Teoria dos grupos. Prof. Dr. Ricardo L. Viana Departamento de Física Universidade Federal do Paraná Curitiba - PR 17 de abril de 2014

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1 Teoria dos grupos Prof Dr Ricardo L Viana Departamento de Física Universidade Federal do Paraná Curitiba - PR 17 de abril de Introdução A teoria de grupos surgiu como um ramo da matemática pura, ligado ao problema de encontrar raízes de equações algébricas, por E Galois e outros matemáticos De modo bastante geral, a teoria de grupos é a linguagem matemática adequada para a descrição das simetrias Logo após o surgimento da Mecânica Quântica, E Wigner aplicou as idéias da teoria de grupos para a descrição das simetrias dos sistemas quânticos Além disso, as idéias de teoria de grupos são fundamentais para a classificação de moléculas e estruturas cristalinas A grosso modo podemos dividir os grupos em discretos e contínuos Os primeiros são particularmente importantes no estudo da Mecânica Quântica, ao passo que os grupos contínuos têm aplicações também na teoria de partículas elementares Neste curso deveremos abordar apenas as idéias básicas da teoria de grupos no espírito da referência [2], sem entrar em detalhes técnicos Para maior aprofundamento sugerimos obras específicas como [1] e [3], dentre outras 2 Definição de grupo Um grupo G é um conjunto de elementos que podem ser combinados por uma operação que designaremos genericamente pelo símbolo multiplicação de grupo e que satisfazem às seguintes propriedades: 1 Fechamento: se a e b são dois elementos quaisquer de G, então seu produto a b também é um elemento de G; 2 Associatividade: se a, b e c pertencem a G, então a b c = a b c = a b c; 1 3 Elemento neutro: existe um elemento I tal que, para todo a G I a = a I = a; 2 4 Elemento inverso: todo a G tem um elemento inverso a 1 G tal que a a 1 = a 1 a = I 3 1

2 Caso os elementos a e b do grupo satisfaçam, ainda, a propriedade de comutatividade, a b = b a, 4 ogrupoéditocomutativoouabeliano SeumsubconjuntoG degéfechadosob a respectiva tabela de multiplicação, ele é dito um subgrupo de G O elemento unidade I de qualquer grupo será sempre um sub-grupo trivial O número de elementos do grupo G é a sua ordem g, que pode ser finita ou infinita Quando os elementos do grupo podem ser contados, isto é, colocados em correspondência biunívoca com os números naturais, o grupo é dito discreto Caso contrário, ou seja, quando os elementos do grupo não são enumeráveis, o grupo é chamado contínuo Alguns exemplos básicos são: O conjunto dos inteiros Z, com a adição usual como a operação que chamamos de multiplicação, é um grupo discreto com ordem infinita, chamado grupo aditivo de inteiros, e denotado por Z, + O elemento neutro é o inteiro 0, e o elemento inverso de um inteiro n é n O conjunto dos inteiros pares {0,±2,±4,} forma um sub-grupo de Z,+ Já o conjunto dos inteiros positivos não é um sub-grupo pois não há um elemento inverso a ele pertencente nem todo sub-conjunto é um sub-grupo! O conjunto dos reais R, com a adição usual x + y como operação, é um grupo contínuo O elemento neutro é 0 e o inverso de x é x O grupo aditivo de inteiros Z,+ é um sub-grupo dele O conjunto dos números racionaisqtambéméumsub-grupo, poiséfechadoemrelaçãoàadição, já que 0 continua sendo o elemento neutro, e o elemento inverso do racional p/q onde p e q são inteiros é p/q Não são sub-grupos, porém, o conjunto dos irracionais não tem elemento neutro e o conjunto dos reais positivos não tem elemento inverso O conjunto dos reais não-nulos R {0}, com a multiplicação usual xy, é um grupo contínuo; onde o elemento neutro é 1 e o inverso de x é 1/x O conjunto de elementos {I,a,b,c} é um grupo discreto de ordem g = 4, denominado grupo C 4, onde a multiplicação de grupo é definido a partir da seguinte tabela * I a b c I I a b c a a b c I b b c I a c c I a b Para checar essa afirmação, devemos conferir se todas as propriedades que definem um grupo são satisfeitas para todos os elementos do mesmo Por exemplo, como a multiplicação de todos os elementos resulta noutro elemento do grupo, a propriedade de fechamento é automaticamente satisfeita Já a associatividade 1 tem que ser checada caso a caso Por exemplo: a b c = c c = b, a b c = a a = b 2

3 e assim por diante O elemento neutro é obviamente I O elemento inverso de a é c, pois a a 1 = a c = I, a 1 a = c a = I assim como b 1 = b e c 1 = a Além disso, podemos verificar facilmente que esse grupo é comutativo Há dois sub-grupos: i o próprio elemento neutro {I} ii o sub-conjunto {I, b} Qualquer sub-conjunto não será fechado em relação à tabela de multiplicação e portanto não poderá ser um sub-grupo O conjunto de elementos {E,V 1,V 2,V 3 }, é o chamado grupo quártico ou vierergruppe V, com a seguinte tabela de multiplicação * E V 1 V 2 V 3 E E V 1 V 2 V 3 V 1 V 1 E V 3 V 2 V 2 V 2 V 3 E V 1 V 3 V 3 V 2 V 1 E Assim como para o grupo C 4, também aqui a propriedade de fechamento é imediatamente verificada A associatividade e a comutatividade são checadas pela inspeção da tabela 2 O elemento unidade é I, e os elementos inversos são eles próprios, ou seja V 1 1 = V 1, V 1 2 = V 2, V 1 3 = V 3 Podemos verificar que {E,V 1 }, {E,V 2 }, e {E,V 3 } são sub-grupos de C 4 3 Representações de um grupo Na definição de grupo, seus elementos são definidos de uma forma abstrata, como no exemplo do grupo quártico Na prática, os elementos de grupo podem ser representados por números reais ou complexos, vetores, matrizes, quaternions, operações de simetria, etc 31 Grupo C Representação com números complexos Os elementos {I,a,b,c} do grupo C 4 podem ser representados pelos seguintes números complexos: I 1, a i, b 1, c i, sendo a multiplicação usual Que essa representação é verdadeira podemos verificar checando os produtos da tabela 2, um a um: I a 1i = i a, etc, a b i 1 = i c, etc, c a ii = 1 I, etc, 3

