Fractais na escola: a prática de uma engenharia didática apoiada por tecnologia.

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1 Fractais na escola: a prática de uma engenharia didática apoiada por tecnologia. Autor 1 * Autor 2 ** Resumo: Neste artigo vamos apresentar o relato de uma proposta de trabalho desenvolvida na escola básica sobre fractais, com o desenvolvimento de uma engenharia didática, implantada no Colégio de Aplicação da UFRGS durante o segundo semestre de Este artigo ainda busca ressaltar os aspectos importantes no uso de tecnologia para o ensino de matemática, visando uma aprendizagem de melhor qualidade dos alunos. Inicialmente essa ideia foi proposta pelo professor Ms. Vandoir Stormowski 1, onde ele buscava abordar na escola básica um assunto inédito e que até então ainda não possuía espaço nas aulas de matemática: o estudo dos fractais através de matrizes e transformações geométricas. O uso de tecnologia, apoiada na teoria construtivista de Piaget foram essenciais para que o trabalho produzisse resultados significativos. Palavras-chaves: Aprendizagem; construtivismo; ensino de matemática; engenharia didática. Abstract: In this article we will present the report of a proposed work developed in basic school on fractal, with the development of an engineering didactics, located in the College of application of UFRGS during the second half of This article still seeking highlight the important aspects in the use of technology for the teaching of mathematics, aimed at learning of better quality of the students. Initially this idea was proposed by professor Ms. Vandoir Stormowski 1, Where he sought board in basic school a matter inedited and until then still did not have space in teaching of mathematics: the study of fractal through matrices and geometric transformations. The use of technology, supported in theory constructivist Piaget were essential for the work produced significant results. Key-words: Learning, constructivism, teaching of mathematics, engineering didactics. Introdução A ideia de abordar na escola básica a matemática das transformações geométricas é apresentada nos documentos oficias e para o professor de matemática trata-se de um desafio tratar desse tema na sala de aula. A proposta de trabalho com fractais através transformações geométricas foi o modo que o professor Ms. Vandoir Stormowski encontrou para desenvolver os tópicos sobre matrizes juntamente com suas operações e aplicações, em uma turma de alunos no Colégio de Aplicação no segundo semestre de 2006, durante a sua pesquisa para o curso de mestrado no qual era aluno até então. Aspectos teóricos envolvidos Como estamos interessados em relatar a experiência de uma engenharia didática sobre fractais na escola básica, vamos rapidamente caracterizar teoricamente o cenário. * Autor 1 ** Autor 2 1 Mestre em Ensino de Matemática pela UFRGS, currículo:

2 2 Partimos então, que para a maioria dos professores de matemática do nível básico a busca pelo apoio na elaboração do seu planejamento de ensino, nas orientações propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN de Matemática, é usualmente comum e de acordo com as orientações propostas pelos PCN de Matemática, deve-se trabalhar os conteúdos numa concepção construtivista de ensino e aprendizagem, na qual a atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas e definitivas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que servirá dele para compreender e transformar sua realidade (BRASIL, 1997). A engenharia didática, trazida por Artigue (1996) é um método de pesquisa que concentra seu campo de análise nas ações e nos meios da ação sobre o sistema de ensino como um processo empírico e conduz a investigação sobre as ações de ensino com particular cientificidade. Esse método de pesquisa considera o aluno com a sua capacidade cognitiva, leva em consideração os interesses pessoais, a criatividade e um conjunto de influências sociais e políticas manifestadas nos conteúdos e procedimentos escolares que conectam escola e sociedade, exercitando a prática da construção e organização do conhecimento, inicialmente proposto por Piaget. Podemos resumir a engenharia didática, segundo Pais (2002), por um trabalho didático que compreende cinco passos básicos: 1º) A análise preliminar, que caracteriza os sujeitos, as condições da realidade onde será realizado o ensino; 2º) A análise a priori, que define as variáveis globais e locais e a concepção de seqüências didáticas com base nos dados da análise preliminar e no conhecimento que o professor possui sobre a matemática e sobre o processo ensino-aprendizagem; 3º) A aplicação da seqüência didática, que consiste na ação de ensino, devidamente acompanhada com a observação da ação dos sujeitos; 4º) A análise a posteriori, que trata das informações coletadas com as observações da aplicação da seqüência didática e 5º) A validação, que faz a confrontação entre as análises a priori e a posteriori. Apoiado em uma engenharia didática, a proposta desenvolvida no Colégio de Aplicação visava alternadamente abordar a matemática clássica, caracterizada pelo uso do quadro negro e giz, e a matemática aplicada com o uso de software, portanto apoiada pela tecnologia. O suporte tecnológico serve neste trabalho para facilitar as visualizações e catalisar o processo de aprendizagem da turma. O encaminhamento da proposta Com o objetivo de trabalhar os fractais, inicialmente foi proposto um estudo com matrizes, obtidas através de operações geométricas no plano. Essencialmente, o estudo concentrou-se nas operações de reflexão, translação e rotação. Os alunos associaram essas transformações com os termos: espelho para a reflexão, mudança de lugar para a translação e girar um ângulo a rotação. Em nenhum momento foi estimulada a troca das palavras pelos termos e sim, partiu dos próprios alunos a criação de um conceito de linguagem acessível para cada uma das transformações que estavam percebendo. Naturalmente foi estabelecido o estudo das matrizes e com isso verificou-se sua importância no estudo da mudança de coordenadas de um ponto no plano. Um aspecto interessante das matrizes foi comentado por um aluno que questionou porque não havia sentido falar na operação de divisão de matrizes. A resposta mais freqüente para alguns educadores neste momento, é dizer para o aluno que não existe simplesmente pelo fato de ninguém ter definido ainda. Essa resposta está incorreta, pois devido os estudos das

