativo) Logo, P(+ D) = 1 - P(- D) = 1-0,3 = 0,7. Além disso, temos que P(- S) = 1 - P(+ S) = 1-0,1 = 0,9. REVISÃO DO TEOREMA DE BAYES De acordo com o cálculo das probabilidades como temos que A fórmula acima é o Teorema (ou Regra) de Bayes. Em geral, se A 1, A 2,..., A k forem eventos mutuamente exclusivos e exaustivos e B for qualquer evento, então a regra de Bayes pode ser reescrita como 33

34 Observe que o denominador da fórmula anterior é a probabilidade total de B ocorrer. O Teorema de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vários eventos que podem causar ou provocar a ocorrência de B. Por este motivo, o Teorema de Bayes também é conhecido como o teorema que nos dá a probabilidade da causa dado o efeito observado (evento B). Na prática, a probabilidade é conhecida como probabilidade a posteriori de dado é denominada probabilidade a priori de dado é a probabilidade da causa ou a priori de Geralmente, as probabilidades a priori são estimadas a partir de medições passadas ou pressupostas pela experiência, ao passo que as probabilidades a posteriori são medidas ou calculadas a partir de observações. Exemplo. A probabilidade de que um novo teste de baixo custo identifique corretamente alguém com AIDS, dando positivo, é 0,99; e a probabilidade de que o teste identifique corretamente alguém sem AIDS, dando negativo, é 0,95. Suponha que a incidência de AIDS na população seja igual a 0,0001. Uma pessoa é escolhida ao acaso, faz o teste e o resultado dá positivo. Qual é a probabilidade de que esse indivíduo tenha AIDS? Devemos calcular a probabilidade de que o indivíduo tenha AIDS (= causa) dado que o resultado do teste foi positivo (= efeito observado): em que "S" denota a parcela saudável da população (isto é, não infectada pelo vírus), "D" representa a parcela da população que tem a doença (ou seja, a parcela infectada) e "+" denota o evento "resultado positivo". O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori: - P(S) = 1-0,0001; - P(D) = 0,0001; - P(+ D) = 0,99; - P(- S) = 0,95; Logo, P(+ S) = 1 - P(- S) = 1-0,95 = 0,05. Além disso, temos que P(- D) = 1 - P(+ D) = 1-0,99 = 0,01. A figura a seguir ilustra a aplicação do Teorema de Bayes nesta questão: 34

35 POPULAÇAO RESULTADO DO TESTE Nota: podemos descrever o espaço amostral do experimento aleatório proposto pelo exemplo utilizando a notação genérica = {(X,Y): X = 0 ou 1, Y = 0 ou 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Assim, os resultados elementares de (0, 0) = (S, -) (0, 1) = (S, +) (1, 0) = (D, -) (1, 1) = (D, +) GABARITO: E 33. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: A) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula. B) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. C) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. D) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. E) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A e vice-versa. GABARITO: D 34. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos 35

36 azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a: A) 0 B) 10/19 C) 19/50 D) 10/50 E) 19/31 Vamos fazer uma tabela, para facilitar o entendimento: Moças Cabelos Cabelos Cabelos Total Loiros Pretos Ruivos Olhos Azuis Olhos Castanhos Total Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a: Evento A = "moça de cabelos loiros ou ruivos" Evento B = "moça de olhos castanhos" GABARITO: B 35. (ICMS-RJ/2009/FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B na final é 36

37 A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 1/8 E) 1/12 rodada) x P(A vencer B na final), pois os quatro experimentos aleatórios são independentes. Na primeira rodada, as seguintes duplas podem ser formadas: 1 a possibilidade: (A,B) e (C,D) 2a possibilidade: (A,C) e (B,D) 3a possibilidade: (A,D) e (B,C) Também temos que P(A vencer a 1a rodada) = P(B vencer a 1a rodada) = P(A vencer B na final) = 1/2, pois em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Logo, P(A vencer B na final) = 2/3 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 2/24 = 1/12. GABARITO: E 36. (ICMS-RJ/2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo). Sexo Estado Civil M F Total Solteiro Casado Viúvo Total

38 Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva é igual a: A) 0,6. B) 0,2. C) 0,5. D) 0,7. E) 0,4. P(sexo Feminino ou Viúva) = P(sexo Feminino) + P(Viúva) - P(sexo Feminino e Viúva). P(sexo Feminino) = 400/1.000 P(Viúva) = 200/1.000 P(sexo Feminino e Viúva) = 100/1.000 Logo, P(sexo Feminino ou Viúva) = 400/ / /1.000 = 500/1.000 = 0,5. GABARITO: C 37. (ICMS-RJ/2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e Então, pode-se dizer que A e B são eventos: A) mutuamente exclusivos. B) complementares. C) elementares. D) condicionais. E) independentes. independentes. A e B são eventos GABARITO: E 38. (TFC-CGU/2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 38

39 A) 0,10 B) 0,12 C) 0,15 D) 0,20 E) 0,24 I - Probabilidade de sortear três homens: Total de Engenheiros = 6 p(três homens) = (6/10) x (5/9) x (4/8) = (3/5) x (5/9) x (1/2) = 0,1667 II - Probabilidade de sortear três mulheres: Total de Engenheiras = 4 p(três mulheres) = (4/10) x (3/9) x (2/8) = (2/5) x (1/3) x (1/4) = 0,0333 Probabilidade de Sortear Três Pessoas do Mesmo Sexo (P) P = P(três homens) + P(três mulheres) = 0, ,0333 = 0,20 GABARITO: D 39. (Assistente Técnico-Administrativo-MF/2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair um número 6 é de 20%, enquanto que as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? A) 20% B) 27% C) 25% D) 23% E) 50% Dado viciado: P(X = 6) = 0,2 As probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = (1-0,2)/5 = 0,8/5 = 0,