4 Este grupo é também denominado cíclico, pois o produto de seus elementos exibe uma periodicidade, a saber 1 = i 0, i = i 1, 1 = i 2, i = i 3, 1 = i 4, etc Por esse motivo, o grupo desse exemplo é denominado C 4 cíclico de ordem Representação com matrizes de rotação Matrizes de rotação constituem uma representação muito importante de grupos, tanto discretos como contínuos No apêndice ao final desta apostila fazemos uma revisão breve de matrizes de rotação, como é usualmente visto na disciplina de Mecânica Clássica Recomendo dar uma olhada lá até para fixar a notação que usaremos nestas notas de aula Vamos considerar a rotação de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais Designaremos por x, y as coordenadas de um ponto no sistema não-rodado, e por x,y as coordenadas num sistema que rodou de um ângulo ϕ em relação ao primeiro Usando cossenos diretores, podemos escrever as seguintes relações entre as coordenadas [vide Eq 157 do Apêndice]: x = xcosϕ+ysinϕ, 5 y = xsinϕ+ycosϕ, 6 e que podem ser escritas na seguinte forma matricial x cosϕ sinϕ x y = sinϕ cosϕ y 7 Em aplicações físicas, costumamos imaginar que, ao invés de rodar as coordenadas por um ângulo ϕ rotação passiva, nós rodamos o vetor posição do ponto de um ângulo ϕ rotação ativa Nesse caso x,y e x,y,z, que eram as coordenadas do ponto nos sistemas rodado e não-rodado, respectivamente, tornam-se dois vetores-posição distintos r e r, e que foram girados de um ângulo ϕ A relação entre os dois será, portanto, dada por x y = cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ x y 8 já que cos ϕ = cosϕ e sin ϕ = sinϕ Podemos escrever essa relação, simbolicamente, como r = Rϕ r, 9 onde r e r são as matrizes-coluna das coordenadas nos sistemas rodado e nãorodado, respectivamente, e a matriz de rotação é definida como cosϕ sinϕ Rϕ = 10 sinϕ cosϕ As matrizes R0, Rπ/2, Rπ, e R3π/2 formam uma representação do grupo C 4, sendo a operação de multiplicação matricial, a partir das seguintes 4

5 identificações 1 0 I R0 = = I, matriz identidade, π 0 1 a R = = A, b Rπ = = I B, π 0 1 c R = = A C, o que pode ser verificado, também, caso a caso na tabela de multiplicação 2: a b AB = A I = A = C c, c a CA = AA = = I e assim por diante Fica fácil, também, ver que essa é a representação de um grupo cíclico pois, ao executarmos quatro rotações, cada uma de π/2 radianos, voltamos ao ponto de partida a não-rotação caracterizada pela matriz identidade 32 Grupo quártico 321 Representação por meio de operações de simetria no plano Vamos considerar o seguinte conjunto de operações de simetria no plano xy: E: não há alteração das coordenadas x x, y y, V 1 = I: inversão, ou troca de sinal das coordenadas x x, V 2 = R y : reflexão em relação ao eixo y y y, x x, y y, V 3 = R x : reflexão em relação ao eixo x x x, y y A multiplicação de grupo, nesse caso, consiste em realizar consecutivamente as operações de simetria, a segunda vindo sempre antes da primeira Por exemplo, a multiplicação I R y consiste primeiro numa reflexão em torno do eixo y seguida por uma inversão de coordenadas: x x x = xy y y que resulta numa reflexão em relação ao eixo x, ou seja, I R y = R x Procedendo dessa forma podemos justificar a tabela de multiplicação de grupo 1 Observe que o elemento neutro consiste de uma não-alteração das coordenadas, e o elemento inverso de cada operação é ela própria Por exemplo, duas inversões sucessivas não alteram as coordenadas, assim como duas reflexões sucessivas 5

6 Tabela 1: Tabela de multiplicação de grupo para a representação do grupo quártico por meio de operações de simetria no plano * E I R y R x E E I R y R x I I E R x R y R y R y R x E I R x R x R y I E 322 Representação por meio de matrizes Podemos usar matrizes para representar as operações de simetria anteriormente definidas: E I: matriz identidade x y x y V 1 = I: inversão V 2 : reflexão-y V 3 = R x : reflexão-x x y x y x y x y x y x y Dois grupos são chamados homomórficos assim como suas representações se os seus elementos estiverem sujeitas à mesma tabela de multiplicação Além disso, se a correspondência entre os elementos dos dois conjuntos for biunívoca um-para-um, com a mesma tabela de multiplicação, os grupos e suas representações são chamadas isomórficas Naturalmente o isomorfismo implica no homomorfismo mas não vice-versa, ou seja, nem todo homomorfismo implica num isomorfismo Da discussão anterior,concluimosque,paraogrupoc 4,asrepresentações{1,i, 1, i}e{i,a,b,c} são isomórficas, já que em ambos os casos temos uma correspondência biunívoca com os elementos {I,a,b,c} Já o grupo quártico não é homomórfico ao grupo C 4 pois têm tabelas de multiplicação diferentes 4 Representações redutíveis e irredutíveis 41 Definições básicas Inicialmente vamos relembrar algumas definições básicas da álgebra matricial Seja uma matriz A, cujos elementos são denotados A ij, com i,y = 1,N 6

7 Uma matriz é diagonal se apenas os termos da diagonal principal são não-nulos: A ij = 0, i j Uma matriz é diagonal por blocos se podemos escrevê-la em termos de sub-matrizes independentes ao longo da sua diagonal principal, como por exemplo a a b c d a b c d e f g h i onde identificamos blocos de ordem 1, 2, e 3 A matriz transposta A T é obtida permutando as linhas com as colunas, ou seja, com elementos A T ij = A ji Uma propriedade importante é Uma matriz real O é ortogonal se AB T = B T A T 16 O T O = OO T = I, O T = O 1 17 As matrizes de rotação devem ser necessariamente ortogonais, como veremos no próximo capítulo Se A for uma matriz complexa, a sua adjunta é a transposta da complexoconjungada: A = A T, A ij = A ji 18 Uma matriz H é hermitiana se ela for auto-adjunta: Uma matriz U é unitária se H = H, H ij = H ij, 19 U U = UU = I, U = U 1 20 Obviamente se uma matriz for real, os conceitos de matriz ortogonal e unitária são idênticos Seja A uma matriz real, e S uma matriz qualquer Uma transformação de similaridade é tal que A A = S 1 AS 21 Nesse caso dizemos que as matrizes A e A são semelhantes em relação à matriz S Uma matriz A é dita redutível se existir uma transformação de similaridade S 1 AS tal que a matriz transformada A seja diagonal ou, pelo menos, diagonal em blocos As matrizes simétricas e as matrizes hermitianas, por exemplo, são diagonalizáveis, isto é, existe uma transformação de similaridade que as coloca na forma diagonal por blocos Caso a matriz não seja diagonalizável, ela é irredutível No caso real, se A é uma matriz simétrica isto é, se A T = A, então a matriz S com a qual se efetua a transformação de similaridade é ortogonal No caso complexo, se A é uma matriz hermitiana, então a matriz S é unitária Em ambos os casos, temos casos particulares da transformação de similaridade 7

8 42 Autovalores e autovetores Seja a relação Au = λu 22 Então dizemos que u é o autovetor da matriz A, correspondente ao autovalor λ No espaço R N, podemos escrever o autovetor u em componentes numa forma matricial: u 1 u 2 u = 23 deformaqueaequação22, reescritacomoa λiu = 0, podeserrepresentada matricialmente como A 11 λ A 12 A 1N u 1 0 A 21 A 22 λ A 2N u 2 = 0, 24 A N1 A N2 A NN λ u N 0 e que é, de fato, um sistema linear homogêneo Uma solução trivial para o sistema acima é u 1 = u 2 = = u N = 0 que, evidentemente, não nos interessa Só podem existir soluções não-triviais para este sistema se o determinante dos coeficientes for nulo: A 11 λ A 12 A 1N A 21 A 22 λ A 2N = 0, 25 A N1 A N2 A NN λ o que fornece uma equação algébrica de grau N, cujas raízes são os autovalores procurados Pelo teorema fundamental da álgebra, uma equação algébrica de grau N tem N raizes, reais ou complexas, de modo que a solução de 25 nos fornece N autovalores λ 1, λ 2, λ N, reais e/ou complexos Por simplicidade vamos considerar o caso quando os autovalores são todos reais e distintos Então, a cada autovalor λ k, está associado um autovetor u k pela equação A λ k Iu k = 0, k = 1,2,N Transformação unitária que diagonaliza uma matriz redutível Se uma matriz A é diagonalizável sabemos que, por meio de uma transformação de similaridade λ S 1 0 λ 2 0 AS = λ N u N 8