3 3 transformações geométricas, chegamos à conclusão da existência das matrizes para a matemática e com isso não faz sentido a divisão de matrizes. As operações matriciais estão fundamentadas nas operações que existem entre transformações lineares e vice-versa. No momento em que a ideia do que seja uma matriz e qual o sentido de operar com ela, os alunos da turma atribuíram um sentido ao momento de aprendizagem no qual estavam inseridos. Quando o aluno se dá conta do real motivo para se aprender determinado conteúdo, essa é a fase mais importante durante a engenharia didática, pois parte do aluno o significado atribuído ao conceito. Fig. 1: Atividades iniciais em sala de aula para o estudo das transformações geométricas. Após a necessária fundamentação matemática, estava na hora de partir para o uso de tecnologia como ferramenta essencial neste estudo. A ideia era utilizar alguns aplicativos que facilitassem a visualização das transformações geométricas. O uso desses aplicativos potencializa o momento de investigação e as hipóteses formuladas podem ser confirmadas com apenas alguns cliques do mouse. A descoberta da matemática que está presente nos softwares faz com que os alunos reconheçam a utilidade da tecnologia no seu processo de aprendizagem e atribuam significado ao conhecimento. Durante esse trabalho no Colégio de Aplicação, como havia laboratório de informática disponível, alguns softwares foram usados e isso tornou o desenvolvimento das atividades mais seguro por parte dos alunos. Eles estavam pondo em prática o conhecimento que haviam organizado anteriormente na sala de aula tradicional. Entre os softwares escolhidos, podemos destacar o MVT (Mathematical Visualization Toolkit), Shapari, Microsoft Excel e alguns aplicativos Java dispostos na internet, dentre eles um jogo chamado Chaos Game. O MVT serviu para uma abordagem da transformação geométrica agindo em um vetor. Esse software possibilitou uma primeira visualização das transformações geométricas. A abordagem dos fractais via transformações geométricas tornou-se evidente no uso do software

4 4 Shapari, onde os alunos manipulavam as matrizes de transformação e visualizavam o resultado de sua aplicação na tela do computador em alguns segundos. Vale ressaltar que em uma aula sem os recursos de informática seria impossível realizar tal experimento. Além de proporcionar um momento de interação entre os alunos, a aula no laboratório de informática foi essencial no estabelecimento das relações entre eles, onde a descoberta de um aluno era novidade para os demais. Fig. 2: O software MVT. Fig. 3: O software Shapari e uma estratégia para construção de fractais. Fig. 4: Jogo do Chaos Game.

5 5 Fig. 5: Esboço do fractal Triângulo de Sierpinski com o Microsoft Excel. Ao final das atividades propostas com o uso de softwares específicos, foi desenvolvida uma aula para a criação de mapas conceituais. Um mapa conceitual, neste caso, deveria resumir para o aluno todo o trabalho desenvolvido até o momento e que envolvia o estudo das matrizes (desde sua definição) e dos fractais. O software escolhido foi o Cmap Tools, pois além de ser fácil a sua manipulação, possibilita para o aluno estabelecer um grande número de relações entre os conceitos aprendidos durante as aulas. Fig. 6: Mapa conceitual produzido por um aluno ao final da seqüência de atividades. Considerações Finais A utilização da modelagem com softwares no ensino de matemática, associada às seqüências didáticas, pode proporcionar melhores resultados, em relação a sua concepção original como método essencialmente investigativo, considerando que a estrutura da escola está fundamentada em horários, conteúdos mínimos, seriação e outros fatores. Com essa nova abordagem, o ensino se torna mais direcionado, no sentido que orienta e sistematiza a aprendizagem, sem perder sua característica investigativa por parte dos alunos. No entanto, deve-se lembrar que a redução da modelagem matemática a seqüências didáticas, simplesmente com o objetivo de contextualizar conceitos tende

6 6 para simples ilustrações e se descaracterizaria como processo de modelagem, pois perde o caráter investigativo. Contudo, se forem aceitas seqüências na direção dos problemas modelados, forma-se uma rede de seqüências, que gera um ensino integrado, pois vários conceitos serão estudados num mesmo assunto de modelagem e com isso temos um efeito positivo na aprendizagem dos alunos, pois os significados são dados pelas próprias situações didáticas e pela associação aos problemas reais investigados por eles. Esse foi o objetivo proposto e atingido pelo trabalho desenvolvido no Colégio de Aplicação. Através de modelagens e com o uso dos softwares foi possível desenvolver uma seqüência didática capaz de possibilitar a aprendizagem de fractais através de transformações geométricas. Referências ARTIGUE, Michèle. Engenharia Didática. In: BRUN, J. (org.) Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, Cap 4. p BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto/Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Volume 3: Matemática. Brasília: MEC/SEF, BORGES, Pedro Augusto Pereira. NEHRING, Cátia Maria. Modelagem Matemática e Seqüências Didáticas: uma relação de complementaridade. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, p. 131 a 147. PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influencia francesa. 2ª edição, Belo Horizonte: Autentica, STORMOWSKI, Vandoir. Dissertação de Mestrado: Estudando matrizes a partir de transformações geométricas. PPG-ENSIMAT, UFRGS, Disponível em: <http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/14965/ pdf?sequence=1> Acesso em 10 nov

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