40 Ao se jogar o dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? I - Dado jogado pela primeira vez: P(X par na jogada 1) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) = 0,16 + 0,16 + 0,20 = 0,52 II - Dado jogado pela segunda vez: P(X par na jogada 2) = 0,52 Probabilidade de um número par sair duas vezes (eventos independentes): P(par nas duas vezes) = P(X par na jogada 1) x P(X par na jogada 2) = 0,52 x 0,52 = 27,04% GABARITO: B 40. (Adm. Pleno/Petrobrás/2005/CESGRANRI0) Joga-se um dado não tendencioso. Se o resultado não foi "quatro", qual é a probabilidade de que tenha sido "um"? A) 1/5 B) 1/6 C) 1/9 D) 1/12 E) 1/18 Se já se sabe, a priori, que o resultado não foi "quatro", então só nos restam cinco possibilidades equiprováveis. Logo, a probabilidade de que tenha sido "um" é igual a 1/5. Também podemos resolver aplicando a fórmula da probabilidade condicional, pois a probabilidade de que o resultado dê "um" e que ao mesmo tempo seja diferente de "quatro" é igual a probabilidade de se obter "um", 40

41 Então GABARITO: A 41. (TCE-ES/Economia/2001/ESAF) Num teste de múltipla escolha, um estudante sabe uma questão ou "chuta" a resposta. Seja 2/3 a probabilidade de que o estudante saiba uma questão do teste. Suponha que cada questão tenha 5 alternativas e que a probabilidade de acertar no "chute" seja 1/5. Assinale a opção que dá a probabilidade condicional de que o estudante saiba realmente uma pergunta que respondeu corretamente. A) 1/5 B) 2/15 C) 10/11 D) 2/3 E) 13/15 Esta questão aborda o Teorema de Bayes. Um possível método de resolução é baseado no uso de um diagrama binário como o que se segue abaixo: 41

42 O enunciado diz que a probabilidade de que o estudante saiba uma questão do teste (X=1) é 2/3, ou seja, PX(1) = 2/3. Logo, PX(0) = 1-2/3 = 1/3 (probabilidade de o estudante não saber a questão). Observe que Y=0 denota o evento "resposta errada", enquanto que Y=1 representa a "resposta certa". A probabilidade de acertar no "chute" é 1/5, ou seja, a probabilidade de transição Py x(110) = 1/5. Então, a probabilidade de transição complementar P y x (0 0) (probabilidade de errar no "chute") é dada por Py x(0 0) = 1 - Py x(1 0) = 4/5. Está implícito que a probabilidade de o estudante acertar a resposta quando sabe a questão é igual a 1, isto é, Py x(1 1) = 1. Logo, a probabilidade de errar quando sabe a questão é nula, pois Py x(0 1) = 1-1 = 0. Finalmente, chegamos a uma versão completa do DIAGRAMA BINÁRIO: Note que as probabilidades PY(0) e PY(1) são calculadas pelo Regra da Probabilidade Total. 42

43 Se o estudante acertou a resposta (Y=1 é o efeito observado), a probabilidade condicional de que o estudante saiba realmente a pergunta (X=1 é a causa) é dada por (Regra de Bayes) GABARITO: C 42. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) A probabilidade de que o preço da farinha de trigo aumente em determinado mês é estimada em 40%. Se isso ocorre, a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente é de 50%; caso contrário, a probabilidade de aumento do pão francês será de apenas 10%. Se o preço do pão francês subiu, a probabilidade de que o preço da farinha de trigo tenha sofrido majoração é igual a: A) 1/13 B) 2/10 C) 6/13 D) 6/11 E) 10/13 O enunciado diz que a probabilidade de que o preço da farinha de trigo aumente em determinado mês (X=1) é estimada em 40%. Logo, temos as seguintes probabilidades a priori: PX(1) = 0,40 e PX(0) = 1-0,40 = 0,60. Observe que X=0 denota o evento "preço da farinha de trigo não aumentou". 43

44 Foi dito que se X=1 (preço da farinha de trigo aumentou), a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente (Y=1) é de 50%, ou seja, foi dada a probabilidade de transição Py x(1 1) = 0,50. Então, a probabilidade de transição complementar Py x(0 1) (probabilidade de que o preço do pão francês não aumente (Y=0) dado que o preço da farinha de trigo aumentou (X=1)) é dada por Py x(0 1) = 1-0,50 = 0,50. Caso o preço da farinha de trigo NÃO aumente (X=0), a probabilidade de aumento do pão francês (Y=1) será de apenas 10%, ou seja, Py x(1 0) = 0,10. Portanto, se o preço da farinha de trigo NÃO aumentar (X=0), a probabilidade do preço do pão francês também NÃO aumentar (Y=0) será de Py x(0 0) = 1-0,10 = 0,90. Agora, chegamos a uma versão completa do DIAGRAMA BINÁRIO: Note que as probabilidades PY(0) e PY(1) são calculadas pelo Teorema da Probabilidade Total. Se o preço do pão francês subiu (Y=1 é o efeito observado), a probabilidade de que o preço da farinha de trigo tenha sofrido majoração (X=1 é a causa) é, pelo Teorema de Bayes, dada por 44