9 Pré-multiplicando os dois membros por S temos que λ λ 2 0 AS = S λ N Agora vamos escrever a matriz S justapondo os autovetores de A, na forma de N matrizes-coluna, dando uma matriz quadrada N N: Então a equação 28 fornece S = u 1 u 2 u N 29 Au = λu 30 que é a própria equação de autovalores 22 Daí a seguinte regra: para diagonalizar a matriz A empregamos uma transformação de similaridade construindo a matriz S pela justaposição dos seus autovetores Como um exemplo simples, considere a matriz no R 2 : 2 2 A = cujos autovalores são λ 1 = 4 e λ 2 = 1, correspondendo respectivamente aos autovetores não-normalizados 1 2 u 1 =, u 1 2 = 32 1 A matriz que diagonaliza A será, pois 1 2 S = cuja inversa é S 1 = Executando a transformação de similaridade 21: 34 A = S 1 AS = 35 = = que é diagonal, sendo os elementos iguais aos autovalores, como esperávamos Note que, como neste caso a matriz A não é simétrica, a matriz S que obtivemos também não deverá ser ortogonal, o que pode ser facilmente verificado comparando a inversa com a transposta que são diferentes! 9

10 44 Representações irredutíveis Vamos considerar, como um exemplo representativo, uma representação A de um grupo na forma de uma matriz 4 4 Se esta for diagonalizável, então existirá uma matriz de similaridade S que a torna diagonal em blocos 2 2, por exemplo: As submatrizes A = S 1 AS = P = a b c d a b 0 0 c d e f 0 0 g h Q = e f g h são chamadas representações irredutíveis da matriz A Costuma-se escrever essa relação como uma soma direta: A = R Q 38 Representações irredutíveis não podem ser escritas como decomposições do tipo soma direta de representações de menor dimensionalidade Naturalmente representações unidimensionais são sempre irredutíveis As representações irredutíveis na teoria de grupos desempenham um papel análogo ao dos versores vetores unitários no cálculo vetorial: elas são as representações mais simples, e todas as outras podem ser construidas a partir delas Há, na verdade, infinitas representações irredutíveis para um mesmo grupo já que, dada uma representação irredutível, podemos fabricar inúmeras outras simplesmente aplicando transformações de similaridade a elas Esse fato levanos a procurar alguma quantidade que seja igual para todas elas, e que vem a ser o traço de uma matriz, que é a soma dos seus elementos diagonais: TrA = n A ii 39 Uma propriedade importante do traço de um produto de matrizes é a sua invariância sob uma permutação cíclica dos fatores Por exemplo: i=1 TrABC = TrBCA = TrCAB 40 Usando esse resultado, podemos mostrar que o traço de uma matriz é invariante sob uma transformação de similaridade: TrA = TrUAU 1 = TrAU } 1 {{ U } = TrA 41 =I Logo, se diagonalizarmos uma matriz, o traço da matriz redutível será igual ao traço da matriz diagonalizada em blocos que, por sua vez, é a soma dos traços das sub-matrizes irredutíveis Um exemplo é a matriz 36, cujo traço é a soma dos traços de cada bloco irredutível: TrA = TrS 1 AS = TrASS 1 = TrA 10

11 Considerando a decomposição 38 teremos portanto que TrA = TrP Q = TrP+TrQ = a+d+e+h para qualquer transformação de similaridade que façamos O traço da representação matricial do elemento R de um grupo é chamado o caráter χ R da representação, e portanto é útil para distinguirmos representações irredutíveis verdadeiras ou fidedignas e representações fabricadas aplicandose transformações de similaridade Elementos com o mesmo caráter pertencem à uma dada classe da representação Para sabermos quantas representações irredutíveis fidedignas são possíveis para um dado grupo, usamos um importante teorema da teoria de grupos denominado teorema da dimensionalidade Ele afirma que a ordem g de um grupo ou seja, o número dos seus elementos é igual à soma dos quadrados das dimensões das suas representações irredutíveis Se, por exemplo, conseguimos escrever uma matriz na forma de uma soma direta de N representações irredutíveis A = A 1 A 2 A N, onde n i é a dimensão da representação irredutível A i, então g = n 2 i 42 5 Grupos pontuais Em várias aplicações práticas, como a espectroscopia, a cristalografia, etc estamos interessados em conjuntos de operações geométricas ou isometrias que deixam inalterado um determinado sistema Elas são chamadas operações de simetria, e os grupos correspondentes são chamados grupos pontuais Algumas dessas operações de simetria foram vistas na seção anterior: rotações, reflexões e inversões Os grupos pontuais em duas dimensões são divididos em duas categorias: aqueles que consistem somente em rotações, e aqueles que incluem também reflexões Os grupos cíclicos C n consistem no conjunto de n Z rotações de um ângulo 2π/n em relação a um eixo de simétrica de ordem n O elemento neutro I é a não-rotação, ou seja, por um ângulo 2π, e a rotação inversa é feita por um ângulo 2π/n São grupos cíclicos pois, após n rotações de 2π/n, voltamos ao ponto de partida I Vimos anteriormente as propriedades do grupo cíclico C 4 Esse é o grupo de operações de simetria de reflexão de um quadrado, pois ele, quando girado por um ângulo π/2 em torno de um eixo perpendicular ao seu centro, permanece inalterado Esse é um eixo de simetria de ordem 4 Já um pentágono terá um grupo de simetria C 5, e assim por diante Para aplicações à física molecular, interessam-nos ainda as operações que combinem rotações com reflexões, e que formam os chamados grupos diedrais de ordem n, denotados por D n Nesse caso, teremos n eixos de rotação com separação angular de 2π/n, cada um deles sendo um eixo de simetria de ordem n São estes grupos que iremos analisar com mais detalhes, nos casos n = 2 e n = 3 51 Grupo diedral D 2 Vamos considerar, como um exemplo, uma molécula diatômica como N 2, H 2, O 2, etc onde cada átomo ocupa uma posição x = ±1 sobre o eixo x [Fig 1] 11

12 00 y 1,0 1, x Figura 1: Eixos de simetria de uma molécula diatômica Podemos imaginar quatro operações que deixam uma tal molécula invariante no plano xy: não-rotação, representada pela matriz identidade I = R z 0 = rotação de π radianos em torno do eixo z: de 157 [vide Apêndice] temos que, para uma rotação ativa isto é, trocando ϕ por ϕ, e substituindo ϕ = π temos R z π = rotação de π radianos em torno do eixo x: de 156, modificada para uma rotação ativa, R x π = rotação de π radianos em torno do eixo y: de 158 para uma rotação ativa, R y π = É uma tarefa relativamente simples mostrar que o conjunto de matrizes de rotação {R z 0,R x π,r y π,r z π} formam um grupo abeliano, chamado grupo diedral e denotado por D 2, com as seguinte tabela de multiplicação No caso da molécula diatômica, o eixo z é um eixo de simetria duplo de ordem 2, pois há dois ângulos de rotação 0 e π que tornam o sistema invariante Se tivéssemos uma molécula tridimensional como a mostrada na figura, cada um dos três eixos seria um eixo de simetria dupla 12

13 * I R x π R y π R z π I I R x π R y π R z π R x π R x π I R z π R y π R y π R y π R z π I R x π R z π R z π R y π R x π I D b 0,1 E c a C Figura 2: Eixos de simetria de um triângulo equilátero no plano O grupo diedral D 2 é isomórfico ao grupo quártico, pois ambos têm tabelas de multiplicação semelhantes, bem como há uma correspondência biunívoca entre os seus elementos: E I, V 1 R x π, V 2 R y π, V 3 R z π de modo que há três subgrupos, a saber, {I,R i π}, com i = x,y,z 52 Grupo diedral D 3 É o conjunto de operações que tornam invariante um triângulo equilátero no plano, como por exemplo uma molécula triatômica [Fig 2] As respectivas operações de simetria são: não-rotação, representada pela matriz identidade 1 0 I = R z 0 = rotação de 2π/3 radianos em torno do eixo z: de 157, para uma rotação ativa 1/2 3/2 A = R z 2π/3 = 48 3/2 1/2 13

14 rotação de 4π/3 radianos em torno do eixo z: 1/2 3/2 B = R z 4π/3 = 3/2 1/2 49 rotaçãodeπ radianosemtornodoeixoc, quepassapelovérticebindicado na Figura 2: é equivalente a uma reflexão do triângulo em relação ao eixo C = y, de modo que x x e y y Logo, a matriz que representa essa rotação é 1 0 C = R C π = rotaçãodeπ radianosemtornodoeixod,quepassapelovérticeaindicado nafigura2: é equivalente aumarotação dotriângulo de 4π/3em tornode um eixo perpendicular ao plano do triângulo e passando pelo seu centro, dada pela matriz B, seguida por uma reflexão do triângulo em relação ao eixo y, fazendo x x e y y, dada pela matriz C acima Logo, a matriz que representa essa rotação é a combinação dessas duas operações 1/2 3/2 D = R D π = CB = 51 3/2 1/2 rotaçãodeπ radianosemtornodoeixoe, quepassapelovérticecindicado na Figura 2: é equivalente a uma rotação de 2π/3 em torno de um eixo perpendicular, dada pela matriz A, seguida por uma reflexão em relação ao eixo y, dada pela matriz C; tal que sua combinação seja 1/2 3/2 E = R E π = CA 52 3/2 1/2 O eixo perpendicular ao plano do triângulo e que passa pelo seu centro é um eixo de simetria tripla, pois há três ângulos de rotação em relação a esse eixo e que tornam o triângulo invariante: 0, 2π/3, e 4π/3 Já os eixos c, d e 3 são duplos, pois há apenas dois ângulos de rotação: 0 e π O conjunto de operações {I,A,B,C,D,E} forma o grupo diedral D 3, cuja tabela de multiplicação é * I A B C D E I I A B C D E A A B I D E C B B I A E C D C C E D I B A D D C E A I B E E D C B A I O grupo D 3 é não-abeliano de ordem g = 6 pois tem seis elementos Os elementos {I, A, B} formam um sub-grupo cíclico de ordem 3, relacionados ao eixo z, que é um eixo de simetria tripla Há outros três subgrupos: {I,C}, {I,D}, e {I,E}, todos de ordem 2, relacionados aos três eixos de simetria dupla que passam pelos vértices Contando, ainda, o subgrupo trivial {I}, de ordem 14

15 1, concluimos que o grupo D 3 só possui subgrupos de ordem 1,2 e 3 De fato, um teorema da teoria de grupos garante que a ordem de qualquer subgrupo é um divisor da ordem do grupo Por isso, um grupo de ordem 6 não pode ter subgrupos de ordem 4 ou 5, por exemplo A representação matricial é irredutível, onde os elementos {I,A,B,C,D,E} são matrizes bidimensionais, ou seja, a dimensão dessa representação irredutível é n 1 = 2 Há, ainda, outras duas representações irredutíveis fidedignas ou seja, não apenas fruto de transformações unitárias aplicadas à representação anterior do grupo D 3, a saber: {I,A,B,C,D,E} = {1,1,1,1,1,1}, 53 {I,A,B,C,D,E} = 1,1,1, 1, 1, 1 54 ambas com dimensão n 2 = n 3 = 1 Que são essas as únicas representações irredutíveis fidedignas do grupo D 3 decorre imediatamente do teorema da dimensionalidade 42, pois g = 3 n 2 i = = 6 55 i=1 Vamos agora determinar os caracteres de cada elemento das três representações que vimos Na representação por matrizes bidimensionais, de47-52 obtemos os caracteres de cada elemento: χ I = 2, χ A = χ B = 1, χ C = χ D = χ E = 0 56 e observamos a existência de três classes, ou seja, três conjuntos de elementos com o mesmo caráter: {E}, {A,B}, e {C,D,E} Para representação 53 todos os elementos têm o mesmo caracter, a saber, χ I = χ A = χ B = χ C = χ D = χ E = 1 57 de modo que todos pertencem à mesma classe Já na representação 54 há duas classes com três elementos cada, com os respectivos caracteres χ I = χ A = χ B = 1, χ C = χ D = χ E = 1 58 de modo que, dependendo da representação, um mesmo elemento do grupo pode pertencer a classes diferentes 6 Grupos contínuos São grupos que têm um número infinito não-enumerável de elementos, de tal modo que os elementos do grupo são parametrizados por um número real que assume valores dentro de um certo intervalo Se este intervalo for fechado, o grupo é dito compacto Os grupos contínuos são também chamados grupos topológicos, ou ainda grupos de Lie, e têm uma grande importância na Física Teórica Na mecânica quântica, a teoria do momentum angular utiliza bastante os grupos de rotações, 15

16 que serão objeto principal deste capítulo Na relatividade especial as transformações de Lorentz formam um grupo contínuo Na física de partículas elementares, a classificação de grupos de partículas utiliza grupos contínuos de simetrias A teoria dos grupos contínuos é extensa e bastante avançada No nível de nosso curso, vamos nos limitar aos dois grupos contínuos mais importantes na descrição de rotações tanto na Mecânica Clássica como na Mecânica Quântica, e que são os grupos ortogonal e unitário especial 61 O grupo ortogonal especial O grupo ortogonal ON é formado pelas matrizes reais e ortogonais de ordem N, ou seja, pelas matrizes que satisfazem O T O = OO T = I, 59 com a multiplicação matricial O elemento neutro é a matriz identidade I, que é trivialmente ortogonal A associatividade é uma propriedade geral do produto matricial Para checar a propriedade de fechamento, precisamos mostrar que o produto de duas matrizes ortogonais AB também é ortogonal AB T AB = B T }{{} A T AB = B T B = I 60 =I Para provar a existência de um elemento inverso, precisamos provar que a inversa de uma matriz ortogonal também é ortogonal: se A é ortogonal, então A 1 = A T, logo B = A 1 é tal que B T B = A 1 T A 1 = A T T A T = AA T = I 61 Como a multiplicação de matrizes não é comutativa, de forma geral, assim também o grupo ON não é, em geral, abeliano Usando as propriedades dos determinantes temos que, para uma matriz ortogonal deto T O = deto T deto = detodeto = [deto] 2 = deti = 1, 62 dondedeto = ±1 OgrupodematrizesortogonaisdeordemN edeterminante igual a +1, que denotaremos SON, é denominado grupo ortogonal especial Ele é um grupo de Lie simples, ou seja, o seu único subgrupo é aquele trivial formado unicamente pelo elemento neutro {I} Estamos particularmente interessados no grupo das matrizes ortogonais de ordem 3 e determinante igual a +1, ou o chamado grupo ortogonal especial SO3 Elas são importantes pois matrizes de rotação são necessariamente ortogonais Para mostrar este fato consideramos a rotação ativa de um vetor por um ângulo ϕ, e que pode ser representada matricialmente como w = Rv, 63 onde w e v representam os vetores rodado e não-rodado, respectivamente, e R é a matriz de rotação Como o módulo do vetor não muda devido à rotação 16

17 impomos que w 2 = v 2 w T w = Rv T Rv = v T R T Rv = v T v o que é verdade se e só se R T R = I, ou seja, R deve ser ortogonal As matrizes que representam rotações devem ter determinante +1, ao passo que reflexões, que são rotações impróprias, têm determinante 1 Uma matriz 3 3 tem nove elementos ao todo Mas, devido à condição de ortogonalidade O T O = I, 64 podemos mostrar que apenas 3 elementos são independentes Para tal, lembramos que uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta: A T = A Uma matriz de ordem 3 tem 3 elementos na sua diagonal principal, e 9 3 = 6 elementos fora da diagonal Mas, se a matriz for simétrica, os elementos abaixo da diagonal principal são idênticos aos elementos acima dela, de modo que 6/2 = 3 independentes No todo, há = 6 elementos independentes Como a matriz O T O = I é simétrica, isso implica em seis condições de vínculo impostas sobre os elementos de uma matriz ortogonal Então, dos 9 elementos de O, seis estão amarrados pelas condições de vínculo, e só há 9 6 = 3 elementos independentes Na linguagem das matrizes de rotação, esse resultado implica em que basta especificar 3 elementos para caracterizar uma rotação geral quer dizer, em torno de um ponto Das infinitas escolhas possíveis, a mais utilizada tanto em Mecânica Clássica como em Mecânica Quântica são três ângulos de Euler, denotados α,β,γ, e que são definidos a partir de três rotações em relação a eixos diferentes, também chamadas rotações de Euler No formalismo Lagrangeano, por exemplo, a rotação de um corpo rígido emprega estes ângulos como coordenadas generalizadas 62 O grupo unitário especial O grupo UN consiste das matrizes complexas e unitárias de ordem N, ou seja, das matrizes que satisfazem U U = UU = I, 65 com a multiplicação usual O elemento neutro é a matriz identidade que é trivialmente ortogonal, e a propriedade de fechamento é verificada provando-se que o produto de duas matrizes unitárias é também unitária Além disso, o elemento inverso é uma matriz unitária também O grupo U1 é o grupo de simetria do eletromagnetismo, como se demonstra em teoria clássica de campos As matrizes unitárias com determinante +1 pertencem a um grupo denominado unitário especial, com símbolo SUN O grupo unitário especial também descreve rotações, mas rotações internas, que não estão necessariamente associadas ao conceito intuitivo, como o spin de uma partícula quanto-mecânica O grupo SU2, por exemplo, descreve o comportamento do spin do elétron que tem dois estados, up e down, e também o das interações nucleares fracas, responsáveis pelo decaimento beta Já o grupo SU3, por exemplo, é 17

18 utilizado para classificar as partículas envolvidas nas chamadas interações nucleares fortes, como quarks e glúons O chamado modelo padrão das partículas elementares tem SU3 SU2 U1 como grupo de simetria Vamos estudar, aqui, apenas as propriedades do grupo SU2 pela conexão que existe entre ele e o grupo SO3, das rotações no espaço As matrizes desse grupo têm quatro elementos que, por serem complexos, equivalem a oito parâmetros reais No entanto, a condição de unitariedade reduz o número de parâmetros independentes para apenas 3, tal qual para o grupo SO3 A matriz mais geral do grupo SU2 pode ser escrita na forma a b Ua,b = b a 66 onde a e b são dois números complexos tais que a 2 + b 2 = a a+b b = 1 67 Na Mecânica Clássica, a e b são chamados parâmetros de Cayley-Klein, tendo sido introduzidos originalmente em fins do Século XIX para o estudo de rotações em giroscópios Para verificar que 66 é, de fato um elemento de SU2, fazemos a multiplicação explicitamente U U = U T a b a b U = = b a b a 2 + b a 2 + b 2 = a = I, em vista de 67, que também fornece imediatamente detu = a 2 + b 2 = 1 Em geral, podemos dizer que Ua 1,b 1 Ua 2,b 2 = Ua 1 a 2 b 1 b 2,a 1 b 2 +a 2b 1, 68 U 1 a,b = Ua, b 69 A relação de vínculo67 faz com que, dos quatro parâmetros reais embutidos em a e b, apenas três sejam independentes, como é necessário Para mostrar esse fato, escrevemos a = x+iy, b = u+iv tal que 67 forneça 1 = a 2 + b 2 = x iyx+iy+u ivu+iv = x 2 +y 2 +u 2 +v 2, que pode ser usada para exprimir qualquer um dos quatro parâmetros reais em função dos outros três como, por exemplo v 2 = x 2 y 2 u 2 Como o grupo SU2 tem três parâmetros reais independentes, é possível escrevermos os seus parâmetros complexos na forma a = e iξ cosη, b = e iζ sinη, 70 18

19 em termos de ξ, ζ, η A propriedade 67 é identicamente satisfeita, pois a 2 + b 2 = cos 2 η +sin 2 η = 1 Logo o elemento mais geral de SU2 tem a seguinte representação matricial e Uξ,η,ζ = iξ cosη e iζ sinη e iζ sinη e iξ 71 cosη 63 Geradores de grupos contínuos Os elementos de um grupo contínuo são funções de um ou mais parâmetros que podem assumir qualquer valor real Rα O elemento neutro de um grupo é tal que o parâmetro tem um certo valor nulo: I = Rα = 0 Um elemento do grupo próximos à identidade pode ser associado a um valor infinitesimal deste parâmetro De forma geral, elementos de um grupo contínuo próximos à identidade podem ser escritos na forma R = e iǫs = I+iǫS+, 72 onde, para ǫ pequeno, nós desprezamos termos de ordem ǫ 2 ou superiores A matriz S é chamada gerador do grupo correspondente Se a matriz R é unitária, então o gerador S é uma matriz hermitiana De fato, o adjunto da matriz 72 é de modo que, usando 72 temos R = e iǫs = I iǫs +, 73 R R = I iǫs + I+iǫS+ = I Abrindo esse produto e desprezando termos de ordem ǫ 2 temos iǫ S S = 0, S S, como queríamos demonstrar Pela propriedade de fechamento do grupo, o produto de dois elementos próximos à identidade, também será um elemento próximo à identidade Escrevemos estes elementos como R i = e iǫisi = I+iǫ i S i 1 2 ǫ2 is 2 i +, 74 R j = e iǫjsj = I+iǫ j S j 1 2 ǫ2 js 2 j +, 75 Como estas matrizes são unitárias, os geradores correspondentes são matrizes hermitianas, de forma que R 1 i = R i = I iǫ is i 1 2 ǫ2 is 2 i +, 76 R 1 j = R j = I iǫ js j 1 2 ǫ2 js 2 j

20 Vamos considerar o seguinte produto de quatro elementos do grupo Usando um cálculo tedioso fornece onde definimos o comutador das matrizes R ij = R 1 i R 1 j R i R j, 78 R ij = I+ǫ i ǫ j [S j,s i ] 79 [A,B] = AB BA 80 Como o elemento R ij, por hipótese, deve ser também um elemento próximo à identidade, podemos escrevê-lo numa forma semelhante à 72: R ij = I+ǫ i ǫ j c k ji S k, 81 onde S k são os geradores do grupo, e a soma é feita sobre todos eles Os elementos c k ji são chamados constantes de estrutura do grupo Comparando 79 e 81 obtemos, após trocar i por j e vice-versa a seguinte relação de comutação [S i,s j ] = c k ij S k 82 k Pela definição 80, a identidade [S j,s i ] = [S i,s j ] leva à seguinte relação entre as constantes de estrutura k c k ij = c k ji 83 Outra importante relação envolvendo comutadores de geradores é a chamada identidade de Jacobi [[S i,s j ],S k ]+[[S j,s k ],S i ]+[[S k,s i ],S j ] = 0 84 Substituindo a relação de comutação 82 na identidade de Jacobi, obtemos a seguinte relação envolvendo as constantes de estrutura de um grupo: c m ij c n mk +cm jk cn mi +cm ki c n mj = 0 85 m 64 Matrizes de Pauli No estudo das propriedades dos grupos SO3 e SU2 são importantes as chamadas matrizes de Pauli i 1 0 σ 1 =, σ =, σ i 0 3 =, as quais são hermitianas e unitárias, como pode ser verificado diretamente: σ i = σ i, σ i σ i = σ i σ i = I, 87 além de outras propriedades notáveis As matrizes de Pauli foram introduzidas em 1927 como operadores de spin 1/2 de um elétron na teoria não-relativística de Schrödinger para a mecânica quântica 20

21 As três matrizes de Pauli e a matriz identidade formam um conjunto completo, pois qualquer matriz complexa 2 2 pode ser escrita como uma combinação linear delas, na forma m0 +m M = m 0 I+m 1 σ 1 +m 2 σ 2 +m 3 σ 3 = 3 m 1 im 2, 88 m 1 +im 2 m 0 m 3 onde m 0,1,2,3 são constantes Considerando o vetor constante m = 3 i=1 m iê i no espaço Euclidiano podemos expressar a matriz acima como M = m 0 I+m σ a 89 onde σ = σ 1,σ 2,σ 3, apesar das aparências, não é um vetor, apenas uma notação conveniente Podemos definir a exponencial de uma matriz M arbitrária a partir de uma expansão em série de potências: Seja a matriz complexa e M = I+M+ 1 2! M ! M ! M4 + = n=0 1 n! Mn 90 M = iσ k θ, k = 1,2,3 91 onde θ é um número real De 90 a exponencial desta matriz é e iσ kθ = I+iσ k θ + 1 2! iσ kθ ! iσ kθ 3 + Usando o fato que σk n = I, se n é par, e σn k = σ k, se n é ímpar, fatoramos essa expansão e iσkθ = I 1 1 2! θ ! θ4 + +iσ k θ 1 3! θ ! θ5 + } {{ } } {{ } =cosθ =sinθ e obtemos a chamada identidade de Euler e iσ kθ = Icosθ +iσ k sinθ Geradores dos grupos SO2 e SO3 Os elementos do grupo SO2 são matrizes ortogonais 2 2 com determinante +1, ou seja, matrizes de rotação no plano A matriz identidade I é o elemento neutro desse grupo, correspondente ao ângulo ϕ = 0 Para rotações infinitesimais o ângulo ϕ é tão pequeno quanto se queira, e vamos denotá-lo δϕ Podemos expressar a matriz que corresponde a uma rotação no plano de um ângulo ϕ, usando a matriz identidade e as matrizes de Pauli: cosϕ sinϕ Rϕ = = Icosϕ+iσ sinϕ cosϕ 2 sinϕ = e iσ2ϕ 93 21

22 onde usamos a identidade de Euler Para um ângulo infinitesimal δϕ teremos um elemento do grupo próximo à identidade Comparando 93 e 72 concluimos que o gerador de rotações infinitesimais no plano é a matriz de Pauli: S z = σ 2 na verdade, é o único gerador independente do SO2 É possível obter formalmente este resultado derivando a matriz de rotação 93 em relação ao parâmetro ϕ e calculando no ponto ϕ = 0 De fato, para uma rotação infinitesimal Rδϕ = e iσ2δϕ = I+iσ 2 δϕ 94 Fazendo uma expansão em série de Taylor em torno da origem ϕ = 0 teremos, a menos de termos de segunda ordem ou superiores em δϕ: Rδϕ = R0+δϕ dr dϕ 95 ϕ=0 Comparando 94 e 95 obtemos σ 2 = i dr dϕ 96 ϕ=0 o que pode ser verificado, também, efetuando diretamente a derivada da matriz 93 Passamos, agora, para os elementos do grupo SO3 que são as matrizes de rotação no espaço A matriz que efetua uma rotação de um ângulo ϕ em torno do eixo z é dada por 157: R z ϕ = cosϕ sinϕ 0 sinϕ cosϕ Usando um raciocínio análogo ao que nos levou a 96, o gerador da rotação infinitesimal correspondente será S z = i dr z dϕ 98 ϕ=0 Derivando 97 em relação a ϕ teremos sinϕ cosϕ 0 dr z dϕ = cosϕ sinϕ de modo que 98 nos fornece o gerador 0 i 0 S z = i Em outras palavras, escrevemos uma rotação infinitesimal em torno do eixo z como R z δϕ = I+iδϕS z

23 Uma composição de duas rotações infinitesimais é escrita, a menos de termos de ordem superior, como R z δϕ 1 +δϕ 2 = I+iδϕ 1 δϕ 2 S z = I+iδϕ 1 S z I+iδϕ 1 S z = R z δϕ 1 R z δϕ Desta forma podemos obter uma rotação finita ϕ, compondo N rotações infinitesimais com δϕ = ϕ/n, onde N tende ao infinito: R z ϕ = R z Nδϕ = R N z δϕ Usando 100 e tomando o limite R z ϕ = lim I+i ϕ N z N N S = e iϕs z 102 Logo, S z é também o gerador de rotações finitas em torno do eixo z Analogamente, podemos obter os geradores de rotações em torno dos eixos x e y, dadas por 156 e 158, respectivamente: R x ϕ = R y ϕ = cosϕ sinϕ 0 sinϕ cosϕ cosϕ 0 sinϕ sinϕ 0 cosϕ S x = i dr x dϕ = ϕ=0 S y = i dr y dϕ = ϕ= i 0 i i i Verificamos, por cálculo direto, os seguintes comutadores entre os três geradores do grupo SO3: [S x,s y ] = is z, 105 [S y,s z ] = is x, 106 [S z,s x ] = is y, 107 que podem ser escritas simbolicamente como lembrando que i = 1 é x, i = 2 é y, e i = 3 é z [S i,s j ] = iε ijk S k, i,j,k = 1,2,3 108 onde introduzimos o símbolo de Levi-Civita ou permutador, definido como +1 se i,j,kestão em permutação cíclica par de 1,2,3 ε ijk = 1 se i, j, kestão em permutação anti-cíclica ímpar de 1, 2, 3 0 se há índices repetidos 109 tal que, por exemplo ε 123 = ε 231 = ε 312 = +1, ε 132 = ε 321 = ε 213 = 1,etc Comparando 108 com a relação geral de comutação 82 obtemos as constantes de estrutura do grupo SO3: c k ij = iε ijk

24 66 Geradores do grupo SU2 Vimos em 71 que o elemento mais geral do grupo SU2 é uma matriz unitária com três parâmetros: e Uξ,η,ζ = iξ cosη e iζ sinη e iζ sinη e iξ 111 cosη Podemos encontrar os geradores respectivos usando a mesma metodologia empregada anteriormente para o SO3, ou seja, adaptando 98 para nosso caso, com as modificações apropriadas: S ξ = i U ie ξ = i iξ cosη 0 ξ=0,η=0 0 ie iξ cosη ξ=η=0 1 0 = = σ 0 1 3, 112 S ζ = i U 0 ie ζ = i iζ sinη ζ=0,η=π/2 ie iζ sinη 0 ζ=0,η=π/2 0 1 = = σ 1 0 1, 113 S η = i U e η = i iξ sinη e iζ cosη ζ=0,η=0 e iζ cosη e iξ sinη ζ=η=0 0 i = = σ i 0 2, 114 ou seja, os geradores dos elementos infinitesimais do grupo SU2 são as matrizes de Pauli Sabemos que as mesmas obedecem às seguintes relações de comutação: [σ i,σ j ] = iε ijk σ k, 115 de modo que, comparando com a relação geral 82, as constantes de estrutura do SU2 são c k ij = iε ijk 116 ou seja, as mesmas do grupo SO3 Esse fato sugere alguma forma de correspondência entre os dois grupos, o que exploraremos na próxima seção Elementos finitos podem ser obtidos compondo elementos infinitesimais exatamente da mesma forma que fizemos anteriormente para as rotações do SO3 Os elementos finitos de SU2 são, portanto U 1 = e ia1σ1, 117 U 2 = e ia2σ2, 118 U 3 = e ia3σ3, 119 onde a 1,a 2,a 3 são três parâmetros reais Usando a identidade de Euler 92 podemos escrever estas matrizes unitárias na seguinte forma geral U j = Icosa j +iσ j sina j

25 67 Transformações unitárias no SU2 e rotações no SO3 A ação de uma matriz do SU2 sobre uma matriz qualquer M é executada por meio de uma transformação unitária que, como vimos antes, é um caso particular de uma transformação de similaridade M M = U j MU j 121 Vamos escrever a matriz M na forma 122 com m 0 = 0, m 1 = x, m 2 = y e m 3 = z: z x iy M = r σ = 122 x+iy z Analogamente, a matriz transformada pode ser escrita do mesmo jeito: M = r z σ = x iy x +iy z 123 Assim como o traço, o determinante de uma matriz é invariante sob uma transformação unitária: detm = detu j MU j = detu j detmdetu j = detu j detmdetu 1 j = detm 124 já que detu j detu 1 j = deti = 1 Aplicando esse resultado às matrizes 122 e 123 resulta que detm = x 2 +y 2 +z 2 = detm = x 2 +y 2 +z 2, ou seja, r 2 = r 2 : os módulos dos vetor posição original e transformado são os mesmos Esta é uma propriedade fundamental da rotação, seja ativa ou passiva, de modo que concluimos que uma transformação unitária efetuada por uma matriz U j do grupo SU2 equivale a uma rotação no espaço, que pode ser executada por uma matriz ortogonal do grupo SO3 Para saber qual a rotação no SO3 que corresponde a uma dada transformação unitária no SU2 vamos considerar casos particulares Por exemplo, fazendo η = 0 em 141 teremos a seguinte matriz unitária U z ξ = e iξ 0 0 e iξ 125 Fazendo uma transformação unitária sobre a matriz 122 teremos M = U z MU z = U z xσ 1 +yσ 2 +zσ 3 U z = U z xσ 1 U z +U z yσ 2 U z +U z zσ 3 U z

26 onde U z xσ 1 U e iξ 0 0 x e iξ 0 0 xe z = 0 e iξ x 0 0 e iξ = 2iξ xe 2iξ i = xcos2ξ xsin2ξ = xσ 1 0 i 0 1 cos2ξ xσ 2 sin2ξ127 U z yσ 2 U e iξ 0 0 iy e iξ 0 0 iye z = 0 e iξ iy 0 0 e iξ = 2iξ iye 2iξ 0 0 i 0 1 = ycos2ξ +ysin2ξ = yσ i cos2ξ +yσ 1 sin2ξ128 U z zσ 3 U e iξ 0 z 0 e iξ 0 z 0 z = 0 e iξ 0 z 0 e iξ = = zσ 0 z Substituindo 127, 128 e 129 em 126 temos M = xσ 1 cos2ξ xσ 2 sin2ξ+yσ 2 cos2ξ +yσ 1 sin2ξ+zσ 3 = σ 1 xcos2ξ ysin2ξ+σ 2 xsin2ξ +ycos2ξ+σ 3 z 130 Por outro lado, podemos reescrever 123 na forma M = x σ 1 +y σ 2 +z σ Comparando 130 e 131 obtemos as seguintes relações entre as coordenadas no sistema original e no sistema transformado x = xcos2ξ +ysin2ξ 132 y = xsin2ξ +ycos2ξ 133 z = z 134 e que correspondem justamente a uma rotação por um ângulo ϕ = 2ξ em torno do eixo z, conforme a matriz de rotação 93 Usando o ângulo α ao invés de ϕ, por conveniência, provamos então a seguinte correspondência: α U z = 2 e iα/2 0 0 e iα/2 R z α = cosα sinα 0 sinα cosα Analogamente, deixamos como exercício a prova da correspondência entre as demais matrizes de rotação, a saber ϕ cos ϕ U x = 2 isin ϕ isin ϕ 2 cos ϕ R x ϕ = 0 cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ β U y = cos β 2 sin β cosβ 0 sinβ 2 2 sin β 2 cos β R y β = sinβ 0 cosβ Observe que as correspondências acima não são biunívocas: já que α/2 vai apenas de 0 a π, quando α varia de 0 a 2π, podemos verificar diretamente que α α U z 2 +π = U z, 2 26

27 ouseja,tantou z α 2 comouz α 2 +π correspondemàmesmamatrizderotação R z α, Logo, a correspondência entre os grupos SU2 e SO3 não é um isomorfismo, mas apenas um homomorfismo No Apêndice B nós mostramos que a rotação mais geral no espaço é parametrizada pelos ângulos de Euler, com a matriz dada por 160 Rα,β,γ = R z γr y βr z α 138 Efetuando a correspondências obtemos a seguinte transformação unitária γ β α Uα,β,γ = U z U y U z cuja representação matricial é Uα,β,γ = cos β 2 sin β 2 e iα+γ/2 e iα γ/2 sin cos β 2 β 2 e iα+γ/2 e iα+γ/2 140 Comparando 140 com a forma geral de uma matriz do SU2 71 e Uξ,η,ζ = iξ cosη e iζ sinη e iζ sinη e iξ 141 cosη temos as seguintes relações entre os parâmetros e os ângulos de Euler: ξ = γ +α, ζ = γ α, η = β 2, 144 donde os parâmetros de Cayley-Klein 70 correspondentes são β a = cos e iγ+α/2, β b = sin e iγ α/ Exercícios os indicados com um asterisco são mais difíceis 1 Mostre que o conjunto de números racionais não-nulos, em relação à multiplicação usual, formam um subgrupo de R {0} 2 Mostre que o conjunto de números complexos C forma um grupo em relação à adição usual, e que C {0} forma um grupo em relação à multiplicação usual 3 Ache a matriz adjunta Hermitiana de a 3 5i 2+4i A = 6+7i 1+8i, 27

28 b B = 2 3i 5+8i 4 3 7i 6 i 5i, 4 Mostre que a matriz: é Hermitiana A = 3 1 2i 4+7i 1+2i 4 2i 4 7i 2i 5, 5 Para as matrizes abaixo, determine os autovalores, autovetores e a matriz unitária que as diagonaliza a A = 0 2 0, b A = Mostre as seguintes identidades matriciais: a TrAB = TrBA; b TrABC = TrBCA = TrCAB; c AB T = B T A T d M = S +A, onde S = M +M T /2 parte simétrica e A = M M T /2 parte anti-simétrica 7 Sejam A e B duas matrizes hermitianas que não comutam, tal que [A,B] = ic Mostre que a matriz C é hermitiana 8 É dada uma matriz arbitrária 2 2 Mostre que os seus autovalores λ são as raízes da equação do segundo grau, λ 2 Traλ+detA = 0 9 Uma matriz quadrada A de ordem n tem autovalores λ i, onde i = 1,2,n a Mostre que os autovalores da matriz A m são λ m i ; b Mostre que os autovalores da matriz e A são e λ i 10 Mostre que as rotações finitas em torno do eixo z formam um subgrupo do SO3 11 Mostre que a matriz de rotação de Euler 161 é invariante sob as seguintes transformações: α α+π, β β, γ γ π 12 O grupo especial linear SL2 consiste de todas as matrizes complexas com determinante +1 Mostre que estas matrizes formam um grupo Ele é comutativo? 28

29 13 As transformações de Lorentz Lv na relatividade correspondentes a boosts ao longo do eixo x com velocidade V, são x = γx Vt, y = y, z = z, t = γ t Vc 2x, onde c é a velocidade da luz no vácuo e 1 γ = 1 V 2 c 2 ConsidereastransformaçõesdeLorentzL 1V 1, L 2V 2, L 3V 3, correspondentes a boosts com velocidades V i, i = 1,2,3 Mostre que essas transformações formam um grupo chamado grupo de Lorentz 14 Mostre que as matrizes de Pauli têm as seguintes propriedades a σ i = σi, com i = 1,2,3; b detσ i = 1; c Trσ i = 0; d σ iσ j σ jσ i = 2iǫ ijkσ k ; e σ n i = I se n é par; f σ n i = σ i, se n é ímpar; g se a e b são dois vetores reais então σ aσ b = a b+iσ a b h se a = b σ a 2 = a 2 15 Mostre as equações 136 e Mostre as relações de comutação dos geradores do SO3: 105, 106, a Demonstre a identidade de Jacobi, Eq 84; b Usando a identidade de Jacobi, mostre que as constantes de estrutura de um grupo satisfazem a relação * Demonstre a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff e ia He ig = H +[ig,h]+ 1 2 [ig,[ig,h]]+ 19 * Sabemos que, para uma matriz hermitiana A, existe uma matriz unitária U que diagonaliza A por meio de uma transformação unitária: a a 2 0 A A = UAU = 0 0 a n onde a 1, a 2, etc são os autovalores de A Nessas condições, mostre a fórmula do traço dete A = e TrA 29

30 A Apêndice: Matrizes de rotação Os conceitos vistos nesse Apêndice destinam-se a refrescar a memória dos alunos que fizeram Mecânica Clássica I e/ou II há muito tempo Estes conceitos são fundamentais para entender boa parte das representações matriciais de grupos discretos e contínuos Maiores detalhes podem ser vistos no livro-texto do Goldstein [4] As matrizes de rotação relacionam as coordenadas de um vetor de posição em dois sistemas de coordenadas S e S, o segundo tendo sido rodado em relação ao primeiro Essas rotações são ditas passivas, pois o sistema em si não gira, quem roda é o sistema Já nas operações de simetria estudadas na teoria de grupos é o próprio sistema Ex: molécula quem gira, ao passo que o sistema Ex: o laboratório fica estacionário, o que é chamado uma rotação ativa A diferença entre elas é somente o sinal num ângulo de rotação Nesse apêndice apenas rotações passivas serão consideradas A rotação mais geral mantém apenas a origem invariante Os versores vetores unitários destes sistemas serão denotados respectivamente por î,ĵ,ˆk e î,ĵ, ˆk Sejam x,y,z e x,y,z as coordenadas de um vetor em S e S, respectivamente A relação mais geral entre elas é escrita como x = xî î +yĵ î +zˆk î 147 y = xî ĵ +yĵ ĵ +zˆk ĵ 148 z = xî ˆk +yĵ ˆk +zˆk ˆk 149 onde os produtos internos também são chamados cossenos diretores, já que î î = cosθ, etc onde θ é o ângulo entre os versores î e î As relações podem ser escritas na forma matricial: x y z î î ĵ î ˆk î = î ĵ ĵ ĵ ˆk ĵ î ˆk ĵ ˆk ˆk ˆk x y z 150 onde a matriz 3 3 é dita matriz de rotação Trabalharemos com rotações em torno de um determinado eixo, que pode ser tanto do sistema fixo como do sistema girante Se o eixo de rotação estiver orientado no espaço segundo o versor ˆn, a matriz de rotação em torno desse eixo por um ângulo θ será denotada Rˆn θ A1 Rotação em torno do eixo z Vamos considerar uma rotação em torno do eixo z = z de um ângulo ϕ Nesse caso os cossenos diretores são: π π î î = cosϕ, ĵ î = cos 2 ϕ = sinϕ, ˆk î = cos = 0, 2 π π î ĵ = cos 2 +ϕ = sinϕ, ĵ ĵ = cosϕ, ˆk ĵ = cos = 0, 2 î ˆk = ĵ ˆk π = cos = 0, ˆk ˆk = cos0 =

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